Vorschlag A1 — Untersuchung mechanischer Schwingungen am Beispiel eines Modellflugzeugs

In einem Kinderzimmer ist ein Modellflugzeug an einer Schraubenfeder aufgehängt. Durch das Anhängen des Flugzeugs wird die Feder um die Strecke $Formula: s=15,9 \; \mathrm{cm}$ $Formula: s=15,9 \; \mathrm{cm}$ ausgelenkt. In Material 1 ist die Situation in der Gleichgewichtslage dargestellt. Das Flugzeug wird nun in Schwingung versetzt, indem es um $Formula: 12 \; \mathrm{cm}$ $Formula: 12 \; \mathrm{cm}$ senkrecht nach oben aus der Gleichgewichtslage angehoben und zum Zeitpunkt $Formula: t=0 \; \mathrm{s}$ $Formula: t=0 \; \mathrm{s}$ losgelassen wird. Das Flugzeug darf als Massepunkt mit der Masse $Formula: m_\text{F}=240 \; \mathrm{g}$ $Formula: m_\text{F}=240 \; \mathrm{g}$ angesehen werden. Die Masse der Feder wird vernachlässigt und die Schwingung erfolgt zunächst dämpfungsfrei. Es gilt das Hooke’sche Gesetz.

1.1

Zeichne in Material 1 die auf das Flugzeug in der Gleichgewichtslage wirkenden Kräfte ein und weise nach, dass eine harmonische Schwingung vorliegt.

5 BE

1.2

Berechne die Federkonstante Formula: D.

[zur Kontrolle: $Formula: D=14,8 \; \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D=14,8 \; \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ ]

3 BE

1.3

Nenne die bei der Schwingung relevanten Energieformen und berechne die Schwingungsdauer Formula: T der Schwingung.

[zur Kontrolle: $Formula: T=0,8 \; \mathrm{s}$ $Formula: T=0,8 \; \mathrm{s}$ ]

5 BE

1.4

Für die Elongation Formula: y(t) aus der Gleichgewichtslage gilt die Differenzialgleichung $Formula: \ddot{y}(t) + \tfrac{D}{m} \cdot y(t) = 0.$ $Formula: \ddot{y}(t) + \tfrac{D}{m} \cdot y(t) = 0.$

Zeige, dass $Formula: y(t) = \hat{y} \cdot \cos(\omega \cdot t)$ $Formula: y(t) = \hat{y} \cdot \cos(\omega \cdot t)$ eine mögliche Lösung der Differenzialgleichung ist.

Bestimme die Schwingungsgleichung mit den Werten für $Formula: \hat{y}$ $Formula: \hat{y}$ und $Formula: \omega.$ $Formula: \omega.$ [zur Kontrolle: $Formula: y(t) = 0,12 \; \mathrm{m} \cdot \cos\left(7,85 \; \tfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right)$ $Formula: y(t) = 0,12 \; \mathrm{m} \cdot \cos\left(7,85 \; \tfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right)$ ].

8 BE

1.5

Berechne die Beträge der maximalen Geschwindigkeit und der maximalen Beschleunigung des Flugzeugs.

4 BE

Werden Reibungseffekte berücksichtigt, lässt sich die Bewegung des Schwerpunkts des Flugzeugs als gedämpfte Schwingung beschreiben. Der zeitliche Verlauf der Elongation dieser Schwingung ist in Material 2 wiedergegeben.

2.1

Gib die Koordinaten der vier Maxima des Graphen im dargestellten Zeitraum an und zeige, dass die Amplitude der Schwingung annähernd exponentiell abnimmt.

5 BE

2.2

Berechne mithilfe von Aufgabe 2.1 angegebenen Wertepaaren die Dämpfungskonstante Formula: k für eine gedämpfte Schwingung der Form $Formula: y(t) = \hat{y} \cdot \text{e}^{-k \cdot t} \cdot \cos(\omega \cdot t).$ $Formula: y(t) = \hat{y} \cdot \text{e}^{-k \cdot t} \cdot \cos(\omega \cdot t).$

4 BE

Anstelle der vertikalen Schwingung kann das Flugzeug auch in eine seitliche Pendelbewegung gebracht werden (Material 3). Die bei der Schwingung auftretende Dehnung der Feder soll vernachlässigt werden. Es wird somit angenommen, dass die Feder die Länge beibehält, die sie in der Gleichgewichtslage hat, und dass das Flugzeug wie ein Fadenpendel schwingt. Die Schwingungsdauer der seitlichen Pendelbewegung ist hierbei genau doppelt so groß wie die Schwingungsdauer der Federpendelschwingung. Die Auslenkung des Flugzeugs ist klein genug, dass die Fadenpendelschwingung als harmonisch angenommen werden kann.

3.1

Berechne mithilfe dieser Information sowie der Angaben zum Federpendel aus Aufgabe 1 die Länge der Feder von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt des Flugzeugs.

4 BE

3.2

Gib eine mögliche Veränderung des Aufbaus mithilfe von Knetmasse oder einem Faden an, sodass sich die Schwingungsdauer der seitlichen Pendelbewegung verändert, und begründe die Angabe.

3 BE

Um eine dauerhafte vertikale Schwingung zu erreichen, wird die Feder an einen Metallstift, der exzentrisch auf einer motorbetriebenen Scheibe befestigt ist (Material 4 a), aufgehängt. Die Anordnung aus Scheibe und Metallstift wird im Folgenden als Exzenterscheibe bezeichnet. Durch die Rotation der Exzenterscheibe (Material 4 b) wird das Pendel zu erzwungenen Schwingungen angeregt.

4.1

Beschreibe, wie die Amplitude $Formula: \hat{y}$ $Formula: \hat{y}$ der erzwungenen Schwingung von der Kreisfrequenz $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ des Motors abhängt, und stelle diese Abhängigkeit qualitativ in einem Diagramm dar.

6 BE

4.2

Die motorbetriebene Exzenterscheibe dreht sich gegen den Uhrzeigersinn. Der Blick auf die Exzenterscheibe ist in Material 4 b dargestellt. Die seitliche Bewegung des Metallstifts wird vernachlässigt, sodass das Pendel nur vertikal schwingt.

Beschreibe, wie die Phasenverschiebung zwischen dem Metallstift der Exzenterscheibe und der Position des Flugzeugs von der Kreisfrequenz abhängt, und skizziere jeweils die Exzenterscheibe mit der Position des Stifts, wenn sich das Flugzeug im unteren Umkehrpunkt der Pendelbewegung befindet

(A)	bei sehr langsamer Drehung der Exzenterscheibe,
(B)	bei sehr schneller Drehung der Exzenterscheibe,
(C)	bei der Kreisfrequenz, die zu einer maximalen Schwingungsamplitude des Flugzeugs führt.

3 BE

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1.1

Einzeichnen der Kräfte

Das Modellflugzeug befindet sich in der Gleichgewichtslage. Es wirken zwei gleich große, entgegengesetzt zueinander wirkende Kräfte, die Gewichtskraft und die Federkraft. Die Kraft $Formula: F_\text{Feder}$ $Formula: F_\text{Feder}$ wirkt nach senkrecht oben, $Formula: F_\text{Gewichtskraft}$ $Formula: F_\text{Gewichtskraft}$ senkrecht nach unten. Beide Kräftepfeile beginnen im Schwerpunkt des Flugzeugs.

Begründung der harmonischen Schwingung

Im ruhenden Zustand (Gleichgewichtslage) kompensieren sich die Gewichtskraft und die Federkraft exakt, die resultierende Kraft ist Formula: 0. Sobald das Flugzeug aus dieser Ruhelage ausgelenkt wird, ist die resultierende Kraft nicht mehr Formula: 0, es entsteht eine Rückstellkraft Formula: F_R, die in Richtung der Gleichgewichtslage wirkt. Für diese Kraft gilt gemäß dem Hooke'schen Gesetz $Formula: F_R = -D \cdot s.$ $Formula: F_R = -D \cdot s.$

Die Rückstellkraft Formula: F_R ist also direkt proportional zur Auslenkung Formula: s und wirkt ihr entgegengesetzt, somit erfüllt das System die notwendige Bedingung für eine harmonische Schwingung.

1.2

Die Federkonstante Formula: D lässt sich aus dem Gleichgewichtszustand herleiten. Da die Beträge von Federkraft und Gewichtskraft identisch sind, gilt:

$Formula: \begin{aligned}|F_{\mathrm{Feder}}| &= |F_{\text{Gewichtskraft}}| \\|-D \cdot s| &= |m \cdot g| \\D \cdot s &= m \cdot g\end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned}|F_{\mathrm{Feder}}| &= |F_{\text{Gewichtskraft}}| \\|-D \cdot s| &= |m \cdot g| \\D \cdot s &= m \cdot g\end{aligned}$

Durch Umstellen nach Formula: D und Einsetzen der Werte ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll}D & = & \dfrac{m \cdot g}{s} \\[5pt]& = & \dfrac{0,24 \; \mathrm{kg} \cdot 9,81 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}{0,159 \; \mathrm{m}} \\[5pt]& = & 14,8 \; \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}D & = & \dfrac{m \cdot g}{s} \\[5pt]& = & \dfrac{0,24 \; \mathrm{kg} \cdot 9,81 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}{0,159 \; \mathrm{m}} \\[5pt]& = & 14,8 \; \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{array}$

1.3

Energieformen

Die relevanten Energieformen sind:

Die kinetische Energie des Flugzeugs und
Die Spannenergie der Feder (potenzielle Federenergie).

Berechnung der Schwingungsdauer

Die Schwingungsdauer Formula: T eines Federpendels wird durch die Masse Formula: m und die Federhärte mit der Federkonstante Formula: D wie folgt bestimmt:

$Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}.$ $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}.$

Durch Einsetzen der gegebenen Werte ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll}T & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} \\[5pt]& = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{0,24 \; \mathrm{kg}}{14,8 \; \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}} \\[5pt]& = & 0,80 \; \mathrm{s}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}T & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} \\[5pt]& = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{0,24 \; \mathrm{kg}}{14,8 \; \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}} \\[5pt]& = & 0,80 \; \mathrm{s}\end{array}$

1.4

Lösen der Differenzialgleichung

Gegeben ist die Differenzialgleichung:

$Formula: \mathrm{(I)}$ $Formula: \mathrm{(I)}$ $Formula: \ddot{y}(t) + \frac{D}{m} \cdot y(t) = 0.$ $Formula: \ddot{y}(t) + \frac{D}{m} \cdot y(t) = 0.$

Sowie der Lösungsansatz:

$Formula: \mathrm{(II)}$ $Formula: \mathrm{(II)}$ $Formula: y(t) = \hat{y} \cdot \cos(\omega \cdot t).$ $Formula: y(t) = \hat{y} \cdot \cos(\omega \cdot t).$

Durch zweimaliges Ableiten von $Formula: \mathrm{(II)}$ $Formula: \mathrm{(II)}$ und Einsetzen von $Formula: \mathrm{(II)}$ $Formula: \mathrm{(II)}$ in die zweite Ableitung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll}\ddot{y}(t) & = & -\omega^2 \cdot \hat{y} \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt] & = & -\omega^2 \cdot y(t)\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}\ddot{y}(t) & = & -\omega^2 \cdot \hat{y} \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt] & = & -\omega^2 \cdot y(t)\end{array}$

Das lässt sich in $Formula: \mathrm{(I)}$ $Formula: \mathrm{(I)}$ einsetzen:

$Formula: \begin{array}{rll}-\omega^2 \cdot y(t) + \dfrac{D}{m} \cdot y(t) & = & 0 \\[5pt]\left( -\omega^2 + \dfrac{D}{m} \right) \cdot y(t) & = & 0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}-\omega^2 \cdot y(t) + \dfrac{D}{m} \cdot y(t) & = & 0 \\[5pt]\left( -\omega^2 + \dfrac{D}{m} \right) \cdot y(t) & = & 0\end{array}$

Diese Gleichung soll unabhängig von der Zeit Formula: t sein. Formula: y(t)=0 gilt jedoch nicht für alle Formula: t, somit muss der Term in der Klammer bereits Formula: 0 sein:

$Formula: \begin{array}{rll}-\omega^2 + \dfrac{D}{m} & = & 0 \\[5pt]\omega^2 & = & \dfrac{D}{m} \\[5pt]\omega & = & \sqrt{\dfrac{D}{m}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}-\omega^2 + \dfrac{D}{m} & = & 0 \\[5pt]\omega^2 & = & \dfrac{D}{m} \\[5pt]\omega & = & \sqrt{\dfrac{D}{m}}\end{array}$

Somit ist für $Formula: \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$ $Formula: \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$ die Funktion Formula: y(t) eine Lösung der Differenzialgleichung.

Bestimmen der Schwingungsgleichung

Um die Kreisfrequenz zu bestimmen, werden die gegebenen Werte in die Gleichung $Formula: \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$ $Formula: \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$ eingesetzt:

$Formula: \begin{array}{rll}\omega & = & \sqrt{\dfrac{D}{m}} \\[5pt]& = & \sqrt{\dfrac{14,8 \; \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}{0,24 \; \mathrm{kg}}} \\[5pt]& = & 7,85 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}\omega & = & \sqrt{\dfrac{D}{m}} \\[5pt]& = & \sqrt{\dfrac{14,8 \; \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}{0,24 \; \mathrm{kg}}} \\[5pt]& = & 7,85 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}}\end{array}$

Es ist $Formula: \hat{y} = 0,12 \; \mathrm{m}$ $Formula: \hat{y} = 0,12 \; \mathrm{m}$ gegeben. Somit folgt für die Schwingungsgleichung:

$Formula: \begin{array}{rll}y(t) & = & \hat{y} \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt]& = & 0,12 \; \mathrm{m} \cdot \cos\left(7,85 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right)\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}y(t) & = & \hat{y} \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt]& = & 0,12 \; \mathrm{m} \cdot \cos\left(7,85 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t\right)\end{array}$

1.5

Die Schwingungsgleichung Formula: y(t) ist die Ortsfunktion. Somit sind Geschwindigkeit und Beschleunigung die erste und zweite Ableitung dieser Ortsfunktion:

$Formula: v(t) = \dot{y}(t) = -\hat{y} \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: v(t) = \dot{y}(t) = -\hat{y} \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$

$Formula: a(t) = \ddot{y}(t) = -\hat{y} \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t)$ $Formula: a(t) = \ddot{y}(t) = -\hat{y} \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t)$

Die Maximalbeträge der Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung werden immer dann erreicht, wenn der Betrag der Sinus- bzw. Kosinusfunktion maximal ist. Dieser maximale Betrag der Sinus- bzw. Kosinusfunktion ist Formula: 1. Daraus folgt:

$Formula: |v_{\mathrm{max}}| = \hat{y} \cdot \omega$ $Formula: |v_{\mathrm{max}}| = \hat{y} \cdot \omega$

$Formula: |a_{\mathrm{max}}| = \hat{y} \cdot \omega^2$ $Formula: |a_{\mathrm{max}}| = \hat{y} \cdot \omega^2$

Durch Einsetzen ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll}v_{\max} & = & 0,12 \; \mathrm{m} \cdot 7,85 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt]& = & 0,94 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}v_{\max} & = & 0,12 \; \mathrm{m} \cdot 7,85 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt]& = & 0,94 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rll}a_{\max} & = & 0,12 \; \mathrm{m} \cdot \left(7,85 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt]& = & 7,4 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}a_{\max} & = & 0,12 \; \mathrm{m} \cdot \left(7,85 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt]& = & 7,4 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\end{array}$

2.1

Koordinaten der vier Maxima

Die Koordinaten der ersten vier Maxima lauten ungefähr:

$Formula: \mathrm{M}_1(0 \; \mathrm{s} \mid 12 \; \mathrm{cm})$ $Formula: \mathrm{M}_1(0 \; \mathrm{s} \mid 12 \; \mathrm{cm})$

$Formula: \mathrm{M}_2(0,8 \; \mathrm{s} \mid 10 \; \mathrm{cm})$ $Formula: \mathrm{M}_2(0,8 \; \mathrm{s} \mid 10 \; \mathrm{cm})$

$Formula: \mathrm{M}_3(1,6 \; \mathrm{s} \mid 8,2 \; \mathrm{cm})$ $Formula: \mathrm{M}_3(1,6 \; \mathrm{s} \mid 8,2 \; \mathrm{cm})$

$Formula: \mathrm{M}_4(2,4 \; \mathrm{s} \mid 6,8 \; \mathrm{cm})$ $Formula: \mathrm{M}_4(2,4 \; \mathrm{s} \mid 6,8 \; \mathrm{cm})$

Nachweis des exponentiellen Abfalls

Ein exponentieller Abfall liegt vor, wenn das Verhältnis aufeinanderfolgender Amplituden Formula: y_n an den Maxima über die Zeit konstant bleibt ( $Formula: \tfrac{y_{\mathrm{n+1}}}{y_n}$ $Formula: \tfrac{y_{\mathrm{n+1}}}{y_n}$ ). Somit ergibt sich:

$Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$	$Formula: \boldsymbol{y_n}$ $Formula: \boldsymbol{y_n}$ in $Formula: \boldsymbol{\text {cm}}$ $Formula: \boldsymbol{\text {cm}}$	$Formula: \boldsymbol{\tfrac{ \mathrm{y_{n+1}}}{ \mathrm{y_n}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{ \mathrm{y_{n+1}}}{ \mathrm{y_n}}}$

Da das Amplitudenverhältnis $Formula: \tfrac{y_{\mathrm{n+1}}}{y_n}$ $Formula: \tfrac{y_{\mathrm{n+1}}}{y_n}$ nahezu konstant und kleiner als 1 ist, handelt es sich um eine gedämpfte Schwingung mit exponentiellem Abklingverlauf.

2.2

Betrachtet werden nur die Maxima, somit gilt für diese Stellen $Formula: \cos \left(\omega \cdot t\right)=1$ $Formula: \cos \left(\omega \cdot t\right)=1$ . Daraus folgt, dass die Abnahme der Amplitude bei einer gedämpften Schwingung durch folgende Funktion beschrieben werden kann:

$Formula: y(t) = \hat{y}_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}$ $Formula: y(t) = \hat{y}_0 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}$

Dabei ist Formula: k die gesuchte Dämpfungskonstante. Aus dem Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Maxima zu den Zeitpunkten Formula: t_n und $Formula: t_{n+1}$ $Formula: t_{n+1}$ , lässt sich die Konstante isolieren:

$Formula: \begin{array}{rll}\dfrac{y_{n+1}}{y_n} & = & \dfrac{\hat{y}_0 \cdot \text{e}^{-k \cdot t_n}}{\hat{y}_0 \cdot \text{e}^{-k \cdot t_{n+1}}} \\[5pt]& = & \text{e}^{-k \cdot t_n - (-k \cdot t_{n+1})} \\[5pt]& = & \text{e}^{k \cdot (t_{n+1} - t_n)}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}\dfrac{y_{n+1}}{y_n} & = & \dfrac{\hat{y}_0 \cdot \text{e}^{-k \cdot t_n}}{\hat{y}_0 \cdot \text{e}^{-k \cdot t_{n+1}}} \\[5pt]& = & \text{e}^{-k \cdot t_n - (-k \cdot t_{n+1})} \\[5pt]& = & \text{e}^{k \cdot (t_{n+1} - t_n)}\end{array}$

Das kann nun nach der gesuchten Dämpfungskonstante Formula: k aufgelöst werden:

$Formula: k = \frac{\ln \left( \frac{\hat{y}_n}{\hat{y}_{\mathrm{n+1}}} \right)}{t_{\mathrm{n+1}} - t_n}.$ $Formula: k = \frac{\ln \left( \frac{\hat{y}_n}{\hat{y}_{\mathrm{n+1}}} \right)}{t_{\mathrm{n+1}} - t_n}.$

Hier lassen sich nun die Werte der in 2.1 abgelesenen Maxima einsetzen und damit Formula: k ausrechnen:

$Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$
$Formula: \boldsymbol{t_n}$ $Formula: \boldsymbol{t_n}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$
$Formula: \boldsymbol{y_n}$ $Formula: \boldsymbol{y_n}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}}$
$Formula: \boldsymbol{\mathrm{t}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{t}_{\mathrm{n}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{t}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{t}_{\mathrm{n}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$
$Formula: \boldsymbol{\frac{ \mathrm{y_{n+1}}}{ \mathrm{y_n}}}$ $Formula: \boldsymbol{\frac{ \mathrm{y_{n+1}}}{ \mathrm{y_n}}}$
$Formula: \boldsymbol{k}$ $Formula: \boldsymbol{k}$ in $Formula: \boldsymbol{\frac{1}{\mathrm{s}}}$ $Formula: \boldsymbol{\frac{1}{\mathrm{s}}}$

Nun muss nur noch der Mittelwert der Dämpfungskonstanten Formula: k bestimmt werden:

$Formula: \begin{array}{rll}\overline{k} & = & \dfrac{0,23 + 0,25 + 0,23}{3} \; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt]& = & 0,24 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}\overline{k} & = & \dfrac{0,23 + 0,25 + 0,23}{3} \; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \\[5pt]& = & 0,24 \; \dfrac{1}{\mathrm{s}}\end{array}$

3.1

Zuerst muss die Schwingungsdauer $Formula: T_{\text {Faden}}$ $Formula: T_{\text {Faden}}$ des Fadens berechnet werden. Diese ist doppelt so groß wie die Schwingungsdauer $Formula: T_{\text {Feder }}$ $Formula: T_{\text {Feder }}$ für das Federpendel aus Teilaufgabe 1.3:

$Formula: \begin{array}{rll}T_{\mathrm{Faden}} & = & 2 \cdot T_{\mathrm{Feder}} \\[5pt]& = & 2 \cdot 0,8 \; \mathrm{s} \\[5pt]& = & 1,6 \; \mathrm{s}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}T_{\mathrm{Faden}} & = & 2 \cdot T_{\mathrm{Feder}} \\[5pt]& = & 2 \cdot 0,8 \; \mathrm{s} \\[5pt]& = & 1,6 \; \mathrm{s}\end{array}$

Für die Periodendauer $Formula: T_{\text {Faden}}$ $Formula: T_{\text {Faden}}$ eines Fadenpendels gilt bei kleinen Auslenkungen:

$Formula: T_{\text {Faden}}=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{\ell}{\mathrm{g}}}.$ $Formula: T_{\text {Faden}}=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{\ell}{\mathrm{g}}}.$

Durch Umstellen der Formel nach der gesuchten Länge $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ und Einsetzen der Werte ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll}\ell & = & g \cdot \left( \dfrac{T_{\mathrm{Faden}}}{2\pi} \right)^2 \\[5pt]& = & 9,81 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot \left( \dfrac{1,6 \; \mathrm{s}}{2\pi} \right)^2 \\[5pt]& = & 0,64 \; \mathrm{m}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll}\ell & = & g \cdot \left( \dfrac{T_{\mathrm{Faden}}}{2\pi} \right)^2 \\[5pt]& = & 9,81 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot \left( \dfrac{1,6 \; \mathrm{s}}{2\pi} \right)^2 \\[5pt]& = & 0,64 \; \mathrm{m}\end{array}$ .

Die effektive Länge von der Aufhängung bis zum Massenmittelpunkt des Flugzeugs beträgt somit circa $Formula: 64 \; \mathrm{cm} .$ $Formula: 64 \; \mathrm{cm} .$

3.2

Aus $Formula: T_{\mathrm{Faden}} = 2\pi \cdot \sqrt{\tfrac{\ell}{g}}$ $Formula: T_{\mathrm{Faden}} = 2\pi \cdot \sqrt{\tfrac{\ell}{g}}$ folgt $Formula: T_{\text {Faden}} \sim \sqrt{\ell},$ $Formula: T_{\text {Faden}} \sim \sqrt{\ell},$ eine größere Fadenlänge $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ führt somit zu einer längeren Schwingungsdauer $Formula: T_{\text {Faden}}.$ $Formula: T_{\text {Faden}}.$

Änderung der Fadenlänge $Formula: \boldsymbol{\ell}$ $Formula: \boldsymbol{\ell}$ durch anderen Faden

Eine Verlängerung des Fadens führt zu einer größeren Fadenlänge $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ und somit zu einer längeren Schwingungsdauer $Formula: T_{\text {Faden}}.$ $Formula: T_{\text {Faden}}.$
Eine Verkürzung des Fadens führt zu einer kürzeren Schwingungsdauer $Formula: T_{\text {Faden}}.$ $Formula: T_{\text {Faden}}.$

Änderung der Fadenlänge $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ durch Knetmasse

Eine Knetmasse unter dem Flugzeug führt zu einer größeren Pendellänge $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ und somit zu einer längeren Schwingungsdauer $Formula: T_{\text {Faden}}.$ $Formula: T_{\text {Faden}}.$
Eine Knetmasse über dem Flugzeug führt zu einer kürzeren Schwingungsdauer $Formula: T_{\text {Faden}}.$ $Formula: T_{\text {Faden}}.$

4.1

Bei diesem Versuch handelt es sich um eine erzwungene Schwingung. Das Verhalten der Amplitude $Formula: \hat{y}$ $Formula: \hat{y}$ lässt sich in Abhängigkeit vom Verhältnis zwischen der Erregerfrequenz $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ und der Eigenfrequenz $Formula: \omega_0$ $Formula: \omega_0$ des Pendels in drei charakteristische Bereiche unterteilen:

$Formula: \omega \ll \omega_0$ $Formula: \omega \ll \omega_0$ : Rotiert der Motor sehr langsam, kann das Modellflugzeug der Bewegung des Erregers fast unmittelbar folgen. Die resultierende Amplitude bleibt gering und entspricht in etwa der Amplitude der Anregung (dem Radius der Exzenterscheibe).
$Formula: \omega \approx \omega_0$ $Formula: \omega \approx \omega_0$ : Nähert sich die Erregerfrequenz der Eigenfrequenz der Schwingung, kommt es zur Resonanz. Die äußere Anregung durch den Motor und die natürliche Schwingbewegung verstärken sich gegenseitig, wodurch die Amplitude stark ansteigt und ihren Maximalwert erreicht.
$Formula: \omega \gg \omega_0$ $Formula: \omega \gg \omega_0$ : Bei einer sehr schnellen Drehung des Motors kann das Flugzeug aufgrund seiner Trägheit der Bewegung nicht mehr zeitnah folgen. Das Pendel bleibt hinter der Erregung zurück, was dazu führt, dass die Amplitude bei steigender Frequenz wieder deutlich abnimmt.

Diese Abhängigkeiten können qualitativ in einem Diagramm dargestellt werden:

Diagramm: Amplitude ŷ gegen Kreisfrequenz ω, Resonanzpeak bei ω₀ (gestrichelte Linie)

Dabei ist $Formula: \omega_0$ $Formula: \omega_0$ die Eigenfrequenz der Schwingung.

4.2

Abhängigkeit der Phasenverschiebung von der Kreisfrequenz $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\omega}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\omega}}$

Die Phasenverschiebung $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ beschreibt, wie stark die Schwingung des Flugzeugs gegenüber der Bewegung des Erregerstifts zeitlich verzögert ist und hängt von der Anregungsfrequenz $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ ab.

Fall A, $Formula: \omega \ll \omega_0:$ $Formula: \omega \ll \omega_0:$

Das Flugzeug folgt dem Stift fast synchron, die Phasenverschiebung beträgt $Formula: \varphi \approx 0^\circ$ $Formula: \varphi \approx 0^\circ$ (sie schwingen in Phase).
Fall B, $Formula: \omega \gg \omega_0:$ $Formula: \omega \gg \omega_0:$

Das Flugzeug und der Stift bewegen sich fast gegenläufig, die Phasenverschiebung beträgt $Formula: \varphi \approx 180^{\circ}$ $Formula: \varphi \approx 180^{\circ}$ (sie schwingen in Gegenphase).
Fall C, $Formula: \omega \approx \omega_0:$ $Formula: \omega \approx \omega_0:$

Es tritt Resonanz auf, das Flugzeug hinkt dem Stift somit fast um eine Viertelperiode hinterher. Die Phasenverschiebung beträgt $Formula: \varphi \approx 90^{\circ}.$ $Formula: \varphi \approx 90^{\circ}.$