Vorschlag A1

Schallwellen bei einer Orgel

Die sogenannten Labialpfeifen einer Orgel erzeugen Töne, indem Luft von unten an einer Öffnung vorbei in die Pfeife geblasen wird. Innerhalb der Pfeife bilden sich stehende Wellen aus, wobei die Frequenz der erzeugten Töne abhängig von den Abmessungen der Pfeife ist. Weiterhin überlagern sich die von der Pfeife ausgehenden Schallwellen im Kirchenraum, wodurch es zu verschiedenen Phänomenen im Höreindruck kommt. Die physikalischen Grundlagen dieser Phänomene werden im Folgenden betrachtet.

Verwende, sofern nicht anders angegeben, für die Schallgeschwindigkeit in Luft $c_{\text {Luft }}=340 \dfrac{\text m }{ \text s }$ .

1.1

In Material 1 sind das Ort-Elongation-Diagramm und das Zeit-Elongation-Diagramm einer sich ausbreitenden Schallwelle dargestellt.
Gib die Wellenlänge und die Schwingungsdauer dieser Welle an und berechne ihre Frequenz.
Zeige, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle den oben angegebenen Wert für die Schallgeschwindigkeit hat.

Material 1

Ort-Elongation-Diagramm und Zeit-Elongation-Diagramm

$t=0\,\text s$

hessen physik abi lk 2023 teil a vorschlag a1 material 1 zeit-elongation-diagramm

$x = 0\,\text m$

(5 BE)

1.2

Organisten nehmen einen deutlich bemerkbaren Zeitunterschied zwischen dem Drücken einer Taste und dem Eintreffen des Tons am Ohr wahr. Verzögerungen durch die Mechanik der Orgel sollen vernachlässigt werden.
Berechne die Zeit, die ein Ton für einen Abstand von $15\,\text m$ zwischen der Pfeife und dem Ohr des Organisten benötigt.

(2 BE)

1.3

Eine Orgel muss in regelmäßigen Abständen nachgestimmt werden. Neben Veränderungen der Pfeifenlänge durch Feuchtigkeits- oder Temperaturschwankungen verändert sich auch die Schallgeschwindigkeit mit der Temperatur $\vartheta$ in ${ }^{\circ} C$ nach der Gesetzmäßigkeit

$c(\vartheta)=c_0 \cdot \sqrt{1+\dfrac{\vartheta}{273,15^{\circ} C }}.$

Dabei entspricht $c_0$ der Schallgeschwindigkeit in Luft bei $0^{\circ} C$ mit $c_0=331,5 \dfrac{ \text m }{\text s }$ .
Berechne die Schallgeschwindigkeit bei einer Raumtemperatur von $18^{\circ} C$ .
Bestimme den Temperaturbereich, in dem die Abweichung der Schallgeschwindigkeit maximal $2 \,\%$ zur Schallgeschwindigkeit bei $0{ }^{\circ} C$ beträgt.

(6 BE)

Die sich in einer Orgelpfeife (Material 2) ausbildenden stehenden Wellen besitzen auf der linken Seite einen Geschwindigkeitsbauch. Auf der rechten Seite unterscheidet man zwischen gedackten und offenen Pfeifen. Bei einer gedackten Pfeife ist das obere Ende mit einem Deckel verschlossen und daher befindet sich dort ein Geschwindigkeitsknoten. Der charakteristische Klang einer Orgelpfeife entsteht durch die Mischung von Grundton und Obertönen mit unterschiedlichen Intensitäten. Grundton und Obertöne werden üblicherweise als Grundschwingung und Oberschwingungen bezeichnet.

Material 2

Abbildungen einer gedackten Orgelpfeife zum Einzeichnen der stehenden Wellen

Die Orgelpfeife ist um $90^{\circ}$ gedreht dargestellt. Das obere Ende der Orgelpfeife ist hier rechts.

2.1

Skizziere die Grundschwingung und die ersten beiden Oberschwingungen einer gedackten Pfeife in Material 2.
Ermittle die Wellenlängen der Grundschwingung und der ersten beiden Oberschwingungen einer stehenden Welle in einer gedackten Pfeife der Länge $L=1,5\,\text m.$

(8 BE)

2.2

Ermittle den prozentualen Längenunterschied einer offenen Pfeife zu einer gedackten Pfeife bei gleicher Frequenz der Grundschwingung $f_0$ .
Begründe, dass bei einer gedackten Pfeife keine Oktave (Schwingung mit doppelter Frequenz) als Oberschwingung zum Grundton erzeugt werden kann.

(5 BE)

2.3

In der Praxis des Pfeifenbaus zeigt sich, dass sich der Durchmesser einer offenen Pfeife auf die Wellenlänge der Grundschwingung auswirkt. Es wurde nun der Einfluss des Pfeifendurchmessers $d$ auf die Wellenlänge $\lambda$ der Grundschwingung einer 1,5 m langen Pfeife untersucht. Die Daten der Messreihe sind im Durchmesser-Wellenlängen-Diagramm in Material 3 abgebildet. Bestimme die Gleichung der Ausgleichsgeraden durch die Messpunkte.
Deute die beiden Parameter der Geradengleichung im Sachzusammenhang.
Entscheide und begründe, ob der Ton mit zunehmendem Durchmesser einer Pfeife durch den in Material 3 dargestellten Effekt höher oder tiefer wird.

Material 3

Abhängigkeit der Wellenlänge $\lambda$ vom Durchmesser $d$ der Pfeife

(8 BE)

Da der Ton einer bestimmten einzelnen Pfeife im Orgelklang zu leise ist, wird eine zweite gleiche Pfeife zusätzlich aufgebaut. In Material 4 ist die Situation in einem Kirchenraum dargestellt, in dem die zwei Pfeifen mit derselben Frequenz $f=1760\,\text{Hz}$ ertönen. Nimm für die Aufgaben 3.1 bis 3.3 an, dass die beiden Pfeifen in Phase schwingen.

Material 4

Anordnung von Pfeifen und Personen in einer Kirche

Abstand der beiden Pfeifen: $d_{\text{Pf }}=1,5\,\text m$
Abstand Pfeife-Sitzbank: $e=16\,\text m$

3.1

Obwohl sich Person 2 näher an den Pfeifen befindet als Person 3, kann die Lautstärke für Person 3 größer sein als die Lautstärke für Person 2.
Erkläre den Lautstärkeunterschied qualitativ.

(4 BE)

3.2

Berechne den Abstand $a$ zwischen Person 1 und Person 3, wenn diese beiden Personen im Lautstärkemaximum 1. bzw. 2. Ordnung sitzen. Dabei kann $e \gg d_{ Pf }$ angenommen werden.

(5 BE)

3.3

Untersuche die Auswirkung der Verringerung des Abstands $d_{\text {Pf }}$ der zwei Pfeifen auf die Lage der Maxima und Minima am Ort der Sitzbank.

(2 BE)

3.4

Erkläre mithilfe von Material 5, wie es dazu kommen kann, dass bei der Verwendung von zwei Pfeifen eine Verringerung der Lautstärke auftritt. Untersuche, wie sich der Höreindruck verändert, wenn sich der Graph B der Schwingung der zweiten Pfeife geringfügig nach links verschiebt.

Material 5

Elongation der Schwingung an einem Ort in der Kirche

A: nur erste Pfeife ertönt
B: nur zweite Pfeife ertönt
C: beide Pfeifen ertönen gleichzeitig

(5 BE)

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1.1

Wellenlänge

Die Wellenlänge $\lambda$ ist die Distanz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima oder Minima im Ort-Elongation-Diagramm und repräsentiert die räumliche Periodizität der Welle. Nachdem eine Strecke von $1,7 \text{m}$ zurückgelegt wurde, hat die Welle zwei komplette Schwingungen durchlaufen:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=& \dfrac{1,7 \;\text{m}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,85 \;\text m \end{array}$

Schwingungsdauer

Die Schwingungsdauer $T$ ist die Zeit für eine vollständige Schwingung, ablesbar im Zeit-Elongation-Diagramm:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& 2,5 \;\text{ms} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,5 \cdot 10^{-3} \;\text{s} \end{array}$

Frequenz

Für die Frequenz $f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f&=&\dfrac{1}{T} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2,5 \cdot 10^{-3} \;\text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,0 \cdot 10^2\;\dfrac{1}{\text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,40 \,\text{kHz} \end{array}$

Ausbreitungsgeschwindigkeit

Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} v&=& f\cdot \lambda &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,0 \cdot 10^2\;\dfrac{1}{\text{s}} \cdot 0,85 \;\text m &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 340 \;\dfrac{\text m}{\text s} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& c_{\text{Luft}} \end{array}$

1.2

Für die Zeit $t$ , die ein Ton zwischen der Pfeife und dem Ohr des Organisten benötigt, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} t&=&\dfrac{d}{v} &\quad \scriptsize \mid\; v= c_{\text{Luft}} \\[5pt] &=& \dfrac{d}{c_{\text{Luft}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{15 \;\text m}{340 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,044 \;\text{s} \end{array}$

1.3

Schallgeschwindigkeit

$\begin{array}[t]{rll} c(\vartheta)&=& c_0 \cdot \sqrt{1+\dfrac{\vartheta}{273,15^{\circ} C }}&\quad \scriptsize \\[5pt] c(18^{\circ})&=& 331,5 \;\dfrac{ \text m }{\text s }\cdot \sqrt{1+\dfrac{18^{\circ}}{273,15^{\circ} C }}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 342,2 \;\dfrac{ \text m }{\text s } \end{array}$

Temperaturbereich

$2 \%$ von $c(0^°)$ entspricht:

Rechenweg anzeigen

$\text{Geschwindigkeitsabweichung}= 6,63 \;\dfrac{ \text m }{\text s }$

Für den Bereich der Schallgeschwindigkeit ergibt sich damit:

Rechenweg anzeigen

$324,87 \;\dfrac{ \text m }{\text s }\leq c_{\text{S}} \leq 338,13\;\dfrac{ \text m }{\text s }$

Für die Temperatur $\vartheta$ , bei der eine Schallgeschwindigkeit von $c(\vartheta)$ erreicht wird, gilt:

Rechenweg anzeigen

$\vartheta =\left(\left(\dfrac{c(\vartheta)}{c_0}\right)^2-1\right)\cdot 273,15^°$

Ensetzen der Intervallgrenzen der Schallgeschwindigkeit liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \vartheta&=& \left(\left(\dfrac{c_{\text{min}}}{c_0}\right)^2-1\right)\cdot 273,15^°&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left(\left(\dfrac{324,87 \;\dfrac{ \text m }{\text s }}{331,5 \;\dfrac{ \text m }{\text s }}\right)^2-1\right)\cdot 273,15^°&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -11 ^° \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \vartheta&=& \left(\left(\dfrac{c_{\text{max}}}{c_0}\right)^2-1\right)\cdot 273,15^°&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left(\left(\dfrac{338,13\;\dfrac{ \text m }{\text s }}{331,5 \;\dfrac{ \text m }{\text s }}\right)^2-1\right)\cdot 273,15^°&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 11 ^° \end{array}$

Zwischen $-11^\circ$ und $11^\circ$ liegt der Temperaturbereich, in dem die Abweichung der Schallgeschwindigkeit maximal $2\%$ von der Schallgeschwindigkeit bei $0^\circ \text{C}$ beträgt.

2.1

Wellenlänge

Für die $n$ -te Schwingung einer stehenden Welle in einer gedackten Pfeife mit einem geschlossenen Ende gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_n&=&\dfrac{4 \cdot L}{2 \cdot n+1} \end{array}$

Für die Wellenlängen der Grundschwingung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_0&=&\dfrac{4 \cdot L}{2 \cdot 0+1}&\quad \scriptsize\\[5pt] &=&\dfrac{4 \cdot L}{1}\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 4\cdot L&\quad \scriptsize \mid\; L=1,5 \;\text{m} \\[5pt] &=&4\cdot 1,5 \;\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6 \;\text m \end{array}$

Für die erste Oberschwingung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_1&=&\dfrac{4 \cdot L}{2 \cdot 1+1}&\quad \scriptsize\\[5pt] &=&\dfrac{4 \cdot L}{3}&\quad \scriptsize \mid\;L=1,5 \;\text{m} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}\cdot 1,5 \;\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2\;\text m \end{array}$

Für die zweite Oberschwingung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_2&=&\dfrac{4 \cdot L}{2 \cdot 2+1}&\quad \scriptsize\\[5pt] &=&\dfrac{4 \cdot L}{5}&\quad \scriptsize \mid\; L=1,5 \;\text{m}\\[5pt] &=& 1,5 \;\text{m}\cdot \dfrac{4}{5} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 1,2\;\text{m} \end{array}$

2.2

Prozentualer Längenunterschied

Bei einer gedackten Pfeife beträgt die Wellenlänge der Grundschwingung genau ein Viertel der Länge des Wellenträgers, es gilt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_0&=& 4 L_{\text {gedackt}} \end{array}$

Für die Grundschwingung einer offenen Pfeife mit losen Enden müssen sich an beiden Enden Schwingungsbauchpunkte und in der Mitte ein Schwingungsknoten befinden. Die Wellenlänge der Grundschwingung ist daher die halbe Länge des Wellenträgers:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_0&=& 2 L_{\text {offen }} \end{array}$

Durch die vorausgesetzte Gleichheit der Frequenz und Wellenlänge beider Pfeifen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 4 L_{\text {gedackt}}&=& 2 L_{\text {offen }} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] 2 L_{\text {gedackt}}&=& L_{\text {offen }} &\quad \scriptsize \\[5pt] L_{\text {offen }}&=& 2 L_{\text {gedackt}} \end{array}$

Der prozentuale Längenunterschied der offenen zur gedackten Pfeife beträgt daher:

Rechenweg anzeigen

$\text{Längenunterschied}=100 \%$

Keine Oktave als Oberschwingung bei einer gedackten Pfeife

Für die Eigenfrequenzen einer gedeckten Pfeife gilt:

Rechenweg anzeigen

$f_n=f_0 \cdot \left(2 \cdot n+1\right)$

In einer gedeckten Pfeife sind nur bestimmte Eigenfrequenzen möglich, nämlich $f_0, 3 \cdot f_0, 5 \cdot f_0, \ldots.$ Diese erlauben jedoch keine Kombination, bei der eine Schwingung die doppelte Frequenz einer anderen hat, was für die Erzeugung einer Oktave erforderlich wäre. Im Gegensatz dazu ermöglicht eine offene Pfeife aufgrund ihrer verschiedenen Schwingungsmuster die Bildung einer Oktave.

2.3

Ausgleichsgerade

Für die Ausgleichsgerade gilt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x+c &\quad \scriptsize \mid\; c=3\;\text m\\[5pt] &=& \dfrac{0,5}{0,15} \cdot x+ 3\;\text m &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,3 \cdot x+ 3\;\text m \end{array}$

Koeffizientendeutung

Der Achsenabschnitt auf der senkrechten Achse entspricht der Grundschwingungswellenlänge einer offenen Pfeife mit vernachlässigbarem Durchmesser $d.$ Dies ist die theoretisch erwartete Wellenlänge für eine offene Pfeife der Länge $L=1,5 \,\text{m}.$ Die positive Steigung der Ausgleichsgeraden gibt an, wie sich die Wellenlänge mit zunehmendem Durchmesser ändert. In diesem Fall erhöht sich die Wellenlänge um ca. $3,3 \;\text{cm}$ pro $1 \,\text{cm}.$

Zunehmender Pfeifendurchmesser

Mit zunehmendem Durchmesser der Pfeife bei konstanter Länge steigt die Wellenlänge, was zu einer Abnahme der Frequenz der Grundschwingung führt. Das Ergebnis ist eine tiefere Tonhöhe.

3.1

Die Schallwellen der nebeneinanderstehenden Pfeifen im Kirchenraum sind in Phase, was zu konstruktiver Interferenz führt. An verschiedenen Orten im Raum überlagern sich die Schwingungen, verstärken sich konstruktiv und erhöhen die Lautstärke an bestimmten Stellen. Dies resultiert aus der gleichen Amplitude und Wellenlänge der erzeugten Schallwellen. Orte, an denen Wellenberge aufeinandertreffen, erfahren konstruktive Interferenz und zeigen eine erhöhte Lautstärke. Orte mit Wellenbergen und -tälern in Konflikt erleben destruktive Interferenz, was zu einer Verringerung der Lautstärke führt. Der Gangunterschied bestimmt, ob konstruktive oder destruktive Interferenz auftritt. So kann es sein, dass sich Personen an verschiedenen Orten unterschiedliche Lautstärken wahrnehmen, selbst wenn sie sich gleich weit von den Schallquellen entfernt befinden.

3.2

Die Situation ähnelt der Interferenz an einem Doppelspalt. Dabei entspricht $d_{P f}$ dem Spaltabstand, die senkrechte Entfernung $e$ zwischen den Pfeifen und der ersten Sitzbankreihe dem Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm. Der Abstand zwischen Person 1 und Person 3 entspricht dem Abstand des Intensitätsmaximums 1. Ordnung $(n=1)$ vom Intensitätsmaximum 2. Ordnung $(n=2)$ auf dem Schirm.

Wegen e $\gg d_{P f}$ gelten in diesem Fall für den Beugungswinkel $\alpha_n$ die Formeln:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_n&=& \dfrac{n \cdot \lambda}{d_{P f}}&\quad \scriptsize \left(1\right)\\[5pt] \tan \alpha_n&=&\dfrac{a_n}{e} &\quad \scriptsize \left(2\right)\\[5pt] \end{array}$

Für die jeweiligen Abstände $a_1$ und $a_2$ der beiden Personen von der Mitte des Mittelgangs gilt:

Person $1({n}=1):$

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_1&=&\dfrac{1 \cdot \lambda}{d_{P f}} &\quad \scriptsize \mid\, \lambda=\dfrac{c}{f}\\[5pt] \sin \alpha_1&=& \dfrac{c}{f \cdot d_{P f}} &\quad \scriptsize \mid\, \sin^{-1}\left(\,\right)\\[5pt] \alpha_1&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{c}{f \cdot d_{P f}}\right) \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha_1&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{c}{f \cdot d_{P f}}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sin^{-1} \left(\dfrac{340 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1760 \,\text{Hz} \cdot 1,5 \,\text{m}}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,40^{\circ} \end{array}$

Für den Abstand $a_1$ der Person 1 von der Mitte des Mittelgangs folgt mit der Formel $\left(2\right):$

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha_1&=&\dfrac{a_1}{e}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot e \\[5pt] \tan \alpha_1\cdot e&=& a_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] a_1&=& \tan \alpha_1\cdot e \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a_1&=& \tan \alpha_1\cdot e &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 16 \,\text{m} \cdot \tan\left( 7,40^{\circ}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,80 \,\text{m} \end{array}$

Person $3({n}=2):$

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_2&=&\dfrac{2 \cdot \lambda}{d_{P f}} &\quad \scriptsize \mid\, \lambda=\dfrac{c}{f}\\[5pt] \sin \alpha_2&=& \dfrac{2\cdot c}{f \cdot d_{P f}} &\quad \scriptsize \mid\, \sin^{-1}\left(\,\right)\\[5pt] \alpha_2&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{2\cdot c}{f \cdot d_{P f}}\right) \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha_2&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{2\cdot c}{f \cdot d_{P f}}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sin^{-1} \left(\dfrac{2\cdot 340 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1760 \,\text{Hz} \cdot 1,5 \,\text{m}}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 14,93^{\circ} \end{array}$

Für den Abstand $a_1$ der Person 3 von der Mitte des Mittelgangs folgt mit der Formel $\left(2\right):$

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha_2&=&\dfrac{a_2}{e}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot e \\[5pt] \tan \alpha_2\cdot e&=& a_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] a_2&=& \tan \alpha_2\cdot e \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a_1&=& \tan \alpha_2\cdot e &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 16 \,\text{m} \cdot \tan\left( 14,93^{\circ}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,27 \,\text{m} \end{array}$

Der Abstand der beiden Personen beträgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& a_2-a_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,27 \,\text{m}-2,08 \,\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,19 \,\text m \end{array}$

3.3

Für den Abstand der Pfeifen $d_{\text{PF}}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_n&=& \dfrac{n \cdot \lambda}{d_{P f}}&\quad \scriptsize \mid \,\sin^{-1}\left(\;\right)\\[5pt] \alpha_n&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{n \cdot \lambda}{d_{P f}}\right)&\quad \scriptsize \left(1\right) \\[5pt] \end{array}$

Wenn der Abstand der beiden Pfeifen $d_{{Pf}}$ zueinander verringert wird, so wird der Winkel $\alpha_n$ nach der Formel $\left(1\right)$ größer.

Für den Abstand $a_n$ gilt damit:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha_n&=& \dfrac{a_n }{e}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot e \\[5pt] \tan \alpha_n\cdot e&=& a_n &\quad \scriptsize \\[5pt] a_n&=& \tan \alpha_n\cdot e &\quad \scriptsize \left(2\right) \\[5pt] \end{array}$

Nach der Gleichung $\left(2\right)$ wird mit größerem $\alpha_n$ auch der Abstand $a_n$ der Maxima (bzw. Minima) zum Hauptmaximum größer. Die Orte der Maxima und Minima auf der Sitzbank verschieben sich also weiter weg vom Mittelgang.

3.4

Verringerung der Lautstärke

Am betrachteten Ort in der Kirche überlagern sich die sinusförmigen Schwingungen $A$ und $B$ mit einer Phasenverschiebung. Die resultierende Schwingung $C$ ist die Summe von $A$ und $B$ . Durch die Phasenverschiebung ergibt sich eine geringere Amplitude bei $C$ im Vergleich zu den einzelnen Schwingungen $A$ und $B$ .

Höreindruck

Wenn sich der Graph der Schwingung B nach links verschiebt, nähern sich die Maxima von A den Minima von B an. Dadurch hat die resultierende Schwingung C eine geringere Amplitude, was zu einer leiseren Wahrnehmung des Tons im Kirchenraum führt.

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