Vorschlag A1 – Bewegte Ladungen in Feldern

Die Einheit Ampere wurde bis zum Jahr 2019 über die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern definiert. In Material 1 wird diese Definition angegeben und die prinzipielle experimentelle Anordnung für diese Definition veranschaulicht.

Material 1: Definition der Einheit Ampere

Die Einheit Ampere wurde bis zum Jahr 2019 folgendermaßen definiert:

1 Ampere ist die Stärke des zeitlich konstanten elektrischen Stroms, der im Vakuum zwischen zwei parallelen, unendlich langen, geraden Leitern mit vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt und dem Abstand von $1 \,\text m$ zwischen diesen Leitern eine Kraft von $2 \cdot 10^{-7}$ Newton pro Meter Leiterlänge hervorrufen würde.

Quelle: Ampere/Wikipedia, CC-BY-SA-3.0

Veranschaulichung der Anordnung

1.1

Skizziere den Verlauf der magnetischen Feldlinien des linken stromdurchflossenen Leiters in Material 1.

Untersuche, ob sich die stromdurchflossenen Leiter gegenseitig anziehen oder abstoßen.

(6 BE)

1.2

Das Magnetfeld eines geraden Leiters, der von einem elektrischen Strom der Stärke $I$ durchflossen wird, besitzt im Abstand $r$ die magnetische Flussdichte $B=\dfrac{\mu_0 \cdot I}{2 \pi \cdot r}.$

Bestätige durch eine Rechnung, die die Einheiten einbezieht, dass die in Material 1 angegebenen Kraft unter den dort angegebenen Rahmenbedingungen tatsächlich den Betrag $2 \cdot 10^{-7} \text N$ besitzt.

(4 BE)

Seit dem Jahr 2019 basiert die Definition der Einheit Ampere auf der Elementarladung $e.$ Diese lässt sich bei bekannter Elektronenmasse $\text m_{ e }$ aus der spezifischen Ladung $e / \text m_{ e }$ eines Elektrons berechnen. Im Folgenden soll diese experimentell bestimmt werden. Der prinzipielle Aufbau dazu ist in Material 2 dargestellt. Mit einem Helmholtzspulenpaar wird ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte $B$ in einem Fadenstrahlrohr erzeugt. Die Elektronen werden mit der Spannung $U_{ \text B }$ beschleunigt, anschließend senkrecht zu den Feldlinien in das homogene Magnetfeld eingeschossen und so auf eine Kreisbahn mit dem Radius $r$ gelenkt.

Material 2: Aufbau zur Bestimmung der spezifischen Ladung eines Elektrons

2.1

Gib an, welche Richtung das homogene Magnetfeld besitzen muss, damit die Elektronen die kreisförmige Bahn in der schematischen Darstellung von Material 3 durchlaufen.

Zeichne in Material 3 an beliebiger Stelle der Bahn ein Elektron, den Geschwindigkeitsvektor dieses Elektrons und die Richtung der Lorentzkraft auf dieses Elektron ein.

Begründe, dass die Flugbahn der Elektronen eine Kreisbahn ist.

Material 3: Schematische Darstellung des Fadenstrahlrohrs (ohne Helmholtzspulenpaar)

(5 BE)

2.2

Berechne die Geschwindigkeit der Elektronen nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung $U _{ B }=200 \,\text V.$

(3 BE)

2.3

Leite die Beziehung $\dfrac{ e }{ \text m _{ e }}=\dfrac{2 U _{ B }}{ B ^2 \cdot r ^2}$ für die spezifische Ladung eines Elektrons her.

(4 BE)

2.4

In einer Messreihe wurden, die in Material 4 tabellarisch dargestellten Werte gemessen und daraus jeweils die spezifische Ladung eines Elektrons bestimmt.

Bestimme den fehlenden Wert für Messung 5 und anschließend mithilfe aller 5 Messungen einen Wert für die spezifische Ladung eines Elektrons.

Berechne die prozentuale Abweichung dieses Wertes vom Literaturwert.

Material 4: Messreihe zur Bestimmung der spezifischen Elektronenladung

Tabelle anzeigen

Messung	$\color{#fff} {U} _{ \color{#fff} {B} }$ in $\color{#fff}{\text V}$	$\color{#fff}{ B}$ in $\color{#fff} {\text{mT}}$	$\color{#fff}{r}$ in $\color{#fff}{\text{cm}}$	$\color{#fff}{\dfrac{ e }{ \text m _{ e }}}$ in $\color{#fff}{10^{11}}\color{#fff}{ \dfrac{ \text C }{ \text {kg} }}$
1	150	1,00	4,1	1,78
2	200	1,00	4,8	1,74
3	250	1,00	5,3	1,78
4	250	1,25	4,3	1,73
5	250	1,75	3,0

(5 BE)

2.5

Die Beschleunigungsspannung $U _{ B }$ ist konstant.

Untersuche mithilfe der in Aufgabe 2.3 angegebenen Formel die funktionale Abhängigkeit des Kreisbahnradius $r$ von der magnetischen Flussdichte $B.$

Bestätige diese Abhängigkeit anhand von drei geeigneten Messungen in Material 4.

(6 BE)

2.6

Bestätige, dass bei konstantem Magnetfeld die Zeit, die ein Elektron für das Durchlaufen einer Kreisbahn benötigt, unabhängig vom Radius der Kreisbahn und unabhängig von der Geschwindigkeit des Elektrons ist.

Berechne die Zeit für einen Umlauf bei der magnetischen Flussdichte $B =1 \,\text{mT}$ und bestätige die Einheit des Ergebnisses mit einer Einheitenrechnung.

(6 BE)

Ein Zyklotron ist ein Teilchenbeschleuniger, der in der Medizin und in der physikalischen Forschung eingesetzt wird. In dem in Material 5 abgebildeten Zyklotron verlassen die Protonen die Quelle mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit und durchlaufen mehrfach die Beschleunigungsspannung $U _{ B }$ , die zwischen zwei hohlen, halbkreisförmigen Elektroden anliegt. Die Protonen werden so mehrfach in dem homogenen elektrischen Feld im Spalt zwischen den beiden Elektroden beschleunigt. Um dies zu ermöglichen, werden die Protonen mithilfe eines homogenen Magnetfelds auf halbkreisförmige Bahnen abgelenkt. Die Zeit zum Durchlaufen der Beschleunigungsspannung kann im Vergleich zu der Zeit zum Durchlaufen der halbkreisförmigen Bahn jeweils vernachlässigt werden. Die Beschleunigungsspannung $\text U _{ B }$ wird mit einer bestimmten, festen Frequenz umgepolt. Die ganze Anordnung befindet sich in einer Vakuumkammer.

Material 5: Schematische Darstellung eines Zyklotrons

3.1

Erkläre mithilfe von Aufgabe 2.6, dass die Beschleunigungsspannung ${U} _{ B }$ mit einer bestimmten, festen Frequenz umgepolt werden muss.

(3 BE)

3.2

Die Protonen werden in dem Zyklotron mit der magnetischen Flussdichte $B =0,6 \,\text T$ auf eine Endgeschwindigkeit von $v =0,1 \,c$ beschleunigt, mit der sie das Zyklotron verlassen.

Berechne den Radius der Kreisbahn nach der letzten Beschleunigung und die maximale Energie der Protonen in der Einheit $\text{MeV}.$

(4 BE)

3.3

Untersuche, ob die in Material 5 dargestellte gleichmäßige Vergrößerung der Bahnradien der halbkreisförmigen Protonenbahnen der Realität entspricht.

(4 BE)

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1.1

Untersuchung der Anziehung zwischen den Leitern

Die beiden Leiter haben die gleiche Stromrichtung. Die bewegten Elektronen eines Leiters erfahren eine Lorentzkraft durch das Magnetfeld des jeweils anderen Leiters. Die beiden stromdurchflossenen Leiter ziehen sich gegenseitig an.

1.2

Rechenweg anzeigen

$F_{\text{mag}} =I^2_ \cdot \ell \cdot \dfrac{\mu_0 }{2 \pi \cdot r}$

Einsetzen der Werte in die Formel gibt:

Rechenweg anzeigen

$F_{\text{mag}}\approx 2 \cdot 10^{-7} \text{N}$

2.1

Richtung des Magnetfeldes

Mit der Linke-Hand-Regel ergibt sich: Dass die Flugbahn der Elektronen eine Kreisbahn ergibt, muss auf die Elektronen eine Lorentzkraft Richtung Kreismittelpunkt wirken. Das Magnetfeld ist in die Zeichenebene hinein gerichtet.

Einzeichnen des Elektrons

Begründung der kreisförmigen Flugbahn der Elektronen

Auf ein Elektron im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft. Die momentane Geschwindigkeit, die Magnetfeldrichtung und die Lorentzkraft stehen senkrecht zueinander. Bei konstantem Geschwindigkeitsbetrag des Elektrons wirkt eine in der Ebene liegende Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung. Diese Zentripetalkraft führt zu einer kreisförmigen Flugbahn der Elektronen.

2.2

Gegeben: $U_B= 200 \;\text{V}$

Gesucht: $v$

Lösung:

Ansatz: Mittels Beschleunigungsspannung $U_B$ werden die Elektronen beschleunigt, und dann senkrecht in das homogene Magnetfeld eingeschossen. Die Energie des elektrischen Feldes wird in in kinetische Energie der Elektronen umgewandelt.

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{el}}&=& E_{\text{kin}} &\quad \scriptsize \\[5pt] e \cdot U_{\text{B}}&=& \dfrac{1}{2} m_{e} \cdot v^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{m_{\text{e}}}\\[5pt] \dfrac{2\cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}} &=& v^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2\cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}}}&=& v \\[5pt] v&=& \sqrt{\dfrac{2\cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}}} \end{array}$

Einsetzen der Werte:

$\begin{array}[t]{rll} v &=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \;\text{C} \cdot 200 \;\text{V}}{9,11 \cdot 10^{-31} \;\text{kg}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8,39 \cdot 10^6 \;\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

2.3

Ansatz: Auf die beschleunigten Elektronen im homogenen Magnetfeld wirkt eine Lorentzkraft. Diese ist immer zum Kreismittelpunkt gerichtet und wirkt als Zentripetalkraft.

$\begin{array}[t]{rll} F_{\text{Z}}&=& F_{\text{L}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{m_{e} \cdot v^2}{r}&=& e \cdot v \cdot B &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{v \cdot B} \\[5pt] \dfrac{m_{e} \cdot v^2}{r \cdot v \cdot B }&=& e &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{m_{e}} \\[5pt] \dfrac{v}{r \cdot B }&=& \dfrac{e}{m_{e}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Es ist $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}}},$ damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m_{e}}&=& \dfrac{v}{r \cdot B } &\quad \scriptsize \mid\; v = \sqrt{\dfrac{2\cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}}}\\[5pt] \dfrac{e}{m_{\text{e}}}&=& \dfrac{\sqrt{\dfrac{2\cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{e}}}}{r \cdot B }&\quad \scriptsize \mid\; \left(\;\right)^2\\[5pt] \dfrac{e^2}{m^2_{\text{e}}}&=& \dfrac{\dfrac{2\cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{e}}}{r^2 \cdot B^2 }&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{e^2}{m^2_{\text{e}}}&=& \dfrac{2\cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}\cdot r^2 \cdot B^2 }&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{m_{\text{e}}}{e} \\[5pt] \dfrac{e}{m_{\text{e}}}&=& \dfrac{2 \cdot U_{\text{B}}}{B^2 \cdot r^2} \end{array}$

2.4

Berechnung des fehlenden Wertes

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{e}{m_{\text{e}}} = 1,81 \cdot 10^{11} \;\dfrac{\text{C}}{\text{kg}}$

Spezifische Ladung bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\overline{\dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}}}= 1,77 \cdot 10^{11} \dfrac{\text{C}}{\text{kg}}$

Prozentuale Abweichung berechnen

Der Literaturwert für die spezifische Elektronenladung beträgt etwa $\dfrac{e}{m_{\text{e}, \text{Lit}}} \approx 1,759 \cdot 10^{11} \;\dfrac{\text{C}}{\text{kg}}.$

Für die prozentuale Abweichung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1,77-1,759}{1,759}&\approx & 0,0063&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,63 \% \end{array}$

Im Vergleich zum Literaturwert weist der gemessene Wert folglich eine Abweichung von $0,63 \%$ auf.

2.5

Untersuchung der Abhängigkeit

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m_{\text{e}}}&=& \dfrac{2 \cdot U_{\text{B}}}{B^2 \cdot r^2 } &\quad \scriptsize \mid\; \cdot r^2 \\[5pt] r^2\cdot \dfrac{e}{m_{\text{e}}}&=& \dfrac{2 \cdot U_{\text{B}}}{ B^2 } &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{ m_e}{e} \\[5pt] r^2&=& \dfrac{2 \cdot U_{\text{B}}\cdot m_e}{ B^2\cdot e } &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sqrt{\;} \\[5pt] r&=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\text{B}}\cdot m_e}{ B^2\cdot e }} &\quad \scriptsize \\[5pt] r&=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\text{B}}\cdot m_e}{ e }}\cdot \dfrac{1}{B} \end{array}$

Da $\sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\text{B}}\cdot m_e}{ e }}$ konstant ist, gilt $r \sim \dfrac{1}{B}.$

Bestätigung durch Messungen in Material 4

Nur Messwerte mit einer konstanten Beschleunigungsspannung sollten verwendet werden, um die Proportionalität zu bestätigen. Die Messungen 3.,4. und 5. haben jeweils die gleiche Beschleunigungsspannung.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} r&\sim& \dfrac{1}{B} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot B\\[5pt] r\cdot B&=& \text{konstant} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Tabelle anzeigen

Messung	$\color{#fff} {\text U} _{ \color{#fff} {\text B} }$ in $\color{#fff}{\text V}$	$\color{#fff}{\text B}$ in $\color{#fff} {\text{mT}}$	$\color{#fff}{r}$ in $\color{#fff}{\text{cm}}$	$\color{#fff}{\dfrac{ e }{ \text m _{ e }}}$ in $\color{#fff}{10^{11}}\color{#fff}{ \dfrac{ \text C }{ \text {kg} }}$
1	150	1,00	4,1	1,78
2	200	1,00	4,8	1,74
3	250	1,00	5,3	1,78
4	250	1,25	4,3	1,73
5	250	1,75	3,0

Die Werte für $B \cdot r$ sind bei gleicher Beschleunigungsspannung im Rahmen der Messunsicherheiten gleich. Damit ist die Proportionalität verifiziert.

2.6

Unabhängigkeit der Umlaufzeit

Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} F_{\text{Z}}&=& F_{\text{L}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{m_{e} \cdot v^2}{r}&=& e \cdot v \cdot B &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{r}{m_e} \\[5pt] v^2&=& \dfrac{e\cdot v\cdot B\cdot r}{m_e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{v} \\[5pt] v&=& \dfrac{e\cdot B\cdot r}{m_e} &\quad \scriptsize \mid \; v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{2\pi\cdot r}{T} \\[5pt] \dfrac{2\pi\cdot r}{T} &=& \dfrac{e\cdot B\cdot r}{m_e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{T}{r}\\[5pt] 2\pi &=& \dfrac{e\cdot B}{m_e}\cdot T &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{m_e}{e\cdot B} \\[5pt] \dfrac{2\pi\cdot m_e}{e\cdot B} &=& T &\quad \scriptsize \\[5pt] T &=& \dfrac{2\pi\cdot m_e}{e\cdot B} &\quad \scriptsize \end{array}$

$T$ ist folglich nur von $B$ abhängig, da die anderen Werte konstant sind. Somit ist die Zeit, die ein Elektron für das Durchlaufen einer Kreisbahn benötigt, unabhängig vom Radius der Kreisbahn und unabhängig von der Geschwindigkeit des Elektrons.

Umlaufzeit berechnen

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& \dfrac{2\pi\cdot m_e}{e\cdot B} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2\pi}{\dfrac{e}{m_e}\cdot B} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{2 \pi}{1,759 \cdot 10^{11} \;\dfrac{\text{C}}{\text{kg}} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \;\text{T}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6 \cdot 10^{-8} \;\text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 36 \;\text{ns} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einheitenbetrachtung:

$\begin{array}[t]{rll} \left[\dfrac{2\pi}{\dfrac{e}{m_e}\cdot B} \right]&=&\dfrac{1}{\dfrac{\text{C}}{\text{kg}} \cdot \text{T}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\text{kg}}{\text{As} \cdot \dfrac{\text{Vs}}{\text{m}^2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{VA} \cdot \text{s}^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\text{Nm}}{\text{VA}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\text{J}}{\dfrac{\text{J}}{\text{s}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \text{s} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left[T\right] \end{array}$

3.1

In Teilaufgabe 2.6 wurde gezeigt, dass die Umlaufdauer des Elektrons nur vom Magnetfeld abhängt. Sie ist unabhängig von dem Radius der Kreisbahn und von der Umlaufzeit des Elektrons. Folglich benötigt das Elektron für eine halbe Umdrehung auf seiner Kreisbahn immer die gleiche Zeit. Deshalb kann der Kondensator mit nur einer festen Frequenz umgepolt werden.

3.2

Gegeben: $B= 0,6 \;\text{T},$ $v= 0,1 \;c,$ $m_P,$ $q_P$

Gesucht: $r$

Lösung:

Kreisbahnradius berechnen

$\begin{array}[t]{rll} F_{\text{Z}}&=& F_{\text{L}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{m_{p} \cdot v^2}{r}&=& q_{p} \cdot v \cdot B &\quad \scriptsize \mid\; \cdot r\\[5pt] m_{p} \cdot v^2&=& q_{p} \cdot v \cdot B\cdot r &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{q_{p}\cdot v \cdot B } \\[5pt] \dfrac{m_{p} \cdot v^2}{q_{p} \cdot v \cdot B }&=& r &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{m_{p} \cdot v}{q_{p} \cdot B }&=& r &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$r= 0,52 \;\text{m}$

Maximale Energie berechnen

Es gilt für die kinetische Energie:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text {kin }}&=& \dfrac{1}{2}\cdot m_P \cdot v^2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$E_{\text {kin }} =4,7 \;\text{MeV}$

3.3

Für die Radien der Kreisbahnen gilt: $r=\dfrac{m_{p} \cdot v}{q_{p} \cdot B }$

Wenn die Geschwindigkeit $v$ gleichmäßig zunimmt und die spezifische Ladung $\dfrac{q_p}{m_p}$ des Protons sowie die magnetische Flussdichte $B$ konstant bleiben, nimmt der Radius der Kreisbahn gleichmäßig zu. Bei großen Geschwindigkeiten ( $v > 0,1 \cdot c$ ) darf die relativistische Massenzunahme nicht vernachlässigt werden. Dadurch wird für die gleiche Geschwindigkeitszunahme unterschiedlich viel Energie benötigt. Die Geschwindigkeitszunahme der Protonen ist daher immer geringer, wodurch der Bahnradius und der Abstand zwischen den Umlaufbahnen kleiner werden. Im relativistischen Fall ist die Masse geschwindigkeitsabhängig, was die Umlaufdauer beeinflusst. Beschleunigte geladene Teilchen wie das Proton emittieren elektromagnetische Strahlung, wodurch ihre Energie pro Umlauf abnimmt.

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