Vorschlag A2 — Röntgenstrahlung und die Drehkristallmethode

Vor über hundert Jahren hat Wilhelm C. Röntgen die nach ihm benannte Röntgenstrahlung entdeckt. Sie wird heute vielfältig in Wissenschaft, Technik und Medizin eingesetzt.

Röntgenröhren, in denen beschleunigte Elektronen auf eine Anode beispielsweise aus Kupfer oder Molybdän geschossen werden, dienen der Erzeugung von Röntgenstrahlung. Zur spektralen Untersuchung von Röntgenstrahlung wird im Folgenden die Drehkristallmethode verwendet, die unter anderem von den Physikern William L. Bragg und William H. Bragg entwickelt wurde.

1.1

Skizziere und beschrifte den Aufbau einer Röntgenröhre.

Beschreibe die Funktionen der angelegten Spannungen.

5 BE

1.2

Eine Röntgenröhre wird mit einer Beschleunigungsspannung von $Formula: U_{a}=30\;\text{kV}$ $Formula: U_{a}=30\;\text{kV}$ betrieben.

Berechne unter der Annahme, dass alle Elektronen vor der Beschleunigung eine zu vernachlässigende Geschwindigkeit besitzen, mit einem nichtrelativistischen Ansatz die Geschwindigkeit Formula: v, mit der die Elektronen auf die Anode treffen.

Berechne das Ergebnis auch als prozentualen Anteil der Lichtgeschwindigkeit.

4 BE

Material 1 zeigt ein idealisiertes Röntgenspektrum einer Kupferanode. Zur Beschreibung eines solchen Spektrums wird zwischen dem kontinuierlichen Anteil und dem charakteristischen Anteil der Röntgenstrahlung unterschieden.

2.1

Erläutere die Entstehung dieser beiden Strahlungsanteile und erkläre in diesem Zusammenhang die Notwendigkeit, die Anode zu kühlen.

Beschreibe den Einfluss des verwendeten Anodenmaterials und der Beschleunigungsspannung auf diese beiden Anteile der Strahlung.

8 BE

2.2

Erläutere, welche Auswirkungen auf das Spektrum in Material 1 zu erwarten sind, wenn bei ansonsten gleichen Rahmenbedingungen die Heizspannung erhöht wird.

2 BE

Das Röntgenspektrum einer Molybdänanode wird mit einem $Formula: \text{NaCl-}$ $Formula: \text{NaCl-}$ Kristall untersucht. Material 2 zeigt eine Skizze des dafür benötigten Versuchsaufbaus. Zum Nachweis der Röntgenstrahlung wird ein Zählrohr verwendet, das beim Drehen des Kristalls jeweils um den doppelten Glanzwinkel $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ weitergedreht wird. Der Netzebenenabstand beträgt $Formula: d=282\;\text{pm}.$ $Formula: d=282\;\text{pm}.$

3.1

Die Bragg-Bedingung $Formula: n \cdot \lambda=2 \cdot d \cdot \sin \varphi$ $Formula: n \cdot \lambda=2 \cdot d \cdot \sin \varphi$ mit $Formula: n=1,2,3, \ldots$ $Formula: n=1,2,3, \ldots$ stellt einen Zusammenhang zwischen der Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ der Röntgenstrahlung, dem Netzebenenabstand Formula: d des verwendeten Kristalls und dem

Glanzwinkel $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ her, Formula: n gibt die Ordnung des Interferenzmaximums an.

Leite unter Verwendung von Material 3 die Bragg-Bedingung her.

4 BE

3.2

Material 4 zeigt das Röntgenspektrum einer Molybdänanode in zwei Darstellungen.

Ordne die sechs ausgeprägten Maxima (Peaks) in der unteren Darstellung jeweils der $Formula: K_\alpha$ $Formula: K_\alpha$ - oder $Formula: K_\beta$ $Formula: K_\beta$ -Linie sowie der jeweiligen Ordnung zu.

Berechne unter Verwendung aller Maxima die Wellenlängen der $Formula: K_\alpha$ $Formula: K_\alpha$ - und der $Formula: K_\beta$ $Formula: K_\beta$ -Linie von Molybdän.

Hinweis: Mit „ $Formula: K_\alpha$ $Formula: K_\alpha$ - und $Formula: K_\beta$ $Formula: K_\beta$ -Linie“ werden die Übergänge vom Energieniveau Formula: E_2 auf das Energieniveau Formula: E_1 bzw. vom Energieniveau Formula: E_3 auf das Energieniveau bezeichnet.

8 BE

4.1

Zwischen der Grenzwellenlänge $Formula: \lambda_{\text{min}}$ $Formula: \lambda_{\text{min}}$ des Röntgenspektrums und der Beschleunigungsspannung Formula: U_a gilt der Zusammenhang $Formula: \lambda_{\text{min}}=\tfrac{h \cdot c}{e} \cdot \tfrac{1}{U_0}.$ $Formula: \lambda_{\text{min}}=\tfrac{h \cdot c}{e} \cdot \tfrac{1}{U_0}.$

Leite diesen Zusammenhang her.

4 BE

4.2

Material 5 stellt für verschiedene Beschleunigungsspannungen einen Ausschnitt des jeweiligen Röntgenspektrums einer Molybdänanode dar.

Zeichne, wie in Material 5 an einem Beispiel gezeigt, durch den steil ansteigenden Teil jeder Kurve jeweils eine Gerade, die den Verlauf näherungsweise beschreibt.

Bestimme mithilfe dieser Geraden die Grenzwellenlängen $Formula: \lambda_{\text{min}}.$ $Formula: \lambda_{\text{min}}.$

Stelle unter Verwendung der Tabelle in Material 5 die Grenzwellenlängen $Formula: \lambda_{\text{min}}$ $Formula: \lambda_{\text{min}}$ in Abhängigkeit vom Kehrwert der Spannung Formula: U_a in einem Diagramm grafisch dar.

Ermittle aus diesem Diagramm mithilfe einer Ausgleichsgeraden durch den Ursprung einen Wert für das Planck'sche Wirkungsquantum und die prozentuale Abweichung dieses Werts vom Literaturwert.

12 BE

Henry Moseley fand den folgenden Zusammenhang zwischen der Frequenz der $Formula: K_\alpha$ $Formula: K_\alpha$ -Linie und der Ordnungszahl Formula: Z des zugehörigen Elements:

$Formula: f_{K_\alpha}=\dfrac{3}{4} f_{R}(Z-S)^2$ $Formula: f_{K_\alpha}=\dfrac{3}{4} f_{R}(Z-S)^2$ mit der Rydberg-Frequenz $Formula: f_R=3,29 \cdot 10^{15}\;\text{Hz}$ $Formula: f_R=3,29 \cdot 10^{15}\;\text{Hz}$

Die dimensionslose Zahl Formula: S wird Abschirmkonstante genannt. Die $Formula: K_\alpha$ $Formula: K_\alpha$ -Linie von Kupfer Formula: (Z=29) besitzt die Frequenz $Formula: f_{K_\alpha}=1,94 \cdot 10^{18}\;\text{Hz}.$ $Formula: f_{K_\alpha}=1,94 \cdot 10^{18}\;\text{Hz}.$

Bestätige rechnerisch, dass die Abschirmkonstante Formula: S für die $Formula: K_\alpha$ $Formula: K_\alpha$ -Linie von Kupfer ungefähr den Wert Formula: 1 besitzt.

3 BE

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Material 1: Idealisiertes Röntgenspektrum einer Kupferanode

Diagramm: Intensität gegen Wellenlänge einer Cu‑Anode mit kontinuierlichem Verlauf und zwei scharfen Peaks um 150 pm

Material 2: Schematischer Versuchsaufbau zur Aufnahme eines Röntgenspektrums

Schematische Darstellung einer Röntgenmessung: Strahl, Einkristall und Zählrohr auf Winkelbogen.

Material 3: Abbildung zur Herleitung der Bragg-Bedingung

Schematische Darstellung von Wellen an parallelen Netzebenen mit Einfalls- und Reflexionswinkeln, Netzabstand d und Glanzwinkel φ

Material 4: Röntgenspektrum einer Molybdänanode

Diagramm: Zählrate gegen Glanzwinkel mit mehreren Peaks, Netzebenenabstand d = 282 pm

Diagramm mit linearer Skalierung der vertikalen Achse

Diagramm mit Zählrate (1/s) gegen Glanzwinkel φ (°) auf logarithmischer Skala, mehrere Peaks und abfallende Kurve.

Diagramm in halblogarithmischer Darstellung zur Verdeutlichung der Maxima

Material 5: Röntgenspektren einer Molybdänanode bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen (Ausschnitt)

Diagramm mit mehreren Kurven: Zählrate (1/s) gegen λ (pm), starke Anstiege ab ~35–60 pm, Pfeil und Text 'Beispielgerade für Aufgabe 4.2'

$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{a}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{a}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kV}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kV}}$	$Formula: \boldsymbol{\lambda_{\mathrm{min}}}$ $Formula: \boldsymbol{\lambda_{\mathrm{min}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm}}$	$Formula: \boldsymbol{\tfrac{1}{U_{{a}}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{1}{U_{{a}}}}$ in $Formula: \boldsymbol{10^{-5} \; \tfrac{1}{{\text{V}}}}$ $Formula: \boldsymbol{10^{-5} \; \tfrac{1}{{\text{V}}}}$

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1.1

Skizzieren und Beschriften des Aufbaus einer Röntgenröhre

Schematische Vakuumröhre mit evakuiertem Glasgehäuse, Glühkathode, Anode, Beschleunigungs- und Heizspannung.

Beschreiben der Funktionen

Die angelegte Heizspannung bewirkt einen Stromfluss, welcher die Kathode zum Glühen bringt, wodurch Elektronen aus dem Material gelöst werden. Die aus der Kathode austretenden Elektronen werden anschließend durch das elektrische Feld der Beschleunigungsspannung in Richtung der Anode beschleunigt.

1.2

Unter der Annahme, dass die Elektronen vor der Beschleunigung eine zu vernachlässigende Geschwindigkeit besitzen, lässt sich die Endgeschwindigkeit Formula: v über die Gleichsetzung von zugeführter elektrischer Energie und resultierender kinetischer Energie ermitteln:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}e\cdot U_{{a}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot m_{{e}}\cdot v^2\quad&\mid\cdot\dfrac{2}{m_{{e}}}\\[5pt]\dfrac{2\cdot e\cdot U_{{a}}}{m_{{e}}}&=&v^2\quad&\mid\sqrt{\;}\\[5pt]v&=&\sqrt{\dfrac{2\cdot e\cdot U_{{a}}}{m_{{e}}}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}e\cdot U_{{a}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot m_{{e}}\cdot v^2\quad&\mid\cdot\dfrac{2}{m_{{e}}}\\[5pt]\dfrac{2\cdot e\cdot U_{{a}}}{m_{{e}}}&=&v^2\quad&\mid\sqrt{\;}\\[5pt]v&=&\sqrt{\dfrac{2\cdot e\cdot U_{{a}}}{m_{{e}}}}\end{array}$

Einsetzen der Beschleunigungsspannung $Formula: U_{{a}} = 30000 \; \mathrm{V}$ $Formula: U_{{a}} = 30000 \; \mathrm{V}$ liefert das folgende Ergebnis:

$Formula: v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot 30000 \; \mathrm{V}}{m_{{e}}}} = 1,03 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot 30000 \; \mathrm{V}}{m_{{e}}}} = 1,03 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Um das Ergebnis als prozentualen Anteil der Lichtgeschwindigkeit Formula: c darzustellen, wird die berechnete Geschwindigkeit Formula: v durch die Lichtgeschwindigkeit dividiert:

$Formula: \frac{v}{c} = \frac{1,03 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{c} \approx 0,34$ $Formula: \frac{v}{c} = \frac{1,03 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{c} \approx 0,34$

Die Elektronen treffen somit mit einer Geschwindigkeit von etwa $Formula: 34 \,\%$ $Formula: 34 \,\%$ der Lichtgeschwindigkeit auf die Anode.

2.1

Entstehung der Strahlungsanteile und Notwendigkeit der Kühlung

Kontinuierlicher Anteil (Bremsstrahlung): Treffen die schnellen Elektronen auf die Anode, werden diese durch die Wechselwirkung mit dem Anodenmaterial stark abgebremst. Dabei findet eine Umwandlung ihrer kinetischen Energie in verschiedene andere Energieformen statt. Bei der Umwandlung in Strahlung entsteht ein kontinuierliches elektromagnetisches Strahlungsspektrum. Dieses reicht bis zu einer maximalen Energie der Strahlung (und damit bis zu einer minimalen Wellenlänge), die genau dann erreicht wird, wenn eine vollständige Umwandlung der kinetischen Energie eines Elektrons in elektromagnetische Strahlung stattfindet. Ein sehr großer Teil der kinetischen Energie der Elektronen wird jedoch als Wärmeenergie an die Anode abgegeben, weshalb diese zwingend gekühlt werden muss, um eine Überhitzung zu vermeiden.
Charakteristischer Anteil: Die in die Anode eindringenden energiereichen Elektronen sind in der Lage, aus den Atomen des Anodenmaterials auch innere Elektronen herauszulösen. In die entstandenen Lücken in den inneren Schalen „fallen“ anschließend Elektronen aus einem höheren Energieniveau. Bei diesem Vorgang wird die Energiedifferenz der beiden beteiligten Energieniveaus in Form von charakteristischer elektromagnetischer Strahlung mit ganz bestimmten Wellenlängen ausgesendet.

Einfluss des Anodenmaterials und der Beschleunigungsspannung

Jedes Anodenmaterial besitzt andere Energieniveaus. Daraus folgt: Wenn das verwendete Anodenmaterial verändert wird, so verändern sich auch die Wellenlängen des charakteristischen Spektrums. Das kontinuierliche Spektrum bleibt von dieser Maßnahme weitgehend unverändert.
Wird die angelegte Beschleunigungsspannung verändert, so ändert sich dadurch die minimale Wellenlänge (und somit die Maximalenergie) des kontinuierlichen Spektrums. Das charakteristische Spektrum bleibt dabei jedoch vollkommen unverändert.

2.2

Durch eine Erhöhung der angelegten Heizspannung erhöht sich die Temperatur der Glühkathode, wodurch mehr Elektronen aus dem Material herausgelöst werden. Dadurch treffen bei ansonsten gleichbleibenden Rahmenbedingungen mehr Elektronen pro Sekunde auf die Anode.

Im Spektrum führt dies dazu, dass für alle Wellenlängen eine insgesamt höhere Intensität der Röntgenstrahlung zu erwarten ist. Die Lage der minimalen Wellenlänge sowie die Positionen der charakteristischen Linien verändern sich hierbei nicht.

3.1

Für das Zustandekommen konstruktiver Interferenz ist es notwendig, dass der Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ der reflektierten Röntgenstrahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ ist.

Es gilt also $Formula: \Delta s = n \cdot \lambda$ $Formula: \Delta s = n \cdot \lambda$ mit $Formula: n = 1, 2, 3, \dots$ $Formula: n = 1, 2, 3, \dots$

Skizze: gedrehte Raute zwischen zwei horizontalen Linien, senkrechte Verbindung mit Winkel φ und Beschriftungen d sowie Δs/2

Unter Verwendung der geometrischen Zusammenhänge aus Material 3 bzw. obiger Abbildung ergibt sich für die ein- und auslaufende Welle an den Netzebenen des Kristalls ein Gangunterschied, der sich aus zwei symmetrischen Teilstrecken zusammensetzt. Über die trigonometrische Beziehung im rechtwinkligen Dreieck lässt sich dieser formulieren als:

$Formula: \Delta s = 2 \cdot \frac{\Delta s}{2} = 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi)$ $Formula: \Delta s = 2 \cdot \frac{\Delta s}{2} = 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi)$

Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für den Gangunterschied liefert schließlich die Bragg-Bedingung:

$Formula: n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi)$ $Formula: n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi)$

3.2

Zuordnen der Maxima

In der unteren Darstellung in Material 4 lassen sich von links nach rechts Maximapaare bis zur dritten Ordnung identifizieren. Innerhalb eines solchen Paares wird der Strahlungsanteil mit der kleineren Wellenlänge (und somit der höheren Energie) unter einem kleineren Glanzwinkel konstruktiv interferieren. Folglich ist dem jeweils kleineren Winkel die $Formula: K_{\mathrm{\beta}}$ $Formula: K_{\mathrm{\beta}}$ -Linie und dem größeren Winkel die $Formula: K_{\mathrm{\alpha}}$ $Formula: K_{\mathrm{\alpha}}$ -Linie zuzuordnen.

Berechnen der Wellenlängen

Aus dem Diagramm in Material 4 ergeben sich für die jeweiligen Ordnungen Formula: n die folgenden ungefähren Glanzwinkel:

$Formula: n = 1\text{:}$ $Formula: n = 1\text{:}$ $Formula: \varphi_{1, \mathrm{\beta}} = 6,3^{\circ}$ $Formula: \varphi_{1, \mathrm{\beta}} = 6,3^{\circ}$ und $Formula: \varphi_{1, \mathrm{\alpha}} = 7,3^{\circ}$ $Formula: \varphi_{1, \mathrm{\alpha}} = 7,3^{\circ}$
$Formula: n = 2\text{:}$ $Formula: n = 2\text{:}$ $Formula: \varphi_{2, \mathrm{\beta}} = 12,9^{\circ}$ $Formula: \varphi_{2, \mathrm{\beta}} = 12,9^{\circ}$ und $Formula: \varphi_{2, \mathrm{\alpha}} = 14,6^{\circ}$ $Formula: \varphi_{2, \mathrm{\alpha}} = 14,6^{\circ}$
$Formula: n = 3\text{:}$ $Formula: n = 3\text{:}$ $Formula: \varphi_{3, \mathrm{\beta}} = 19,6^{\circ}$ $Formula: \varphi_{3, \mathrm{\beta}} = 19,6^{\circ}$ und $Formula: \varphi_{3, \mathrm{\alpha}} = 22,1^{\circ}$ $Formula: \varphi_{3, \mathrm{\alpha}} = 22,1^{\circ}$

Berechnung:

Durch Umstellen der Bragg-Bedingung nach der Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ lässt sich diese berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}n\cdot\lambda&=&2\cdot d\cdot\sin(\varphi)\quad&\mid\cdot\dfrac{1}{n}\\[5pt]\lambda&=&\dfrac{2\cdot d\cdot\sin(\varphi)}{n}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}n\cdot\lambda&=&2\cdot d\cdot\sin(\varphi)\quad&\mid\cdot\dfrac{1}{n}\\[5pt]\lambda&=&\dfrac{2\cdot d\cdot\sin(\varphi)}{n}\end{array}$

Mit dem gegebenen Netzebenenabstand $Formula: d = 282 \; \mathrm{pm}$ $Formula: d = 282 \; \mathrm{pm}$ folgt als beispielhafte Rechnung für das erste Maximum der $Formula: K_{\mathrm{\beta}}$ $Formula: K_{\mathrm{\beta}}$ -Linie ( Formula: n = 1 ):

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda_{1,\beta}&=&\dfrac{2\cdot 282\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}}{1}\cdot\sin(6,3^{\circ})\\[5pt]&=&61,9\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}\\[5pt]&=&61,9\;\mathrm{pm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda_{1,\beta}&=&\dfrac{2\cdot 282\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}}{1}\cdot\sin(6,3^{\circ})\\[5pt]&=&61,9\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}\\[5pt]&=&61,9\;\mathrm{pm}\end{array}$

Für alle anderen abgelesenen Winkel ergeben sich analog die folgenden Werte:

Ordnung $Formula: n = 1\text{:}$ $Formula: n = 1\text{:}$ $Formula: \lambda_{1, \mathrm{\beta}} = 61,9 \; \mathrm{pm}$ $Formula: \lambda_{1, \mathrm{\beta}} = 61,9 \; \mathrm{pm}$ und $Formula: \lambda_{1, \mathrm{\alpha}} = 71,7 \; \mathrm{pm}$ $Formula: \lambda_{1, \mathrm{\alpha}} = 71,7 \; \mathrm{pm}$
Ordnung $Formula: n = 2\text{:}$ $Formula: n = 2\text{:}$ $Formula: \lambda_{2, \mathrm{\beta}} = 63,0 \; \mathrm{pm}$ $Formula: \lambda_{2, \mathrm{\beta}} = 63,0 \; \mathrm{pm}$ und $Formula: \lambda_{2, \mathrm{\alpha}} = 71,1 \; \mathrm{pm}$ $Formula: \lambda_{2, \mathrm{\alpha}} = 71,1 \; \mathrm{pm}$
Ordnung $Formula: n = 3\text{:}$ $Formula: n = 3\text{:}$ $Formula: \lambda_{3, \mathrm{\beta}} = 63,1 \; \mathrm{pm}$ $Formula: \lambda_{3, \mathrm{\beta}} = 63,1 \; \mathrm{pm}$ und $Formula: \lambda_{3, \mathrm{\alpha}} = 70,7 \; \mathrm{pm}$ $Formula: \lambda_{3, \mathrm{\alpha}} = 70,7 \; \mathrm{pm}$

Abschließend werden mit den ermittelten Wellenlängen die beiden Mittelwerte gebildet:

Mittelwert für die $Formula: \boldsymbol{K_{\mathrm{\beta}}}$ $Formula: \boldsymbol{K_{\mathrm{\beta}}}$ -Linie: $Formula: \overline{\lambda}_{\mathrm{\beta}} = 62,6 \; \mathrm{pm}$ $Formula: \overline{\lambda}_{\mathrm{\beta}} = 62,6 \; \mathrm{pm}$
Mittelwert für die $Formula: \boldsymbol{K_{\mathrm{\alpha}}}$ $Formula: \boldsymbol{K_{\mathrm{\alpha}}}$ -Linie: $Formula: \overline{\lambda}_{\mathrm{\alpha}} = 71,2 \; \mathrm{pm}$ $Formula: \overline{\lambda}_{\mathrm{\alpha}} = 71,2 \; \mathrm{pm}$

4.1

Ein Elektron kann beim Abbremsen in der Anode maximal die gesamte kinetische Energie, die es nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung $Formula: U_{{a}}$ $Formula: U_{{a}}$ erhalten hat, in Form eines einzigen Photons abgeben. Daraus folgt für die maximale Frequenz $Formula: f_{\mathrm{max}}$ $Formula: f_{\mathrm{max}}$ beziehungsweise die minimale Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{min}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{min}}$ der abgestrahlten Röntgenstrahlung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}e\cdot U_{{a}}&=&h\cdot f_\text{max}=\dfrac{h\cdot c}{\lambda_{\mathrm{min}}}\quad&\mid\cdot\dfrac{\lambda_{\mathrm{min}}}{e\cdot U_{{a}}}\\[5pt]\lambda_{\mathrm{min}}&=&\dfrac{h\cdot c}{e\cdot U_{{a}}}\\[5pt]&=&\dfrac{h\cdot c}{e}\cdot\dfrac{1}{U_{{a}}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}e\cdot U_{{a}}&=&h\cdot f_\text{max}=\dfrac{h\cdot c}{\lambda_{\mathrm{min}}}\quad&\mid\cdot\dfrac{\lambda_{\mathrm{min}}}{e\cdot U_{{a}}}\\[5pt]\lambda_{\mathrm{min}}&=&\dfrac{h\cdot c}{e\cdot U_{{a}}}\\[5pt]&=&\dfrac{h\cdot c}{e}\cdot\dfrac{1}{U_{{a}}}\end{array}$

Dies entspricht dem gesuchten Zusammenhang.

4.2

Einzeichnen der Geraden und Bestimmen der Grenzwellenlängen

Mehrere Messkurven auf Gitterdiagramm, Zählrate (1/s) gegen Wellenlänge λ (pm), mit Beschriftung "Beispielgerade für Aufgabe 4.2"

Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Formula: x -Achse liefert jeweils den Wert für die minimale Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{min}}.$ $Formula: \lambda_{\mathrm{min}}.$ Für die verschiedenen Beschleunigungsspannungen $Formula: U_{{a}}$ $Formula: U_{{a}}$ ergeben sich daraus die folgenden Werte:

Spannung $Formula: \boldsymbol{U_a}$ $Formula: \boldsymbol{U_a}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kV}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kV}}$	Wellenlänge $Formula: \boldsymbol{\lambda}_{\mathrm{min}}$ $Formula: \boldsymbol{\lambda}_{\mathrm{min}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm}}$

Darstellen der Grenzwellenlängen in einem Diagramm

Diagramm: Punktsatz mit linearer Trendlinie, x-Achse 1/U (10^-5 1/V), y-Achse λ_min in pm.

Ermitteln eines Wert für das Planck'sche Wirkungsquantum

Der theoretische Zusammenhang $Formula: \lambda_{\mathrm{min}} = m \cdot \tfrac{1}{U_{{a}}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{min}} = m \cdot \tfrac{1}{U_{{a}}}$ entspricht einer Ursprungsgeraden mit der Steigung $Formula: m = \tfrac{h \cdot c}{e}.$ $Formula: m = \tfrac{h \cdot c}{e}.$

Aus der eingezeichneten Ausgleichsgeraden lässt sich die Steigung Formula: m mithilfe eines Steigungsdreiecks ermitteln (hier exemplarisch an abgelesenen Werten):

$Formula: m = \frac{60 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}}{5 \cdot 10^{-5} \; \tfrac{1}{\mathrm{V}}} = 1,2 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{V} \cdot \mathrm{m}$ $Formula: m = \frac{60 \cdot 10^{-12} \; \mathrm{m}}{5 \cdot 10^{-5} \; \tfrac{1}{\mathrm{V}}} = 1,2 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{V} \cdot \mathrm{m}$

Durch Umstellen der Gleichung $Formula: m = \tfrac{h \cdot c}{e}$ $Formula: m = \tfrac{h \cdot c}{e}$ nach Formula: h lässt sich der experimentelle Wert $Formula: h_{\mathrm{exp}}$ $Formula: h_{\mathrm{exp}}$ berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}h_{\text{exp}} &=& \dfrac{m \cdot e}{c} \\[5pt] &=& \dfrac{1,2 \cdot 10^{-6}\;\text{V} \cdot \text{m} \cdot e}{c} \\[5pt] &=& 6,41 \cdot 10^{-34}\;\text{J} \cdot \text{s}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}h_{\text{exp}} &=& \dfrac{m \cdot e}{c} \\[5pt] &=& \dfrac{1,2 \cdot 10^{-6}\;\text{V} \cdot \text{m} \cdot e}{c} \\[5pt] &=& 6,41 \cdot 10^{-34}\;\text{J} \cdot \text{s}\end{array}$

Abschließend wird dieser Wert ins Verhältnis zum bekannten Literaturwert Formula: h gesetzt:

$Formula: \frac{h_{\mathrm{exp}}}{h} = \frac{6,41 \cdot 10^{-34} \; \mathrm{J} \cdot \mathrm{s}}{h} = 0,97$ $Formula: \frac{h_{\mathrm{exp}}}{h} = \frac{6,41 \cdot 10^{-34} \; \mathrm{J} \cdot \mathrm{s}}{h} = 0,97$

Die prozentuale Abweichung des experimentell bestimmten Werts vom Literaturwert beträgt somit etwa $Formula: 3 \, \%.$ $Formula: 3 \, \%.$

Um den Wert der Abschirmkonstante Formula: S zu überprüfen, wird das Moseley'sche Gesetz nach dem Term Formula: (Z - S) umgestellt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}f_{K_{\alpha}} &=& \dfrac{3}{4} \cdot f_{\text{R}} \cdot (Z - S)^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{4}{3 \cdot f_{\text{R}}} \\[5pt] \dfrac{4 \cdot f_{K_{\alpha}}}{3 \cdot f_{\text{R}}} &=& (Z - S)^2 \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt] Z - S &=& \sqrt{\dfrac{4 \cdot f_{K_{\alpha}}}{3 \cdot f_{\text{R}}}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}f_{K_{\alpha}} &=& \dfrac{3}{4} \cdot f_{\text{R}} \cdot (Z - S)^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{4}{3 \cdot f_{\text{R}}} \\[5pt] \dfrac{4 \cdot f_{K_{\alpha}}}{3 \cdot f_{\text{R}}} &=& (Z - S)^2 \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt] Z - S &=& \sqrt{\dfrac{4 \cdot f_{K_{\alpha}}}{3 \cdot f_{\text{R}}}}\end{array}$

Anschließend werden die gegebenen Werte für die Frequenz der $Formula: K_\alpha$ $Formula: K_\alpha$ -Linie ( $Formula: f_{K_\alpha} = 1,94 \cdot 10^{18} \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f_{K_\alpha} = 1,94 \cdot 10^{18} \; \mathrm{Hz}$ ) und die Rydberg-Frequenz ( $Formula: f_{\mathrm{R}} = 3,29 \cdot 10^{15} \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f_{\mathrm{R}} = 3,29 \cdot 10^{15} \; \mathrm{Hz}$ ) in die Gleichung eingesetzt:

$Formula: Z - S = \sqrt{\frac{4 \cdot 1,94 \cdot 10^{18} \; \mathrm{Hz}}{3 \cdot 3,29 \cdot 10^{15} \; \mathrm{Hz}}} \approx 28,0$ $Formula: Z - S = \sqrt{\frac{4 \cdot 1,94 \cdot 10^{18} \; \mathrm{Hz}}{3 \cdot 3,29 \cdot 10^{15} \; \mathrm{Hz}}} \approx 28,0$

Da Kupfer die Ordnungszahl Formula: Z = 29 besitzt, lässt sich dieser Wert in die hergeleitete Differenz einsetzen:

Formula: 29 - S = 28

Daraus folgt direkt der gesuchte Wert für die Abschirmkonstante Formula: S = 1 und es ist rechnerisch bestätigt, dass die Abschirmkonstante für die $Formula: K_\alpha$ $Formula: K_\alpha$ -Linie von Kupfer ungefähr den Wert Formula: 1 besitzt.

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