Vorschlag B2

Das Davisson-Germer-Experiment

Clinton Davisson und Lester Germer gelang es 1927 erstmals, den von Louis de Broglie 1923 postulierten Wellencharakter von Teilchen experimentell nachzuweisen. In dem nach ihnen benannten Experiment werden Elektronen senkrecht auf die Oberfläche eines Nickeleinkristalls geschossen und die Intensitäten der reflektierten Elektronen als Funktion des Streuwinkels $\beta$ mit einem beweglichen Detektor gemessen (Material 1). Die Messungen erfolgen mit verschiedenen Beschleunigungsspannungen $\text U_{ \text B }$ für den Elektronenstrahl.

Material 1: Schematische Skizze des Davisson-Germer-Experiments

Nach Louis de Broglie kann jedem Teilchen jeweils eine Frequenz und eine Wellenlänge zugeordnet werden.

Gib die hierfür relevanten Formeln an und nenne die grundsätzliche Überlegung, die zu diesen Formeln führte.

(4 BE)

Elektronen mit der Masse $\text m_{ e }$ und der Ladung $e,$ deren Anfangsgeschwindigkeit vernachlässigt werden soll, werden in einem elektrischen Feld mit der Spannung $\text U_{ \text B }$ beschleunigt.

2.1

Berechne die Geschwindigkeit der Elektronen für $\text U_{\text B }=54 \,\text V.$

2.2

Elektronen haben die Spannung $\text U_{ \text B }$ durchlaufen.

Leite die folgende Formel zur Berechnung der theoretischen Wellenlänge $\lambda_{\text {th }}$ her, die diesen Elektronen zugeordnet wird.

(1) $\lambda_{ \text{th} }=\sqrt{\dfrac{h^2}{2 \cdot \text m_{ e } \cdot e}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{\text U_{ \text B }}}$

(4 BE)

2.3

Berechne den Wert des obigen Ausdrucks $\sqrt{\dfrac{h^2}{2 \cdot \text m_{ e } \cdot e}}$ und zeige durch eine Einheitenrechnung, dass dieser Ausdruck die Einheit $\text m \cdot \sqrt{ \text V }$ hat.

Berechne mithilfe von Formel (1) die Wellenlänge $\lambda_{\text {th }}$ für $\text U_{ \text B }=54 \,\text V.$

[zur Kontrolle: $\lambda_{\text {th }}=1,67 \cdot 10^{-10} \,\text m$ ]

(6 BE)

Im Davisson-Germer-Experiment zeigen sich - abhängig vom Streuwinkel $\beta$ und der Beschleunigungsspannung $\text U_{ \text B }$ - ausgeprägte Intensitätsmaxima. Diese Maxima sind nur als Interferenzerscheinungen zu erklären, die durch Streuung der Elektronen an der Gitterstruktur des Nickeleinkristalls entstehen. Wegen der geringen Energie der Elektronen kann man annehmen, dass nur die oberste Atomschicht des Kristalls für die Streuung der Elektronen verantwortlich ist. Dabei wirkt die Anordnung der Atome für die Elektronen wie ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstante $d=2,15 \cdot 10^{-10} \,\text m$ bei der Beugung von Licht. In Material 2 ist diese Streuung schematisch dargestellt.

Material 2: Streuung von Elektronen an der Oberfläche eines Nickeleinkristalls (schematische Darstellung)

hessen physik abi lk 2021 vorschlag b2 material 2 streuung von elektronen an der oberfläche eines nickeleinkristalls (schematische darstellung)

3.1

Erläutere für Materiewellen den Zusammenhang zwischen konstruktiver Interferenz, Intensitätsmaxima und Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

Zeichne in Material 2 den Gangunterschied $\Delta s$ ein und zeige die Gültigkeit der folgenden Formel.

(2) $n \cdot \lambda=d \cdot \sin \beta$

Hierbei bedeuten $n$ die Ordnung der Maxima und $d$ der Abstand der einzelnen Nickelatome voneinander.

(5 BE)

3.2

Die experimentellen Ergebnisse solcher Streuversuche mit unterschiedlichen Spannungen sind in Material 3 dargestellt.

Bestimme für $\text U_{ \text B }=54 \,\text V$ mithilfe der Formel (2) jeweils einen experimentellen Wert $\lambda_{\exp }$ der Wellenlänge unter Verwendung von $n=1,$ $2$ und $3.$

Bestätige anhand deiner Ergebnisse die Plausibilität der Annahme, dass es sich bei dem gemessenen Maximum um eines der 1. Ordnung handelt.

Material 3: Experimentelle Ergebnisse ‒ Messdiagramme

(5 BE)

3.3

Ermittle mithilfe von Material 3 für die restlichen Werte von $\text U_{ \text B }$ und $n=1$ die zugehörigen Werte von $\lambda_{\exp }.$

(4 BE)

Nach der Formel (1) ist die Wellenlänge $\lambda_{\text {th }}$ für $\text U_{ \text B }>0$ proportional zu $\dfrac{1}{\sqrt{\text U_{ \text B }}}.$

4.1

Bestätige rechnerisch diese Proportionalität für die Messergebnisse der Aufgaben 3.2 und 3.3.

Berechne die Proportionalitätskonstante unter Einbeziehung aller Messwerte und vergleiche diese quantitativ mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2.3.

(8 BE)

4.2

1959 wurde von Claus Jönsson die Interferenz von Elektronen am Doppelspalt nachgewiesen. Hier soll das Experiment vereinfacht ohne elektronenoptische Elemente zur Vergrößerung des Interferenzmusters betrachtet werden.

Mit der Spannung $\text U_{ \text B }=50 \,\text{kV}$ beschleunigte Elektronen durchlaufen senkrecht einen Doppelspalt mit einem Spaltabstand $d=2 \,\mu \text m.$ Im Abstand von $e=45 \,\text{cm}$ vom Doppelspalt wird ein Interferenzmuster registriert, bei dem der Abstand der beiden Maxima erster Ordnung $a=2,47 \,\mu \text m$ beträgt.

Berechne die Wellenlänge der Elektronen zum einen mithilfe der Ergebnisse des Doppelspaltversuchs und zum anderen mit Formel (1) und vergleiche diese quantitativ.

(7 BE)

4.3

Erkläre, warum das Experiment von Jönsson erst mehr als 30 Jahre nach dem Experiment von Davisson und Germer durchgeführt werden konnte.

(3 BE)

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Formeln angeben

$f=\dfrac{E}{h}$

$\lambda= \dfrac{h}{p}$

Überlegung

Nicht nur Licht, sondern auch Materieteilchen wie Elektronen oder Atome besitzen Wellen- und Teilcheneigenschaften.

Welleneigenschaften werden repräsentiert durch $\lambda$ und Teilcheneigenschaften durch $p.$

2.1

$E_{\text{el}} =E_{\text{kin}}$

Rechenweg anzeigen

$v =4,36 \cdot 10^6 \; \frac{\text{m}}{\text{s}}$

2.2

Rechenweg anzeigen

$\lambda_{t h}= \sqrt{\dfrac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot e}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{U_B}}$

2.3

Rechenweg anzeigen

$\sqrt{\dfrac{h^2}{2 \cdot m_e e}}=1,227 \cdot 10^{-9} \;\text{m} \cdot \sqrt{v}$

Einheitenbetrachtung

$\left[\sqrt{\dfrac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot e}}\right]$ $=\sqrt{\dfrac{(\text{Js})^2}{\text{kg}\cdot \text{C}}}$ $=\sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{\text{kg}\cdot \text{m}}{s^2}\cdot \text{s} \right)^2}{\sqrt{\text{kg}\cdot \text{A}\cdot \text{s}}}}$ $=\sqrt{\dfrac{(\text{kg}\cdot \text{m}^2 \cdot \text{s})^2}{\text{s}^4\cdot \text{kg}\cdot \text{A}\cdot \text{s}}}$ $=\sqrt{\dfrac{\text{kg}^2\cdot \text{m}^4 \cdot \text{s}^2}{\text{s}^4\cdot \text{kg}\cdot \text{A}\cdot \text{s}}}$ $= \sqrt{\dfrac{\text{kg}\cdot \text{m}^4}{\text{s}^3\cdot \text{A}}}$ $= \sqrt{\dfrac{\text{kg}\cdot \text{m}^4\cdot \text{V}}{\text{kg}\cdot \text{m}^2\cdot \frac{1}{\text{s}^3}\cdot\text{s}^3 }}$ $= 1 \sqrt{\text{m}^2\cdot \text{V}}$ $= 1\; \text{m}\cdot \sqrt{ \text{V}}$

Werte einsetzen

$\lambda_{th}=1,227 \cdot 10^{-9} \text{m} \cdot \sqrt{V} \cdot \sqrt{\frac{1}{54\;\text{V}}}$ $=1,67 \cdot 10^{-10} \;\text{m}$ $=167\;\text{pm}$

3.1

Zusammenhänge erläutern

Aus quantenmechanischer Sicht nehmen Teilchen keinen Ort an, der definierbar ist. Es ist jedoch möglich durch Materiewellen eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit anzugeben.

Wenn die Materiewellen konstruktiv interferieren, so entstehen Intensitätsmaxima. Das bedeutet, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an diesem Ort maximal ist.

Gangunterschied

Bei Interferenz gilt: $\Delta s=n \cdot \lambda$

In der Abbildung sind rechtwinklige Dreiecke zu erkennen. In diesen ist folgender Zusammenhang gültig: $\sin (\beta)= \dfrac{\Delta s}{d}$

Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} \sin (\beta)&=& \dfrac{n \cdot \lambda }{d}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot d \\[5pt] \sin (\beta) \cdot d&=& n \cdot \lambda \\[5pt] n \cdot \lambda &=& \sin (\beta) \cdot d \end{array}$

3.2

$\begin{array}[t]{rll} n \cdot \lambda_{\exp , n }&=& d \cdot \sin (50^{\circ}) &\quad \scriptsize \mid\;:n \\[5pt] \lambda_{\exp , n }&=&\dfrac{d \cdot \sin (50^{\circ})}{n} \end{array}$

$n=1,2,3$ einsetzen:

$\lambda_{\exp , 1 }$ $=\dfrac{d \cdot \sin (50^{\circ})}{1}$ $=2,15 \cdot 10^{-10} \;\text{m} \cdot \sin (50^{\circ})$ $= 1,65 \cdot 10^{-10} \;\text{m}$ $= 165 \;\text{pm}$

$\lambda_{\exp , 2 }$ $=\dfrac{d \cdot \sin (50^{\circ})}{2}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\lambda_{\exp , 1 }$ $=\dfrac{1}{2}\cdot 1,65 \cdot 10^{-10} \;\text{m}$ $=82,5 \;\text{pm}$

$\lambda_{\exp , 3 }$ $=\dfrac{d \cdot \sin (50^{\circ})}{3}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\lambda_{\exp , 1 }$ $=\dfrac{1}{3}\cdot 1,65 \cdot 10^{-10} \;\text{m}$ $=55 \;\text{pm}$

$\lambda_{\exp , 1 }= 165 \;\text{pm}$ stimmt ungefähr mit der Wellenlänge $167 \;\text{pm}$ (Teilaufgabe 2.3) überein und somit handelt es sich vermutlich um ein Maximum 1. Ordnung.

3.3

Es gilt: $\lambda_{\exp , 1}(\beta)$ $=d \cdot \sin (\beta)$ $=2,15 \cdot 10^{-10} \;\text{m} \cdot \sin (\beta)$

$U_B$ in $\text{V}$	$\beta$ in $^{\circ}$	$\lambda_{\exp , 1}$ in $\text{pm}$
44	56	178
48	55	176
64	46	155
68	45	152

4.1

Proportionalität nachweisen

$\lambda \sim \frac{1}{\sqrt{ U _{ B }}}$

$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=& \text{const} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{ U _{ B }}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{ U _{ B }}\\[5pt] \lambda\cdot \sqrt{U_B}&=& \text{const} \end{array}$

$\text{const}= \lambda\cdot \sqrt{U_B}$ $=1,78 \cdot 10^{-10} \;\text{m} \cdot \sqrt{44 \;\text{V} } \approx 1,18 \cdot 10^{-9}\;\text{m} \cdot \sqrt{\text{V} }$

$U_B$ in $\text{V}$	$\lambda_{\exp , 1}$ in $10^{-10}\;\text{m}$	$\text{const}$ in $10^{-9}\;\text{m} \cdot \sqrt{\text{V}}$
44	1,78	1,18
48	1,76	1,22
54	1,65	1,21
64	1,55	1,24
68	1,52	1,25

Die Werte sind näherungsweise konstant, womit die Proportionalität nachgewiesen ist.

Vergleich

Wert aus Teilaufgabe 2.3:

$\text{const}=\sqrt{\dfrac{h^2}{2\cdot m_e \cdot e}}$ $=1,227 \cdot 10^{-9} \;\text{m} \cdot \sqrt{\text{V}}$

Prozentuale Abweichung:

$\dfrac{1,227 \cdot 10^{-9}\;\text{m} \cdot \sqrt{ \text{V} }-1,22 \cdot 10^{-9} \;\text{m} \cdot \sqrt{ \text{V}}}{1,227 \cdot 10^{-9} \;\text{m} \cdot \sqrt{ \text{V} }}$ $=0,0057=0,57 \%$

Die Messwerte stimmen somit sehr gut überein.

4.2

Es gilt:

$\sin (\alpha_n)=\dfrac{ n \cdot \lambda}{ d }$ mit $n =0,1,2,3, \ldots$ und $\tan (\alpha_n)=\dfrac{\frac{1}{2} \cdot a _{ n }}{ e }$

Wegen der Kleinwinkelnäherung $\sin (\alpha_n)\approx \tan (\alpha_n)$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{ n \cdot \lambda}{ d }&=& \dfrac{\frac{1}{2} \cdot a _{ n }}{ e } &\quad \scriptsize \mid\; \cdot d \;\mid\;:n\\[5pt] \lambda &=&\dfrac{a _n \cdot d }{ 2e\cdot n } \end{array}$

Für $n=1$ folgt:

$\lambda =\dfrac{a _1 \cdot d }{ 2e\cdot 1 }$ $=\dfrac{2,47 \cdot 10^{-6} \;\text{m} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \;\text{m} }{2 \cdot 0,45 \;\text{m} }$ $=5,49 \cdot 10^{-12}\;\text{m}=5,49\;\text{pm}$

Anwendung der Formel:

$\lambda_{\text {th }}$ $=1,227 \cdot 10^{-9} \;\text{m} \cdot \sqrt{ V } \cdot \sqrt{\dfrac{1}{50 \cdot 10^3 \;\text{V} }}$ $=5,49 \cdot 10^{-12} \;\text{m} =5,49 \;\text{pm}$

Vergleich der Werte:

Die beiden Werte unterschieden sich bis zur zweiten Nachkommastelle nicht. Die Abweichung ist minimal. Das Doppelspaltexperminet bestätigt somit den theoretischen Wert sehr gut.

4.3

Da die De-Broglie-Wellenlängen der Elektronen so klein sind, muss der Doppelspalt, welcher sie beugt, einen sehr geringen Spaltabstand und eine geringe Spaltbreite besitzen.

Die Herstellung eines solchen Spaltes war erst Ende der 1950er Jahre möglich.

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