Vorschlag B1

Massenbestimmung mithilfe mechanischer Schwingungen

Astronauten, die sich für längere Zeit in der Erdumlaufbahn in einer Raumstation befinden, verwenden eine spezielle Konstruktion zur Bestimmung ihrer Körpermasse. Material 1 zeigt hierzu die Zeichnung eines sogenannten BMMD (Body Mass Measurement Device): Es handelt sich um einen zweiteiligen Aufbau. In dem einen Teil („Schlitten“) schnallt sich der sitzende Astronaut mit einem Gurt fest, der andere Teil („Schiene“) ist fest mit der gesamten Raumstation verbunden. Der Schlitten ist nahezu reibungsfrei und beweglich auf der Schiene montiert. Durch die angebrachte Schraubenfeder kann der Schlitten zusammen mit dem Astronauten harmonische Schwingungen ausführen. Die Summe der Massen des Schlittens und des Astronauten können im Vergleich zur Gesamtmasse der Station vernachlässigt werden.

Material 1: Zeichnung eines BMMD

1.1

Nenne den Grund dafür, dass ein Astronaut in der Erdumlaufbahn mit einer herkömmlichen Personenwaage nicht seine Masse bestimmen kann.

(2 BE)

1.2

Erläutere ohne Verwendung von Gleichungen das Vorgehen zur Bestimmung der Körpermasse des Astronauten mithilfe des BMMD.

Begründe, weshalb der Astronaut während der Messung angeschnallt sein muss.

(6 BE)

1.3

Im reibungsfreien Fall gilt: Lenkt man die an der Schraubenfeder (Federkonstante $\text D$ ) befestigte Masse $m$ um die Strecke $x_{\max }$ aus der Ruhelage aus und lässt sie bei $t=0 s$ los, schwingt die Masse harmonisch gemäß $x(t)=x_{\max } \cdot \cos (\omega \cdot t)$ um die Ruhelage. Die Gesamtenergie $\text E_{\text {ges }}$ des schwingenden Systems besteht dabei aus Spannenergie $\text E_{ Spann }$ und kinetischer Energie $E_{\text {kin }}:$

Funktion anzeigen

Gib jeweils den zusammengefassten Term für $\text E_{\text {ges }}$ zu den Zeitpunkten $t=0 s$ und $t=\text T / 4$ mit der Schwingungsdauer $\text T$ an.

Leite unter Verwendung dieser beiden Terme die Formel für die Schwingungsdauer $\text T=2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{\text m}{\text D}}$ der Federschwingung her.

(7 BE)

1.4

Der Schlitten des BMMD hat ohne den Astronauten eine Masse von $m_{\text {Sch }}=35 \,\text{kg},$ die Schraubenfeder hat eine Federkonstante von $\text D=1800 \,\text N / \text m.$

Berechne die Masse $\text m_{ \text A }$ des Astronauten, wenn er innerhalb einer Minute genau $39$ volle Schwingungen im BMMD macht.

(6 BE)

Nun soll die Masse $\text m_{ \text E }$ der Erde bestimmt werden. Dies ist mithilfe des Ortsfaktors $g$ an einem bestimmten Punkt auf der Erde möglich.

2.1

Zunächst soll der Ortsfaktor $g$ in einem Labor experimentell bestimmt werden. Material 2 enthält dazu je eine Messreihe für ein Federpendel und ein Fadenpendel.

Prüfe, ob eine Bestimmung von $g$ mit einem Feder- bzw. einem Fadenpendel prinzipiell möglich ist. (Herleitungen von Gleichungen für Schwingungsdauern sind nicht erforderlich.)

Berechne für eine geeignete Messreihe aus Material 2 unter Berücksichtigung aller ihrer Messwerte den Ortsfaktor $g.$ Die Feder bzw. der Faden sind dabei masselos, die Massen punktförmig und es tritt keine Reibung auf. Der Auslenkwinkel ist beim Fadenpendel klein.

Berechne die prozentuale Abweichung von $g$ vom Literaturwert $g_{ \text{EU} - \text M }=9,81 \dfrac{ \text m }{ s ^2}$ für Mitteleuropa.

Material 2: Messreihen zum Feder- und Fadenpendel

Messreihe 1: Federpendel (Federkonstante: D = 15 N/m)

Masse $\color{#fff}{\text m}$ in $\color{#fff}{\text{kg}}$	Schwingungsdauer $\color{#fff}{\text T}$ in $\color{#fff}{s}$
0,5	1,1
1,0	1,6
1,5	2,0
2,0	2,3

Messreihe 2: Fadenpendel (Pendelmasse: m = 0,02 kg)

Fadenlänge $\color{#fff}{l}$ in $\color{#fff}{\text m}$	Schwingungsdauer $\color{#fff}{\text T}$ in $\color{#fff}{s}$
0,5	1,4
1,0	2,0
1,5	2,5
2,0	2,9

(7 BE)

2.2

Das allgemeine Gesetz für den Betrag der Gravitationskraft $\text F$ zwischen zwei Massen $\text m_1$ und $\text m_2$ lautet: $\text F=\text G \cdot \dfrac{\text m_1 \cdot \text m_2}{r^2}$ . Hierbei ist $\text G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \dfrac{ \text m ^3}{ \text{kg} \cdot s ^2}$ die Gravitationskonstante und $r$ der Abstand beider Massenschwerpunkte. Für einen Stein mit der Masse $\text m_{ s }$ auf der Erdoberfläche gilt zudem die bekannte Gleichung $\text F=\text m_{ s } \cdot g.$ Der Abstand des Steins zum Erdmittelpunkt beträgt $6371 \,\text{km}.$

Bestimme die Erdmasse $\text m_{ \text E }$ unter Verwendung von $g_{ \text{EU} - \text M }=9,81 \dfrac{ \text m }{ s ^2}.$

(4 BE)

Der folgende Sachverhalt stellt ein rein theoretisches Gedankenmodell mit einigen zum Teil stark vereinfachenden Annahmen dar:

Es wird angenommen, dass sich in der Erdkugel (Masse $\text m_{ \text E }=5,975 \cdot 10^{24} \,\text{kg},$ Radius $r_{ \text E }=6371 \,\text{km}$ ) vom Nord- zum Südpol ein gerader Tunnel befindet (Material 3).

Man lässt nun am Nordpol einen Stein der Masse $\text m_{ \text S }=1,0 \,\text{kg}$ in den Tunnel fallen. Störende Einflüsse wie z.B. Luftreibung oder Dichteunterschiede im Erdinneren sollen bei den folgenden Überlegungen nicht beachtet werden.

Material 3: Erdkugelmodell mit Tunnel zwischen Nord- und Südpol

3.1

Die Rückstellkraft $F,$ die auf den Stein stets in Richtung Erdmittelpunkt wirkt, hängt von der Entfernung $y$ des Steins vom Erdmittelpunkt ab. Es gilt: $\text F(y)=-\dfrac{g \cdot \text m_{ \text S }}{r_{ \text E }} \cdot y.$

Begründe, dass die Bewegung des Steins in diesem Modell eine harmonische Schwingung um den Erdmittelpunkt darstellt.

Gib die zu dieser harmonischen Schwingung gehörende Differenzialgleichung an.

Zeige, dass $y(t)=r_{ \text E } \cdot \cos (\omega \cdot t)$ eine mögliche Lösungsfunktion der Differenzialgleichung darstellt, und zeige mithilfe von Aufgabe 2.2, dass für die Kreisfrequenz der Lösungsfunktion $\omega=\sqrt{\dfrac{\text G \cdot \text m_{ \text E }}{r_{ \text E }^3}}$ gilt.

(8 BE)

3.2

Bestimme die Zeitdauer einer Schwingung von Nord- zu Nordpol, die Maximalgeschwindigkeit des Steins sowie den Betrag der Beschleunigung auf Höhe des Breitenkreises von Frankfurt am Main (Material 3).

(10 BE)

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1.1

Das Messprinzip einer herkömmlichen Personenwaage beruht auf dem Hookeschen Gesetz, das besagt, dass die Ausdehnung einer Feder proportional zur auf sie wirkenden Kraft ist. Wird die Feder unter dem Gewicht der Person zusammengedrückt, so wirkt die Federkraft der Gewichtskraft entgegen.

In der Erdumlaufbahn existiert die Gegenkraft nicht; es wirkt nur die Gewichtskraft.

1.2

Der BMMD funktioniert wie ein harmonischer Federschwinger: Das System führt harmonische Schwingungen aus, dessen Schwingungsdauer sich messen lässt.

Die Schwingungsdauer ist abhängig von der Masse des Astronauten, der Masse des Schlittens und der Federkonstanten der Schraubenfeder.

Mit der Federkonstanten lässt sich die Masse des schwingenden Systems bestimmen. Die Körpermasse des Astronauten kann bestimmt werden, wenn die Masse des Schlittens bekannt ist.

Der Astronaut muss angeschnallt sein, da er in der Erdumlaufbahn schwerelos ist und aufgrund seiner Trägheit den Bewegungen des Schlittens nicht folgen könnte. Dadurch wäre keine Messung der Schwingungsdauer mehr möglich.

1.3

Rechenweg anzeigen

$E_{\text{ges}}(0 \;\text{s})= \dfrac{1}{2} D \cdot x_{\max }^2$

Rechenweg anzeigen

$E _{\text{ges}}\left(\dfrac{ T }{4}\right)=...$

Herleitung der Formel für die Schwingungsdauer

$E_{\text{ges}}(0 s ) = E _{\text{ges}}\left(\dfrac{ T }{4}\right)$

Rechenweg anzeigen

$\omega=...$

Es gilt $\omega= \dfrac{2\cdot \pi}{T}$ und gleichsetzen ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\dfrac{D}{m}} &=& \dfrac{2\cdot \pi}{T} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{m}{D}} &=& \dfrac{T}{2\cdot \pi}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot (2\cdot \pi) \\[5pt] \sqrt{\dfrac{m}{D}}\cdot 2\cdot \pi &=& T \\[5pt] T &=& 2\cdot \pi\cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} \end{array}$

1.4

$T = 2\cdot \pi\cdot \sqrt{\dfrac{m_{\text{ges}}}{D}}$

Es gilt $m_{\text{ges}}= m_{\text{Sch}} +m_{\text{A}}$

Daraus folgt:

$T = 2\cdot \pi\cdot \sqrt{\dfrac{m_{\text{Sch}} +m_{\text{A}}}{D}}$

Rechenweg anzeigen

$m_{\text{A}}=...$

Mit der Anzahl der Schwingungen pro Minute ergibt sich $T= \dfrac{60 \;\text{s}}{39}= 1,54 \;\text{s}.$

Daraus folgt $m_{\text{A}}$ $=\dfrac{(1,54 \;\text{s})^2}{4\cdot \pi^2}\cdot 1800\;\frac{\text{N}}{\text{m}} -35{\text{kg}}$ $=73\;\text{kg}$

2.1

Eine Bestimmung des Ortsfaktors mithilfe eines Federpendels ist nicht möglich, da die Schwingungsdauer nicht vom Ortsfaktor abhängt, sondern von der schwingenden Masse und der Federkonstanten.

Bei einem Fadenpendel hängt die Schwingungsdauer von der Länge des Fadens und dem Ortsfaktor ab, was die Bestimmung von $g$ ermöglicht.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} T &=& 2\cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{\ell}{g}} &\quad \scriptsize \mid\;:(2\cdot \pi) \\[5pt] \dfrac{T}{2\cdot \pi}&=& \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}&\quad \scriptsize \mid\;(\;)^2 \\[5pt] \dfrac{T^2}{4\cdot \pi^2} &=& \dfrac{\ell}{g} \\[5pt] \dfrac{4\cdot \pi^2}{T^2} &=& \dfrac{g}{\ell} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \ell \\[5pt] \dfrac{4\cdot \pi^2}{T^2} \cdot \ell&=& g \\[5pt] g &=& \dfrac{4\cdot \pi^2}{T^2} \cdot \ell \end{array}$

Fadenlänge $\color{#fff}{\ell}$ in $\color{#fff}{\text{m}}$	Schwingungsdauer $\color{#fff}{T}$ in $\color{#fff}{\text{s}}$	Ortsfaktor $\color{#fff}{g}$ in $\color{#fff}{\frac{\text{m}}{\text{s}}}$
0,5	1,4	10,07
1,0	2,0	9,87
1,5	2,5	9,47
2,0	2,9	9,39

$\overline{g} =\dfrac{10,07 + 9,87 + 9,47 +9,39}{4} \;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ $= 9,7\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Prozentuale Abweichung:

$\dfrac{\Delta g}{g_{\text{EU-M}}}$ $= \dfrac{\overline{g}-g_{\text{EU-M}}}{g_{\text{EU-M}}}$ $= \dfrac{9,7\frac{\text{m}}{\text{s}} - 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}}}$ $=-0,011= -1,1 \%$

2.2

Rechenweg anzeigen

$m_E = 5,97\cdot 10^{24} \;\text{kg}$

3.1

Rückstellkraft: $F(y)=-\dfrac{g \cdot m_s}{r_E} \cdot y$

Harmonische Schwingung um Erdmittelpunkt

Bei einer harmonischen Schwingung gilt: Rückstellkraft ist proportional Auslenkung

Der Erdmittelpunkt stellt die Ruhelage des Steins dar. Wird der Stein ausgelenkt, schwingt er um die Ruhelage.

Aus der Formel $F(y)$ sind $g$ , $m_s$ und $r_E$ konstant, somit ist Ruckstellkraft proportional und Stein schwingt hormonisch.

Differenzialgleichung angeben

Grundgleichung der Mechanik:

$\begin{array}[t]{rll} F&=&m_S \cdot a \\[5pt] &=& m_s \cdot \ddot{y} \end{array}$

$F$ und $F(y)$ gleichsezten:

$\begin{array}[t]{rll} m_s \cdot \ddot{y}&=& -\dfrac{g \cdot m_s}{r_E} \cdot y &\quad \scriptsize \mid\; :m_S \\[5pt] \ddot{y}&=& -\dfrac{g \cdot m_s}{r_E \cdot m_s} \cdot y &\quad \scriptsize \mid\;-\ddot{y} \\[5pt] 0&=& -\dfrac{g}{r_E} \cdot y-\ddot{y} \\[5pt] \ddot{y}+\dfrac{g}{r_E} \cdot y&=& 0 \end{array}$

Lösungsfunktion nachweisen:

1. Schritt: Ableitungen bilden

$y(t)= r_E \cdot \cos (\omega \cdot t)$

$\begin{array}[t]{rll} \dot{y}(t)&=& \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d t}\; y(t) \\[5pt] &=& -r_E \cdot \sin (\omega \cdot t) \cdot \omega \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \ddot{y}(t)&=& \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d t}\; y(t) \\[5pt] &=& -r_E \cdot \cos (\omega \cdot t) \cdot \omega^2 \\[5pt] &=& -\omega^2 \cdot \underbrace{r_E \cdot \cos (\omega \cdot t)}_{y(t)} \\[5pt] &=& -\omega^2 \cdot y(t) \end{array}$

2. Schritt: $y(t)$ und $\ddot{y}(t)$ in DGL einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} \ddot{y}+\dfrac{g}{r_E} \cdot y&=& 0 \\[5pt] -\omega^2 \cdot y(t)+\dfrac{g}{r_E} \cdot y(t)&=& 0 \\[5pt] \left(-\omega^2+\dfrac{g}{r_E}\right) \cdot y(t)&=& 0 \end{array}$

Satz vom Nullprodukt: Die Gleichung ist erfüllt für $y(t)=0$ und für alle Zeiten $t$ mit:

$\begin{array}[t]{rll} -\omega^2+\dfrac{g}{r_E} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+\omega^2 \\[5pt] \dfrac{g}{r_E} &=& \omega^2 \\[5pt] \omega^2 &=& \dfrac{g}{r_E} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \omega &=& \sqrt{ \dfrac{g}{r_E} } \end{array}$

Kreisfrequenz

$\begin{array}[t]{rll} F_G &=& F_{\text{Grav}} \\[5pt] m \cdot g &=& G \cdot \dfrac{m_E}{r_E^2}&\quad \scriptsize \mid\; :m\\[5pt] g &=& G \cdot \dfrac{m \cdot m_E}{r_E^2 \cdot m} \\[5pt] g &=&G \cdot \frac{m_E}{r_E^2} \end{array}$

Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} \omega&=& \sqrt{\dfrac{g}{r_E}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{G \cdot \dfrac{m_E}{r_E^2}}{r_E}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{G \cdot m_E}{r_E \cdot r_E^2}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{G \cdot m_E}{r_E^3}} \end{array}$

3.2

Zeitdauer einer Schwingung

Es gilt: $T= \dfrac{2 \pi }{\omega }$ und

$\omega$ $=\sqrt{\dfrac{ G \cdot m _{ E }}{ r _{ E }^3}}$ $=\sqrt{\dfrac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{ \text{m} ^3}{ \text{kg} \cdot \text{s} ^2} \cdot 5,975 \cdot 10^{24} \text{kg} }{\left(6,371 \cdot 10^6 \text{m} \right)^3}}$ $=1,241 \cdot 10^{-3} \frac{1}{\text{s}}$

Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& \dfrac{2 \pi}{\omega} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \pi}{1,241 \cdot 10^{-3} \frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 5,06 \cdot 10^3 \;\text{s} \\[5pt] &=& 84 \;\text{min} \end{array}$

Maximalgeschwindigkeit

Es gilt: $v(t)=\dot{y}(t)$ , daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} v(t) &=&\dot{y}(t) \\[5pt] &=& -r_E \cdot \omega \cdot \sin (\omega \cdot t) \\[5pt] &=& -v_{\text {max }} \cdot \sin (\omega \cdot t) \end{array}$

Dieser Term wird maximal für $\sin (\omega \cdot t)=1$ , woraus sich folgender Zusammenhang ergibt:

Rechenweg anzeigen

$v_{\text {max }}=7,9 \cdot 10^3 \; \frac{ \text{m}}{\text{s}}$

Beschleunigungsbetrag in der Höhe FRA

Rückstellkraft:

$F\left(y_s\right)$ $=-\dfrac{g_{\text{Eu-M}} \cdot m_S}{r_E} \cdot y_S$

Es gilt:

$F=m\cdot a$ mit $a=g_s$

Gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} F\left(y_S\right)&=& m_s \cdot g_S \\[5pt] -\dfrac{g_{\text{Eu-M}} \cdot m_S}{r_E} \cdot y_S&=& m_s \cdot g_S &\quad \scriptsize \mid\;:m_S \\[5pt] -\dfrac{g_{\text{Eu-M}}}{r_E} \cdot y_S&=& g_S \\[5pt] g_S&=& -\dfrac{g_{\text{Eu-M}}}{r_E} \cdot y_S \end{array}$

Die Länge der Strecke lässt sich berechnen durch:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(50^{\circ})&=& \dfrac{y}{r_E} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot r_E \\[5pt] \sin(50^{\circ})\cdot r_E &=& y \\[5pt] y&=& \sin(50^{\circ})\cdot r_E \end{array}$

Einsetzen der Werte:

$g_s=-\dfrac{g_{\text{Eu-M}}}{r_E} \cdot \sin(50^{\circ})\cdot r_E$

Rechenweg anzeigen

$g_s=7,5 \;\frac{\text{m} }{\text{s}^2}$

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