Vorschlag A2 — Elektromagnetischer Schwingkreis und Radargeräte

Radargeräte werden zur Positions- und Geschwindigkeitsbestimmung von Objekten genutzt. Sie senden elektromagnetische Wellen aus, welche auch Radarwellen genannt werden.

Ursprung einer Radarwelle ist eine elektromagnetische Schwingung. Elektromagnetische Schwingungen können am Beispiel des Schwingkreises (Material 1) genauer untersucht werden. Die Schwingung im Schwingkreis soll stets als ungedämpft angesehen werden.

1.1

Zum Zeitpunkt $Formula: t=0 \; \mathrm{s}$ $Formula: t=0 \; \mathrm{s}$ ist der Kondensator eines Schwingkreises mit der Schwingungsdauer $Formula: \text { T }$ $Formula: \text { T }$ vollständig geladen. Beschreibe für den Zeitraum einer Viertelschwingungsdauer den zeitlichen Verlauf der Größen Stromstärke Formula: I, Spannung Formula: U am Kondensator, magnetische Flussdichte Formula: B (*) in der Spule und elektrische Feldstärke Formula: E im Kondensator.

(*) Die magnetische Flussdichte wird in manchen Lehrbüchern auch als magnetische Feldstärke bezeichnet

5 BE

1.2

Die Spannung am vollständig geladenen Kondensator beträgt $Formula: U_\mathrm{\max }=30 \; \mathrm{V}.$ $Formula: U_\mathrm{\max }=30 \; \mathrm{V}.$ Die Kapazität des Kondensators beträgt $Formula: C=0,1 \; \mu \mathrm{F}$ $Formula: C=0,1 \; \mu \mathrm{F}$ und die Induktivität der Spule $Formula: L=50 \; \mathrm{mH}.$ $Formula: L=50 \; \mathrm{mH}.$

Berechne die Frequenz Formula: f_0 und bestimme die Amplitude der Stromstärke $Formula: I_\mathrm{max }$ $Formula: I_\mathrm{max }$ der Schwingung.

6 BE

1.3

Erkläre die Rechenschritte (i) bis (iii) in Material 2, welche auf die Differenzialgleichung eines ungedämpften Schwingkreises führen.

4 BE

1.4

Zeige, dass $Formula: I(t) = I_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: I(t) = I_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ unter der Bedingung $Formula: \omega = \tfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ $Formula: \omega = \tfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ eine Lösung für die Differenzialgleichung in Material 2 darstellt.

5 BE

1.5

Im Straßenverkehr können Radargeräte verwendet werden, die Radarwellen mit einer Frequenz von $Formula: f = 25 \; \mathrm{GHz}$ $Formula: f = 25 \; \mathrm{GHz}$ aussenden. Diese können mit Schwingkreisen erzeugt werden, welche mit der Frequenz schwingen.

Berechne für einen Schwingkreis mit dieser Frequenz das Produkt $Formula: L\cdot C.$ $Formula: L\cdot C.$ Bestätige, dass das Ergebnis in der Größenordnung $10^{-23} \; \mathrm{s}^2$ liegt.

4 BE

Um mit Radarwellen die Geschwindigkeit eines Objekts zu bestimmen, wird der Dopplereffekt genutzt. Für elektromagnetische Wellen wird die Frequenz der empfangenen Radarwelle mit der Formel

$Formula: f_E = f_S \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}$ $Formula: f_E = f_S \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}$

berechnet.

Dabei ist Formula: v die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger, $Formula: \text { c}$ $Formula: \text { c}$ die Lichtgeschwindigkeit und Formula: f_E bzw. Formula: f_S die Frequenz der empfangenen bzw. ausgesendeten Radarwelle. Wenn sich Sender und Empfänger annähern, ist positiv, ansonsten negativ.

Ein Radargerät sendet Radarwellen mit $Formula: f_S = 25 \; \mathrm{GHz}$ $Formula: f_S = 25 \; \mathrm{GHz}$ in Richtung eines bewegten Fahrzeugs aus. Zunächst kann dieses Fahrzeug als Empfänger der Radarwelle betrachtet werden. Die ankommende Welle hat am Ort des Fahrzeugs somit aufgrund des Dopplereffekts die Frequenz Formula: f_E. Das Fahrzeug reflektiert nun diese Radarwelle, es wird selbst zum Sender. Auch diese am Fahrzeug reflektierte Welle wird dann wieder durch den Dopplereffekt verändert und vom Sensor des Radargeräts wird eine Radarwelle mit der Frequenz $Formula: f_{\mathrm{Sensor}}$ $Formula: f_{\mathrm{Sensor}}$ detektiert.

2.1

Begründe mithilfe der gegebenen Gleichung für den Dopplereffekt, dass die vom Sensor des Radargeräts empfangene Frequenz

$Formula: f_{\mathrm{Sensor}} = f_S \cdot \frac{c + v}{c - v}$ $Formula: f_{\mathrm{Sensor}} = f_S \cdot \frac{c + v}{c - v}$

beträgt.

3 BE

2.2

Die vom Radargerät detektierte Radarwelle mit Frequenz $Formula: f_{\mathrm{Sensor}}$ $Formula: f_{\mathrm{Sensor}}$ wird im Radargerät mit einer Welle der ursprünglichen Frequenz $Formula: \mathrm{f}_{\mathrm{S}}$ $Formula: \mathrm{f}_{\mathrm{S}}$ überlagert. Dabei entsteht eine Schwebung mit der Schwebungsfrequenz $Formula: f_{\mathrm{Schwebung}} = |f_{\mathrm{Sensor}} - f_S|.$ $Formula: f_{\mathrm{Schwebung}} = |f_{\mathrm{Sensor}} - f_S|.$

Erläutere, was unter einer Schwebung verstanden wird.

Bestätige mithilfe der Gleichung aus Aufgabe 2.1, dass für die Schwebungsfrequenz

$Formula: \mathrm{f}_{\text {Schwebung }}=\mathrm{f}_{\mathrm{S}} \cdot \frac{2 \cdot|\mathrm{v}|}{\mathrm{c}-\mathrm{v}}$ $Formula: \mathrm{f}_{\text {Schwebung }}=\mathrm{f}_{\mathrm{S}} \cdot \frac{2 \cdot|\mathrm{v}|}{\mathrm{c}-\mathrm{v}}$

gilt.

5 BE

2.3

In der Radartechnik wird anstelle der Formel aus Aufgabe 2.2 die Näherungsformel

$Formula: f_{\mathrm{Schwebung}} = f_S \cdot \frac{2 \cdot |v|}{\lambda_S}$ $Formula: f_{\mathrm{Schwebung}} = f_S \cdot \frac{2 \cdot |v|}{\lambda_S}$

verwendet. Dabei ist $Formula: \lambda_{S}$ $Formula: \lambda_{S}$ die Wellenlänge der vom Radargerät ausgesendeten Radarwelle.

Begründe, dass für Geschwindigkeiten, wie sie im Straßenverkehr auftreten, diese Formel eine plausible Näherung darstellt.

Berechne mit dieser Näherungsformel den Betrag der Relativgeschwindigkeit $Formula: \text {v}$ $Formula: \text {v}$ des Fahrzeugs, wenn $Formula: f_{\mathrm{Schwebung}} = 4900 \; \mathrm{Hz}$ $Formula: f_{\mathrm{Schwebung}} = 4900 \; \mathrm{Hz}$ beträgt.

8 BE

Viele moderne Fahrzeuge verfügen über Radargeräte, um durch Geschwindigkeitsanpassungen den nötigen Sicherheitsabstand zum vorausfahrenden Fahrzeug zu halten. Dazu ist es notwendig, kontinuierlich den Abstand und die Relativgeschwindigkeit zum vorausfahrenden Fahrzeug zu bestimmen. In der Praxis kann hier ein frequenzmoduliertes Dauerstrichradar Verwendung finden. Dabei wird ein Signal mit linear an- und absteigender Frequenz ausgesendet und vom vorausfahrenden Auto reflektiert. Das reflektierte Signal kommt zeitlich und durch den Dopplereffekt um den Betrag $Formula: \Delta f$ $Formula: \Delta f$ verschoben bei dem hinterherfahrenden Auto an. Hieraus kann mit der Formel $Formula: \Delta f = \tfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_S},$ $Formula: \Delta f = \tfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_S},$ bei bekannter Wellenlänge $Formula: \lambda_{S}$ $Formula: \lambda_{S}$ des Senders der Betrag der Relativgeschwindigkeit Formula: v zwischen den beiden Fahrzeugen bestimmt werden. Material 3 zeigt ein mögliches Zeit-Frequenz-Diagramm für das gesendete und reflektierte Signal.

3.1

Bestimme mithilfe von Material 3 den Abstand zwischen den beiden Fahrzeugen.

3 BE

3.2

Bestimme mithilfe von Material 3 die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Fahrzeugen und prüfe, ob sich die Fahrzeuge annähern oder voneinander entfernen.

7 BE

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1.1

Zu Beginn des Beobachtungszeitraums () ist die gesamte Energie des Systems im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Da der Kondensator vollständig geladen ist, erreichen die elektrische Feldstärke sowie die Spannung ihren Maximalwert, während die Stromstärke im Stromkreis und somit auch die magnetische Flussdichte noch null sind.
Im darauffolgenden Intervall ( $Formula: 0 < t < \tfrac{T}{4}$ $Formula: 0 < t < \tfrac{T}{4}$ ) setzt der Entladevorgang ein, die Spannung und die elektrische Feldstärke nehmen ab. Parallel dazu baut sich in der Spule durch den ansteigenden Stromfluss ein Magnetfeld auf, sodass die Stromstärke und die magnetische Flussdichte zunehmen. Dadurch wird die elektrische Energie immer mehr in magnetische Energie umgewandelt.
Nach einem Viertel der Schwingungsdauer ( $Formula: t = \tfrac{T}{4}$ $Formula: t = \tfrac{T}{4}$ ) ist der Kondensator vollständig entladen, die elektrische Feldstärke und die Spannung sind null, während die Stromstärke und die magnetische Flussdichte maximal sind. Die gesamte Energie des Systems ist im Magnetfeld der Spule gespeichert.

1.2

Berechnung der Frequenz

Die Eigenfrequenz Formula: f_0 des idealen Formula: LC- Schwingkreises wird mithilfe der Thomson-Gleichung ermittelt:

$Formula: f_0=\frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}.$ $Formula: f_0=\frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}.$

Einsetzen der angegebenen Werte:

$Formula: \begin{array}{rll} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{50 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{H} \cdot 0,1 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{F}}} \\[5pt] & = & 2,25 \cdot 10^3 \; \mathrm{Hz} \\[5pt] & = & 2,25 \; \mathrm{kHz} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} f_0 & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{50 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{H} \cdot 0,1 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{F}}} \\[5pt] & = & 2,25 \cdot 10^3 \; \mathrm{Hz} \\[5pt] & = & 2,25 \; \mathrm{kHz} \end{array}$

Bestimmung der maximalen Stromstärke

Die maximale Stromstärke $Formula: I_\text{max}$ $Formula: I_\text{max}$ lässt sich über den Energieerhaltungssatz herleiten. Die maximale elektrische Energie im Kondensator $Formula: E_{\text {Kondensator, max }}$ $Formula: E_{\text {Kondensator, max }}$ entspricht der maximalen magnetischen Energie in der Spule $Formula: E_{\text {Spule, max}}:$ $Formula: E_{\text {Spule, max}}:$

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\text{Kondensator, max}} & = & E_{\text{Spule, max}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} C \cdot U_{\max}^2 & = & \dfrac{1}{2} L \cdot I_{\max}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\text{Kondensator, max}} & = & E_{\text{Spule, max}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} C \cdot U_{\max}^2 & = & \dfrac{1}{2} L \cdot I_{\max}^2 \end{array}$

Das kann nach der maximalen Stromstärke $Formula: I_\text{max}$ $Formula: I_\text{max}$ aufgelöst werden:

$Formula: I_{\mathrm{max}} = U_{\mathrm{max}} \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}.$ $Formula: I_{\mathrm{max}} = U_{\mathrm{max}} \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}.$

Einsetzen der angegebenen Werte:

$Formula: \begin{array}{rll} I_{\max} & = & U_{\max} \cdot \sqrt{\dfrac{C}{L}} \\[5pt] & = & 30 \; \mathrm{V} \cdot \sqrt{\dfrac{0,1 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{F}}{50 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{H}}} \\[5pt] & = & 0,042 \; \mathrm{A} \\[5pt] & = & 42 \; \mathrm{mA} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} I_{\max} & = & U_{\max} \cdot \sqrt{\dfrac{C}{L}} \\[5pt] & = & 30 \; \mathrm{V} \cdot \sqrt{\dfrac{0,1 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{F}}{50 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{H}}} \\[5pt] & = & 0,042 \; \mathrm{A} \\[5pt] & = & 42 \; \mathrm{mA} \end{array}$

1.3

Schritt (i)	Hier kommt die Maschenregel (Kirchhoff´sche Regel) zur Anwendung. Die Summe aller Teilspannungen in einer geschlossenen Leiterschleife ist null. Somit kompensieren sich die Kondensatorspannung und die Induktionsspannung der Spule im Schwingkreis gegenseitig, heben sich also gegenseitig auf ().
Schritt (ii)	Für die Spannung am Kondensator gilt $Formula: U_C(t) = \tfrac{Q(t)}{C}$ $Formula: U_C(t) = \tfrac{Q(t)}{C}$ . Die Spannung an der Spule ist proportional zur Änderungsrate der Stromstärke über die Zeit und abhängig von der Induktivität der Spule: $Formula: U_L(t) = L \cdot \frac{dI}{dt} = L \cdot \dot{I}(t).$ $Formula: U_L(t) = L \cdot \frac{dI}{dt} = L \cdot \dot{I}(t).$ Durch das Einsetzen dieser Zusammenhänge in Gleichung (i) ergibt sich Gleichung (ii).
Schritt (iii)	Es gilt $Formula: I(t) = \dot{Q}(t).$ $Formula: I(t) = \dot{Q}(t).$ Nach dem Ableiten der Gleichung (ii) nach der Zeit kann somit $Formula: \dot{Q}(t)$ $Formula: \dot{Q}(t)$ durch ersetzt werden, wodurch die Differenzialgleichung aus Schritt (iii) entsteht.

Schritt (i)

Hier kommt die Maschenregel (Kirchhoff´sche Regel) zur Anwendung. Die Summe aller Teilspannungen in einer geschlossenen Leiterschleife ist null. Somit kompensieren sich die Kondensatorspannung Formula: U_C(t) und die Induktionsspannung der Spule Formula: U_L(t) im Schwingkreis gegenseitig, heben sich also gegenseitig auf ( Formula: U_L(t) + U_C(t) = 0 ).

Schritt (ii)

Für die Spannung am Kondensator gilt $Formula: U_C(t) = \tfrac{Q(t)}{C}$ $Formula: U_C(t) = \tfrac{Q(t)}{C}$ . Die Spannung an der Spule ist proportional zur Änderungsrate der Stromstärke Formula: I über die Zeit und abhängig von der Induktivität Formula: L der Spule:

$Formula: U_L(t) = L \cdot \frac{dI}{dt} = L \cdot \dot{I}(t).$ $Formula: U_L(t) = L \cdot \frac{dI}{dt} = L \cdot \dot{I}(t).$

Durch das Einsetzen dieser Zusammenhänge in Gleichung (i) ergibt sich Gleichung (ii).

Schritt (iii)

Es gilt $Formula: I(t) = \dot{Q}(t).$ $Formula: I(t) = \dot{Q}(t).$ Nach dem Ableiten der Gleichung (ii) nach der Zeit kann somit $Formula: \dot{Q}(t)$ $Formula: \dot{Q}(t)$ durch ersetzt werden, wodurch die Differenzialgleichung aus Schritt (iii) entsteht.

1.4

Die Gültigkeit des angegebenen Lösungsansatzes ist gegeben, wenn sich nach Einsetzen dieses Lösungsansatzes in die Differenzialgleichung (DGL) und Auflösen nach $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ die angegebene Bedingung $Formula: \omega = \tfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ $Formula: \omega = \tfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ ergibt.

Um den Lösungsansatz in die DGL einsetzen zu können, wird zuerst die zweite Ableitung der Stromstärke nach der Zeit benötigt:

$Formula: \begin{array}{rll} I(t) & = & I_{\max} \cdot \sin(\omega \cdot t) \\[5pt] \dot{I}(t) & = & I_{\max} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt] \ddot{I}(t) & = & -I_{\max} \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega \cdot t) \\[5pt] &=& -\omega^2 \cdot I(t) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} I(t) & = & I_{\max} \cdot \sin(\omega \cdot t) \\[5pt] \dot{I}(t) & = & I_{\max} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt] \ddot{I}(t) & = & -I_{\max} \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega \cdot t) \\[5pt] &=& -\omega^2 \cdot I(t) \end{array}$

$Formula: \ddot{I}(t)$ $Formula: \ddot{I}(t)$ kann jetzt in die DGL eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} L \cdot \ddot{I}(t) + \dfrac{1}{C} \cdot I(t) & = & 0 \\[5pt] L \cdot \left( -\omega^2 \cdot I(t) \right) + \dfrac{1}{C} \cdot I(t) & = & 0 \\[5pt] \left( -L \cdot \omega^2 + \dfrac{1}{C} \right) \cdot I(t) & = & 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} L \cdot \ddot{I}(t) + \dfrac{1}{C} \cdot I(t) & = & 0 \\[5pt] L \cdot \left( -\omega^2 \cdot I(t) \right) + \dfrac{1}{C} \cdot I(t) & = & 0 \\[5pt] \left( -L \cdot \omega^2 + \dfrac{1}{C} \right) \cdot I(t) & = & 0 \end{array}$

Diese Gleichung soll unabhängig von der Zeit Formula: t sein. Formula: I(t)=0 gilt jedoch nicht für alle Formula: t, somit muss der Term in der Klammer bereits Formula: 0 sein:

$Formula: \begin{array}{rll} -L \cdot \omega^2 + \dfrac{1}{C} & = & 0 \\[5pt] \omega^2 & = & \dfrac{1}{L \cdot C} \\[5pt] \omega & = & \dfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} -L \cdot \omega^2 + \dfrac{1}{C} & = & 0 \\[5pt] \omega^2 & = & \dfrac{1}{L \cdot C} \\[5pt] \omega & = & \dfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \end{array}$

Der angegebene Lösungsansatz ist also genau dann eine korrekte Lösung der Differenzialgleichung, wenn für die Kreisfrequenz $Formula: \omega = \tfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ $Formula: \omega = \tfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ gilt. Das entspricht genau der in der Aufgabe angegebenen Bedingung.

Anmerkung:

Da die Bedingung $Formula: \omega = \tfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ $Formula: \omega = \tfrac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ in der Aufgabenstellung angegeben ist, kann diese auch direkt in $Formula: \left(-L \cdot \omega^2+\tfrac{1}{C}\right) \cdot I(t)=0$ $Formula: \left(-L \cdot \omega^2+\tfrac{1}{C}\right) \cdot I(t)=0$ eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} \left( -L \cdot \dfrac{1}{L \cdot C} + \dfrac{1}{C} \right) \cdot I(t) & = & 0 \\[5pt] \left( -\dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C} \right) \cdot I(t) & = & 0 \\[5pt] 0 & = & 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \left( -L \cdot \dfrac{1}{L \cdot C} + \dfrac{1}{C} \right) \cdot I(t) & = & 0 \\[5pt] \left( -\dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{C} \right) \cdot I(t) & = & 0 \\[5pt] 0 & = & 0 \end{array}$

Diese Gleichung ist wahr, wodurch der Lösungsansatz mit der Bedingung $Formula: \omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ $Formula: \omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ stimmen muss.

1.5

Gemäß der Thomson-Gleichung gilt für einen idealen Formula: L C- Schwingkreis $Formula: f=\tfrac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}.$ $Formula: f=\tfrac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}.$

Umformen der Gleichung nach dem gesuchten Produkt $Formula: L\cdot C$ $Formula: L\cdot C$ und Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

$Formula: \begin{array}{rll} f& = & \tfrac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \\[5pt] L \cdot C & = & \dfrac{1}{(2\pi \cdot f)^2} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{(2\pi \cdot 25 \cdot 10^9 \; \mathrm{Hz})^2} \\[5pt] & = & 4,05 \cdot 10^{-23} \; \mathrm{s}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} f& = & \tfrac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \\[5pt] L \cdot C & = & \dfrac{1}{(2\pi \cdot f)^2} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{(2\pi \cdot 25 \cdot 10^9 \; \mathrm{Hz})^2} \\[5pt] & = & 4,05 \cdot 10^{-23} \; \mathrm{s}^2 \end{array}$

Das Produkt $Formula: L\cdot C$ $Formula: L\cdot C$ liegt somit in der Größenordnung $Formula: 10^{-23} \; \mathrm{s}^2.$ $Formula: 10^{-23} \; \mathrm{s}^2.$

2.1

Erster Schritt (Hinweg): Das Radargerät sendet eine Welle mit der Frequenz $Formula: f_\text{S}$ $Formula: f_\text{S}$ aus. Das Auto bewegt sich mit der relativen Geschwindigkeit Formula: v zum Sender und fungiert zunächst als bewegter Empfänger. Dadurch wird die ankommende Welle aus der Sicht des Autos (Empfänger) dopplerverschoben. Die Frequenz $Formula: f_\text{A},$ $Formula: f_\text{A},$ die am Auto ankommt, berechnet sich gemäß der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel wie folgt:

$Formula: f_\text{A}=f_\text{S} \cdot \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}.$ $Formula: f_\text{A}=f_\text{S} \cdot \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}.$

Dabei ist Formula: f_S die Frequenz des Senders und $Formula: f_\text{A}$ $Formula: f_\text{A}$ die Frequenz der Welle am Auto.

Zweiter Schritt (Rückweg): Das Auto reflektiert die Welle und wirkt dadurch selbst wie ein bewegter Sender. Die bereits verschobene Frequenz Formula: f_A wird auf dem Weg zurück zum Sensor somit erneut dopplerverschoben. Für die Frequenz am Sensor $Formula: f_\text{Sensor}$ $Formula: f_\text{Sensor}$ ergibt sich:

$Formula: f_{\text {Sensor }}=f_\text{A} \cdot \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}.$ $Formula: f_{\text {Sensor }}=f_\text{A} \cdot \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}.$

Hier lässt sich der Term für $Formula: f_\text{A}$ $Formula: f_\text{A}$ einsetzen:

$Formula: \begin{array}{rll} f_{\text{Sensor}} & = & f_\text{S} \cdot \sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}} \cdot \sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}} \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \dfrac{c+v}{c-v} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} f_{\text{Sensor}} & = & f_\text{S} \cdot \sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}} \cdot \sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}} \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \dfrac{c+v}{c-v} \end{array}$

Das entspricht der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel.

2.2

Erläuterung des Phänomens der Schwebung

Als Schwebung wird die Superposition (Überlagerung) zweier Wellen am selben Ort mit nahezu gleicher Frequenz definiert. Da die Frequenzen der beiden Wellen fast identisch sind, verschiebt sich ihre Phasendifferenz über die Zeit hinweg nur sehr langsam. Somit ändert sich die Amplitude der resultierenden Welle (resultierende Amplitude), die nach dem Superpositionsprinzip durch das Addieren der Amplituden der einzelnen Wellen entsteht, auch nur sehr langsam. Die resultierende Amplitude erreicht ihren Maximalbetrag, wenn die Phasendifferenz null ist, es kommt zu konstruktiver Interferenz. Ihren Minimalbetrag erreicht sie, wenn die Phasendifferenz $Formula: \pi$ $Formula: \pi$ ist (schwingen in Gegenphase), es kommt zu destruktiver Interferenz.

Die resultierende Amplitude schwillt somit periodisch an und ab. Die Frequenz dieses An- und Abschwellens wird als Schwebungsfrequenz $Formula: f_\text{Schwebung}$ $Formula: f_\text{Schwebung}$ bezeichnet. Wie sich an der angegebenen Formel $Formula: f_{\mathrm{Schwebung}} = |f_{\mathrm{Sensor}} - f_\text{S}|$ $Formula: f_{\mathrm{Schwebung}} = |f_{\mathrm{Sensor}} - f_\text{S}|$ erkennen lässt, gilt: Umso größer die Differenz der sich überlagernden Wellen, desto höher die Frequenz der Schwebefrequenz $Formula: f_\text{Schwebung}.$ $Formula: f_\text{Schwebung}.$

Bestätigung der Formel für die Schwebungsfrequenz:

Die in Teilaufgabe 2.1 angegebene Formel für die Frequenz am Sensor $Formula: f_{\text{Sensor}}$ $Formula: f_{\text{Sensor}}$ lässt sich in die Formel für die Schwebungsfrequenz $Formula: f_{\text{Schwebung}}$ $Formula: f_{\text{Schwebung}}$ einsetzen und umformen:

$Formula: \begin{array}{rll} f_{\text{Schwebung}} & = & |f_{\text{Sensor}} - f_\text{S}| \\[5pt] & = & \left| f_\text{S} \cdot \dfrac{c+v}{c-v} - f_\text{S} \right| \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \left| \dfrac{c+v}{c-v} - 1 \right| \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \left| \dfrac{c+v}{c-v} - \dfrac{c-v}{c-v} \right| \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \left| \dfrac{c+v - (c-v)}{c-v} \right| \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \dfrac{2 \cdot |v|}{c-v} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} f_{\text{Schwebung}} & = & |f_{\text{Sensor}} - f_\text{S}| \\[5pt] & = & \left| f_\text{S} \cdot \dfrac{c+v}{c-v} - f_\text{S} \right| \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \left| \dfrac{c+v}{c-v} - 1 \right| \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \left| \dfrac{c+v}{c-v} - \dfrac{c-v}{c-v} \right| \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \left| \dfrac{c+v - (c-v)}{c-v} \right| \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \dfrac{2 \cdot |v|}{c-v} \end{array}$

Das entspricht der gesuchten Gleichung.

2.3

Begründung der Näherung für den Straßenverkehr

Die exakte Formel für die Schwebungsfrequenz lautet:

$Formula: f_{\text {Schwebung }}=f_ \cdot \frac{2 \cdot|v|}{c-v}.$ $Formula: f_{\text {Schwebung }}=f_ \cdot \frac{2 \cdot|v|}{c-v}.$

Im Straßenverkehr sind die möglichen Relativgeschwindigkeiten Formula: v verschwindend gering im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit Formula: c ( $Formula: |v| \ll c$ $Formula: |v| \ll c$ ). Somit ist der Quotient $Formula: \tfrac{c}{c-v}$ $Formula: \tfrac{c}{c-v}$ nahezu eins, es macht also nur einen verschwindend geringen relativen Fehler, ob im Nenner der Formel für die Schwebungsfrequenz $Formula: f_{\text {Schwebung}}$ $Formula: f_{\text {Schwebung}}$ ein Formula: c oder ein Formula: c-v eingesetzt wird. Unter Verwendung der Beziehung $Formula: c = \lambda_\text{S} \cdot f_\text{S}$ $Formula: c = \lambda_\text{S} \cdot f_\text{S}$ ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rll} f_{\text{Schwebung}} & \approx & f_\text{S} \cdot \dfrac{2 \cdot |v|}{c} \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \dfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_\text{S} \cdot f_\text{S}} \\[5pt] & = & \dfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_\text{S}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} f_{\text{Schwebung}} & \approx & f_\text{S} \cdot \dfrac{2 \cdot |v|}{c} \\[5pt] & = & f_\text{S} \cdot \dfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_\text{S} \cdot f_\text{S}} \\[5pt] & = & \dfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_\text{S}} \end{array}$

Das entspricht der gesuchten Näherungsformel für die Schwebungsfrequenz im Straßenverkehr.

Berechnung der relativen Geschwindigkeit

Zuerst muss die Näherungsformel nach der gesuchten Geschwindigkeit Formula: |v| umgestellt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} f_{\text{Schwebung}} & = & \dfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_\text{S}} \\[5pt] |v| & = & \dfrac{f_{\text{Schwebung}} \cdot \lambda_\text{S}}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} f_{\text{Schwebung}} & = & \dfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_\text{S}} \\[5pt] |v| & = & \dfrac{f_{\text{Schwebung}} \cdot \lambda_\text{S}}{2} \end{array}$

Für $Formula: \lambda_{\mathrm{S}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{S}}$ gilt $Formula: \lambda_{\mathrm{S}}= \frac {c}{f_\text{S}}.$ $Formula: \lambda_{\mathrm{S}}= \frac {c}{f_\text{S}}.$ Daraus folgt:

$Formula: |v| = \frac{f_{\mathrm{Schwebung}} \cdot c}{2 \cdot f_\text{S}}$ $Formula: |v| = \frac{f_{\mathrm{Schwebung}} \cdot c}{2 \cdot f_\text{S}}$

In diese Formel können nun die angegebenen Werte eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} |v| & = & \dfrac{4900 \; \mathrm{Hz} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2 \cdot 25 \cdot 10^9 \; \mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & 29,4 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & = & 106 \; \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} |v| & = & \dfrac{4900 \; \mathrm{Hz} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2 \cdot 25 \cdot 10^9 \; \mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & 29,4 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & = & 106 \; \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}$

Somit beträgt die Relativgeschwindigkeit Formula: |v| des Fahrzeugs $Formula: 29,4 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 29,4 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ oder $Formula: 106 \; \tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$ $Formula: 106 \; \tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$

3.1

Das Radarsignal benötigt Zeit, um zum vorausfahrenden Fahrzeug zu gelangen und zurückzukehren. Diese Signallaufzeit $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ äußert sich im Zeit-Frequenz-Diagramm (Material 3) als horizontaler Versatz zwischen der durchgezogenen Sendelinie und der gestrichelten Empfangslinie. Somit ergibt sich für den Abstand Formula: d zwischen den beiden Fahrzeugen:

$Formula: d = \frac{s_{\mathrm{Signal}}}{2} = \frac{c \cdot \Delta t}{2}.$ $Formula: d = \frac{s_{\mathrm{Signal}}}{2} = \frac{c \cdot \Delta t}{2}.$

Der horizontale Versatz (Sendelaufzeit) entspricht in etwa $Formula: \Delta t = 0,5 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{s}.$ $Formula: \Delta t = 0,5 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{s}.$ Das lässt sich zusammen mit den anderen Werten einsetzen:

$Formula: \begin{array}{rll} d & = & \dfrac{3,0 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{s}}{2} \\[5pt] & = & 75 \; \mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} d & = & \dfrac{3,0 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{s}}{2} \\[5pt] & = & 75 \; \mathrm{m} \end{array}$

Der Abstand zwischen den beiden Fahrzeugen beträgt somit $Formula: 75 \; \mathrm{m}.$ $Formula: 75 \; \mathrm{m}.$

3.2

Bestimmung des Betrags der Relativgeschwindigkeit

In der Aufgabenstellung ist die Formel $Formula: \Delta f = \tfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_S}$ $Formula: \Delta f = \tfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_S}$ angegeben. Das lässt sich nach Formula: |v| umstellen und für $Formula: \lambda_\text{S}$ $Formula: \lambda_\text{S}$ kann die Beziehung $Formula: \lambda_\text{S}=\tfrac{c}{f_\text{S}}$ $Formula: \lambda_\text{S}=\tfrac{c}{f_\text{S}}$ eingesetzt werden. Somit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rll} \Delta f & = & \dfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_\text{S}} \\[5pt] |v| & = & \dfrac{\Delta f \cdot \lambda_\text{S}}{2} \\[5pt] & = & \dfrac{\Delta f \cdot c}{2 \cdot f_\text{S}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \Delta f & = & \dfrac{2 \cdot |v|}{\lambda_\text{S}} \\[5pt] |v| & = & \dfrac{\Delta f \cdot \lambda_\text{S}}{2} \\[5pt] & = & \dfrac{\Delta f \cdot c}{2 \cdot f_\text{S}} \end{array}$

$Formula: \Delta f$ $Formula: \Delta f$ ist hierbei die Frequenzverschiebung zwischen dem gesendeten und dem reflektierten Signal und kann im Diagramm aus Material 3 als vertikale Verschiebung abgelesen werden. In Material 3 ist dafür $Formula: 1600 \; \text{Hz}$ $Formula: 1600 \; \text{Hz}$ angegeben. Das kann zusammen mit den anderen Werten eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} |v| & = & \dfrac{1600 \; \mathrm{Hz} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2 \cdot 25 \cdot 10^9 \; \mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & 9,6 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 35 \; \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} |v| & = & \dfrac{1600 \; \mathrm{Hz} \cdot 3,0 \cdot 10^8 \; \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2 \cdot 25 \cdot 10^9 \; \mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & 9,6 \; \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 35 \; \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}$

Die Relativgeschwindigkeit der Fahrzeuge beträgt somit $Formula: 9,6 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 9,6 \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ oder etwa $Formula: 35 \; \tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$ $Formula: 35 \; \tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$

Annäherung oder Entfernung?

Ob sich die Fahrzeuge annähern oder entfernen, lässt sich am Vorzeichen der Frequenzänderung erkennen. Das reflektierte Signal besitzt eine kleinere Frequenz als das Sendesignal, das Vorzeichen ist also negativ. Das entspricht dem Doppler-Effekt bei Entfernung, somit entfernen sich die Fahrzeuge voneinander.

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Vorschlag A2 — Elektromagnetischer Schwingkreis und Radargeräte

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Material 1: Schwingkreis mit Kapazität C und Induktivität L

Material 2: Herleitung der Differenzialgleichung für den ungedämpften Schwingkreis

Material 3: Zeit-Frequenz-Diagramm des Signals eines frequenzmodulierten Dauerstrichradars

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Berechnung der Frequenz

Bestimmung der maximalen Stromstärke

Erläuterung des Phänomens der Schwebung

Bestätigung der Formel für die Schwebungsfrequenz:

Begründung der Näherung für den Straßenverkehr

Berechnung der relativen Geschwindigkeit

Bestimmung des Betrags der Relativgeschwindigkeit

Annäherung oder Entfernung?

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(i)	$Formula: \mathrm{U}_{\mathrm{L}}(\mathrm{t})+\mathrm{U}_{\mathrm{C}}(\mathrm{t})=0$ $Formula: \mathrm{U}_{\mathrm{L}}(\mathrm{t})+\mathrm{U}_{\mathrm{C}}(\mathrm{t})=0$
(ii)	$Formula: \mathrm{L} \cdot \dot{\mathrm{I}}(\mathrm{t})+\tfrac{\mathrm{Q}(\mathrm{t})}{\mathrm{C}}=0$ $Formula: \mathrm{L} \cdot \dot{\mathrm{I}}(\mathrm{t})+\tfrac{\mathrm{Q}(\mathrm{t})}{\mathrm{C}}=0$
(iii)	$Formula: \mathrm{L} \cdot \ddot{\mathrm{I}}(\mathrm{t})+\tfrac{1}{\mathrm{C}} \cdot \mathrm{I}(\mathrm{t})=0$ $Formula: \mathrm{L} \cdot \ddot{\mathrm{I}}(\mathrm{t})+\tfrac{1}{\mathrm{C}} \cdot \mathrm{I}(\mathrm{t})=0$