Vorschlag B2 — Horizontaler Federschwinger und Glocke

Material 1 zeigt einen horizontalen Federschwinger mit der Masse $Formula: m = 10\;\mathrm{g}$ $Formula: m = 10\;\mathrm{g}$ und der Federkonstanten $Formula: D = 1\;\mathrm{\tfrac{N}{m}}.$ $Formula: D = 1\;\mathrm{\tfrac{N}{m}}.$ Die Masse der Feder ist zu vernachlässigen. Zum Zeitpunkt $Formula: t = 0\;\mathrm{s}$ $Formula: t = 0\;\mathrm{s}$ ist das Massestück um die Strecke $Formula: x_{\mathrm{0}} = 5\;\mathrm{cm}$ $Formula: x_{\mathrm{0}} = 5\;\mathrm{cm}$ aus der Ruhelage ausgelenkt und wird losgelassen.

1.1

Die Bewegung des Massestücks kann bei Vernachlässigung von Reibung mithilfe der Differenzialgleichung $Formula: m \cdot \ddot{x}(t) = -D \cdot x(t)$ $Formula: m \cdot \ddot{x}(t) = -D \cdot x(t)$ beschrieben werden.

Erläutere beide Seiten dieser Gleichung unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens auf der rechten Seite der Gleichung.

3 BE

1.2

Leite mithilfe eines geeigneten Lösungsansatzes für die Differenzialgleichung in Aufgabe 1.1 eine Formel zur Berechnung der Frequenz Formula: f eines horizontalen Federschwingers her.

Berechne die Frequenz der Schwingung und die maximale Beschleunigung des Massestücks.

[zur Kontrolle: $Formula: f = 1,59\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = 1,59\;\mathrm{Hz}$ ]

9 BE

1.3

Aufgrund von Reibung ist die Schwingung des Massestücks exponentiell gedämpft. Die gedämpfte Schwingung ist in Material 2 dargestellt.

Gib die allgemeine Form einer Schwingungsgleichung für die gedämpfte Schwingung an und bestimme die Dämpfungskonstante.

5 BE

Mithilfe der Eigenschaften einer harmonischen Schwingung soll nun das Verhalten einer großen Glocke näher betrachtet werden. Durch das Anschlagen einer Glocke wird diese kurzzeitig deformiert. Stark vereinfacht kann angenommen werden, dass die Oberfläche an einigen Stellen mit der Frequenz $Formula: f = 550\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = 550\;\mathrm{Hz}$ harmonisch nach innen und nach außen schwingt, wie der Federschwinger nach links und rechts schwingt. Die Dämpfung soll vernachlässigt werden. Die Schallgeschwindigkeit beträgt $Formula: c = 340\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}.$ $Formula: c = 340\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}.$

2.1

Erläutere, wie die Schwingung der Oberfläche auf die Luft übertragen wird und wie das menschliche Trommelfell zu Schwingungen angeregt wird.

Gib an, ob es sich bei Schallwellen in Luft um longitudinale oder transversale Wellen handelt, und berechne die Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ der Schallwelle der Glocke.

[zur Kontrolle: $Formula: \lambda = 0,62\;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda = 0,62\;\mathrm{m}$ ]

5 BE

2.2

Ein Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit $Formula: v = 10\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v = 10\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ auf die Glocke zubewegt, hört eine andere Frequenz als $Formula: f = 550\;\mathrm{Hz}.$ $Formula: f = 550\;\mathrm{Hz}.$

Leite eine Formel zur Berechnung der vom Beobachter wahrgenommenen Frequenz her und berechne diese.

5 BE

Eine genauere Betrachtung der Glocke zeigt, dass die Schwingungen an verschiedenen Stellen der Oberfläche phasenverschoben sind. In Material 3 ist eine Glocke dargestellt, auf deren unteren Rand ein Finger zeigt. Material 4 zeigt die Deformation dieses kreisförmigen Rands der Glocke von oben. Durch Anschlagen wird dieser kurzzeitig zur Ellipse verformt, dabei im Punkt Formula: Q nach außen und im Punkt Formula: P nach innen ausgelenkt. Danach schwingt der Rand der Glocke in beiden Punkten harmonisch weiter. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass der Rand der Glocke nur an den Punkten und schwingt und dass der Schall von dort gleichmäßig in alle Richtungen abgestrahlt wird. Die Abnahme der Schallintensität mit der Entfernung soll vernachlässigt werden.

3.1

Berechne die Schwingungsdauer Formula: T einer Schwingung der Frequenz $Formula: f = 550\;\mathrm{Hz}.$ $Formula: f = 550\;\mathrm{Hz}.$ Stelle – unter Berücksichtigung der Phasenverschiebung – den zeitlichen Verlauf der Schwingungen in den Punkten Formula: P und Formula: Q für diese Frequenz gemeinsam in einem Diagramm grafisch dar. Dabei soll jeweils eine Periode zu sehen sein. Wähle als Amplitude für beide Schwingungen eine Längeneinheit.

5 BE

3.2

Geht man entlang eines Kreisbogens mit dem Radius $Formula: r = 5\;\mathrm{m}$ $Formula: r = 5\;\mathrm{m}$ um das Zentrum der Glocke herum, registriert man Minima und Maxima der Schallintensität, die in Material 5 durch „min“ und „max“ gekennzeichnet sind. Kreisbogen und Rand der Glocke befinden sich in einer Ebene.

3.2.1

Erkläre, wodurch die Minima und Maxima der Schallintensität entlang des Kreisbogens entstehen.

Erläutere, dass unter dem in Material 5 angezeigten Winkel von $Formula: 45^\circ$ $Formula: 45^\circ$ ein Minimum in der Schallintensität registriert wird.

5 BE

3.2.2

Berechne die Koordinaten des mit „max“ gekennzeichneten Punkts in Material 5. Bestätige, dass sich dort ein Maximum der Schallintensität befindet.

Gib einen anderen Winkel an, unter dem ein weiteres Maximum der Schallintensität zu finden ist.

[zur Kontrolle: $Formula: x_{\mathrm{max}} = 1,792\;\mathrm{m};$ $Formula: x_{\mathrm{max}} = 1,792\;\mathrm{m};$ $Formula: y_{\mathrm{max}} = 4,668\;\mathrm{m}$ $Formula: y_{\mathrm{max}} = 4,668\;\mathrm{m}$ ]

9 BE

Von den Punkten Formula: P und Formula: Q werden Schallwellen mit unterschiedlichen Frequenzen ausgesandt, da die Oberfläche der Glocke leicht deformiert und nicht exakt gleichmäßig ausgebildet ist. An der Stelle schwingt die Glocke mit der Frequenz $Formula: f_{\mathrm{1}} = 551\;\mathrm{Hz},$ $Formula: f_{\mathrm{1}} = 551\;\mathrm{Hz},$ an der Stelle Formula: Q mit der Frequenz $Formula: f_{\mathrm{2}} = 549\;\mathrm{Hz}.$ $Formula: f_{\mathrm{2}} = 549\;\mathrm{Hz}.$ An verschiedenen Positionen ist eine Schwebung hörbar.

Erläutere das Zustandekommen der Schwebung.

Berechne die für den Beobachter wahrnehmbare Schwebungsfrequenz.

4 BE

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1.1

Der Term auf der linken Seite der Gleichung stammt aus dem zweiten Newton'schen Axiom $Formula: F = m \cdot a.$ $Formula: F = m \cdot a.$ Dabei entspricht die Beschleunigung Formula: a (bzw. $Formula: \ddot{x}(t)$ $Formula: \ddot{x}(t)$ ) der zweiten zeitlichen Ableitung des Weges. Der Term auf der rechten Seite der Gleichung entspricht dem Hooke'schen Gesetz $Formula: F = D \cdot x.$ $Formula: F = D \cdot x.$ Das negative Vorzeichen drückt aus, dass die wirkende Federkraft der Auslenkung stets entgegengerichtet ist und somit als Rückstellkraft wirkt.

1.2

Herleiten einer Formel für die Frequenz

Für die Herleitung wird ein geeigneter Lösungsansatz für die Differenzialgleichung gewählt, beispielsweise eine Kosinus-Funktion:

$Formula: x(t) = x_0 \cdot \cos(\omega \cdot t)$ $Formula: x(t) = x_0 \cdot \cos(\omega \cdot t)$

Die erste und zweite zeitliche Ableitung dieses Ansatzes lauten:

$Formula: \dot{x}(t) = -x_0 \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: \dot{x}(t) = -x_0 \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$

$Formula: \ddot{x}(t) = -x_0 \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t)$ $Formula: \ddot{x}(t) = -x_0 \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t)$

Durch Einsetzen der zweiten Ableitung sowie des ursprünglichen Ansatzes in die Differenzialgleichung aus Aufgabe 1.1 ergibt sich:

$Formula: -m \cdot x_0 \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t) = -D \cdot x_0 \cdot \cos(\omega \cdot t)$ $Formula: -m \cdot x_0 \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t) = -D \cdot x_0 \cdot \cos(\omega \cdot t)$

Diese Gleichung ist für alle Zeiten Formula: t erfüllt, wenn die Bedingung $Formula: m \cdot \omega^2 = D$ $Formula: m \cdot \omega^2 = D$ gilt.

Mit der Beziehung für die Kreisfrequenz $Formula: \omega = 2 \pi \cdot f$ $Formula: \omega = 2 \pi \cdot f$ folgt durch Einsetzen und Umstellen nach der Frequenz $Formula: f\text{:}$ $Formula: f\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m \cdot \omega^{2} &= D \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{m} \\[5pt] \omega^{2} &= \dfrac{D}{m} \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt] \omega &= \sqrt{\dfrac{D}{m}} \quad&\mid \omega = 2 \pi \cdot f \\[5pt] 2\pi \cdot f&=\sqrt{\dfrac{D}{m}} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{2 \cdot \pi} \\[5pt] f &= \dfrac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \sqrt{\dfrac{D}{m}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m \cdot \omega^{2} &= D \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{m} \\[5pt] \omega^{2} &= \dfrac{D}{m} \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt] \omega &= \sqrt{\dfrac{D}{m}} \quad&\mid \omega = 2 \pi \cdot f \\[5pt] 2\pi \cdot f&=\sqrt{\dfrac{D}{m}} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{2 \cdot \pi} \\[5pt] f &= \dfrac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \sqrt{\dfrac{D}{m}} \end{array}$

Berechnen der Frequenz

Durch Einsetzen der gegebenen Werte $Formula: D = 1 \; \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D = 1 \; \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ und der Masse $Formula: m = 10 \; \mathrm{g} = 0,01 \; \mathrm{kg}$ $Formula: m = 10 \; \mathrm{g} = 0,01 \; \mathrm{kg}$ in die gerade hergeleitete Formel ergibt sich:

$Formula: f = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\frac{1 \; \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}{0,01 \; \mathrm{kg}}} = 1,59 \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\frac{1 \; \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}{0,01 \; \mathrm{kg}}} = 1,59 \; \mathrm{Hz}$

Berechnen der maximalen Beschleunigung

Gemäß der Funktion für die Beschleunigung $Formula: \ddot{x}(t) = -x_0 \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t)$ $Formula: \ddot{x}(t) = -x_0 \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega \cdot t)$ ist der Betrag der Beschleunigung maximal, wenn $Formula: \cos(\omega \cdot t)\pm 1$ $Formula: \cos(\omega \cdot t)\pm 1$ ist. Daraus folgt:

$Formula: a_{\mathrm{max}} = x_0 \cdot \omega^2= 4 \pi^2 \cdot f^2 \cdot x_0$ $Formula: a_{\mathrm{max}} = x_0 \cdot \omega^2= 4 \pi^2 \cdot f^2 \cdot x_0$

Das Einsetzen der Frequenz und der Auslenkung zu Beginn ( $Formula: x_0 = 5 \; \mathrm{cm} = 0,05 \; \mathrm{m}$ $Formula: x_0 = 5 \; \mathrm{cm} = 0,05 \; \mathrm{m}$ ) liefert:

$Formula: a_{\mathrm{max}} = 4 \pi^2 \cdot (1,59 \; \mathrm{Hz})^2 \cdot 0,05 \; \mathrm{m} = 5,0 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ $Formula: a_{\mathrm{max}} = 4 \pi^2 \cdot (1,59 \; \mathrm{Hz})^2 \cdot 0,05 \; \mathrm{m} = 5,0 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

1.3

Die allgemeine Form der Schwingungsgleichung für eine gedämpfte Schwingung lautet:

$Formula: x(t) = x_0 \cdot \cos(\omega \cdot t) \cdot \text{e}^{-k \cdot t}$ $Formula: x(t) = x_0 \cdot \cos(\omega \cdot t) \cdot \text{e}^{-k \cdot t}$

Aus dem Diagramm in Material 2 lassen sich geeignete Werte ablesen. Nach einer Periodendauer von $Formula: T = 0,63 \; \mathrm{s}$ $Formula: T = 0,63 \; \mathrm{s}$ beträgt die Auslenkung (der erste Hochpunkt nach dem Start) $Formula: x(T) = 0,032 \; \mathrm{m}.$ $Formula: x(T) = 0,032 \; \mathrm{m}.$

Da der Kosinus an den Hochpunkten den Wert Formula: 1 annimmt, folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,032\; \mathrm{m} &= 0,05\; \mathrm{m} \cdot \text{e}^{-k \cdot 0,63\; \mathrm{s}} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{0,05\; \mathrm{m}} \\[5pt] \dfrac{0,032}{0,05} &= \text{e}^{-k \cdot 0,63\; \mathrm{s}} \quad&\mid \ln(\;) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{0,032}{0,05}\right) &= -k \cdot 0,63\; \mathrm{s} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{-0,63\; \mathrm{s}} \\[5pt] k &= -\dfrac{\ln\left(\tfrac{0,032}{0,05}\right)}{0,63\; \mathrm{s}} \\[5pt] k &= 0,71\; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,032\; \mathrm{m} &= 0,05\; \mathrm{m} \cdot \text{e}^{-k \cdot 0,63\; \mathrm{s}} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{0,05\; \mathrm{m}} \\[5pt] \dfrac{0,032}{0,05} &= \text{e}^{-k \cdot 0,63\; \mathrm{s}} \quad&\mid \ln(\;) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{0,032}{0,05}\right) &= -k \cdot 0,63\; \mathrm{s} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{-0,63\; \mathrm{s}} \\[5pt] k &= -\dfrac{\ln\left(\tfrac{0,032}{0,05}\right)}{0,63\; \mathrm{s}} \\[5pt] k &= 0,71\; \dfrac{1}{\mathrm{s}} \end{array}$

2.1

Erläuterung zur Schallausbreitung und zum Hören

Die periodisch schwingende Oberfläche der Glocke stößt mit den direkt angrenzenden Luftmolekülen zusammen. Infolgedessen werden diese Luftmoleküle zu periodischen Bewegungen angeregt. Aufgrund der Wechselwirkung der Luftmoleküle untereinander entsteht eine sich räumlich ausbreitende Welle in Form von Druck- beziehungsweise Dichteschwankungen in der Luft. Treffen diese ankommenden Druckschwankungen auf das menschliche Ohr, regen sie dort das Trommelfell zu Schwingungen an.

Wellenart und Berechnung der Wellenlänge

Bei Schallwellen in der Luft handelt es sich um longitudinale Wellen.

Die Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ der abgestrahlten Schallwelle berechnet sich über den Zusammenhang $Formula: \lambda = \tfrac{c}{f}.$ $Formula: \lambda = \tfrac{c}{f}.$

Durch Einsetzen der Werte ( $Formula: c = 340 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: c = 340 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ und $Formula: f = 550 \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f = 550 \; \mathrm{Hz}$ ) resultiert:

$Formula: \lambda = \frac{340 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{550 \; \mathrm{Hz}} = 0,62 \; \mathrm{m}$ $Formula: \lambda = \frac{340 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{550 \; \mathrm{Hz}} = 0,62 \; \mathrm{m}$

2.2

Herleiten der Formel

Da sich der Beobachter mit der Geschwindigkeit Formula: v direkt auf die ruhende Schallquelle (Glocke) zubewegt, erreichen ihn die eintreffenden Schallwellenfronten mit der erhöhten Geschwindigkeit Formula: c + v. Für die vom Beobachter registrierte Frequenz $Formula: f_{\mathrm{B}}$ $Formula: f_{\mathrm{B}}$ gilt somit die angepasste Gleichung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{\mathrm{B}} &= \dfrac{c + v}{\lambda} \quad&\mid \lambda = \dfrac{c}{f} \\[5pt] f_{\mathrm{B}} &= \dfrac{c + v}{\tfrac{c}{f}} \\[5pt] f_{\mathrm{B}} &= \dfrac{(c + v) }{c} \cdot f \\[5pt] f_{\mathrm{B}} &= f \cdot \left(1 + \dfrac{v}{c}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{\mathrm{B}} &= \dfrac{c + v}{\lambda} \quad&\mid \lambda = \dfrac{c}{f} \\[5pt] f_{\mathrm{B}} &= \dfrac{c + v}{\tfrac{c}{f}} \\[5pt] f_{\mathrm{B}} &= \dfrac{(c + v) }{c} \cdot f \\[5pt] f_{\mathrm{B}} &= f \cdot \left(1 + \dfrac{v}{c}\right) \end{array}$

Berechnen der wahrgenommenen Frequenz

Unter Verwendung der Ausgangsfrequenz $Formula: f = 550 \; \mathrm{Hz},$ $Formula: f = 550 \; \mathrm{Hz},$ der Geschwindigkeit des Beobachters $Formula: v = 10 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 10 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ und der Schallgeschwindigkeit $Formula: c = 340 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: c = 340 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ lässt sich der Wert bestimmen:

$Formula: f_{\mathrm{B}} = 550 \; \mathrm{Hz} \cdot \left(1 + \frac{10 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{340 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\right) \approx 566 \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f_{\mathrm{B}} = 550 \; \mathrm{Hz} \cdot \left(1 + \frac{10 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{340 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\right) \approx 566 \; \mathrm{Hz}$

3.1

Die Schwingungsdauer Formula: T berechnet sich aus dem Kehrwert der Frequenz $Formula: f = 550 \;\mathrm{Hz}\text{:}$ $Formula: f = 550 \;\mathrm{Hz}\text{:}$

$Formula: T = \frac{1}{f} = \frac{1}{550 \;\mathrm{Hz}} = 1,82 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{s} = 1,82 \;\mathrm{ms}$ $Formula: T = \frac{1}{f} = \frac{1}{550 \;\mathrm{Hz}} = 1,82 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{s} = 1,82 \;\mathrm{ms}$

Damit kann der zeitlichen Verlauf der Schwingungen in einem Diagramm grafisch dargestellt werden:

Diagramm mit zwei Sinuskurven (durchgezogene und gestrichelte) auf Gitternetz, Achsenbeschriftung y in b.E. und t in ms.

3.2

3.2.1

Erklären der Minima und Maxima

Die von den Randpunkten Formula: P und Formula: Q ausgehenden Schallwellen breiten sich im Raum aus und überlagern sich in jedem Punkt des Raums. Wenn an einem Punkt auf dem vorgegebenen Kreisbogen zwei Wellenberge beider Wellen aufeinandertreffen, findet konstruktive Interferenz statt und es entsteht ein Intensitätsmaximum. Treffen hingegen ein Wellenberg und ein Wellental aufeinander, interferieren die Wellen destruktiv, was zu einem Intensitätsminimum führt.

Erläuterung des Minimums bei $Formula: \boldsymbol{45^\circ}$ $Formula: \boldsymbol{45^\circ}$

Unter dem Winkel von $Formula: 45^\circ$ $Formula: 45^\circ$ ist die räumliche Entfernung von den Punkten Formula: P und Formula: Q zu dem betrachteten Punkt auf dem Kreisbogen exakt gleich groß. Aufgrund der identischen Wegstrecken treffen die beiden Wellen an diesem Ort ohne Gangunterschied ( $Formula: \Delta s = 0$ $Formula: \Delta s = 0$ ) aufeinander. Da die Schwingungen in und jedoch bereits mit einer Phasenverschiebung von $Formula: 180^\circ$ $Formula: 180^\circ$ starten, weisen sie am Ort des Zusammentreffens weiterhin diese entgegengesetzte Phase auf. Infolgedessen interferieren sie destruktiv, wodurch dort ein Minimum registriert wird.

3.2.2

Berechnen der Koordinaten

Aus Material 5 lässt sich ablesen, dass das mit „max“ markierte Maximum bei einem Winkel von $Formula: 45^\circ + 24^\circ = 69^\circ$ $Formula: 45^\circ + 24^\circ = 69^\circ$ liegt. Mit dem Radius $Formula: r = 5 \;\mathrm{m}$ $Formula: r = 5 \;\mathrm{m}$ ergeben sich die Koordinaten durch trigonometrische Beziehungen:

$Formula: x_{\mathrm{max}} = 5 \;\mathrm{m} \cdot \cos(69^\circ) = 1,792 \;\mathrm{m}$ $Formula: x_{\mathrm{max}} = 5 \;\mathrm{m} \cdot \cos(69^\circ) = 1,792 \;\mathrm{m}$

$Formula: y_{\mathrm{max}} = 5 \;\mathrm{m} \cdot \sin(69^\circ) = 4,668 \;\mathrm{m}$ $Formula: y_{\mathrm{max}} = 5 \;\mathrm{m} \cdot \sin(69^\circ) = 4,668 \;\mathrm{m}$

Bestätigen des Maximums

Um zu überprüfen, ob es sich um ein Maximum handelt, werden die jeweiligen Entfernungen von den Schwingungszentren $Formula: Q (0,5 \mid 0)$ $Formula: Q (0,5 \mid 0)$ und $Formula: P (0 \mid 0,5)$ $Formula: P (0 \mid 0,5)$ zu dem berechneten Punkt bestimmt.

Die Entfernung zum Punkt Formula: Q beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} d_{{Q}} &=& \sqrt{(1,792\;\mathrm{m} - 0,5\;\mathrm{m})^2 + (4,668\;\mathrm{m} )^2} \\[5pt] &=& 4,843\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} d_{{Q}} &=& \sqrt{(1,792\;\mathrm{m} - 0,5\;\mathrm{m})^2 + (4,668\;\mathrm{m} )^2} \\[5pt] &=& 4,843\;\mathrm{m} \end{array}$

Die Entfernung zum Punkt Formula: P beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} d_{{P}} &=& \sqrt{(1,792\;\mathrm{m} )^2 + (4,668\;\mathrm{m} - 0,5\;\mathrm{m})^2} \\[5pt] &=& 4,537\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} d_{{P}} &=& \sqrt{(1,792\;\mathrm{m} )^2 + (4,668\;\mathrm{m} - 0,5\;\mathrm{m})^2} \\[5pt] &=& 4,537\;\mathrm{m} \end{array}$

Daraus folgt für den Gangunterschied $Formula: \Delta s \text{:}$ $Formula: \Delta s \text{:}$

$Formula: \Delta s = 4,843 \;\mathrm{m} - 4,537 \;\mathrm{m} = 0,307 \;\mathrm{m}$ $Formula: \Delta s = 4,843 \;\mathrm{m} - 4,537 \;\mathrm{m} = 0,307 \;\mathrm{m}$

Dieser errechnete Gangunterschied von $Formula: 0,307 \;\mathrm{m}$ $Formula: 0,307 \;\mathrm{m}$ entspricht ungefähr der Hälfte der Wellenlänge $Formula: \tfrac{\lambda}{2} = 0,31 \;\mathrm{m}.$ $Formula: \tfrac{\lambda}{2} = 0,31 \;\mathrm{m}.$ Weil die beiden Wellen an den Punkten Formula: P und Formula: Q zusätzlich mit einer Phasendifferenz von $Formula: 180^\circ$ $Formula: 180^\circ$ emittiert werden, addieren sich diese Effekte auf. Insgesamt ergibt sich somit eine konstruktive Interferenz, wodurch an dieser Stelle korrekterweise ein Maximum der Schallintensität vorliegt.

Angabe eines weiteren Maximums

Aufgrund der geometrischen Symmetrie der Anordnung (Spiegelung an der $Formula: 45^\circ$ $Formula: 45^\circ$ -Achse) ist ein weiteres Maximum der Schallintensität unter dem Winkel von $Formula: 21^\circ$ $Formula: 21^\circ$ zu finden.

Erläuterung der Schwebung

An verschiedenen Positionen im Raum überlagern sich die von den Punkten Formula: P und Formula: Q ausgehenden Schallwellen. Da die Oberfläche der Glocke leicht deformiert ist, weisen diese beiden Wellen leicht unterschiedliche Frequenzen auf, wodurch sich ihre Phasendifferenz an einem Punkt im Raum über die Zeit hinweg langsam verschiebt. Somit ändert sich die Amplitude der resultierenden Welle (resultierende Amplitude), die nach dem Superpositionsprinzip durch das Addieren der Amplituden der einzelnen Wellen entsteht, auch langsam. Diese wahrnehmbare periodische Intensitätsschwankung zwischen konstruktiver und destruktiver Interferenz wird als Schwebung bezeichnet.

Berechnung der Schwebungsfrequenz

Die Frequenz dieser Intensitätsschwankung – also die Schwebungsfrequenz $Formula: f_{\mathrm{S}}$ $Formula: f_{\mathrm{S}}$ – entspricht exakt der Differenz der beiden Ausgangsfrequenzen $Formula: f_{\mathrm{S}} = f_1 - f_2.$ $Formula: f_{\mathrm{S}} = f_1 - f_2.$

Durch Einsetzen der gegebenen Frequenzen ( $Formula: f_1 = 551 \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f_1 = 551 \; \mathrm{Hz}$ und $Formula: f_2 = 549 \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f_2 = 549 \; \mathrm{Hz}$ ) ergibt sich für die wahrnehmbare Schwebungsfrequenz:

$Formula: f_{\mathrm{S}} = 551 \; \mathrm{Hz} - 549 \; \mathrm{Hz} = 2 \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f_{\mathrm{S}} = 551 \; \mathrm{Hz} - 549 \; \mathrm{Hz} = 2 \; \mathrm{Hz}$