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Aufgabe B2

Aufgaben
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Die Randlinie einer solchen Gaube kann modellhaft durch eine Funktion $f$ mit $f(x)= \frac{4}{3\cdot x^2 + 4}$ - $\frac{1}{4}$ $(x_1 \leq x \leq x_2)$ beschrieben werden.
Dabei sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen von $f$. Die Werte von $x$ und $f(x)$ sind Längen in Meter.
#nullstelle
a)
Zeige, dass der Graph der Funktion $f$ symmetrisch zur $y$-Achse verläuft.
(1P)
#symmetrie
b)
Untersuche, ob das angegebene Verhältnis der Höhe der Gaube zur Gaubenbreite durch diese Gleichung eingehalten wird.
(2P)
c)
An beiden Enden der Gaube sollte das Gefälle nicht größer als $12 ^{\circ}$ sein.
Untersuche, ob diese Bedingung erfüllt ist.
Berechne die Stellen, in denen das Gefälle der Randlinie am größten ist.
(4P)
In die Gaube soll ein parabelförmiges Fenster mit der Höhe $h=0,5 \,m$ und einer Breite $b$ eingebaut werden. Das Fenster hat einen geraden unteren Rand und der obere Rand des Fensters kann modellhaft durch eine Parabel $p$ mit $p(x)= c\cdot x^2 + 0,5$ $(c \in \mathbb{R})$ beschrieben werden.
#parabel
d)
Ein Fenster soll eine Breite von $2 \,m$ haben.
Berechne die Größe dieser Fensterfläche.
(3P)
e)
In die Gaube kann auch ein anderes parabelförmiges Fenster der Höhe $h=0,5 \,m$ eingebaut werden.
Aus bautechnischen Gründen muss der obere Rand dieses Fensters im Modell unterhalb des Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)= f(x) - 0,1$ liegen.
Dieses Fenster soll maximale Breite haben.
Skizziere diesen Sachverhalt.
Berechne die maximale Breite.
(4P)
#parabel
f)
Für jede positive reelle Zahl $a$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch $f(x)= \frac{4}{a\cdot x^2 + 4}$ - $\frac{1}{4}$ $(x \in \mathbb{R})$.
Bestimme die Werte für den Parameter $a$, für das Verhältnis der Höhe der Gaube zur Gaubenbreite zwischen $1:5$ und $1:6$ eingehalten wird.
(3P)
g)
In asiatischen Ländern findet man oft Gauben in Pagodenform. In der Abbildung ist zusätzlich zur Randlinie der Fledermausgaube die Randlinie einer solchen Pagodenform dargestellt. Zur Beschreibung der Randlinie der Pagode werden die Graphen zweier Funktionen $r_1$ und $r_2$ verwendet.
Erläutere einen Ansatz zum Ermitteln der Funktionsgleichungen.
Gib eine Gleichung für $r_1$ oder $r_2$ an.
(3P)
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$ Symmetrie des Graphen zur $\boldsymbol{y}$-Achse zeigen
Ein Graph ist zur $y$-Achse symmetrisch, wenn folgende Gleichung für alle $x$ im Definitionsbereich der Funktion gilt:
$f(x)\; =\; f(-x)$
$f(x)=f(-x)$
Überprüfe diese Gleichheit für den Funktionsterm.
b)
$\blacktriangleright$ Verhältnis von Höhe zu Breite der Gaube überprüfen
In diesem Aufgabenteil sollst du überprüfen, ob das angegebene Verhältnis von Gaubenhöhe zu Gaubenbreite durch die Funktionsgleichung eingehalten wird. Das Verhältnis von Gaubenhöhe zu Gaubenbreite liegt, laut Aufgabentext zwischen $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{5}$.
Die Breite der Gaube entspricht dem Abstand der Nullstellen.
Die Höhe der Gaube entspricht dem $y$-Wert des Maximums.
c)
$\blacktriangleright$ Gefälle der Gaube an den Enden untersuchen
Das Gefälle am Ende der Gaube entspricht dem Steigungswinkel in den Nullstellen der Funktion. Diese sind $x_1=-2$ und $x_2=2$. Den Steigungswinkel kannst du mit dem Tangens und dem Steigungswert berechnen, welcher wiederum über die erste Ableitung beschrieben wird. Berechne also zunächst $f'(x_1)$ und $f_(x_2)$.
$\blacktriangleright$ Stellen mit dem größten Gefälle berechnen.
Die Stellen mit dem größten Gefälle oder der größten Steigung entsprechen den Stellen, an denen der Graph der Ableitungsfunktion Extrempunkte besitzt. Bestimme die Extrempunkte mit dem Taschenrechner. Die Ableitungsfunktion hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil bestimmt.
d)
$\blacktriangleright$ Größe der Fensterfläche berechnen
Du kannst diese Aufgabe in zwei Schritten lösen:
  1. Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel, die das Fenster beschreibt, indem du zunächst Bedingungen an die Funktionsgleichung aufstellst und in die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel einsetzt. So erhältst du ein Gleichungssystem, aus welchem du die Koeffizienten berechnen kannst.
  2. Berechne den Inhalt der Fläche, die von der Parabel und der $x$-Achse eingeschlossen wird, mit Hilfe eines Integrals.
e)
$\blacktriangleright$ Sachverhalt skizzieren
Wenn dir die Angaben über die Funktionsgraphen nicht genügen, kannst du auch die Koordinaten einzelner Punkte berechnen und dich an diesen orientieren.
$\blacktriangleright$ Maximale Breite berechnen
Um die maximale Breite des Fensters zu berechnen, musst du zuerst die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen und anschließend den Abstand zwischen den Nullstellen berechnen.
Du hast diesmal keine Punkte gegeben, mit denen du die Funktionsgleichung berechnen kannst. Stattdessen weißt du, dass der Funktionswert $p(x)$ in jedem Punkt kleiner oder gleich dem Funktionswert $g(x)$ sein muss. Der Abstand zwischen den Nullstellen $x_1$ und $x_2$ entspricht der Breite des Fensters. Dieser Abstand ist am größten, wenn sich die Graphen von $p$ und $g$ in zwei Punkten berühren. Vergleiche diese Überlegung mit der Skizze.
f)
$\blacktriangleright$ Werte für Parameter $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Du sollst alle Werte $a$ bestimmen, für die das Verhältnis von Höhe und Breite zwischen $1:6$ und $1:5$ liegt. Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme die Höhe und die Breite allgemein.
  2. Berechne das Verhältnis von Höhe und Breite allgemein.
  3. Bestimme die Werte $a$, für die das Verhältnis eingehalten wird, indem du eine Ungleichung aufstellst und nach $a$ auflöst.
g)
$\blacktriangleright$ Ansatz für die Funktionsgleichungen ermitteln
Auf der Abbildung siehst du die Randlinien der beiden Gauben. Du kannst der Abbildung entnehmen, dass die Graphen der Funktionen $r_1$ und $r_2$ drei Punkte mit dem der Funktion $f$ gemeinsam haben. Zwei davon sind die Nullstellen von $f$ und der dritte Punkt ist der Hochpunkt des Graphen von $f$:
$P_1(-2\mid 0)$
$P_2(2\mid 0)$
$P_3(0\mid 0,75)$
Die Verläufe der Graphen von $r_1$ und $r_2$ erinnern an die Form einer Parabel.
Hinweis: Da du keine weiteren Angaben hast, kannst du nicht mit Sicherheit sagen, dass die zugrungeliegenden Funktionen Parabelfunktionen sind. Es könnten auch Exponentialfunktionen sein. Im Folgenden findest du deswegen zwei alternative Lösungswege zur Ermittlung der Funktionsgleichung von $r_2$. Der erste Lösungsweg geht von dem Ansatz einer Parabelfunktion aus, der zweite Ansatz von einer Exponentialfunktion.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Parabelfunktion
Eine Parabel hat die allgemeine Form
$r_2(x)=c\cdot x^2+ b$
$r_2$ verläuft durch die Punkte $P_2$ und $P_3$. Setze deren Koordinaten in die allgemeine Form ein und bestimme die Werte $c$ und $b$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Exponentialfunktion
Der Graph von $r_2$ verläuft auch bei diesem Ansatz durch die Punkte $P_2$ und $P_3$. Allerdings verwendest du jetzt den allgemeinen Ansatz:
$r_2(x)=a\cdot e^x+d$
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Lösungen TI
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a)
$\blacktriangleright$ Symmetrie des Graphen zur $\boldsymbol{y}$-Achse zeigen
Ein Graph ist zur $y$-Achse symmetrisch, wenn folgende Gleichung für alle $x$ im Definitionsbereich der Funktion gilt:
$f(x)\; =\; f(-x)$
$f(x)=f(-x)$
Überprüfe diese Gleichheit für die Funktion:
$f(x)=\dfrac{4}{3\cdot x^2+4}-\dfrac{1}{4}$.
Berechne $f(-x)$:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&\dfrac{4}{3\cdot (-x)^2+4}-\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3\cdot x^2+4}-\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Der Graph der Funktion ist also symmetrisch zur $y$-Achse.
#definitionsbereich
b)
$\blacktriangleright$ Verhältnis von Höhe zu Breite der Gaube überprüfen
In diesem Aufgabenteil sollst du überprüfen, ob das angegebene Verhältnis von Gaubenhöhe zu Gaubenbreite durch die Funktionsgleichung eingehalten wird. Das Verhältnis von Gaubenhöhe zu Gaubenbreite liegt, laut Aufgabentext zwischen $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{5}$.
Die Breite der Gaube entspricht dem Abstand der Nullstellen. Die Nullstellen kannst du mithilfe deines Taschenrechners bestimmen.
Gebe die Funktionsgleichung in deinen Taschenrechner ein und gehe wie Folgt vor:
menu $\rightarrow$ 6:Grapha analysieren $\rightarrow$ 1:Nullstellen
menu $\rightarrow$ 6:Grapha analysieren $\rightarrow$ 1:Nullstellen
Wähle jetzt eine untere und eine obere Schranke. Dein Taschenrechner gibt dir folgende Ausgabe:
Aufgabe B2
Abb. 1: Nullstellen mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B2
Abb. 1: Nullstellen mit dem Taschenrechner bestimmen
Die Nullstellen sind bei $x_1=-2$ und $x_2=2$. Der Abstand zwischen den Nullstellen und damit die Breit, ist $x_2-x_1=4$.
Die Höhe der Gaube entspricht dem $y$-Wert des Maximums.
Du kannst für die Berechnung wieder deinen Taschenrechner verwenden.
Gehe wie folgt vor:
menu $\rightarrow$ 6:Grapha analysieren $\rightarrow$ 3: Maximum
menu $\rightarrow$ 6:Grapha analysieren $\rightarrow$ 3: Maximum
Aufgabe B2
Abb. 2: Maximum mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B2
Abb. 2: Maximum mit dem Taschenrechner bestimmen
Der $y$-Wert des Maximums, und damit der Wert, welcher der Höhe der Gaube entspricht, ist $0,75$. Das Verhältnis berechnest du folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Höhe} : \text{Breite}&=& \dfrac{0,75}{4} \\[5pt] &=& 0,1875 \end{array}$
Um zu bewerten, ob dieser Wert in dem geforderten Bereich liegt, musst du dein Ergebnis in die Form $1 : a$ bringen, wobei $a$ ein Wert zwischen $5$ und $6$ sein muss, damit das geforderte Verhältnist erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0,1875&=&\dfrac{0,1875}{1} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5,33} \end{array}$
Das Verhältnis von Höhe zu breite ist $1:5,33$ und liegt somit im geforderten Bereich.
#extrempunkt#nullstelle
c)
$\blacktriangleright$ Gefälle der Gaube an den Enden untersuchen
Das Gefälle am Ende der Gaube entspricht der Steigung an den Nullstellen der Funktion. Um diese zu bestimmen kannst du deinen Taschenrechner verwenden. Die Nullstellen hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil gefunden. Diese sind $x_1=-2$ und $x_2=2$. Erzeuge mit deinem Taschenrechner als zweite Funktion die Ableitung von $f$ und lese die $y$-Werte für $x_1=-2$ und $x_2=2$ aus der Tabelle ab:
menu $\rightarrow$ 7:Tabelle $\rightarrow$ 1: Tabelle mit geteiltem Bildschirm
menu $\rightarrow$ 7:Tabelle $\rightarrow$ 1: Tabelle mit geteiltem Bildschirm
Aufgabe B2
Abb. 3: Steigung aus der Tabelle ablesen
Aufgabe B2
Abb. 3: Steigung aus der Tabelle ablesen
Du kannst also folgende Werte ablesen:
$f'(-2)=0,1875$ und $f'(2)=-0,1875$.
Um zu beurteilen ob diese Steigung kleiner ist als $12°$, musst du diese Steigung in Grad umrechen.
Für einen Steigungswinkel $\alpha$ und die Steigung $m$ gilt der Zusammenhang:
$\tan (\alpha)=m$
$\tan (\alpha)=m$
Achte darauf, dass die Ausgabe deines Taschenrechneres auf Grad eingestellt ist.
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=&0,1875 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=& \tan^{-1}(0,1875)\\[5pt] &\approx& 10,62° \end{array}$
$ \alpha \approx 10,62° $
Dieser Winkel ist kleiner als $12°$. Die Bedingung ist also erfüllt.
$\blacktriangleright$ Stellen mit dem größten Gefälle berechnen.
Die Stellen mit dem größten Gefälle oder der größten Steigung entsprechen den Stellen, an denen der Graph der Ableitungsfunktion Extrempunkte besitzt. Bestimme die Extrempunkte mit dem Taschenrechner. Die Ableitungsfunktion hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil bestimmt.
Gehe wie folgt vor:
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 2: Minimum / 3: Maximum
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 2: Minimum / 3: Maximum
Dein Taschenrechner gibt dir folgende Werte:
Aufgabe B2
Abb. 4: Extrempunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B2
Abb. 4: Extrempunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Die Stellen mit dem größten Gefälle sind bei $x_1=-0,667$ und $x_2=0,667$.
#steigung#ableitung#winkel#extrempunkt#tangens
d)
$\blacktriangleright$ Größe der Fensterfläche berechnen
Du kannst diese Aufgabe in zwei Schritten lösen:
  1. Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel, die das Fenster beschreibt, indem du zunächst Bedingungen an die Funktionsgleichung aufstellst und in die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel einsetzt. So erhältst du ein Gleichungssystem, aus welchem du die Koeffizienten berechnen kannst.
  2. Berechne den Inhalt der Fläche, die von der Parabel und der $x$-Achse eingeschlossen wird, mit Hilfe eines Integrals.
Schritt 1: Bestimmen der Parabelgleichung
Das Fenster wird mittig in die Gaube eingebaut. Deswegen liegt der höchste Punkt des Fensters auf der $y$-Achse. Da das Fenster eine Höhe von $h=0,5$ haben soll ist $P(0 \mid 0,5)$ ein Punkt auf der Parabel. Da das Fenster eine Breite von $2\text{m}$ habe soll und symmetrisch zur $y$-Achse ist, liegen auch die Punkte $Q_1(-1\mid 0)$ und $Q_2(1 \mid 0)$ auf der Parabel.
Die allgemeine Form der Parabel ist:
$p(x)=c\cdot x^2 +0,5$
Die Steigung $c$ kannst du berechnen indem du einen der drei Punkte einsetzt. Da beim Einsetzten des Punktes $P$ die Steigung $c$ wegfällt, musst du einen der Punkt $Q_1$ oder $Q_2$ einsetzten:
$\begin{array}[t]{rll} p(1)&=&0 \\[5pt] c\cdot 1^2+0,5&=& 0\scriptsize &\quad \mid\; -0,5 \\[5pt] c&=& -0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p(1)&=&0 \\[5pt] c&=& -0,5 \end{array}$
Die Gleichung der Parabel ist also:
$p(x)=-0,5\cdot x^2 + 0,5$
Schritt 2: Flächeninhalt berechnen
Gebe die Funktionsgleichung der Parabel in den Taschenrechner ein und bestimmen den Flächeninhalt zwischen $p(x)$ und der $x$-Achse. Den Befehl für das Integral findest du unter:
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 7: Integral
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 7: Integral
Wähle als Integrationsgrenzen die Schnittpunkte von $p(x)$ und der $x$-Achse.
Aufgabe B2
Abb. 5: Integral mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B2
Abb. 5: Integral mit dem Taschenrechner bestimmen
Der Wert des Integrals entspricht der Größe der Fensterfläche. Da alle Angaben in Metern sind, ist die Fensterfläche $0,667\text{m}^2$ groß.
#steigung#parabelgleichung#integral#schnittpunkt
e)
$\blacktriangleright$ Sachverhalt skizzieren
Wenn dir die Angaben über die Funktionsgraphen nicht genügen, kannst du auch die Koordinaten einzelner Punkte berechnen und dich an diesen orientieren.
Aufgabe B2
Abb. 6: Skizze des Sachverhalts
Aufgabe B2
Abb. 6: Skizze des Sachverhalts
$\blacktriangleright$ Maximale Breite berechnen
Um die maximale Breite des Fensters zu berechnen, musst du zuerst die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen und anschließend den Abstand zwischen den Nullstellen berechnen.
Du hast diesmal keine Punkte gegeben, mit denen du die Funktionsgleichung berechnen kannst. Stattdessen weißt du, dass der Funktionswert $p(x)$ in jedem Punkt kleiner oder gleich dem Funktionswert $g(x)$ sein muss. Der Abstand zwischen den Nullstellen $x_1$ und $x_2$ entspricht der Breite des Fensters. Dieser Abstand ist am größten, wenn sich die Graphen von $p$ und $g$ in zwei Punkten berühren. Vergleiche diese Überlegung mit der Skizze. An diesen Punkten gilt:
$p(x)=g(x)$
und
$p'(x)=g'(x)$.
Mit diesen Bedingungen kannst du die Steigung $c$ der Parabel bestimmen. Berechne die Ableitungen von $g(x)$ und $p(x)$ mit deinem Taschenrechner:
Aufgabe B2
Abb. 7: Ableitung mit dem Taschenrechner berechnen
Aufgabe B2
Abb. 7: Ableitung mit dem Taschenrechner berechnen
Du erhältst das Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&c\cdot x^2 +0,5&=&\dfrac{4}{3\cdot x^2+4}-\dfrac{1}{4} -0,1\\ \text{II}\quad&2 \cdot c \cdot x&=&\dfrac{-2,67\cdot x}{(x^2+1,33)^2}\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&c\cdot x^2 +0,5&=& …\\ \text{II}\quad&2 \cdot c \cdot x&=& …\\ \end{array}$
Verwende den $\text{solve}$ Befehl deines Taschenrechners um dieses Gleichungssystem zu lösen:
Aufgabe B2
Abb. 8: Gleichungssystem mit dem Taschenrechner lösen
Aufgabe B2
Abb. 8: Gleichungssystem mit dem Taschenrechner lösen
Dein Taschenrechner liefert dir die Werte:
$x=-0,918$ und $c=-0,282$ oder $x=0,918$ und $c=-0,282$.
Du erhältst zwei mögliche Lösungen, da es zwei Punkte gibt, an denen sich die Funktionsgraphen berühren. Der Wert $x$ gibt die Stelle an, an der sich die Graphen berühren und $c$ ist die Steigung der Parabel. Jetzt kannst du den Funktionsterm von $p(x)$ aufstellen:
$p(x)=-0,282\cdot x^2+0,5$
Im nächsten Schritt musst du die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ der Parabel und deren Abstand bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& 0 \\[5pt] -0,282\cdot x^2+0,5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5 \\[5pt] -0,282\cdot x^2&=&-0,5 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,282) \\[5pt] x^2&=&1,773 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,282) \\[5pt] x&=& \pm \sqrt{1,773} \\[5pt] &\approx& \pm 1,331 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& 0 \\[5pt] x&=& \pm \sqrt{1,773} \\[5pt] &\approx& \pm 1,331 \end{array}$
Der Abstand zwischen den Nullstellen ist:
$2\cdot 1,331 =2,662$
Damit ist die maximale Breite, die das Fenster haben kann $2,662\text{m}$.
#abstand#funktionswert#nullstelle#gleichungssystem#ableitung
f)
$\blacktriangleright$ Werte für Parameter $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Du sollst alle Werte $a$ bestimmen für die das Verhältnis von Höhe und Breite zwischen $1:6$ und $1:5$ liegt. Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme die Höhe und die Breite allgemein.
  2. Berechne das Verhältnis von Höhe und Breite allgemein.
  3. Bestimme die Werte $a$, für die das Verhältnis eingehalten wird, indem du eine Ungleichung aufstellst und nach $a$ auflöst.
Schritt 1: Höhe und Breite allgemein bestimmen
Die Funktion $f_a$ ist symmetrische zur $y$-Achse und besitzt ihren Hochpunkt bei $x=0$.
Der $y$-Wert, $f_a(0)=\frac{3}{4}$ entspricht der Höhe.
Die Breite ist der Abstand zwischen den Nullstellen. Du musst also die Nullstellen von $f_a$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] \dfrac{4}{a\cdot x^2+4}-\dfrac{1}{4}&=&0 \end{array}$
Verwende zum Lösen der Gleichung deinen Taschenrechner:
Aufgabe B2
Abb. 9: Gleichung mit dem Taschenrechner lösen
Aufgabe B2
Abb. 9: Gleichung mit dem Taschenrechner lösen
Du erhältst für $x$ die Werte
$x_1=\dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}$ und $x_2=-\dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}$.
Der Abstand zwischen diesen beiden Nullstellen ist:
$2\cdot \dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}=\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}$
Schritt 2: Verhältnis zwischen Höhe und Breite allgemein bestimmen
Das Verhältnis zwischen Höhe und Breite ist:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\text{Höhe}}{\text{Breite}}&=&\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{a}}{4\cdot \sqrt{3}} \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a}}{16} \end{array}$
Schritt 3: Wert $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Damit das Verhältnis eingehalten wird, muss folgende Ungleichung erfüllt sein:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{6}&\le& \dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a}}{16}&\le&\dfrac{1}{5}\quad \scriptsize \mid\; \cdot 16\\[5pt] \dfrac{16}{6}&\le& \sqrt{3} \sqrt{a}&\le&\dfrac{16}{5}\quad \scriptsize \mid\; \:\sqrt{3}\\[5pt] \dfrac{16}{6\cdot \sqrt{3}}&\le& \sqrt{a}&\le&\dfrac{16}{5\cdot \sqrt{3}}\quad \scriptsize \mid\; (\;)^2\\[5pt] \Bigg(\dfrac{16}{6\cdot \sqrt{3}}\Bigg)^2&\le& a&\le&\Bigg(\dfrac{16}{5\cdot \sqrt{3}}\Bigg)^2\\[5pt] \dfrac{64}{27}&\le& a&\le&\dfrac{256}{75} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{6}&\le& \dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a}}{16}&\le&\dfrac{1}{5}\\[5pt] \dfrac{64}{27}&\le& a&\le&\dfrac{256}{75} \end{array}$
Das Verhältnis zwischen Höhe und Breite ist also für alle Werte $a \in [\frac{64}{27};\frac{256}{75}]$ erfüllt.
#nullstelle#extrempunkt
g)
$\blacktriangleright$ Ansatz für die Funktionsgleichungen ermitteln
Auf der Abbildung siehst du die Randlinien der beiden Gauben. Du kannst der Abbildung entnehmen, dass die Graphen der Funktionen $r_1$ und $r_2$ drei Punkte mit dem der Funktion $f$ gemeinsam haben. Zwei davon sind die Nullstellen von $f$ und der dritte Punkt ist der Hochpunkt des Graphen von $f$:
$P_1(-2\mid 0)$
$P_2(2\mid 0)$
$P_3(0\mid 0,75)$
Die Verläufe der Graphen von $r_1$ und $r_2$ erinnern an die Form einer Parabel.
Hinweis: Da du keine weiteren Angaben hast, kannst du nicht mit Sicherheit sagen, dass die zugrungeliegenden Funktionen Parabelfunktionen sind. Es könnten auch Exponentialfunktionen sein. Im Folgenden findest du deswegen zwei alternative Lösungswege zur Ermittlung der Funktionsgleichung von $r_2$. Der erste Lösungsweg geht von dem Ansatz einer Parabelfunktion aus, der zweite Ansatz von einer Exponentialfunktion.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Parabelfunktion
Eine Parabel hat die allgemeine Form
$r_2(x)=c\cdot x^2+ b$
$r_2$ verläuft durch die Punkte $P_2$ und $P_3$. Setze deren Koordinaten in die allgemeine Form ein und bestimme die Werte $c$ und $b$:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&r_2(2)&=&0\\ \text{II}\quad&r_2(0)&=&0,75\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&c \cdot 4 +b&=&0\\ \text{II}\quad&c \cdot 0 +b&=&0,75\quad\\ \end{array}$
Der zweiten Gleichung kannst du direkt den Wert $b=0,75$ entnehmen. Setzte diesen Wert in die erste Gleichung ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot c+0,75&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -0,75\\[5pt] 4\cdot c&=&-0,75&\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] c &=& -0,1875 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot c+0,75&=&0\\[5pt] c &=& -0,1875 \end{array}$
Eine Gleichung für $r_2$ mit dem Parabelansatz ist :
$r_2(x)=-0,1875\cdot x^2+0,75$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Exponentialfunktion
Der Graph von $r_2$ verläuft auch bei diesem Ansatz durch die Punkte $P_2$ und $P_3$. Allerdings verwendest du jetzt den allgemeinen Ansatz:
$r_2(x)=a\cdot e^x+d$
Setzt du die Koordinaten von $P_2$ und $P_3$ ein, erhältst du das Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&r_2(2)&=&0\\ \text{II}\quad&r_2(0)&=&0,75\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a\cdot e^2+d&=&0\\ \text{II}\quad&a\cdot e^0+d&=&0,75\quad\\ \end{array}$
Verwende deinen Taschenrechner um dieses Gleichungssystem zu lösen:
Aufgabe B2
Abb. 10: Gleichungssystem mit dem Taschenrechner lösen
Aufgabe B2
Abb. 10: Gleichungssystem mit dem Taschenrechner lösen
Eine Gleichung für $r_2$ mit dem Ansatz über die Exponentialfunktion ist:
$r_(x)=-0,117 \cdot e^x +0,867$.
#extrempunkt#gleichungssystem#exponentialfunktion#parabel#nullstelle
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Lösungen Casio
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a)
$\blacktriangleright$ Symmetrie des Graphen zur $\boldsymbol{y}$-Achse zeigen
Ein Graph ist zur $y$-Achse symmetrisch, wenn folgende Gleichung für alle $x$ im Definitionsbereich der Funktion gilt:
$f(x)\; =\; f(-x)$
$f(x)=f(-x)$
Überprüfe diese Gleichheit für die Funktion:
$f(x)=\dfrac{4}{3\cdot x^2+4}-\dfrac{1}{4}$.
Berechne $f(-x)$:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&\dfrac{4}{3\cdot (-x)^2+4}-\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3\cdot x^2+4}-\dfrac{1}{4}\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Der Graph der Funktion ist also symmetrisch zur $y$-Achse.
#definitionsbereich
b)
$\blacktriangleright$ Verhältnis von Höhe zu Breite der Gaube überprüfen
In diesem Aufgabenteil sollst du überprüfen, ob das angegebene Verhältnis von Gaubenhöhe zu Gaubenbreite durch die Funktionsgleichung eingehalten wird. Das Verhältnis von Gaubenhöhe zu Gaubenbreite liegt, laut Aufgabentext zwischen $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{5}$.
Die Breite der Gaube entspricht dem Abstand der Nullstellen. Die Nullstellen kannst du mithilfe deines Taschenrechners bestimmen.
Gebe die Funktionsgleichung in deinen Taschenrechner ein und wähle das Feld zur Berechnung der Nullstellen.
Dein Taschenrechner gibt dir folgende Ausgabe:
Aufgabe B2
Abb. 1: Nullstellen mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B2
Abb. 1: Nullstellen mit dem Taschenrechner bestimmen
Die Nullstellen sind bei $x_1=-2$ und $x_2=2$. Der Abstand zwischen den Nullstellen und damit die Breit, ist $x_2-x_1=4$.
Die Höhe der Gaube entspricht dem $y$-Wert des Maximums.
Du kannst für die Berechnung wieder deinen Taschenrechner verwenden.
Aufgabe B2
Abb. 2: Maximum mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B2
Abb. 2: Maximum mit dem Taschenrechner bestimmen
Der $y$-Wert des Maximums, und damit der Wert, welcher der Höhe der Gaube entspricht, ist $0,75$. Das Verhältnis berechnest du folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Höhe} : \text{Breite}&=& \dfrac{0,75}{4} \\[5pt] &=& 0,1875 \end{array}$
Um zu bewerten, ob dieser Wert in dem geforderten Bereich liegt, musst du dein Ergebnis in die Form $1 : a$ bringen, wobei $a$ ein Wert zwischen $5$ und $6$ sein muss, damit das geforderte Verhältnist erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0,1875&=&\dfrac{0,1875}{1} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5,33} \end{array}$
Das Verhältnis von Höhe zu breite ist $1:5,33$ und liegt somit im geforderten Bereich.
#extrempunkt#nullstelle
c)
$\blacktriangleright$ Gefälle der Gaube an den Enden untersuchen
Das Gefälle am Ende der Gaube entspricht der Steigung an den Nullstellen der Funktion. Um diese zu bestimmen kannst du deinen Taschenrechner verwenden. Die Nullstellen hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil gefunden. Diese sind $x_1=-2$ und $x_2=2$. Erzeuge mit deinem Taschenrechner als zweite Funktion die Ableitung von $f$ und lese die $y$-Werte für $x_1=-2$ und $x_2=2$ aus der Tabelle ab:
Aufgabe B2
Abb. 3: Steigung aus der Tabelle ablesen
Aufgabe B2
Abb. 3: Steigung aus der Tabelle ablesen
Du kannst also folgende Werte ablesen:
$f'(-2)=0,1875$ und $f'(2)=-0,1875$.
Um zu beurteilen ob diese Steigung kleiner ist als $12°$, musst du diese Steigung in Grad umrechen.
Für einen Steigungswinkel $\alpha$ und die Steigung $m$ gilt der Zusammenhang:
$\tan (\alpha)=m$
$\tan (\alpha)=m$
Achte darauf, dass die Ausgabe deines Taschenrechneres auf Grad eingestellt ist.
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=&0,1875 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=& \tan^{-1}(0,1875)\\[5pt] &\approx& 10,62° \end{array}$
$ \alpha \approx 10,62° $
Dieser Winkel ist kleiner als $12°$. Die Bedingung ist also erfüllt.
$\blacktriangleright$ Stellen mit dem größten Gefälle berechnen.
Die Stellen mit dem größten Gefälle oder der größten Steigung entsprechen den Stellen, an denen der Graph der Ableitungsfunktion Extrempunkte besitzt. Bestimme die Extrempunkte mit dem Taschenrechner. Die Ableitungsfunktion hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil bestimmt.,
Dein Taschenrechner gibt dir folgende Werte:
Aufgabe B2
Abb. 4: Extrempunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B2
Abb. 4: Extrempunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Die Stellen mit dem größten Gefälle sind bei $x_1=-0,667$ und $x_2=0,667$.
#ableitung#steigung#winkel#extrempunkt#tangens
d)
$\blacktriangleright$ Größe der Fensterfläche berechnen
Du kannst diese Aufgabe in zwei Schritten lösen:
  1. Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel, die das Fenster beschreibt, indem du zunächst Bedingungen an die Funktionsgleichung aufstellst und in die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel einsetzt. So erhältst du ein Gleichungssystem, aus welchem du die Koeffizienten berechnen kannst.
  2. Berechne den Inhalt der Fläche, die von der Parabel und der $x$-Achse eingeschlossen wird, mit Hilfe eines Integrals.
Schritt 1: Bestimmen der Parabelgleichung
Das Fenster wird mittig in die Gaube eingebaut. Deswegen liegt der höchste Punkt des Fensters auf der $y$-Achse. Da das Fenster eine Höhe von $h=0,5$ haben soll ist $P(0 \mid 0,5)$ ein Punkt auf der Parabel. Da das Fenster eine Breite von $2\text{m}$ habe soll und symmetrisch zur $y$-Achse ist, liegen auch die Punkte $Q_1(-1\mid 0)$ und $Q_2(1 \mid 0)$ auf der Parabel.
Die allgemeine Form der Parabel ist:
$p(x)=c\cdot x^2 +0,5$
Die Steigung $c$ kannst du berechnen indem du einen der drei Punkte einsetzt. Da beim Einsetzten des Punktes $P$ die Steigung $c$ wegfällt, musst du einen der Punkt $Q_1$ oder $Q_2$ einsetzten:
$\begin{array}[t]{rll} p(1)&=&0 \\[5pt] c\cdot 1^2+0,5&=& 0\scriptsize &\quad \mid\; -0,5 \\[5pt] c&=& -0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p(1)&=&0 \\[5pt] c&=& -0,5 \end{array}$
Die Gleichung der Parabel ist also:
$p(x)=-0,5\cdot x^2 + 0,5$
Schritt 2: Flächeninhalt berechnen
Gebe die Funktionsgleichung der Parabel in den Taschenrechner ein und bestimmen den Flächeninhalt zwischen $p(x)$ und der $x$-Achse. Den Befehl für das Integral findest du unter:
Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Integral $\to$ $\int \text{dx}$ Nullst
Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Integral $\to$ $\int \text{dx}$ Nullst.
Wähle als Integrationsgrenzen die Schnittpunkte von $p(x)$ und der $x$-Achse.
Aufgabe B2
Abb. 5: Integral mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B2
Abb. 5: Integral mit dem Taschenrechner bestimmen
Der Wert des Integrals entspricht der Größe der Fensterfläche. Da alle Angaben in Metern sind, ist die Fensterfläche $0,667\text{m}^2$ groß.
#schnittpunkt#integral#parabelgleichung#steigung
e)
$\blacktriangleright$ Sachverhalts skizzieren
In der Skizze siehst du die Funktion $f(x)$, die Funktion $g(x)$ und die Funktion $p(x)$.
Aufgabe B2
Abb. 6: Skizze des Sachverhalts
Aufgabe B2
Abb. 6: Skizze des Sachverhalts
$\blacktriangleright$ Maximale Breite berechnen
Um die Maximale Breite des Fensters zu berechnen, musst du zuerst die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen und Anschließend den Abstand zwischen den Nullstellen berechnen.
Du hast diesmal keine Punkte gegeben, mit denen du die Funktionsgleichung berechnen kannst. Stattdessen weißt du dass die Funktion $p(x)$ in jedem Punkt kleiner oder gleich sein muss, wie die Funktion $g(x)$. Der Abstand zwischen den Nullstellen $x_1$ und $x_2$ entspricht der Breite des Fensters. Dieser Abstand ist am größtenm wenn sich die Funktionen $p(x)$ und $g(x)$ in zwei Punkten berühren. Vergleiche diese Überlegung mit der Skizze. An diesen Punkten gilt:
$p(x)=g(x)$
und
$p'(x)=g'(x)$.
Mit diesen Bedingungen kannst du die Steigung $c$ der Parabel bestimmen. Berechne die Ableitungen von $g(x)$ und $p(x)$ mit deinem Taschenrechner:
Aufgabe B2
Abb. 7: Ableitung mit dem Taschenrechner berechnen
Aufgabe B2
Abb. 7: Ableitung mit dem Taschenrechner berechnen
Du erhältst das Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&c\cdot x^2 +0,5&=&\dfrac{4}{3\cdot x^2+4}-\dfrac{1}{4} -0,1\\ \text{II}\quad&2 \cdot c \cdot x&=&\dfrac{-2,67\cdot x}{(x^2+1,33)^2}\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&c\cdot x^2 +0,5&=& …\\ \text{II}\quad&2 \cdot c \cdot x&=& …\\ \end{array}$
Verwende deinen Taschenrechners um dieses Gleichungssystem zu lösen:
Aufgabe B2
Abb. 8: Gleichungssystem mit dem Taschenrechner lösen
Aufgabe B2
Abb. 8: Gleichungssystem mit dem Taschenrechner lösen
Dein Taschenrechner liefert dir die Werte:
$x=-0,918$ und $c=-0,282$ oder $x=0,918$ und $c=-0,282$.
Du erhältst zwei mögliche Lösungen, da es zwei Punkte gibt, an denen sich die Funktionsgraphen berühren. Der Wert $x$ gibt die die Stelle an, an der sich die Graphen berühren und $c$ ist die Steigung der Parabel. Jetzt kannst du den Funktionsterm von $p(x)$ aufstellen:
$p(x)=-0,282\cdot x^2+0,5$
Im nächsten Schritt musst du die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ der Parabel und deren Abstand bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& 0 \\[5pt] -0,282\cdot x^2+0,5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5 \\[5pt] -0,282\cdot x^2&=&-0,5 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,282) \\[5pt] x^2&=&1,773 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,282) \\[5pt] x&=& \pm \sqrt{1,773} \\[5pt] &\approx& \pm 1,331 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& 0 \\[5pt] x&=& \pm \sqrt{1,773} \\[5pt] &\approx& \pm 1,331 \end{array}$
Der Abstand zwischen den Nullstellen ist:
$2\cdot 1,331 =2,662$
Damit ist die maximale Breite, die das Fenster haben kann $2,662\text{m}$.
#nullstelle#gleichungssystem#abstand#ableitung#steigung
f)
$\blacktriangleright$ Werte für Parameter $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Du sollst alle Werte $a$ bestimmen für die das Verhältnis von Höhe und Breite zwischen $1:6$ und $1:5$ liegt. Gehe wie folgt vor:
  1. Bestimme die Höhe und die Breite allgemein.
  2. Berechne das Verhältnis von Höhe und Breite allgemein.
  3. Bestimme die Werte $a$, für die das Verhältnis eingehalten wird.
Schritt 1: Höhe und Breite allgemein bestimmen
Die Funktion $f_a$ ist symmetrische zur $y$-Achse und besitzt ihren Hochpunkt bei $x=0$.
Der $y$-Wert, $f_a(0)=\frac{3}{4}$ entspricht der Höhe.
Die Breite ist der Abstand zwischen den Nullstellen. Du musst also die Nullstellen von $f_a$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] \dfrac{4}{a\cdot x^2+4}-\dfrac{1}{4}&=&0 \end{array}$
Verwende zum Lösen der Gleichung deinen Taschenrechner:
Aufgabe B2
Abb. 9: Gleichung mit dem Taschenrechner lösen
Aufgabe B2
Abb. 9: Gleichung mit dem Taschenrechner lösen
Du erhältst für $x$ die Werte
$x_1=\dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}$ und $x_2=-\dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}$.
Der Abstand zwischen diesen beiden Nullstellen ist:
$2\cdot \dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}=\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}$
Schritt 2: Verhältnis zwischen Höhe und Breite allgemein bestimmen
Das Verhältnis zwischen Höhe und Breite ist:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\text{Höhe}}{\text{Breite}}&=&\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{a}}{4\cdot \sqrt{3}} \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a}}{16} \end{array}$
Schritt 3: Wert $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Damit das Verhältnis eingehalten wird, muss folgende Ungleichung erfüllt sein:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{6}&\le& \dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a}}{16}&\le&\dfrac{1}{5}\quad \scriptsize \mid\; \cdot 16\\[5pt] \dfrac{16}{6}&\le& \sqrt{3} \sqrt{a}&\le&\dfrac{16}{5}\quad \scriptsize \mid\; \:\sqrt{3}\\[5pt] \dfrac{16}{6\cdot \sqrt{3}}&\le& \sqrt{a}&\le&\dfrac{16}{5\cdot \sqrt{3}}\quad \scriptsize \mid\; (\;)^2\\[5pt] \Bigg(\dfrac{16}{6\cdot \sqrt{3}}\Bigg)^2&\le& a&\le&\Bigg(\dfrac{16}{5\cdot \sqrt{3}}\Bigg)^2\\[5pt] \dfrac{64}{27}&\le& a&\le&\dfrac{256}{75} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{6}&\le& \dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a}}{16}&\le&\dfrac{1}{5}\\[5pt] \dfrac{64}{27}&\le& a&\le&\dfrac{256}{75} \end{array}$
Das Verhältnis zwischen Höhe und Breite ist also für alle Werte $a \in [\frac{64}{27};\frac{256}{75}]$ erfüllt.
#extrempunkt#nullstelle
g)
$\blacktriangleright$ Ansatz für die Funktionsgleichungen ermitteln
Auf der Abbildung siehst du die Randlinien der beiden Gauben. Du kannst der Abbildung entnehmen, dass die Funktionen $r_1$ und $r_2$ drei Punkte mit der Funktion $f$ gemeinsam haben. Zwei davon sind die Nullstellen von $f$ und der dritte Punkt ist der Hochpunkt von $f$:
$P_1(-2\mid 0)$
$P_2(2\mid 0)$
$P_3(0\mid 0,75)$
Die Form der Funktionen $r_1$ und $r_2$ erinnern an die Form einer Parabel.
Hinweis: Da du keine weitern Angaben hast, kannst du nicht mit Sicherheit sagen, dass die zugrungeliegenden Funktionen Parabeln sind. Es könnten auch Exponentialfunktionen sind. Im Folgenden findest du deswegen zwei alternative Lösungswege zur Ermittlung der Funktionsgleichung von $r_2$. Der erste Lösungsweg geht von dem Ansatz einer Parabelfunktion aus, der zweite Ansatz von einer Exponentialfunktion.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Parabelfunktion
Eine Parabel hat die allgemeine Form
$r_2(x)=c\cdot x^2+ b$
$r_2$ verläuft durch die Punkte $P_2$ und $P_3$. Setzte diese Punkte in die allgemeine Form ein und bestimme die Werte $c$ und $b$:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&r_2(2)&=&0\\ \text{II}\quad&r_2(0)&=&0,75\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&c \cdot 4 +b&=&0\\ \text{II}\quad&c \cdot 0 +b&=&0,75\quad\\ \end{array}$
Der zweiten Gleichung kannst du direkt den Wert $b=0,75$ entnehmen. Setzte diesen Wert in die erste Gleichung ein und löse nach $c$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot c+0,75&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -0,75\\[5pt] 4\cdot c&=&-0,75&\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] c &=& -0,1875 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot c+0,75&=&0\\[5pt] c &=& -0,1875 \end{array}$
Eine Gleichung für $r_2$ mit dem Parabelansatz ist :
$r_2(x)=-0,1875\cdot x^2+0,75$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Exponentialfunktion
Die Funktion $r_2$ verläuft auch bei diesem Ansatz durch die Punkte $P_2$ und $P_3$. Allerdings verwendest du jetzt den allgemeinen Ansatz:
$r_2(x)=a\cdot e^x+d$
Setzt du die Punkte $P_2$ und $P_3$ ein, erhältst du das Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&r_2(2)&=&0\\ \text{II}\quad&r_2(0)&=&0,75\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a\cdot e^2+d&=&0\\ \text{II}\quad&a\cdot e^0+d&=&0,75\quad\\ \end{array}$
Verwende deinen Taschenrechner um dieses Gleichungssystem zu lösen:
Aufgabe B2
Abb. 10: Gleichungssystem mit dem Taschenrechner lösen
Aufgabe B2
Abb. 10: Gleichungssystem mit dem Taschenrechner lösen
Eine Gleichung für $r_2$ mit dem Ansatz über die Exponentialfunktion ist:
$r_(x)=-0,117 \cdot e^x +0,867$.
#exponentialfunktion#nullstelle#gleichungssystem#extrempunkt#parabel
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