B3 – Funktionen

Auf der Geraden Formula: g mit $Formula: g(x)=-0,4 \cdot x+6$ $Formula: g(x)=-0,4 \cdot x+6$ kann der Punkt $Formula: P(x \mid y)$ $Formula: P(x \mid y)$ verschoben werden. Dadurch verändert sich das rechtwinklige Dreieck Formula: P B C wie in den Abbildungen dargestellt. Der rechte Winkel bei Punkt Formula: C bleibt immer erhalten.

Koordinatensystem mit Gerade g, Punkt P(x|y) und schattiertem Dreieck zwischen den Achsen.

Koordinatensystem mit zwei Geraden, schraffiertem Dreieck und markiertem Punkt P(x|y).

(1)

Ergänze in der Tabelle die fehlenden Koordinaten des Punktes Formula: P.

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$

2 P

Wenn der Punkt Formula: P auf der Geraden Formula: g weiter nach rechts verschoben wird, trifft er an einer Stelle auf die Formula: x -Achse.

Berechne die Formula: x -Koordinate von Formula: P für diesen Fall.

2 P

(2)

Der Punkt Formula: P wird auf die Koordinaten $Formula: (6\mid3,6)$ $Formula: (6\mid3,6)$ verschoben.

Berechne den Flächeninhalt des zugehörigen grauen Dreiecks.

2 P

(3)

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{a(x)}$ $Formula: \boldsymbol{a(x)}$

Die Wertepaare in der Tabelle gehören zu einer quadratischen Funktion Formula: a.

Die Funktion Formula: a ordnet jeder Formula: x -Koordinate von Formula: P den Flächeninhalt des jeweils zugehörigen grauen Dreiecks Formula: PBC zu.

Gib mithilfe der Tabelle die Formula: x -Koordinate des Scheitelpunkts von Formula: a und einen Schätzwert für dessen Formula: y -Koordinate an.

2 P

Die Funktion Formula: a hat folgende Funktionsgleichung:

$Formula: a(x)=\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot(-0,4 x+6)$ $Formula: a(x)=\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot(-0,4 x+6)$

Zeige für ein Wertepaar aus der Tabelle, dass der zugehörige Punkt auf dem Graphen von Formula: a liegt.

1 P

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(1)

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$

Für die Nullstelle der Funktion Formula: g folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -0,4 \cdot x+6&=&0 &\mid\;-6\\[5pt] -0,4 \cdot x&=&-6 &\mid\;:(-0,4)\\[5pt] x&=&15 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -0,4 \cdot x+6&=&0 &\mid\;-6\\[5pt] -0,4 \cdot x&=&-6 &\mid\;:(-0,4)\\[5pt] x&=&15 \end{array}$

(2)

Für den Flächeninhalt des grauen Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3,6 \\[5pt] &=&10,8\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3,6 \\[5pt] &=&10,8\;\text{m}^2 \end{array}$

(3)

Die Wertetabelle zeigt, dass die Funktionswerte von Formula: a symmetrisch zu Formula: x=7,5 liegen. Somit besitzt der Scheitelpunkt die -Koordinate Formula: x=7,5. Aufgrund der Wertepaare aus der Tabelle ist ein möglicher Schätzwert für die Formula: y -Koordinate:

$Formula: y\approx11,25$ $Formula: y\approx11,25$

Für die Punktprobe mit z.B. Formula: x=2 und Formula: a(x)=5,2 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 5,2&=&\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot(-0,4 \cdot 2+6) \\[5pt] 5,2&=&5,2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 5,2&=&\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot(-0,4 \cdot 2+6) \\[5pt] 5,2&=&5,2 \end{array}$

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