Vorschlag B2

Kontinuierlich arbeitende und gepulste Laser

Seit dem Bau des ersten Lasers durch Theodore Maiman im Jahr 1960 entwickelte sich dieser in einer Vielzahl von Arbeitsbereichen zu einem unverzichtbaren Hilfsmittel. In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Laser betrachtet. In Schulen ist der Helium-Neon-Laser (He-Ne-Laser) weit verbreitet, der sein charakteristisches rotes Licht kontinuierlich abstrahlt.

1.1

Nenne zwei Eigenschaften, die Laserlicht vom Licht anderer Lichtquellen unterscheiden.

(2 BE)

1.2

Begründe mithilfe von Material 1 und Material 2, dass der Übergang von $E_{3, Ne }$ nach $E_{2, Ne }$ zur Emission des roten Laserlichts führt.
Erkläre anhand von Material 1 und Material 3 die Funktionsweise des He-Ne-Lasers unter Verwendung der Begriffe Besetzungsinversion, stimulierte Emission und stehende Welle.

Material 1

Vereinfachtes Energieniveauschema eines He-Ne-Lasers

Material 2

Spektralbereiche elektromagnetischer Strahlung

Spektralbereich	Wellenlänge in $\color{#f0f0f0}{\text{nm}}$
Ultraviolett	10-390
Violett	390-430
Blau	430-490
Grün	490-570
Gelb	570-600
Orange	600-620
Rot	620-780
Infrarot	780-300000

Die angegebenen Wellenlängen sind ungefähre Werte.

Material 3

Schematischer Aufbau eines He-Ne-Lasers

(8 BE)

1.3

Bestimme die Geschwindigkeit, die ein Elektron mindestens haben muss, um ein ruhendes Helium-Atom aus dem Grundzustand $E_{1, He }$ in den Zustand $E_{2, He }$ anzuregen.
Gib die zur Beschleunigung der Elektronen aus der Ruhe mindestens notwendige Spannung an.

(4 BE)

1.4

Bestimme den nach Material 1 möglichen maximalen Wirkungsgrad eines He-Ne-Lasers in Prozent und begründe, warum dieser in Wirklichkeit nicht erreicht werden dürfte. Als Wirkungsgrad bezeichnet man das Verhältnis von Energie der erzeugten Laserstrahlung zur aufgewandten Energie.

(5 BE)

Im Gegensatz zum kontinuierlich arbeitenden He-Ne-Laser spielen in vielen Anwendungen sogenannte Pulslaser eine große Rolle. Diese arbeiten nicht im Dauerbetrieb, sondern jeweils nur für kurze Zeiten, sodass kurze Laserpulse entstehen. Im Folgenden soll ein Neodym-dotierter Yttrium-Aluminium-Granat-Laser (Nd/YAG-Laser) betrachtet werden, der bei einer Wellenlänge von $\lambda=1064\,\text{nm}$ während einer Pulsdauer von $400\,\text{ns}$ eine Leistung von $3\,\text{MW}$ hat.

2.1

Berechne die Energie $E_{\text {Puls }}$ eines solchen Laserpulses.

[zur Kontrolle: $E_{\text {Puls }}=1,2\,\text J]$

(2 BE)

2.2

Die Energie $E(d)$ des Laserpulses nach einem Durchgang durch eine Schicht der Dicke $d$ bei einer Anfangsenergie von $E_{\text {Puls }}=E_0$ kann mit der Gleichung $E(d)=E_0 \cdot \mathrm{e} ^{-a \cdot d}$ berechnet werden. Der darin verwendete Absorptionskoeffizient $\alpha$ hängt vom durchstrahlten Material und von der Wellenlänge des verwendeten Lasers ab.
Bestätige unter Verwendung der Daten in Material 4, dass die Energie, die der Laserpuls auf einer Strecke $d=1\,\text{cm}$ in Wasser abgibt, $\Delta E=0,4\,\text J$ beträgt.
Berechne die mittlere Temperaturerhöhung $\Delta T$ des auf dieser Strecke durchstrahlten Wassers. Der Strahl hat einen kreisförmigen Querschnitt mit einem Durchmesser von $0,4\,\text{mm}$ .
Zur Erwärmung von $1\,\ell$ Wasser um $1\,\text K$ benötigt man eine Energie von $4190\,\text J$ .

Material 4

Absorptionskoeffizient elektromagnetischer Strahlung in Wasser

Die Emissionslinien der Laser sind durch senkrechte Striche gekennzeichnet.
Beachte die nicht-lineare Skalierung der Achsen und die Einheit $\dfrac{1}{\mu \text m }$ der vertikalen Achse!

(8 BE)

2.3

Für Laser gelten strenge Sicherheitsvorschriften. Insbesondere ist es wichtig, die Augen vor Laserlicht zu schützen. Bei einem Laserexperiment mit gleichen Bedingungen wie in Aufgabe 2.2 wird $\Delta T=76\,\text K$ bestimmt.
Beurteile auf der Basis dieses Ergebnisses und der Tatsache, dass der Glaskörper des Auges im Wesentlichen aus Wasser besteht, ob besondere Schutzvorkehrungen für die Augen notwendig sind.

(2 BE)

Nun wird der Laserpuls aus Aufgabe 2 senkrecht auf ein kleines quadratisches Goldblättchen (Kantenlänge $k=0,25 \,\text{cm}$ , Dicke $d=0,2 \,\mu \text m$ ) gerichtet, das an einem Faden der Länge $l=0,15\,\text m$ aufgehängt ist (Material 5). Dies führt zu einer Auslenkung des Blättchens um den Winkel $\varphi$ .
Im Folgenden soll angenommen werden, dass alle Photonen reflektiert werden und dass dabei das Doppelte ihres Impulses auf das Blättchen übertragen wird.

Material 5

Laserpuls und aufgehängtes Goldblättchen

$\Delta h$ ist der Höhengewinn des Goldblättchens aufgrund der Auslenkung.

3.1

Berechne die Anzahl der Photonen in dem Puls sowie den Gesamtimpuls $p_{\text {ges }}$ dieser Photonen.

[zur Kontrolle: $p_{ ges }=4,003 \cdot 10^{-9} \dfrac{ \text{kg} \cdot \text m }{ \text s }$ ]

(7 BE)

3.2

Berechne die Masse des Goldplättchens. Gold hat eine Dichte von $\rho_{\text {Gold }}=19,3 \dfrac{ \text{kg} }{ \text{dm} ^3}$ .
Berechne die maximale Geschwindigkeit (Geschwindigkeit zu Beginn der Bewegung), auf die das Goldplättchen durch den Laserpuls beschleunigt wird und den Höhengewinn $\Delta h$ des Goldblättchens.
Dazu soll der Einfluss der Luftreibung sowie der Masse und der Beschaffenheit des Fadens vernachlässigt werden, ebenso wird das Goldblättchen als punktförmig angenommen.

(9 BE)

3.3

Beurteile, ob und gegebenenfalls wie sich der Ausschlag des Blättchens ändert, wenn ein Laser mit gleicher Pulsdauer, gleicher Leistung, aber größerer Wellenlänge verwendet wird.

(3 BE)

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1.1

Laserlicht ist monochromatisch, im Gegensatz zu den breiteren Wellenlängenverteilungen bei anderen Lichtquellen.
Laserlicht ist kohärent, da die Wellen eine konstante Phasendifferenz aufweisen, im Gegensatz zu herkömmlichem Licht.

1.2

Emission des roten Laserlichts

Eine Energiedifferenz von $1,96 \, \text{eV}$ zwischen den Zuständen $E_{3, \text{Ne}}$ und $E_{2, \text{Ne}}$ zeigt sich im Energieniveauschema des He-Ne-Lasers. Beim Übergang zwischen diesen Niveaus werden Photonen mit exakt dieser Energie emittiert, und die zugehörige Wellenlänge dieser Photonen lässt sich ableiten:

$\begin{array}[t]{rll} E&=&h\cdot f &\quad \scriptsize \mid\;f=\dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] E&=&\dfrac{h\cdot c}{\lambda} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{\lambda}{E} \\[5pt] \lambda&=&\dfrac{h\cdot c}{E} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=&\dfrac{h\cdot c}{E} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{6,626 \cdot 10^{-34} \,\text{Js} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1,96 \,\text{eV} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \,\text{C}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6,33 \cdot 10^{-7} \,\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 633 \,\text{nm} \end{array}$

Die berechnete Wellenlänge $\lambda=633 \,\text{nm}$ entspricht dem roten Bereich im elektromagnetischen Spektrum (Material 2).

Funktionsweise eines He-Ne-Lasers

Gasentladung: Durch Anlegen einer Hochspannung entsteht im He-Ne-Laser zwischen Kathode und Anode ein elektrisches Feld. In der Glasröhre ist ein Gemisch aus Helium und Neon vorhanden. An der Kathode befinden sich freie Elektronen, die von der Anode angezogen werden. Die hohe Spannung verleiht den Elektronen genug kinetische Energie, um eine Gasentladung auszulösen.

Besetzungsinversion in Neon: Durch das Gas bewegen sich Elektronen, die Heliumatome anregen. Die übertragene Energie wird durch Stöße auf Neonatome übertragen, wodurch eine Besetzungsinversion in Neon entsteht. Dabei sind mehr Atome im angeregten Zustand $\text{E}_{3, \text{Ne}}$ als im energieärmeren Zustand $\text{E}_{2, \text{Ne}}.$

Photonenentstehung: Spontane Übergänge von $\text{E}_3, \text{Ne}$ zu $\text{E}_{2, \text{Ne}}$ führen zur Entstehung von Photonen im Laserübergang. Wenn diese Photonen senkrecht reflektiert werden und erneut durch das Gas gehen, können sie ein Neonatom in $\text{E}_{3, \text{Ne}}$ zur stimulierte Emission anregen. Das daraus resultierende Photon behält die Eigenschaften des auslösenden Photons bei.

Laserstrahlbildung: Der Prozess verstärkt das Licht durch einen Resonator aus zwei Spiegeln. Durch Überlagerung hin- und herlaufender Wellen entsteht Verstärkung. Ein teildurchlässiger Spiegel, der $2\%$ des Lichts hindurchlässt, formt den Laserstrahl.

1.3

nötige Geschwindigkeit

Gegeben: $E_{\text{kin}}=20,61 \,\text{eV};$ $m_e=9,11 \cdot 10^{-31} \,\text{kg}$

Gesucht: $v$

Lösung: Die Energiedifferenz $\Delta \text{E}$ zwischen den Zuständen $\text{E}_{1, \text{He}}$ und $\text{E}_{2, \text{He}}$ beträgt $20,61 \, \text{eV}.$ Diese Energie müssen die Elektronen als kinetische Energie besitzen:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{kin}}&=& \dfrac{1}{2}\cdot m_e\cdot v^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{m_e}\\[5pt] \dfrac{2 \cdot E_{\text{kin}}}{m_e}&=& v^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] \sqrt{\dfrac{2\cdot E_{\text{kin}}}{m_e}}&=& v &\quad \scriptsize \\[5pt] v&=& \sqrt{\dfrac{2\cdot E_{\text{kin}}}{m_e}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} v&=& \sqrt{\dfrac{2\cdot E_{\text{kin}}}{m_e}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot 20,61 \,\text{eV} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \,\text{C}}{9,11 \cdot 10^{-31} \,\text{kg}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,69\cdot 10^6 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

Angabe der Spannung

Eine Spannung von $U = 20,61 \, \text{V}$ ist erforderlich, um Elektronen auf eine Energie von $20,61 \, \text{eV}$ zu beschleunigen.

1.4

Bestimmung des Wirkungsgrads

Gegeben: notwendige Energie zur Anregung des Heliumatoms $E_{\text{auf}}=20,61 \,\text{eV};$ $E_{\text{Ph}}=1,96 \,\text{eV}$

Gesucht: Wirkungsgrad

Lösung:

Rechenweg anzeigen

$\text { Wirkungsgrad } = 9,5 \%$

Nichterreichen des maximalen Wirkungsgrad in der Praxis

Maximaler Wirkungsgrad erfordert Stoßpartner für Elektronen, eine sehr gute Übertragung der Helium-Energie auf Neon und die Vermeidung nicht kohärenter Strahlung. In der Praxis kommt es jedoch zu Einzelelektronenanregungen aufgrund mangelnder Stoßpartner, unvollständiger Helium-Energieübertragung auf Neon, nicht ausschließlich stimulierte Emission bei Neon, Energieverlusten durch Gasanregung und Lichtverlusten durch Spiegelreflexion und -absorption im He-Ne-Laser.

2.1

Für die Leistung $P$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{\text{E}_{\text {Puls }}}{\text{t}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot t \\[5pt] P\cdot t&=& \text{E}_{\text {Puls }} &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{E}_{\text {Puls }}&=& P\cdot t \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \text{E}_{\text {Puls }}&=& P\cdot t&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3 \cdot 10^6 \,\text{W} \cdot 400 \cdot 10^{-9} \,\text{s}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,2 \,\text J \end{array}$

2.2

Bestätigung der Energiemenge

Anhand des dargestellten Pfeils ist zusehen, dass die senkrechte Achse genau bei dem dritten Strich über der Markierung von $1 \cdot 10^{-5} \mu \text{m}^{-1}$ geschnitten wird. Der abgelesene Absorptionskoeffizient beträgt somit $\alpha=4 \cdot 10^{-5} \,\frac{1}{\mu \text{m}}.$

Gegeben: $\alpha=4 \cdot 10^{-5} \,\frac{1}{\mu \text{m}},$ $d=1 \,\text{cm}=1 \cdot 10^{-2} \,\text{m}=1 \cdot 10^4 \,\mu \text{m}$ , $E_0=1,2 \,\text{J}$

Gesucht: $\Delta E$

Lösung:

Rechenweg anzeigen

$\Delta E =0,4 \,\text{J}$

Der Laserimpuls hat also während des Durchlaufens der Wasserschicht von $1 \text{cm}$ eine Energie von $0,4 \,\text{J}$ abgegeben.

mittlere Temperaturerhöhung

Gegeben: $r=0,2 \,\text{mm}=0,002 \,\text{dm} ;$ $d=0,1 \,\text{dm};$ $4190 \,\text{J}$ erwärmt $1 \ell$ Wasser um $1 \,\text{K}$

Gesucht: $\Delta T$

Lösung:

Da der Laserstrahl laut Aufgabenstellung einen kreisförmigen Querschnitt besitzt, lässt sich die vom Laserpuls durchstrahlte Wassermenge als zylindrisches Volumen auffassen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text {Zylinder }}&=& \pi \cdot r^2 \cdot d &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi \cdot(0,002 \,\text{dm})^2 \cdot 0,1 \,\text{dm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,26 \cdot 10^{-6} \,\text{dm}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,26 \cdot 10^{-6} \,\ell \end{array}$

Für die Erwärumung von $1 \,\ell$ Wasser gilt:

Rechenweg anzeigen

$0,4\,\text{J} \mathrel{\widehat{=}} 9,55\cdot 10^{-5} \,\text K$

Für ein Wasservolumen von $1,26 \cdot 10^{-6} \,\ell$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$1,26 \cdot 10^{-6} \,\ell \mathrel{\widehat{=}} 75,8 \,\text K$

Die Temperatur des Wasservolumens von $1,26\cdot 10^{-6}\ell$ wird durch die Energie von $0,4 \,\text{J}$ um $75,8 \,\text{K}.$

2.3

Ein Temperaturunterschied von 76 Kelvin oder 76 Grad Celsius entsteht, indem eine 1 cm dicke Wasserschicht durchstrahlt wird. Der 2 cm durchmessende Glaskörper im Auge erhitzt sich bis zum Mittelpunkt. Ein Anstieg um 76 °C stellt eine ernsthafte Gefahr für das Auge dar, da die Energie ausreicht, um dauerhafte Schäden zu verursachen. Schutzvorrichtungen sind daher zwingend erforderlich.

3.1

Anzahl der Photonen

Für die Energie eines Photons mit der Wellenlänge $\lambda=1064 \text{nm}$ gilt:

Rechenweg anzeigen

${E}_{\text {Photon }} =1,87 \cdot 10^{-19} \,\text{J}$

Für die Anzahl $n$ der Photonen ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} n&=&\dfrac{{E}_{\text {Puls }}}{{E}_{\text {Photon }}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1,2 \,\text{J}}{1,868 \cdot 10^{-19} \,\text{J}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6,4\cdot 10^{18} \end{array}$

Gesamtimpuls

Der Gesamtimpuls ist die Summe der Impulse aller Photonen:

Rechenweg anzeigen

${p}_{\text {ges }} =4,0 \cdot 10^{-9} \,\dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text s}$

3.2

Masse des Goldblättchens

Gegeben: $\rho_{\text{Gold}}= 19,3 \,\dfrac{\text{kg}}{\text{dm}^3} ; V= 0,2 \mu \text{m}$

Gesucht: $m$

Lösung: $\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Gold}}&=& \dfrac{m}{V} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot V \\[5pt] \rho_{\text{Gold}}\cdot V&=& m &\quad \scriptsize \\[5pt] m&=& \rho_{\text{Gold}}\cdot V \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$m = 2,4 \cdot 10^{-8} \,\text{kg}$

maximale Geschwindigkeit

Die Photonen werden vollständig reflektiert und übertragen dabei das Doppelte ihres Impulses auf das Blättchen. Somit gilt für den übertragenen Impuls:

$\begin{array}[t]{rll} p&=& 2\cdot p_{\text{ges}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \cdot 4,0 \cdot 10^{-9} \,\dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8,0 \cdot 10^{-9} \,\dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}} \end{array}$

Für die Anfangsgeschwindigkeit $v$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&m\cdot v &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{m} \\[5pt] \dfrac{p}{m}&=& v &\quad \scriptsize \\[5pt] v&=& \dfrac{p}{m} \end{array}$

Einsetzen der Werte lifert:

$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{p}{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{8,0 \cdot 10^{-9} \,\dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}}}{2,4 \cdot 10^{-8} \,\text{kg}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,33 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

Höhengewinn des Goldplättchens

Durch den Laserimpuls erfährt das Goldblättchen eine Beschleunigung und wird ausgelenkt. Die kinetische Energie wird dabei vollständig in potenzielle Energie umgewandelt:

$\begin{array}[t]{rll} {E}_{\text {kin }}&=&{E}_{\text {pot }} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2&=& m\cdot g\cdot \Delta h &\quad \scriptsize \mid\, \dfrac{1}{m\cdot g}\\[5pt] \dfrac{ v^2}{2\cdot g}&=& \Delta h &\quad \scriptsize \\[5pt] \Delta h&=& \dfrac{ v^2}{2\cdot g} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta h&=&\dfrac{ v^2}{2\cdot g} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\left(0,33 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2 \cdot 9,81 \,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5,7 \cdot 10^{-3} \,\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5,7 \,\text{mm} \end{array}$

3.3

Bei wachsender Wellenlänge nimmt der Impuls pro Photon aufgrund der umgekehrten Proportionalität zur Wellenlänge ab. Gleichzeitig reduziert sich die Energie pro Photon, was zu einer linearen Zunahme der Photonenzahl pro Impuls mit der Wellenlänge führt. Der Gesamtimpuls und die Auslenkung des Goldblättchens bleiben dabei konstant.

Alternative Argumentation über Energie: Der Ausschlag des Blättchens hängt nur von der zugeführten Energie ab. Beide Laser haben gleiche Pulsdauer $t$ und Leistung $P,$ was zu einer konstanten übertragenen Pulsenergie ${E}_{\text {Puls }}={P}_1 \cdot {t}_1={P}_2 \cdot {t}_2$ führt, unabhängig von der Laserwellenlänge.

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