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Aufgabe A

Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x) = x(x-1)$ $(x \in \mathbb{R})$.
$\,$
a)
Skizziere den Graphen von $f$.
(1P)
$\,$
b)
Der Graph von $f$ begrenzt mit der x-Achse eine Fläche vollständig.
Berechne den Flächeninhalt dieser Fläche.
(2P)
$\,$
c)
Der Graph der Funktion $g$ geht durch Streckung in y-Richtung aus dem Graphen von $f$ hervor.
Der Graph von $g$ schließt mit der x-Achse eine Fläche von $\frac{1}{2}$ FE ein.
Bestimme eine zugehörige Funktionsgleichung für $g$.
(2P)
2.
(2P)
#extrempunkt#ableitung
3.
Eine zum Koordinatensystem symmetrische Funktion dritten Grades $f$ hat an der Stelle $x=1$ die Tangente $t$ mit $t(x) = -2x + 3$ $(x \in \mathbb{R})$.
Ermittel eine Gleichung der Funktion $f$.
(3P)
#tangente#symmetrie
4.
Die Punkte $P_k(-k \mid 2 + k \mid 2)$ mit $k \in \mathbb{R}$ liegen auf einer Geraden $g$.
$\,$
a)
Gib eine Parametergleichung für die Gerade $g$ an.
Beschreibe die Lage dieser Geraden im Koordinatensystem.
(2P)
$\,$
b)
Bestimme einen Wert für $k$ so, dass die Punkte $A(1 \mid 2 \mid 1)$, $B(-1 \mid 3 \mid 1)$ und $P_k$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $AP_k$ bilden.
(3P)
#dreieck
5.
Eine Urne enthält acht Kugeln, davon sind zwei schwarz und sechs weiß.
$\,$
a)
Es werden nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ergebnisse:
$A:$ $=$ „Alle Kugeln sind weiß.“
$B:$ $=$ „Mindestens eine Kugel ist weiß.“
(2P)
#wahrscheinlichkeit
$\,$
b)
Der folgende Ausschnitt eines Baumdiagrammes enthält nur die Äste, die zum Ereignis $C$ führen.
Beschreibe das Zufallsexperiment und das Ereignis $C$ so, dass diese zum Baumdiagramm passen.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $C$ an.
(3P)
#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit#zufallsexperiment
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Du sollst den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot (x-1)$ skizzieren. Überlege dir dazu zunächst, welche grundlegende Form dieser Graph haben muss und was mögliche markante Punkt sind, die du schnell zeichnen kannst.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse kannst du mit Hilfe eines Integrals über $f$ berechnen. Dazu benötigst du die Integrationsgrenzen. Da die Fläche vollständig von dem Funktionsgraphen und der $x$-Achse eingeschlossen wird, sind die Grenzen gerade die Nullstellen von $f$. Falls du diese nicht bereits aus dem vorherigen Aufgabenteil kennst, musst du sie erst berechnen.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gleichung der Funktion $g$, deren Graph aus dem von $f$ durch Streckung in $y$-Richtung hervorgeht. Eine Streckung oder Stauchung in $y$-Richtung erfolgt durch Multiplikation des Funktionsterms mit einem Faktor $a$. $g(x)$ hat also folgende Form:
$g(x)= a\cdot f(x)$$=ax(x-1)$$=ax^2-ax$
$g(x)= a\cdot f(x)$$=ax(x-1)$$=ax^2-ax$
Du musst also den Faktor $a > 0$ bestimmen. Dazu hast du eine Information über den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$-Achse gegeben: $A_g = \frac{1}{2}\,\text{FE}$.
Du kannst diesen in Abhängigkeit von $a$ wie oben mit einem Integral berechnen und anschließend mit dem gegebenen Wert gleichsetzen. Da der Graph in $y$-Richtung gestreckt wird, aber nicht in $x$-Richtung, ändern sich die Nullstellen nicht und die Integrationsgrenzen bleiben $x_1=0$ und $x_2=1$.
2.
$\blacktriangleright$  Graphen beurteilen
Gefragt ist, ob die abgebildeten Graphen zur ersten und zweiten Ableitung einer Funktion $f$ mit einer Minimalstelle an der Stelle $x=4,5$ sein können. Überlege dir zunächst welcher Graph zu welcher Ableitung gehören könnte und überprüfe anschließend die beiden Kriterien für eine Extremstelle $x_E$:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • $f''(x_E)> 0$: Es handelt sich bei $x_E$ um eine Minimalstelle
    • $f''(x_E)< 0$: Es handelt sich um eine Maximalstelle.
3.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Gesucht ist die Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades. Diese hat allgemein folgende Form:
$f(x)= ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)= ax^3+bx^2+cx+d$
Der Graph von $f$ soll symmetrisch zum Koordinatenursprung sein, dies ist dann der Fall, wenn im Funktionsterm nur ungerade Exponenten über dem $x$ vorkommen. Daher hat $f(x)$ folgende Form:
$f(x)= ax^3+cx$
Du benötigst also zwei Bedingungen, um die unbekannten Koeffizienten $a$ und $c$ zu berechnen. Dazu hast du eine Tangentengleichung angegeben. Die Gerade $t$ ist eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$. Für eine Tangente $t(x)=mx+z$ an der Stelle $x_0$ gilt immer folgendes:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung $m$ wie der Graph von $f$ an der Stelle $x_0$: $f'(x_0)=m$
  • $t$ besitzt den gleichen Funktionswert in $x_0$ wie $f$: $t(x_0)=f(x_0)$
Mit Hilfe von $t(x)$ kannst du also die Koordinaten eines Punktes $P$ auf dem Graphen von $f$ berechnen, sowie die Steigung in diesem Punkt. Dadurch hast du zwei Bedingungen.
4.
a)
$\blacktriangleright$  Parametergleichung angeben
Eine Geradengleichung in Parameterform hat folgende Form:
$g: \quad \overrightarrow{x}= \overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{r}$
$g: \quad \overrightarrow{x}= \overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{r}$
$\overrightarrow{p}$ ist dabei der Ortsvektor eines Punkts auf $g$, $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor und $t$ ein Parameter. In diesem Fall kannst du $k$ als Parameter festlegen und musst nun den Ortsvektor von $P_k$ aufteilen in die Summanden mit $k$ und die ohne $k$. So erhältst du dann $\overrightarrow{p}$ und $\overrightarrow{r}$.
$\blacktriangleright$  Lage im Koordinatensystem beschreiben
Betrachte die Besonderheiten der Geradengleichung, um deren Lage im Koordinatensystem zu beschreiben.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Es soll ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten $A$, $B$ und $P_k$ entstehen. Die Hypotenuse soll die Strecke $\overline{AP_k}$ sein. Das heißt, dass der rechte Winkel zwischen den beiden Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BP_k}$ gebildet wird. Überprüfe also, für welche Werte von $k$ die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BP_k}$ senkrecht zueinander liegen. Dazu kannst du verwenden, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander verlaufen, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
5.
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Bei dem beschriebenen Zufallsexperiment handelt es sich um „Ziehen ohne Zurücklegen“. Du kannst hierbei sowohl die Regeln für das Gegenereignis als auch die Pfadregeln verwenden. Beachte, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben nach jedem Zug verändern.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Zufallsexperiment beschreiben
Du kannst davon ausgehen, dass $W$ dafür steht, dass eine weiße Kugel gezogen wird und $S$ dafür, dass eine schwarze gezogen wird. Zähle dann zunächst die Stufen des Zufallsexperiments, um zu bestimmen, wie oft aus der Urne gezogen wird.
Betrachte dann die Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Stufen. Ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe nicht, handelt es sich um „Ziehen mit Zurücklegen“.
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
Betrachte die einzelnen Äste genauer, du kannst dir die Abfolgen auch aufschreiben, um sie besser vergleichen zu können.
$\blacktriangleright$  Term zur Berechnung angeben
Du sollst einen Term zur Berechnung des Ereignisses $C$ angeben. Du kannst hier die Binomialverteilung verwenden. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der schwarzen Kugeln, die bei vier Zügen mit Zurücklegen gezogen werden. $X$ ist binomialverteilt, da die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel pro Zug gleichbleibt und es nur zwei mögliche Ergebnisse pro Zug gibt. Die Parameter sind hier $n=4$ und $p=0,25$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(X= 1)$. Diese kannst du mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung berechnen:
$P(X=k)= \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)= \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Setze dort die erforderlichen Werte ein.
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Graph skizzieren
Du sollst den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot (x-1)$ skizzieren. Überlege dir dazu zunächst, welche grundlegende Form dieser Graph haben muss und was mögliche markante Punkt sind, die du schnell zeichnen kannst.
Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, also ist der zugehörige Graph eine Parabel. Abgesehen davon kannst du aus dem Funktionsterm direkt beide Nullstellen ablesen: $x_1=0$ und $x_2=1$.
Du weißt also auch, dass der Scheitelpunkt bei $x=0,5$ liegt. Du kannst noch den zugehörigen $y$-Wert berechnen. Zusätzlich kannst du noch die Koordinaten von zwei Punkten links und rechts der Nullstellen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=&0,5\cdot (0,5-1) \\[5pt] &=&-0,25 \\[10pt] f(-2)&=& -2\cdot(-2-1) \\[5pt] &=& 6\\[10pt] f(2)&=& 2\cdot (2-1)\\[5pt] &=&2 \\[5pt] \end{array}$
Mit Hilfe dieser Funktionswerte erhältst du nun in etwa folgendes Schaubild.
Aufgabe A
Abb. 1: Graph von $f$
Aufgabe A
Abb. 1: Graph von $f$
#scheitelpunkt#ganzrationalefunktion#nullstelle#schaubild#parabel
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse kannst du mit Hilfe eines Integrals über $f$ berechnen. Dazu benötigst du die Integrationsgrenzen. Da die Fläche vollständig von dem Funktionsgraphen und der $x$-Achse eingeschlossen wird, sind die Grenzen gerade die Nullstellen von $f$. Falls du diese nicht bereits aus dem vorherigen Aufgabenteil kennst, musst du sie erst berechnen.
1. Schritt: Integrationsgrenzen berechnen
Setze $f(x)=0$ um die Nullstellen von $f$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 \\[5pt] x(x-1)&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt ist dies genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Also entweder $x =0$ oder $x-1=0$. Daher ergeben sich die beiden Nullstellen zu $x_1=0$ und $x_2=1$.
2. Schritt: Integral berechnen
Du kannst nun das gesuchte Integral und damit den Flächeninhalt $A$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx \right|\\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0}^{1}x(x-1)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^2-x\right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\right]_0^1\right| \\[5pt] &=&\left| \frac{1}{3}\cdot 1^3-\frac{1}{2}\cdot 1^2-\left(\frac{1}{3}\cdot 0^3-\frac{1}{2}\cdot 1^2\right)\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \end{array}$
$ A = \frac{1}{6}$
Der Graph von $f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche der Größe $\frac{1}{6}\,\text{[FE]}$ ein.
#nullstelle#integral
$\,$
c)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gleichung der Funktion $g$, deren Graph aus dem von $f$ durch Streckung in $y$-Richtung hervorgeht. Eine Streckung oder Stauchung in $y$-Richtung erfolgt durch Multiplikation des Funktionsterms mit einem Faktor $a$. $g(x)$ hat also folgende Form:
$g(x)= a\cdot f(x)$$=ax(x-1)$$=ax^2-ax$
$g(x)= a\cdot f(x)$$=ax(x-1)$$=ax^2-ax$
Du musst also den Faktor $a > 0$ bestimmen. Dazu hast du eine Information über den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$-Achse gegeben: $A_g = \frac{1}{2}\,\text{FE}$.
Du kannst diesen in Abhängigkeit von $a$ wie oben mit einem Integral berechnen und anschließend mit dem gegebenen Wert gleichsetzen. Da der Graph in $y$-Richtung gestreckt wird, aber nicht in $x$-Richtung, ändern sich die Nullstellen nicht und die Integrationsgrenzen bleiben $x_1=0$ und $x_2=1$.
1. Schritt: Term für den Flächeninhalt bestimmen
Ähnlich wie oben ergibt sich nun:
$\begin{array}[t]{rll} A_g&=& \left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}a\cdot f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|a\cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}a\cdot f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& a\cdot\frac{1}{6} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Parameter berechnen
Gleichsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot\frac{1}{6} &=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6 \\[5pt] a&=&3 \end{array}$
Eine Funktionsgleichung von $g$ ist beispielsweise $g(x)=3x(x-1)$.
#integral
2.
$\blacktriangleright$  Graphen beurteilen
Gefragt ist, ob die abgebildeten Graphen zur ersten und zweiten Ableitung einer Funktion $f$ mit einer Minimalstelle an der Stelle $x=4,5$ sein können. Überlege dir zunächst welcher Graph zu welcher Ableitung gehören könnte und überprüfe anschließend die beiden Kriterien für eine Extremstelle $x_E$:
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • $f''(x_E)> 0$: Es handelt sich bei $x_E$ um eine Minimalstelle
    • $f''(x_E)< 0$: Es handelt sich um eine Maximalstelle.
Dazu weißt du, dass $f$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist. Demnach hat die erste Ableitung $f'$ Grad zwei und die zweite Ableitung $f''$ Grad eins. Es handelt sich also bei dem Graphen von $f'$ um eine Parabel und bei dem von $f''$ um eine Gerade. Du weißt daher, dass $g$ die erste Ableitung von $f$ sein müsste und $h$ die zweite.
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass $g$ an der Stelle $x \approx 4,5$ eine Nullstelle besitzt. Das notwendige Kriterium ist also erfüllt. Es kann also $f'=g$ sein. Allerdings ist $h(4,5) < 0$. Dies widerspricht dem hinreichenden Kriterium, also kann nicht $h=f''$ sein.
Insgesamt lautet die Antwort also: Nein, es kann zwar $g=f'$ sein, aber nicht $h =f''$.
#parabel#nullstelle
3.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Gesucht ist die Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades. Diese hat allgemein folgende Form:
$f(x)= ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)= ax^3+bx^2+cx+d$
Der Graph von $f$ soll symmetrisch zum Koordinatenursprung sein, dies ist dann der Fall, wenn im Funktionsterm nur ungerade Exponenten über dem $x$ vorkommen. Daher hat $f(x)$ folgende Form:
$f(x)= ax^3+cx$
Du benötigst also zwei Bedingungen, um die unbekannten Koeffizienten $a$ und $c$ zu berechnen. Dazu hast du eine Tangentengleichung angegeben. Die Gerade $t$ ist eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$. Für eine Tangente $t(x)=mx+z$ an der Stelle $x_0$ gilt immer folgendes:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung $m$ wie der Graph von $f$ an der Stelle $x_0$: $f'(x_0)=m$
  • $t$ besitzt den gleichen Funktionswert in $x_0$ wie $f$: $t(x_0)=f(x_0)$
Mit Hilfe von $t(x)$ kannst du also die Koordinaten eines Punktes $P$ auf dem Graphen von $f$ berechnen, sowie die Steigung in diesem Punkt. Dadurch hast du zwei Bedingungen.
1. Schritt: Bedingungen aufstellen
Du weißt, dass $t(1)=f(1)$ sein muss, berechne also $t(1)$:
$\begin{array}[t]{rll} t(1)&=& -2\cdot 1+3\\[5pt] &=& 1\\[5pt] \end{array}$
Also liegt $P(1\mid 1)$ auf dem Graphen von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=&1 \\[5pt] a\cdot 1^3+c\cdot 1&=&1\\[5pt] a+c&=&1 \end{array}$
Die Steigung der Tangente kannst du aus der Geradengleichung ablesen: $m=-2$. Es muss also $f'(1)=-2$ sein. Du benötigst demnach die erste Ableitung von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&ax^3+cx \\[5pt] f'(x)&=&3ax^2+c \end{array}$
Durch Einsetzen erhältst du eine zweite Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f'(1)&=&-2 \\[5pt] 3a\cdot 1^2+c&=&-2 \\[5pt] 3a+c&=&-2 \end{array}$
Nun hast du ein lineares Gleichungssystem, das du nach $a$ und $c$ lösen kannst:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&1&=&\quad a+c \\ \text{II}\quad&-2&=&\quad 3a+c\\ \end{array}$
Die erste Gleichung kannst du nach $c$ umstellen: $c =1-a$ und in die zweite einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} -2&=&3a+c \\[5pt] -2&=&3a+(1-a)\\[5pt] -2&=&2a+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -3&=&2a&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] -\frac{3}{2}&=&a\\[5pt] \end{array}$
Damit kannst du nun $c$ berechnen:
$c = 1-a= 1-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2}$
Eine Funktionsgleichung von $f$ lautet $f(x)= -\frac{3}{2}x^3+\frac{5}{2}$.
#steigung#funktionswert#lgs#geradengleichung
4.
a)
$\blacktriangleright$  Parametergleichung angeben
Eine Geradengleichung in Parameterform hat folgende Form:
$g: \quad \overrightarrow{x}= \overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{r}$
$g: \quad \overrightarrow{x}= \overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{r}$
$\overrightarrow{p}$ ist dabei der Ortsvektor eines Punkts auf $g$, $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor und $t$ ein Parameter. In diesem Fall kannst du $k$ als Parameter festlegen und musst nun den Ortsvektor von $P_k$ aufteilen in die Summanden mit $k$ und die ohne $k$. So erhältst du dann $\overrightarrow{p}$ und $\overrightarrow{r}$.
$\overrightarrow{OP}_k = \pmatrix{-k\\2+k\\2} $$=\pmatrix{0\\2\\2}+k\cdot \pmatrix{-1\\1\\0} $
Eine Gleichung der Geraden $g$ lautet wie folgt:
$g:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\2\\2}+k\cdot \pmatrix{-1\\1\\0}$
$\blacktriangleright$  Lage im Koordinatensystem beschreiben
Betrachte die Besonderheiten der Geradengleichung, um deren Lage im Koordinatensystem zu beschreiben.
Die $z$-Koordinate des Richtungsvektors ist Null, alle Punkte $P_k$ haben also die gleiche $z$-Koordinate, nämlich $z=2$. Dadurch liegt $g$ parallel zur $x$-$y$-Ebene.
#parameterform#richtungsvektor#ortsvektor#geradengleichung
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Es soll ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten $A$, $B$ und $P_k$ entstehen. Die Hypotenuse soll die Strecke $\overline{AP_k}$ sein. Das heißt, dass der rechte Winkel zwischen den beiden Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BP_k}$ gebildet wird. Überprüfe also, für welche Werte von $k$ die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BP_k}$ senkrecht zueinander liegen. Dazu kannst du verwenden, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander verlaufen, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Die beiden Vektoren ergeben sich wie folgt:
$\overrightarrow{AB}$$= \pmatrix{-1\\3\\1}-\pmatrix{1\\2\\1}$$= \pmatrix{-2\\1\\0}$
$\overrightarrow{BP_k}$$= \pmatrix{-k\\2+k\\2}-\pmatrix{-1\\3\\1}$$=\pmatrix{-k+1\\-1+k\\1}$
Du kannst nun das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren mit Null gleichsetzen und erhältst so eine Gleichung, die du nach $k$ lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BP_k} &=& 0\\[5pt] \pmatrix{-2\\1\\0} \circ \pmatrix{-k+1\\-1+k\\1}&=& 0 \\[5pt] -2\cdot (-k+1)+(-1+k)+0&=&0 \\[5pt] 3k-3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 3k&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] k&=&1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BP_k} &=& 0\\[5pt] k&=&1 \end{array}$
Für $k=1$ bilden die drei Punkte $A$, $B$ und $P_k$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\overline{AP_k}$.
#orthogonal#skalarprodukt#vektoren
5.
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Bei dem beschriebenen Zufallsexperiment handelt es sich um „Ziehen ohne Zurücklegen“. Du kannst hierbei sowohl die Regeln für das Gegenereignis als auch die Pfadregeln verwenden. Beachte, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben nach jedem Zug verändern.
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(\text{„Alle Kugeln sind weiß“}) \\[5pt] &=&\frac{6}{8}\cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \\[5pt] &=& \frac{120}{336} \\[5pt] &=&\frac{5}{14} \\[5pt] &\approx & 0,3571 \\[5pt] &=& 35,71\,\% \\[10pt] P(B)&=& P(\text{„Mindestens eine Kugel ist weiß“})&\quad \scriptsize \text{Gegenereignis} \\[5pt] &=& 1- P(\text{„Keine Kugel ist weiß“}) \\[5pt] &=& 1-P(\text{„Alle Kugeln sind schwarz“}) \\[5pt] &=& 1-0 \\[5pt] &=& 100\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx & 0,3571 \\[5pt] &=& 35,71\,\% \\[10pt] P(B)&=& 1-0 \\[5pt] &=& 100\,\% \end{array}$
Da es insgesamt nur zwei schwarze Kugeln gibt und die Kugeln nach dem Ziehen nicht zurückgelegt werden, ist die Wahrscheinlichkeit für drei schwarze Kugeln Null. Insgesamt gilt also:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Kugeln weiß sind beträgt ca. $35,71\,\%$ und die dafür, dass mindestens eine Kugel weiß ist $100\,\%$.
#pfadregeln
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Zufallsexperiment beschreiben
Du kannst davon ausgehen, dass $W$ dafür steht, dass eine weiße Kugel gezogen wird und $S$ dafür, dass eine schwarze gezogen wird. Zähle dann zunächst die Stufen des Zufallsexperiments, um zu bestimmen, wie oft aus der Urne gezogen wird.
Betrachte dann die Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Stufen. Ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe nicht, handelt es sich um „Ziehen mit Zurücklegen“.
Du siehst, dass es sich um ein vierstufiges Zufallsexperiment handelt, es wird also viermal aus der Urne gezogen. Außerdem kannst du erkennen, dass sich die Wahrscheinlichkeit für eine weiße, aber auch die für eine schwarze Kugel in den einzelnen Stufen nicht unterscheidet. Die gezogene Kugel wird also jedesmal wieder zurückgelegt.
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
Betrachte die einzelnen Äste genauer, du kannst dir die Abfolgen auch aufschreiben, um sie besser vergleichen zu können.
Dir sollte auffallen, dass in allen Pfaden genau ein $S$ vorkommt. Es geht also darum, dass genau eine schwarze Kugel gezogen wird. Um sicherzugehen, überlege noch, dass dies tatsächlich alle Möglichkeiten sind, die es gibt, genau eine schwarze Kugel zu ziehen. Entweder die erste Kugel ist schwarz, die zweite, dritte oder die vierte. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.
$C$ bezeichnet das Ereignis, bei dem von vier gezogenen Kugeln mit Zurücklegen genau eine schwarze gezogen wird.
$\blacktriangleright$  Term zur Berechnung angeben
Du sollst einen Term zur Berechnung des Ereignisses $C$ angeben. Du kannst hier die Binomialverteilung verwenden. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der schwarzen Kugeln, die bei vier Zügen mit Zurücklegen gezogen werden. $X$ ist binomialverteilt, da die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel pro Zug gleichbleibt und es nur zwei mögliche Ergebnisse pro Zug gibt. Die Parameter sind hier $n=4$ und $p=0,25$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(X= 1)$. Diese kannst du mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung berechnen:
$P(X=k)= \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)= \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Setze dort die erforderlichen Werte ein:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=&\binom{4}{1}\cdot 0,25^1\cdot 0,75^{4-1} \\[5pt] &=& 4\cdot 0,25\cdot 0,75^3 \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$ lässt sich mit folgendem Term berechnen:
$P(C)= 4\cdot 0,25\cdot 0,75^3$
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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