B4 – Statistik und Wahrscheinlichkeit

Für ein Zufallsexperiment stehen Formula: 10 Kugeln zur Verfügung. Die Kugeln sind schwarz oder weiß. Einige dieser Kugeln werden in eine Schachtel gelegt.

Es müssen nicht alle Formula: 10 sein.

Zwei Kugeln werden nacheinander aus dieser Schachtel gezogen.

Es gibt immer folgende Regel:

Die zuerst gezogene Kugel wird in die Schachtel zurückgelegt.
Außerdem wird eine weitere Kugel dieser Farbe in die Schachtel hineingelegt. („doppeltes Zurücklegen“)
Dann erst wird die zweite Kugel gezogen.

Beispiel:

vor dem Ziehen:		schwarze Kugeln, weiße Kugeln
Ziehung einer Kugel
		Eine schwarze Kugel wurde gezogen.
vor dem Ziehen:		schwarze Kugeln, weiße Kugeln

vor dem Formula: 1. Ziehen:

Anordnung schwarzer und weißer Kreise in einem rechteckigen Behälter.

Formula: 5 schwarze Kugeln,

Formula: 3 weiße Kugeln

Ziehung einer Kugel

Eine schwarze Kugel

wurde gezogen.

vor dem Formula: 2. Ziehen:

Kugeln in einer Reihe, teilweise schwarz und weiß, zwischen zwei Begrenzungslinien.

Formula: 6 schwarze Kugeln,

Formula: 3 weiße Kugeln

(1)

Ein Schüler behauptet:

„Wir können zu Beginn nicht alle Formula: 10 Kugeln in die Schachtel legen.“

Begründe, dass er recht hat.

1 P

(2)

Für ein weiteres solches Experiment wurde folgendes Baumdiagramm gezeichnet:

Wahrscheinlichkeitsbaum mit Ästen und Wahrscheinlichkeiten 5/6, 1/7, 5/7 und 2/7.

Kugel ziehen
Kugel zurücklegen
gleichfarbige Kugel dazulegen
Kugel ziehen

Gib an, wie viele Kugeln zu Beginn in der Schachtel sind.

1 P

Ergänze die beiden fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.

2 P

(3)

Für ein weiteres solches Experiment wurde folgendes Baumdiagramm gezeichnet:

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Endpunkten.

Kugel ziehen
Kugel zurücklegen
gleichfarbige Kugel dazulegen
Kugel ziehen

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Kugeln mit gleicher Farbe gezogen werden.

2 P

(4)

Für ein weiteres solches Experiment wird die Schachtel zu Beginn mit nur Formula: 3 Kugeln gefüllt.

Kugel ziehen
Kugel zurücklegen
gleichfarbige Kugel dazulegen
Kugel ziehen

Es soll ein Ereignis geben, das folgende Wahrscheinlichkeit hat: $Formula: \dfrac{1}{6}$ $Formula: \dfrac{1}{6}$

Begründe, dass zu Beginn nicht drei Kugeln derselben Farbe in der Schachtel sein können.

1 P

Zu Beginn sind zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugel in der Schachtel.

Gib ein Ereignis mit folgender Wahrscheinlichkeit an: $Formula: \dfrac{1}{6}$ $Formula: \dfrac{1}{6}$

1 P

Die Schachtel wird zu Beginn mit drei schwarzen Kugeln gefüllt.

Weiße Kugeln sind nicht dabei.

Gib ein Ereignis an, das unmöglich ist.

1 P

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(1)

Es können nicht alle Formula: 10 Kugeln zu Beginn in der Schachtel sein, weil vor der zweiten Ziehung die Kugel der ersten Ziehung sowie eine weitere Kugel in der Schachtel gelegt werden.
Es stehen aber insgesamt nur Kugeln zur Verfügung, sodass das nicht möglich ist.

(2)

Zu Beginn sind Formula: 6 Kugeln in der Schachtel.

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten und schwarzen sowie weißen Endpunkten

(3)

Bei zwei schwarzen Kugeln folgt für die Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}{rlll} P( s;s)&=&\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{6}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{30}{72} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P( s;s)&=&\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{6}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{30}{72} \end{array}$

Bei zwei weißen Kugeln gilt für die Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}{rlll} P(w; w)&=&\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{12}{72} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(w; w)&=&\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{12}{72} \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit zweier Kugeln mit gleicher Farbe folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} P{\text{(gleiche Farbe)}}&=&\dfrac{30}{72}+\dfrac{12}{72} \\[5pt] &=&\dfrac{42}{72} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{12} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P{\text{(gleiche Farbe)}}&=&\dfrac{30}{72}+\dfrac{12}{72} \\[5pt] &=&\dfrac{42}{72} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{12} \end{array}$

(4)

Wenn sich zu Beginn drei Kugeln derselben Farbe in der Schachtel befinden, wird nach dem Ziehen einer Kugel diese zurückgelegt und zusätzlich noch eine weitere Kugel derselben Farbe hinzugefügt. Dann befinden sich vor der zweiten Ziehung wieder nur Kugeln derselben Farbe in der Schachtel. Somit sind immer nur Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit Formula: 0 oder Formula: 1 möglich. Eine Wahrscheinlichkeit von $Formula: \tfrac{1}{6}$ $Formula: \tfrac{1}{6}$ kann nicht entstehen.

Das Ziehen einer schwarzen Kugel im ersten Zug beträgt $Formula: \tfrac{1}{3}.$ $Formula: \tfrac{1}{3}.$ Im zweiten Zug sind es dann, da eine schwarze Kugel dazukommt, $Formula: \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}$ $Formula: \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}$ als Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel. Da $Formula: \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{6}$ $Formula: \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{6}$ gilt, ergibt sich für ein mögliches Ereignis somit:

„Es werden zwei schwarze Kugeln gezogen."

Da sich zu Beginn nur schwarze Kugeln in der Schachtel befinden, folgt für ein unmögliches Ereignis:

„Eine der gezogenen Kugeln ist weiß."

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