Vorschlag B1 — Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern – Die Perrin-Röhre

In Material 1 ist der schematische Aufbau einer Perrin-Röhre dargestellt. Es handelt sich um eine Elektronenstrahlröhre, deren evakuierter Glaskolben an einer bestimmten Stelle eine Ausbuchtung hat, in der sich ein Metallbecher befindet, der elektrisch leitend an ein Elektroskop angeschlossen werden kann. Die aus der Glühkathode freigesetzten Elektronen werden aus der Ruhe durch die Beschleunigungsspannung $Formula: U_\text{B}$ $Formula: U_\text{B}$ zur Lochanode Formula: A beschleunigt. Danach fliegen sie mit der konstanten Geschwindigkeit $Formula: v=7 \cdot 10^6\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ $Formula: v=7 \cdot 10^6\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ in ein homogenes Magnetfeld der magnetischen Flussdichte (teils auch magnetische Felstärke genannt) Formula: B, das den Glaskolben durchsetzt. Dabei werden die Elektronen auf eine Kreisbahn mit dem Radius $Formula: r=16\;\text{cm}$ $Formula: r=16\;\text{cm}$ gelenkt und treffen in den Metallbecher. Nun ist ein Ausschlag am Elektroskop zu beobachten.

1.1

Leite eine Formel zur Berechnung der Beschleunigungsspannung $Formula: U_\text{B}$ $Formula: U_\text{B}$ her und berechne ihren Wert.

5 BE

1.2

Die Elektronen treffen nach Durchlaufen der Bahnkurve den Metallbecher.

Gib die Richtung des verwendeten homogenen Magnetfelds an und begründe, dass die Bahnkurve kreisförmig ist.

3 BE

1.3

Damit die Elektronen mit der Geschwindigkeit Formula: v den Becher treffen, ist ein bestimmter Betrag der magnetischen Flussdichte Formula: B notwendig.

Zeige, dass dieser Betrag mit der Formel $Formula: B=\tfrac{m_e \cdot v}{r \cdot e}$ $Formula: B=\tfrac{m_e \cdot v}{r \cdot e}$ berechnet werden kann.

Berechne den Betrag der in diesem Experiment benötigten magnetischen Flussdichte Formula: B.

[zur Kontrolle: $Formula: B=2,49\cdot 10^{-4}\;\text{T}$ $Formula: B=2,49\cdot 10^{-4}\;\text{T}$ ]

4 BE

1.4

Die Beschleunigungsspannung $Formula: U_\text{B}$ $Formula: U_\text{B}$ wird nun um $Formula: 20\,\%$ $Formula: 20\,\%$ reduziert, wobei die magnetische Flussdichte Formula: B konstant bleibt.

1.4.1

Zeichne für diesen Fall den ungefähren Verlauf des Elektronenstrahls in Material 1 ein.

Erläutere deine Zeichnung anhand der Formel aus Aufgabe 1.3.

4 BE

1.4.2

Bestimme den Faktor, um den der Betrag der magnetischen Flussdichte Formula: B verändert werden muss, um den Strahl bei der reduzierten Beschleunigungsspannung $Formula: U_\text{B}$ $Formula: U_\text{B}$ im Metallbecher auffangen zu können.

3 BE

1.5

Gib zwei Sachverhalte an, die den Rückschluss erlauben, dass aus der Kathode geladene Teilchen austreten.

Gib eine Möglichkeit an, das Vorzeichen der Ladung dieser Teilchen zu ermitteln.

6 BE

Das in Aufgabe 1.3 benötigte homogene Magnetfeld kann mit einem Helmholtz-Spulenpaar erzeugt werden, wie es in Material 2 abgebildet ist. Für den Betrag der magnetischen Flussdichte Formula: B in einem solchen Spulenpaar mit gleichem Spulenradius und Spulenabstand Formula: R und der Windungszahl Formula: N pro Spule, das mit einer Stromstärke $Formula: I_{\text{Hsp}}$ $Formula: I_{\text{Hsp}}$ betrieben wird, gilt:

$Formula: B=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{\mu_0 \cdot N \cdot I_{\text{Hsp}}}{R}$ $Formula: B=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{\mu_0 \cdot N \cdot I_{\text{Hsp}}}{R}$

Verwendet wird ein Helmholtz-Spulenpaar mit $Formula: R=6,7\;\text{cm}$ $Formula: R=6,7\;\text{cm}$ und Formula: N=320. Das Spulenpaar kann mit einer maximalen Stromstärke $Formula: I_{\text{Hsp,max}}=5\;\text{A}$ $Formula: I_{\text{Hsp,max}}=5\;\text{A}$ betrieben werden.

2.1

Bestimme die Stromstärke $Formula: I_{\text{Hsp}}$ $Formula: I_{\text{Hsp}}$ so, dass die Elektronen aus Aufgabe 1.3 im Metallbecher aufgefangen werden.

[zur Kontrolle: $Formula: I_{\mathrm{Hsp}}=0,058 \mathrm{~A}$ $Formula: I_{\mathrm{Hsp}}=0,058 \mathrm{~A}$ ]

3 BE

2.2

Es soll angenommen werden, dass statt Elektronen nun Protonen mit der in Aufgabe 1 angegebenen Geschwindigkeit in den Bereich des Glaskolbens der Perrin-Röhre eintreten. Die dazu benötigte Beschleunigungsspannung soll im Folgenden explizit nicht betrachtet werden. Damit die Protonen im Metallbecher aufgefangen werden können, müssen die Stromrichtung in dem Helmholtz-Spulenpaar und die Stromstärke $Formula: I_{\text{Hsp}}$ $Formula: I_{\text{Hsp}}$ geändert werden.

Begründe beide Maßnahmen und prüfe, ob sich das oben beschriebene Helmholtz-Spulenpaar dafür eignet.

5 BE

Die Perrin-Röhre wird in Kombination mit dem Helmholtz-Spulenpaar zur Bestimmung der spezifischen Ladung $Formula: \tfrac{e}{m_e}$ $Formula: \tfrac{e}{m_e}$ des Elektrons verwendet. Wird die Beschleunigungsspannung $Formula: U_\text{B}=2,5\;\text{kV}$ $Formula: U_\text{B}=2,5\;\text{kV}$ eingestellt, trifft der Elektronenstrahl den Metallbecher (Radius der Kreisbahn $Formula: r=16\;\text{cm}$ $Formula: r=16\;\text{cm}$ ) bei einem Spulenstrom von $Formula: I_{\text{Hsp}}=0,29\;\text{A}.$ $Formula: I_{\text{Hsp}}=0,29\;\text{A}.$

3.1

Leite die Formel $Formula: \tfrac{e}{m_{{e}}} = \tfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{(r \cdot B)^2}$ $Formula: \tfrac{e}{m_{{e}}} = \tfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{(r \cdot B)^2}$ von Elektronen her und berechne den Wert der spezifischen Ladung von Elektronen aus den angegebenen Daten.

Berechne die prozentuale Abweichung vom Literaturwert.

9 BE

3.2

Zur Erklärung der möglichen Ursache der Abweichung in Aufgabe 3.1 wird das Magnetfeld genauer betrachtet. Material 3 zeigt die Perrin-Röhre und das Helmholtz-Spulenpaar mit dem festgelegten Koordinatensystem. Zur Messung des Betrags der von dem Helmholtz-Spulenpaar erzeugten magnetischen Flussdichte wird die Perrin-Röhre zunächst entfernt. Ein Magnetfeldsensor wird entlang der Formula: y -Achse durch den Mittelpunkt Formula: M der Versuchsanordnung geführt. Es ergibt sich den im unteren Teil von Material 4 dargestellten Verlauf der magnetischen Flussdichte Formula: B. Dieser Verlauf ist identisch für alle Messungen entlang von Geraden durch den Mittelpunkt in der - Formula: z -Ebene.

Beschreibe anhand von Material 4 den Betrag der magnetischen Flussdichte im Innenraum des Helmholtz-Spulenpaars in der Formula: y - Formula: z -Ebene.

Beurteile, welche Auswirkungen die Inhomogenität des Magnetfelds in den Randbereichen auf die Flugbahn der Elektronen hat.

5 BE

3.3

Diskutiere, ob die in Aufgabe 3.2 betrachtete Inhomogenität des Magnetfelds geeignet ist, die Abweichung der berechneten spezifischen Elektronenladung vom Literaturwert zu erklären.

3 BE

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1.1

Herleitung

Auf Grund des Energieerhaltungssatzes können die zugeführte elektrische Energie $Formula: E_{\mathrm{el}}$ $Formula: E_{\mathrm{el}}$ und die resultierende kinetische Energie $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ gleichgesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}e \cdot U_{\text{B}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot m_{\text{e}} \cdot v^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{e} \\[5pt] U_{\text{B}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{m_{\text{e}}}{e} \cdot v^2\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}e \cdot U_{\text{B}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot m_{\text{e}} \cdot v^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{e} \\[5pt] U_{\text{B}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{m_{\text{e}}}{e} \cdot v^2\end{array}$

Berechnung

Durch Einsetzen der gegebenen Geschwindigkeit $Formula: v = 7 \cdot 10^6 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 7 \cdot 10^6 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ sowie der Werte für die Elementarladung und die Elektronenmasse in die gerade hergeleitete Gleichung ergibt sich:

$Formula: U_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_{\mathrm{e}}}{e} \cdot \left(7 \cdot 10^6 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 = 139,30 \; \mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_{\mathrm{e}}}{e} \cdot \left(7 \cdot 10^6 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 = 139,30 \; \mathrm{V}$

1.2

Das verwendete homogene Magnetfeld zeigt aus der Papierebene heraus.

Die Elektronen bewegen sich auf einem Kreisbogen, da die wirkende Lorentzkraft stets senkrecht zur Bahnkurve beziehungsweise Geschwindigkeitsrichtung der Elektronen gerichtet ist. Aufgrund dieser Eigenschaft wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft und zwingt die Teilchen auf eine kreisförmige Flugbahn.

1.3

Zeigen der Formel

Da die Lorentzkraft $Formula: F_{\mathrm{L}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}}$ als Zentripetalkraft $Formula: F_{\mathrm{Z}}$ $Formula: F_{\mathrm{Z}}$ wirkt, werden die entsprechenden Terme gleichgesetzt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\text{L}} &=& F_{\text{Z}} \\[5pt] e \cdot v \cdot B &=& \dfrac{m_{{e}} \cdot v^2}{r} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{e \cdot v} \\[5pt] B &=& \dfrac{m_{{e}} \cdot v}{r \cdot e}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\text{L}} &=& F_{\text{Z}} \\[5pt] e \cdot v \cdot B &=& \dfrac{m_{{e}} \cdot v^2}{r} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{e \cdot v} \\[5pt] B &=& \dfrac{m_{{e}} \cdot v}{r \cdot e}\end{array}$

Mit dem gegebenen Bahnradius $Formula: r = 16 \; \mathrm{cm} = 0,16 \; \mathrm{m}$ $Formula: r = 16 \; \mathrm{cm} = 0,16 \; \mathrm{m}$ liefert das Einsetzen der Werte folgenden Wert:

$Formula: B = \frac{m_{{e}}}{e} \cdot \frac{7 \cdot 10^6 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0,16 \; \mathrm{m}} = 2,49 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{T}$ $Formula: B = \frac{m_{{e}}}{e} \cdot \frac{7 \cdot 10^6 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0,16 \; \mathrm{m}} = 2,49 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{T}$

1.4

1.4.1

Einzeichnen des ungefähren Verlaufs

Schematischer Aufbau einer evakuierten Glaskolbenröhre mit Kathode, Anode, Metallbecher, Leuchtschirm und Elektroskop

Erläutern der Zeichnung

Die Gleichung aus Aufgabe 1.3 kann zunächst nach dem Radius Formula: r der Elektronenbahn umgestellt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}B &= \dfrac{m_{e} \cdot v}{r \cdot e} \quad&\mid \cdot \dfrac{r}{B} \\[5pt] r &= \dfrac{m_{e} \cdot v}{B \cdot e} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}B &= \dfrac{m_{e} \cdot v}{r \cdot e} \quad&\mid \cdot \dfrac{r}{B} \\[5pt] r &= \dfrac{m_{e} \cdot v}{B \cdot e} \end{array}$

Die Reduktion der Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ hat zur Folge, dass sich auch die Geschwindigkeit Formula: v der Elektronen reduziert. Da die magnetische Flussdichte Formula: B konstant bleibt, reduziert sich gemäß der umgestellten Formel $Formula: r = \tfrac{m_{{e}} \cdot v}{B \cdot e}$ $Formula: r = \tfrac{m_{{e}} \cdot v}{B \cdot e}$ proportional dazu auch der Radius der Elektronenbahn.

Der Strahl trifft somit "weiter oben", beziehungsweise links vom Metallbecher, auf die Glaswand.

1.4.2

Die in Aufgabe 1.1 aufgestellte Energiebeziehung lässt sich nach der Geschwindigkeit Formula: v auflösen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot U_{\mathrm{B}} &= \dfrac{1}{2} \cdot m_{{e}} \cdot v^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{m_{{e}}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{{e}}} &= v^2 \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt] v &= \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{{e}}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot U_{\mathrm{B}} &= \dfrac{1}{2} \cdot m_{{e}} \cdot v^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{m_{{e}}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{{e}}} &= v^2 \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt] v &= \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{{e}}}} \end{array}$

Das lässt sich in die Gleichung für Formula: B aus Aufgabe 1.3 einsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} B &= \dfrac{m_{{e}}}{r \cdot e} \cdot v \\[5pt] B &= \dfrac{m_{{e}}}{r \cdot e} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{{e}}}} \\[5pt] B &= k \cdot \sqrt{U_{\mathrm{B}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} B &= \dfrac{m_{{e}}}{r \cdot e} \cdot v \\[5pt] B &= \dfrac{m_{{e}}}{r \cdot e} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{{e}}}} \\[5pt] B &= k \cdot \sqrt{U_{\mathrm{B}}} \end{array}$

(Dabei fasst Formula: k alle konstanten Faktoren des Terms zusammen.)

Wird die Beschleunigungsspannung um $Formula: 20 \;\%$ $Formula: 20 \;\%$ reduziert, beträgt sie nun $Formula: 0,8 \cdot U_{\mathrm{B}}.$ $Formula: 0,8 \cdot U_{\mathrm{B}}.$ Für die neu einzustellende magnetische Flussdichte $Formula: B_{\mathrm{neu}}$ $Formula: B_{\mathrm{neu}}$ gilt daher:

$Formula: B_{\mathrm{neu}} = k \cdot \sqrt{0,8 \cdot U_{\mathrm{B}}} = \sqrt{0,8} \cdot B$ $Formula: B_{\mathrm{neu}} = k \cdot \sqrt{0,8 \cdot U_{\mathrm{B}}} = \sqrt{0,8} \cdot B$

Der Betrag der magnetischen Flussdichte Formula: B muss demnach um den Faktor $Formula: \sqrt{0,8}$ $Formula: \sqrt{0,8}$ verändert werden, um den Strahl wieder im Metallbecher aufzufangen.

1.5

Angeben zweier Sachverhalte

Folgenden Beobachtungen erlauben den Rückschluss, dass es sich bei den Kathodenstrahlen um geladene Teilchen handelt:

Die Teilchen werden in einem elektrischen Feld beschleunigt.
Die Teilchen werden in einem Magnetfeld abgelenkt.
Das an den Metallbecher angeschlossene Elektroskop zeigt nach dem Auftreffen der Strahlung einen Ausschlag.

Angeben einer Möglichkeit zur Ermittlung des Vorzeichens

Um das Vorzeichen der Ladung experimentell oder logisch zu ermitteln, bietet sich eine der folgenden Möglichkeiten an:

Da die Teilchen aus der Kathode austreten und zur positiv geladenen Anode beschleunigt werden, muss es sich um negative Teilchen handeln.
Durch das Heranbringen einer bekannten elektrischen Ladung an das Elektroskop lässt sich die Veränderung des Ausschlags beobachten und auf das Vorzeichen schließen.
Es lässt sich eine geeignete Glimmlampe als Anzeigegerät zur Bestimmung der Art der elektrischen Ladung verwenden.

2.1

Um die erforderliche Stromstärke für das Helmholtz-Spulenpaar zu berechnen, wird zunächst die gegebene Formel für die magnetische Flussdichte Formula: B nach der Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{Hsp}}$ $Formula: I_{\mathrm{Hsp}}$ umgestellt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} B &= \left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{\mu_{0} \cdot N \cdot I_{\mathrm{Hsp}}}{R} \quad&\mid \cdot \dfrac{R}{\left(\tfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \mu_{0} \cdot N} \\[5pt] I_{\mathrm{Hsp}} &= \dfrac{B \cdot R}{\left(\tfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \mu_{0} \cdot N} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} B &= \left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{\mu_{0} \cdot N \cdot I_{\mathrm{Hsp}}}{R} \quad&\mid \cdot \dfrac{R}{\left(\tfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \mu_{0} \cdot N} \\[5pt] I_{\mathrm{Hsp}} &= \dfrac{B \cdot R}{\left(\tfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \mu_{0} \cdot N} \end{array}$

Anschließend werden die bekannten Werte – der Spulenradius $Formula: R = 6,7 \; \mathrm{cm} = 0,067 \; \mathrm{m},$ $Formula: R = 6,7 \; \mathrm{cm} = 0,067 \; \mathrm{m},$ die Windungszahl Formula: N = 320 und der in Aufgabe 1.3 berechnete Wert $Formula: B = 2,49 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{T}$ $Formula: B = 2,49 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{T}$ – in die Gleichung eingesetzt:

$Formula: I_{\mathrm{Hsp}} = \frac{2,49 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{T} \cdot 0,067 \; \mathrm{m}}{(\frac{4}{5})^{\frac{3}{2}} \cdot \mu_0 \cdot 320} = 0,058 \; \mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{Hsp}} = \frac{2,49 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{T} \cdot 0,067 \; \mathrm{m}}{(\frac{4}{5})^{\frac{3}{2}} \cdot \mu_0 \cdot 320} = 0,058 \; \mathrm{A}$

Die benötigte Stromstärke beträgt demnach $Formula: 0,058 \; \mathrm{A}.$ $Formula: 0,058 \; \mathrm{A}.$

2.2

Begründung der Änderungen

Änderung der Stromrichtung: Da Protonen im Gegensatz zu Elektronen positiv geladen sind, kehrt sich die Richtung der wirkenden Lorentzkraft bei gleicher Flugrichtung um. Damit die Teilchen auf die gleiche Bahn abgelenkt werden, muss das Magnetfeld in die Zeichenebene hineinzeigen. Dies lässt sich durch eine Änderung der Stromrichtung in den Helmholtz-Spulen erreichen.
Änderung der Stromstärke: Gemäß der in Aufgabe 1.3 aufgestellten Formel $Formula: B = \tfrac{m \cdot v}{r \cdot e}$ $Formula: B = \tfrac{m \cdot v}{r \cdot e}$ ist die für den vorgegebenen Radius benötigte magnetische Flussdichte direkt proportional zur Masse der verwendeten Teilchen. Da Protonen eine deutlich größere Masse als Elektronen besitzen, ist ein wesentlich stärkeres Magnetfeld und damit eine entsprechend höhere Stromstärke erforderlich.

Prüfung der Eignung des Spulenpaars

Da sich nur die Masse der Teilchen ändert (Geschwindigkeit Formula: v, Radius Formula: r und Elementarladung Formula: e bleiben konstant), wächst die benötigte Stromstärke um denselben Faktor an, um den die Masse des Protons $Formula: m_{{p}}$ $Formula: m_{{p}}$ größer ist als die Masse des Elektrons $Formula: m_{{e}}\text{:}$ $Formula: m_{{e}}\text{:}$

$Formula: I_{\mathrm{Hsp,p}} = \frac{m_{{p}}}{m_{{e}}} \cdot I_{\mathrm{Hsp}}$ $Formula: I_{\mathrm{Hsp,p}} = \frac{m_{{p}}}{m_{{e}}} \cdot I_{\mathrm{Hsp}}$

Einsetzen der Massen und der in Aufgabe 2.1 berechneten Stromstärke liefert:

$Formula: I_{\mathrm{Hsp,p}} = 1836,15 \cdot 0,058 \; \mathrm{A} \approx 106 \; \mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{Hsp,p}} = 1836,15 \cdot 0,058 \; \mathrm{A} \approx 106 \; \mathrm{A}$

Diese benötigte Stromstärke von rund $Formula: 106 \; \mathrm{A}$ $Formula: 106 \; \mathrm{A}$ liegt deutlich über dem für die Spulen spezifizierten Maximalwert von $Formula: I_{\mathrm{max}} = 5 \; \mathrm{A}.$ $Formula: I_{\mathrm{max}} = 5 \; \mathrm{A}.$ Folglich eignet sich das beschriebene Helmholtz-Spulenpaar nicht für diesen Versuch mit Protonen.

3.1

Herleiten der Formel

Aus dem Energieerhaltungssatz ( $Formula: E_{\mathrm{el}} = E_{\mathrm{kin}}$ $Formula: E_{\mathrm{el}} = E_{\mathrm{kin}}$ ) folgt für die Geschwindigkeit der Elektronen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot U_{\mathrm{B}} &= \dfrac{1}{2} \cdot m_{{e}} \cdot v^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{m_{{e}}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{{e}}} &= v^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot U_{\mathrm{B}} &= \dfrac{1}{2} \cdot m_{{e}} \cdot v^2 \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{m_{{e}}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{{e}}} &= v^2 \end{array}$

Im homogenen Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft $Formula: F_{\mathrm{L}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}}$ als Zentripetalkraft $Formula: F_{\mathrm{Z}}\text{:}$ $Formula: F_{\mathrm{Z}}\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot v \cdot B &= \dfrac{m_{e} \cdot v^{2}}{r} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{m_{e} \cdot v} \\[5pt] \dfrac{e \cdot B}{m_{e}} &= \dfrac{v}{r} \quad&\mid (\dots)^{2} \\[5pt] \left(\dfrac{e \cdot B}{m_{e}}\right)^{2} &= \dfrac{v^{2}}{r^{2}} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{B^{2}} \\[5pt] \left(\dfrac{e}{m_{e}}\right)^{2} &= \dfrac{v^{2}}{(r \cdot B)^{2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot v \cdot B &= \dfrac{m_{e} \cdot v^{2}}{r} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{m_{e} \cdot v} \\[5pt] \dfrac{e \cdot B}{m_{e}} &= \dfrac{v}{r} \quad&\mid (\dots)^{2} \\[5pt] \left(\dfrac{e \cdot B}{m_{e}}\right)^{2} &= \dfrac{v^{2}}{r^{2}} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{B^{2}} \\[5pt] \left(\dfrac{e}{m_{e}}\right)^{2} &= \dfrac{v^{2}}{(r \cdot B)^{2}} \end{array}$

Wird nun der zuvor bestimmte Term für Formula: v^2 eingesetzt, folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{e}{m_{e}}\right)^{2} &= \dfrac{1}{(r \cdot B)^{2}} \cdot \dfrac{e}{m_{e}} \cdot 2 \cdot U_{\mathrm{B}} \quad&\mid \cdot \dfrac{m_{e}}{e} \\[5pt] \dfrac{e}{m_{e}} &= \dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{(r \cdot B)^{2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{e}{m_{e}}\right)^{2} &= \dfrac{1}{(r \cdot B)^{2}} \cdot \dfrac{e}{m_{e}} \cdot 2 \cdot U_{\mathrm{B}} \quad&\mid \cdot \dfrac{m_{e}}{e} \\[5pt] \dfrac{e}{m_{e}} &= \dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}}}{(r \cdot B)^{2}} \end{array}$

Das entspricht der gesuchten Formel für die spezifische Ladung.

Berechnen der spezifischen Ladung und prozentuale Abweichung vom Literaturwert

Damit kann nun die spezifische Ladung von Elektronen berechnet werden.

Zunächst ist die magnetische Flussdichte Formula: B bei einer Stromstärke von $Formula: I_{\mathrm{Hsp}} = 0,29 \; \mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{Hsp}} = 0,29 \; \mathrm{A}$ mit der gegebenen Formel aus Aufgabe 2 zu bestimmen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} B &= \left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{\mu_{0} \cdot N \cdot I_{\mathrm{Hsp}}}{R} \\[5pt] B &= \left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{\mu_{0} \cdot 320 \cdot 0,29\; \mathrm{A}}{0,067\; \mathrm{m}} \\[5pt] B &= 1,25 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{T} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} B &= \left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{\mu_{0} \cdot N \cdot I_{\mathrm{Hsp}}}{R} \\[5pt] B &= \left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{\mu_{0} \cdot 320 \cdot 0,29\; \mathrm{A}}{0,067\; \mathrm{m}} \\[5pt] B &= 1,25 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{T} \end{array}$

Damit lässt sich der experimentelle Wert der spezifischen Ladung berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m_{e}} &= \dfrac{2 \cdot 2500\; \mathrm{V}}{\left(0,16\; \mathrm{m} \cdot 1,25 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{T}\right)^{2}} \\[5pt] \dfrac{e}{m_{e}} &= 1,26 \cdot 10^{11}\; \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m_{e}} &= \dfrac{2 \cdot 2500\; \mathrm{V}}{\left(0,16\; \mathrm{m} \cdot 1,25 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{T}\right)^{2}} \\[5pt] \dfrac{e}{m_{e}} &= 1,26 \cdot 10^{11}\; \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}} \end{array}$

Die prozentuale Abweichung vom Literaturwert (ca. $Formula: 1,7588 \cdot 10^{11} \; \tfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$ $Formula: 1,7588 \cdot 10^{11} \; \tfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$ ) beträgt somit:

$Formula: 1 - \frac{1,2592 \cdot 10^{11}}{1,7588 \cdot 10^{11}} = 0,284 = 28,4 \, \%$ $Formula: 1 - \frac{1,2592 \cdot 10^{11}}{1,7588 \cdot 10^{11}} = 0,284 = 28,4 \, \%$

3.2

Beschreiben der magnetischen Flussdichte

Der Betrag der magnetischen Flussdichte im Innenraum zwischen den beiden Spulen ist in einem kreisförmigen Bereich um den Mittelpunkt Formula: M mit einem Radius von etwa $Formula: 4 \; \mathrm{cm}$ $Formula: 4 \; \mathrm{cm}$ weitgehend konstant. Außerhalb dieses zentralen Bereichs nimmt der Betrag der Flussdichte jedoch nach außen hin deutlich ab.

Beurteilung der Auswirkungen

Aufgrund dieser Inhomogenität bewegen sich die Elektronen am Anfang und am Ende ihrer Flugbahn in der Röhre in einem Bereich mit schwächerem Magnetfeld. Da ein schwächeres Magnetfeld zu einer geringeren Lorentzkraft führt, bewegen sich die Elektronen dort auf einer Bahn mit einem größeren Radius im Vergleich zum mittleren Abschnitt der Flugbahn. Die gesamte Flugbahn lässt sich somit nicht exakt durch einen idealen Kreisbogen beschreiben.

3.3

Wie in Aufgabe 3.2 beschrieben, bewegen sich die Elektronen am Anfang und am Ende ihrer Flugbahn in einem Magnetfeldbereich mit einer kleineren magnetischen Flussdichte als im mittleren Abschnitt ihrer Flugbahn. In diesen Randbereichen verläuft ihre Bahn folglich mit einem größeren Radius.

Da der Berechnung aus Aufgabe 3.1 das (stärkere) Magnetfeld aus dem Zentrum zugrunde liegt, wird der tatsächliche, durchschnittliche Betrag der wirksamen magnetischen Flussdichte entlang der Elektronenbahn systematisch überschätzt. Gemäß der Formel aus 3.1 steht der Parameter Formula: B quadriert im Nenner der Gleichung für die spezifische Ladung. Eine Überschätzung von führt mathematisch somit zwingend zu einem kleineren berechneten Wert für $Formula: \tfrac{e}{m_{{e}}}.$ $Formula: \tfrac{e}{m_{{e}}}.$

Die Inhomogenität des Magnetfeldes in den Randbereichen kommt daher sehr wohl als logische Ursache für den zu kleinen experimentell bestimmten Wert der spezifischen Elektronenladung infrage.

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Vorschlag B1 — Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern – Die Perrin-Röhre

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Material 1: Schematischer Aufbau einer Perrin-Röhre

Material 2: Helmholtz-Spulenpaar

Material 3: Versuchsaufbau Perrin-Röhre mit Helmholtz-Spulenpaar

Material 4: Betrag der magnetischen Flussdichte $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{B}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{B}}$ im Bereich des Helmholtz-Spulenpaars

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Vorschlag B1 — Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern – Die Perrin-Röhre

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Material 1: Schematischer Aufbau einer Perrin-Röhre

Material 2: Helmholtz-Spulenpaar

Material 3: Versuchsaufbau Perrin-Röhre mit Helmholtz-Spulenpaar

Material 4: Betrag der magnetischen Flussdichte im Bereich des Helmholtz-Spulenpaars

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Material 4: Betrag der magnetischen Flussdichte $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{B}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{B}}$ im Bereich des Helmholtz-Spulenpaars