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Aufgabe A

Aufgaben
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1  Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=x^3-3x+2$   $(x\in\mathbb{R})$.
a)  Zeige, dass $t(x)=-3x+2$ eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P\left(0\mid f(0)\right)$ ist.
(2P)
b)  Gib eine Gleichung der Normalen an den Graphen von $f$ im Punkt $P\left(0\mid f(0)\right)$ an.
(1P)
2  Dargestellt sind die Graphen einer Funktion $f$ und ihrer Ableitungsfunktion $f'$.
Ordne den Funktionen die abgebildeten Graphen $A$ und $B$ zu.
Begründe deine Zuordnung.
Aufgabe A
Aufgabe A
(2P)
3  Für jede reelle Zahl $a$ ist eine Funktion $f_a$ in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich durch $f_a(x)=\dfrac{x^2-2}{x+a}$ gegeben.
a)  Gib den Wert für $a$ so an, dass der Graph von $f_a$ eine Asymptote mit der Gleichung $x=3$ besitzt.
(1P)
b)  Begründe, dass der Graph von $f_a$ für $a=0$ eine schräge Asymptote hat.
(1P)
4  Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=-2x+2$    $(x\in\mathbb{R}).$
a)  Bestimme alle Stammfunktionen von $f$, die nur negative Funktionswerte besitzen.
(2P)
b)  Der Graph der Funktion $f$ schließt mit den Koordinatenachsen die Fläche $A$ vollständig ein.
Gib den Flächeninhalt von $A$ an.
(1P)
5  Gegeben ist die Strecke $\overline{AB}$ durch die Punkte $A(1\mid-2\mid3)$ und $B(4\mid4\mid9)$.
a)  Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}$.
(1P)
b)  Prüfe, ob der Punkt $C(0\mid-4\mid1)$ auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt.
(2P)
6  In einem Würfel sind die Vektoren $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$ und $\vec{c}=\overrightarrow{AE}$ gegeben.
Der Punkt $S$ ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Seitenfläche $ADHE$.
Gib die Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{SB}$ mit Hilfe der Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ an.
Aufgabe A
Aufgabe A
(2P)
7  Für einen Multiple-Choice-Test werden zu 32 Fragen je vier mögliche Antworten vorgegeben, von denen genau eine richtig ist. Der Test gilt als bestanden, wenn ein Teilnehmer mehr als 30 Fragen richtig beantwortet. Max kreuzt zufällig und ohne Kenntnisse pro Frage eine Antwort an.
a)  Gib den Erwartungswert für die Anzahl der richtigen Antworten an.
(1P)
b)  Ordne den Ereignissen A, B und C die entsprechenden Gleichungen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit zu.
A:= „Max hat alle Fragen falsch beantwortet.“
B:= „Max besteht den Test.“
C:= „Max hat nur die erste Frage richtig beantwortet.“
Aufgabe A
Aufgabe A
(2P)
8  In einer Schule sind $20\,\%$ der Schüler Linkshänder. $10\,\%$ der Linkshänder spielen Volleyball. Von den Rechtshändern spielen $30\,\%$ Volleyball. Ein Schüler der Schule wird zufällig ausgewählt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A:= „Der ausgewählte Schüler ist ein Rechtshänder und spielt Volleyball.“
B:= „Der ausgewählte Schüler spielt nicht Volleyball.“
(2P)
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Tipps
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ a) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit dem Funktionsterm
$f(x)=x^3-3\cdot x+2;\,\,x \in \mathbb{R}$
Weiterhin ist die Gleichung einer Tangenten $t$ gegeben, die an den Graphn von $f$ im Punkt $P(0 \mid f(0))$ angelegt wurde. Sie besitzt die folgende Geradengleichung:
$t(x)=-3\cdot x+2;\,\,x \in \mathbb{R}$
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass $t$ tatsächlich eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ beschreibt. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die vollständigen Koordinaten des Punktes $P$.
  • Ermittle die Gleichung der Tangenten in diesem Punkt $P$.
Soll eine Tangente an den Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ angelegt werden, so kann diese gerade durch die folgende allgemeine Tangentengleichung beschrieben werden:
$t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$
$\blacktriangleright$ b) Gleichung der Normalen angeben
Gib die Gleichung der Normalen im Punkt $P(0 \mid f(0))=P(0 \mid 2)$ an. Eine Normale an einen Graphen im Punkt $P(x \mid y)$ muss folgende Eigenschaften erfüllen:
  • Hat der Graph an der Stelle $x$ die Steigung $m$, so hat die Normale an dieser Stelle die Steigung $\boldsymbol{-\frac{1}{m}}$
  • Die Normale enthält den Punkt $P(0 \mid 2)$, an den sie angelegt werden soll, d.h. es gilt: $\boldsymbol{n(x)=y}$
  • Die allgemeine Normalengleichung ist von der Form $\boldsymbol{n(x)=-\frac{1}{m}\cdot x +c}$
Um die Normalengleichung zu bestimmen, kannst du zunächst die Steigung ermitteln und anschließend durch eine Punktprobe mit dem Punkt $P(0 \mid 2)$ den $y$-Achsenabschnitt $c$ berechnen.
Aufgabe A
Aufgabe A

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Funktionen zuordnen
Dargestellt sind die zwei Graphen $A$ und $B$. Ein Schaubild entspricht der Funktion $f$, das andere ihrer Ableitungsfunktion $f'$. Ordne die Funktionen ihren Schaubildern zu und begründe deine Entscheidung.
Betrachte dazu die Anordnung der Nullstellen und Extremstellen der beiden Funktionen. Hat zum Beispiel der Graph der Funktion $f$ einen Extrempunkt, so hat der Graph der Ableitungsfunktion an dieser Stelle einen Schnitt mit der $x$-Achse.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ a) Funktionsterm für die Schar $\boldsymbol{f_a}$ angeben
Die Funktionenschar $f_a$ ist für eine reelle Zahl $a$ wie folgt definiert:
$f_a(x)=\dfrac{x^2-2}{x+a};\,\,a \in \mathbb{R}$
Finde einen Wert für $a$, sodass der Graph der Funktion $f_a$ eine Asymptote mit der Gleichung $x=3$ besitzt. Hierbei handelt es sich um eine senkrechte Asymptote.
Ein Graph nähert sich einer senkrechten Asymptote an, wenn er beispielsweise an dieser Stelle eine Definitionslücke aufweist. Versuche also einen Wert für $a$ so zu finden, dass er an der Stelle $x=3$ eine Definitionslücke aufweist.
Eine Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn sie an dieser Stelle nicht definiert ist. Bei einer gebrochenrationalen Funktion ist das zum Beispiel der Fall, wenn der Term unter dem Bruchstrich Null wird.
Aufgabe A
Aufgabe A
$\blacktriangleright$ b) Begründen, dass $\boldsymbol{f_0}$ eine schräge Asymptote hat
Erkläre, warum die Funktion $f_0$ eine schräge Asymptote besitzt.
Aufgabe A
Aufgabe A
Eine gebrochenrationale Funktion besitzt eine schiefe Asymptote, sofern der Zählergrad (höchste Potenz im Zähler) um eine Einheit größer als der Nennergrad (höchste Potenz im Nenner) ist.
Betrachte also den Term der zur Funktion $f_0$ gehört:
$f_{0}(x)=\dfrac{x^2 -2}{x}$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ a) Alle Stammfunktionen mit negativen Funktionswerten bestimmen
Gegeben ist der Term der Funktion $f$ mit:
$f(x)=-2 \cdot x +2;\,\, x \in \mathbb{R}$
Bestimme alle Stammfunktionen, die nur negative Funktionswerte besitzten.
Dazu kannst du zunächst eine allgemeine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ bestimmen. Diese ist von der Integrationskonstante $c$ abhängig, die beim Ableiten wieder eliminiert wird.
Wie muss diese Konstante $c$ gewählt werden, damit für die Stammfunktion $F$ gilt: $F(x) < 0$? Du kannst hier folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die allgemeine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$.
  • Überlege dir, für welches $c$ die Gleichung $F(x) < 0$ erfüllt wird.
$\blacktriangleright$ b) Eingeschlossener Flächeninhalt bestimmen
$\blacktriangleright$ Graphische Lösung
Die Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(x)=-2\cdot x +2$ schließt mit der $x$- und der $y$-Achse eine Fläche ein. Gib den Flächeninhalt dieser Fläche an. Dazu kannst du den Graph zur Funktion $f$ in ein geeignetes Schaubild zeichnen:
Aufgabe A
Aufgabe A
$\blacktriangleright$ Rechnerische Lösung
Die Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(x)=-2\cdot x +2$ schließt mit der $x$- und der $y$-Achse eine Fläche ein. Gib den Flächeninhalt dieser Fläche an.
Aufgabe A
Aufgabe A
Eine Fläche, welche von einer Funktion, der $x$- und $y$-Achse eingeschlossen wird, entspricht gerade dem Integral über diese Funktion mit den Grenzen $0$ und der Schnittstelle $P_x$ mit der $x$-Achse:
$\displaystyle \int_0^{P_x} f(x)\,dx$ (*)
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Schnittstelle der Funktion $f$ mit der $x$-Achse. Eine Schnittstelle mit der $x$-Achse erhältst du, indem du die Gleichung $f(x)=0$ nach der Variablen $x$ auflöst.
  • Setze alle Angaben in den obigen Term (*) ein und berechne.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ a) Länge der Strecke bestimmen
Eine Strecke $\overline{AB}$ mit den Endpunkten $A(1 \mid -2 \mid 3)$ und $B(4 \mid 4 \mid 9)$ ist gegeben. Berechne die Länge dieser Strecke.
Die Länge dieser Strecke entspricht gerade dem Abstand der zwei Punkte $A$ und $B$.
Den Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ kannst du mit Hilfe folgender Formel bestimmen:
$d(A,B)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$
Setze die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ ein und berechne.
$\blacktriangleright$ b) Prüfen, ob Punkt $\boldsymbol{C}$ auf der Strecke liegt
Überprüfe, ob der Punkt $C(0 \mid -4 \mid 1)$ auf der Strecke $\overline{AB}$ mit den Endpunkten $A(1 \mid -2 \mid 3)$ und $B(4 \mid 4 \mid 9)$ liegt, indem du die Streckengleichung durch die Punkte $A$ und $B$ aufstellst und anschließend eine Punktprobe durchführst.
Die Gleichung einer Strecke $\overline{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B$ ist allgemein gegeben durch:
$\overline{AB}:\; \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$ und $\lambda \in \left[ 0;1 \right]$

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Vektoren angeben
In einem Würfel sind die Vektoren
  • $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$
  • $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}$
  • $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AE}$
gegeben. Der Punkt $S$ sei der Schnittpunkt der Diagonalen der Seitenfläche $ADHE$. Gib die Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{SB}$ mit Hilfe der zuvor definierten Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ an.
Aufgabe A
Aufgabe A
Dazu kannst du folgende Eigenschaft des Würfels verwenden: In einem Würfel sind alle Kanten und damit die definierten Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ gleich lang. Diese drei Vektoren erstrecken sich unter anderem jeweils in eine Richtung des Raumes. Das heißt, du kannst mit Hilfe von Linearkombinationen jeden Eckpunkt des Würfels darstellen.
Welche Linearkombination ist bei den Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{SB}$ jeweils nötig?

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ a) Erwartungswert berechnen
In einem Multiple-Choice-Test von insgesamt $32$ Fragen mit je $4$ Antwortmögichkeiten ist pro Frage jeweils eine Antwort richtig. Bei jeder Frage liegt also die Wahrscheinlichkeit bei $p=\frac{1}{4}$, dass die richtige Antwort angekreuzt wird.
Angenommen man kreuzt bei jeder Frage zufällig eine Antwortmöglichkeit an, wie viel richtig beantwortete Fragen kann man dann erwarten?
Definiere dir dazu eine Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der richtigen Antworten angibt. Damit ist bei dieser Aufgabe gerade der Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsvariable $X$ gesucht. Dieser ist allgemein wie folgt definiert:
$E(X)=n \cdot p$
Hier ist $n$ die Anzahl der Fragen und $p$ die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Setze alle Angaben ein und berechne.
$\blacktriangleright$ b) Wahrscheinlichkeiten den Ereignissen zuordnen
Gegeben sind die folgenden drei Ereignisse:
  • $A:=$ „Max hat alle Fragen falsch beantwortet.“
  • $B:=$ „Max besteht den Test.“
  • $C:=$ „Max hat nur die erste Frage richtig beantwortet.“
Ordne diese Ereignisse den Wahrscheinlichkeiten
  • $p_1= \left(\frac{3}{4}\right)^{32}$
  • $p_2=\left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{31}$
  • $p_3=32 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{31} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{32}$
zu. Zuvor haben wir die Zufallsvariable $X$ definiert, die die Anzahl der richtig beantworteten Fragen beschreibt. Diese Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt, da die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten mit $p= \frac{1}{4}$ bei jeder Frage gleich bleibt und da es nur die Möglichkeit gibt, eine Frage richtig oder falsch zu beantworten. Damit kannst du die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten, wie folgt angeben:
$P(X=k)=\binom {n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}=\binom {32}{k}\cdot \left( \frac{1}{4} \right)^k \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{32-k}$

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten zu den Ereignissen berechnen
Das Ereignis $L$ bzw. $R$ bezeichne den Fall, dass ein Schüler Links- bzw. Rechtshänder ist. $V$ heiße, dass ein Schüler Volleyball spielt. In einer Schule sind laut Aufgabentext
  • $20\,\%$ Linkshänder: $P(L)=0,2$
  • $10\,\%$ davon spielen Volleyball: $P(V \mid L)=0,1$
  • $80\,\%$ Rechtshänder: $P(R)=0,8$
  • $30\,\%$ davon spielen Volleyball: $P(V \mid R)=0,3$
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $B$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ ermitteln
Die Wahrscheinlichkeit zum Ereignis $A:=$ „Der ausgewählte Schüler ist ein Rechtshänder und spielt Volleyball“ kannst du in mathematischen Symbolen wie folgt schreiben: $P(R \cap V)$.
Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, kannst du die Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit nach $P(R \cap V)$ umstellen und die bekannten Werte einsetzen.
Dazu benötigst du die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit:
$P_B(A)=P(A \mid B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ ermitteln
Die Wahrscheinlichkeit zum Ereignis $B:=$ „Der ausgewählte Schüler spielt nicht Volleyball“ kannst du in mathematischen Symbolen wie folgt schreiben: $P(\overline{V})= 1- P(V)$.
Weiterhin gilt bei bedingten Wahrscheinlichkeiten folgender Zusammenhang:
$P(V) = P(V \mid L)\cdot P(L) +P(V \mid \overline{L}) \cdot P(\overline{L})$
Das Gegenereignis $\overline{L}$, dass ein Schüler nicht Linkshänder ist, entspricht gerade dem Ereignis, dass er ein Rechtshänder ist, also gilt: $\overline{L}=R$. Setze nun alle bekannten Angaben aus dem Aufgabentext ein und bestimme so $P(V)$.
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ a) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit dem Funktionsterm
$f(x)=x^3-3\cdot x+2;\,\,x \in \mathbb{R}$
Weiterhin ist die Gleichung einer Tangenten $t$ gegeben, die an den Graphn von $f$ im Punkt $P(0 \mid f(0))$ angelegt wurde. Sie besitzt die folgende Geradengleichung:
$t(x)=-3\cdot x+2;\,\,x \in \mathbb{R}$
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass $t$ tatsächlich eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ beschreibt. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die vollständigen Koordinaten des Punktes $P$.
  • Ermittle die Gleichung der Tangenten in diesem Punkt $P$.
Soll eine Tangente an den Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ angelegt werden, so kann diese gerade durch die folgende allgemeine Tangentengleichung beschrieben werden:
$t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$
1. Schritt: Vollständige Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Der Punkt $P$ ist in Abhängigkeit der Funktion $f$ gegeben. Um die $y$-Koordinate des Punktes $P$ zu bestimmen, kannst du den Funktionswert $f(0)$ berechnen:
$\begin{array}{rll} f(0)&=&0^3-3\cdot 0+2\\ &=&2\\ \end{array}$
Die vollständigen Koordinaten von $P$ lauten damit: $P(0 \mid 2)$
2. Schritt: Tangentengleichung aufstellen
Um zu zeigen, dass die gegebene Tangentengleichung korrekt ist, kannst du alle Angaben in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen und vergleichen:
$t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$
Offensichtlich benötigst du
  • die Stelle $x_0$, an der die Tangente angelegt werden soll,
  • den Funktionswert der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ und
  • den Ableitungswert an der Stelle $x_0$.
$x_0$ entspricht gerade der $x$-Koordinate des Punktes $P$ und $f(x_0)$ der zugehörigen $y$-Koordinate, folglich gilt $\boldsymbol{x_0=0}$ und $\boldsymbol{f(x_0)=2}$.
Den Ableitungswert an dieser Stelle erhältst du, indem du zunächst die Ableitung der Funktion $f$ bildest und dann $\boldsymbol{x_0=0}$ einsetzt:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^3-3\cdot x+2\\ f'(x)&=&3\cdot x^2-3\\ f'(0)&=&3\cdot 0^2-3\\ &=&-3\\ \end{array}$
Du erhältst $\boldsymbol{f'(x_0)=-3}$. Setze nun alle Angaben in die allgemeine Tangentengleichung ein:
$t(x)=-3\cdot (x-0)+2=-3\cdot x +2$
Diese Gleichung stimmt mit der im Aufgabentext gegebenen Gleichung überein. Damit hast du gezeigt, dass die Tangente $t$ mit der Gleichung $t(x)=-3\cdot x +2$ tatsächlch eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ ist.
Aufgabe A
Aufgabe A
$\blacktriangleright$ b) Gleichung der Normalen angeben
Gib die Gleichung der Normalen im Punkt $P(0 \mid f(0))=P(0 \mid 2)$ an. Eine Normale an einen Graphen im Punkt $P(x \mid y)$ muss folgende Eigenschaften erfüllen:
  • Hat der Graph an der Stelle $x$ die Steigung $m$, so hat die Normale an dieser Stelle die Steigung $\boldsymbol{-\frac{1}{m}}$
  • Die Normale enthält den Punkt $P(0 \mid 2)$, an den sie angelegt werden soll, d.h. es gilt: $\boldsymbol{n(x)=y}$
  • Die allgemeine Normalengleichung ist von der Form $\boldsymbol{n(x)=-\frac{1}{m}\cdot x +c}$
Um die Normalengleichung zu bestimmen, kannst du zunächst die Steigung ermitteln und anschließend durch eine Punktprobe mit dem Punkt $P(0 \mid 2)$ den $y$-Achsenabschnitt $c$ berechnen.
Aufgabe A
Aufgabe A
Zuvor hast du gezeigt, dass $t(x)=-3\cdot x +2$ die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(0 \mid 2)$ darstellt. Anhand dieser kannst du ablesen, dass der Graph im Punkt $P$ die Steigung $m=-3$ besitzt. Folglich hat die Normale in diesem Punkt die Steigung $\frac{1}{3}$.
Die Steigung der Normalen kannst du nun mit den Koordinaten des Punktes $P(0 \mid 2)$ einsetzen und so den noch unbekannten Parameter $c$ ermitteln:
$\begin{array}{rll} n(x)&=&-\frac{1}{m}\cdot x +c\\ 2&=&\frac{1}{3}\cdot 0 +c\\ 2&=&c\\ \end{array}$
Damit muss $c=2$ gelten. Die vollständige Normalengleichung lautet:
$n(x)=\frac{1}{3}\cdot x +2$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Funktionen zuordnen
Dargestellt sind die zwei Graphen $A$ und $B$. Ein Schaubild entspricht der Funktion $f$, das andere ihrer Ableitungsfunktion $f'$. Ordne die Funktionen ihren Schaubildern zu und begründe deine Entscheidung.
Betrachte dazu die Anordnung der Nullstellen und Extremstellen der beiden Funktionen. Hat zum Beispiel der Graph der Funktion $f$ einen Extrempunkt, so hat der Graph der Ableitungsfunktion an dieser Stelle einen Schnitt mit der $x$-Achse.
Betrachtest du den Graphen $A$, so kannst du erkennen, dass dieser an der Stelle $x_1=-2$ und $x_2=0$ einen Hoch- bzw. Tiefpunkt aufweist.
Der Graph $B$ hat dahingegen genau an diesen Stellen Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
Umgekehrt trifft diese Aussage nicht zu, das heißt, dass der Graph $A$ die Funktion $f$ und der Graph $B$ die Ableitungsfunktion $f'$ darstellt.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ a) Funktionsterm für die Schar $\boldsymbol{f_a}$ angeben
Die Funktionenschar $f_a$ ist für eine reelle Zahl $a$ wie folgt definiert:
$f_a(x)=\dfrac{x^2-2}{x+a};\,\,a \in \mathbb{R}$
Finde einen Wert für $a$, sodass der Graph der Funktion $f_a$ eine Asymptote mit der Gleichung $x=3$ besitzt. Hierbei handelt es sich um eine senkrechte Asymptote.
Ein Graph nähert sich einer senkrechten Asymptote an, wenn er beispielsweise an dieser Stelle eine Definitionslücke aufweist. Versuche also einen Wert für $a$ so zu finden, dass er an der Stelle $x=3$ eine Definitionslücke aufweist.
Eine Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn sie an dieser Stelle nicht definiert ist. Bei einer gebrochenrationalen Funktion ist das zum Beispiel der Fall, wenn der Term unter dem Bruchstrich Null wird.
In unserem Fall tritt das ein, sofern $x=-a$ für ein beliebiges $a$ aus den reellen Zahlen gilt. Das heißt, dass die Funktionenschar $f_a$ an der Stelle $x=-a$ eine Definitionslücke besitzt.
Soll der Graph gegen eine senkrechten Asymptote mit der Gleichung $x=3$ konvergieren, so muss er an der Stelle $x=3$ eine Definitionslücke aufweisen. Da du aber zuvor bestimmt hast, dass die Funktionenschar immer an der Stelle $x=-a$ eine Definitionslücke aufweist, muss $a=-3$ gelten. $f_{-3}$ ist die gesuchte Funktion mit dem Funktionsterm:
$f_{-3}(x)=\dfrac{x^2-2}{x-3}$
Aufgabe A
Aufgabe A
$\blacktriangleright$ b) Begründen, dass $\boldsymbol{f_0}$ eine schräge Asymptote hat
Erkläre, warum die Funktion $f_0$ eine schräge Asymptote besitzt.
Aufgabe A
Aufgabe A
Eine gebrochenrationale Funktion besitzt eine schiefe Asymptote, sofern der Zählergrad (höchste Potenz im Zähler) um eine Einheit größer als der Nennergrad (höchste Potenz im Nenner) ist.
Betrachte also den Term der zur Funktion $f_0$ gehört:
$f_{0}(x)=\dfrac{x^2 -2}{x}$
Der Zählergrad ist 2, der Nennergrad 1. Damit ist der Zählergrad um eine Einheit größer als der Nennergrad und es liegt folglich eine schiefe Asymptote vor.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ a) Alle Stammfunktionen mit negativen Funktionswerten bestimmen
Gegeben ist der Term der Funktion $f$ mit:
$f(x)=-2 \cdot x +2;\,\, x \in \mathbb{R}$
Bestimme alle Stammfunktionen, die nur negative Funktionswerte besitzten.
Dazu kannst du zunächst eine allgemeine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ bestimmen. Diese ist von der Integrationskonstante $c$ abhängig, die beim Ableiten wieder eliminiert wird.
Wie muss diese Konstante $c$ gewählt werden, damit für die Stammfunktion $F$ gilt: $F(x) < 0$? Du kannst hier folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die allgemeine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$.
  • Überlege dir, für welches $c$ die Gleichung $F(x) < 0$ erfüllt wird.
1. Schritt: Stammfunktion bilden
Die allgemeine Stammfunktion der Funktion $f$ kannst du wie folgt bilden:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&-2 \cdot x +2\\ F(x)&=&-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^2 +2 \cdot x +c\\ &=&- x^2 +2 \cdot x +c\\ \end{array}$
Du erhältst $F(x)= - x^2 +2 \cdot x +c$.
2. Schritt: Integrationskonstante $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Damit $F$ nur negative Werte besitzt, muss $F(x) < 0$ gelten. Dazu kannst du dir überlegen, wie das Schaubild der Stammfunktion $F$ aussieht: Der höchste Exponent beträgt $2$, der Leitkoeffizient beträgt $-1$. Das heißt, es handelt sich um eine umgedrehte Parabel.
Aufgabe A
Aufgabe A
Betrachte den Scheitelpunkt der Funktion: Dieser entspricht bei einer umgedrehten Parabel gerade dem Hochpunkt. Wähle diesen so, dass für die $y$-Koordinate $S_y$ des Scheitelpunktes gerade $S_y < 0$ gilt. Dann sind alle weiteren Funktionswerte ebenfalls kleiner Null.
Eine Funktion $F$ mit dem Funktionsterm
$F(x)=a\cdot x^2+b\cdot x +c$
besitzt den Scheitelpunkt
$S(-\frac{b}{2 \cdot a} \mid c - \frac{b^2}{4 \cdot a})$.
In unserem Fall besitzt der Scheitelpunkt dann die Koordinaten $S(-\frac{2}{2 \cdot (-1)} \mid c - \frac{2^2}{4 \cdot (-1)})=S(1 \mid c + 1)$.
Damit alle Funktionswerte der Stammfunktion $F$ kleiner Null sind, muss der Scheitelpunkt als höchster Punkt unterhalb der $x$-Achse liegen. Das gilt genau dann, sofern für die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes $S_y < 0 $ erfüllt wird.
Löse diese Gleichung nach der Integrationskonstanten $c$:
$\begin{array}{rll} S_y&<&0\\ c+1&<&0& \mid \scriptsize -1\\ c&<&-1\\ \end{array}$
Das liefert dir, dass alle Stammfunktionen $F$ mit $F(x)=- x^2 +2 \cdot x +c$ und $c < -1$ negative Funktionswerte aufweisen.
$\blacktriangleright$ b) Eingeschlossener Flächeninhalt bestimmen
$\blacktriangleright$ Graphische Lösung
Die Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(x)=-2\cdot x +2$ schließt mit der $x$- und der $y$-Achse eine Fläche ein. Gib den Flächeninhalt dieser Fläche an. Dazu kannst du den Graph zur Funktion $f$ in ein geeignetes Schaubild zeichnen:
Aufgabe A
Aufgabe A
Du kannst erkennen, dass der Graph gerade ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von $2$ FE halbiert.
Der Flächeninhalt beträgt $1$ FE.
$\blacktriangleright$ Rechnerische Lösung
Die Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(x)=-2\cdot x +2$ schließt mit der $x$- und der $y$-Achse eine Fläche ein. Gib den Flächeninhalt dieser Fläche an.
Aufgabe A
Aufgabe A
Eine Fläche, welche von einer Funktion, der $x$- und $y$-Achse eingeschlossen wird, entspricht gerade dem Integral über diese Funktion mit den Grenzen $0$ und der Schnittstelle $P_x$ mit der $x$-Achse:
$\displaystyle \int_0^{P_x} f(x)\,dx$ (*)
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Schnittstelle der Funktion $f$ mit der $x$-Achse. Eine Schnittstelle mit der $x$-Achse erhältst du, indem du die Gleichung $f(x)=0$ nach der Variablen $x$ auflöst.
  • Setze alle Angaben in den obigen Term (*) ein und berechne.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Schnittstelle $\boldsymbol{P_x}$ bestimmen
Die Schnittstelle $P_x$ erhältst du, indem du die Gleichung $f(x)=0$ nach der Variablen $x$ auflöst:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&0\\ -2 \cdot x +2&=&0& \mid \scriptsize -2\\ -2 \cdot x &=&-2& \mid \scriptsize :(-2)\\ x&=&1\\ \end{array}$
Die Schnittstelle der Funktion $f$ mit der $x$-Achse befindet sich an $P_x=x=1$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Setze alle Angaben in den Term (*) ein und berechne so den Flächeninhalt:
$\begin{array}{rll} \displaystyle \int_0^{p_X} f(x)\,dx&=&\displaystyle \int_0^{1} -2 \cdot x +2\,dx\\ &=&\left[ - x^2 +2 \cdot x \right]_0^1\\ &=&-1^2+2 \cdot 1-(-0^2+2 \cdot 0) \\ &=&-1+2-0 \\ &=&1 \\ \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt $1$ FE.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ a) Länge der Strecke bestimmen
Eine Strecke $\overline{AB}$ mit den Endpunkten $A(1 \mid -2 \mid 3)$ und $B(4 \mid 4 \mid 9)$ ist gegeben. Berechne die Länge dieser Strecke.
Die Länge dieser Strecke entspricht gerade dem Abstand der zwei Punkte $A$ und $B$.
Den Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ kannst du mit Hilfe folgender Formel bestimmen:
$d(A,B)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$
Setze die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ ein und berechne.
$\begin{array}{rll} d(A,B)&=&\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\\ &=&\sqrt{(4-1)^2+(4-(-2))^2+(9-3)^2}\\ &=&\sqrt{(3)^2+(6)^2+(6)^2}\\ &=&\sqrt{81}\\ &=&9\\ \end{array}$
Der Abstand der beiden Punkte $A$ und $B$ bzw. die Länge der Strecke $\overline{AB}$ beträgt $9$ LE.
$\blacktriangleright$ b) Prüfen, ob Punkt $\boldsymbol{C}$ auf der Strecke liegt
Überprüfe, ob der Punkt $C(0 \mid -4 \mid 1)$ auf der Strecke $\overline{AB}$ mit den Endpunkten $A(1 \mid -2 \mid 3)$ und $B(4 \mid 4 \mid 9)$ liegt, indem du die Streckengleichung durch die Punkte $A$ und $B$ aufstellst und anschließend eine Punktprobe durchführst.
Die Gleichung einer Strecke $\overline{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B$ ist allgemein gegeben durch:
$\overline{AB}:\; \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$ und $\lambda \in \left[ 0;1 \right]$
1. Schritt: Streckengleichung aufstellen
Setze die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ ein:
$\overline{AB}:\; \begin{pmatrix}1\\-2\\3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \left(\begin{pmatrix}4\\4\\9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\-2\\3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix}1\\-2\\3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\6\\6 \end{pmatrix}$ und $\lambda \in \left[ 0;1 \right]$
2. Schritt: Punktprobe
Um zu überprüfen, ob der Punkt $C$ auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt, kannst du eine Punktprobe durchführen: Setze die Koordinaten des Punktes $C$ komponentenweise mit der Streckengleichung gleich und ermittle einen passenden Wert für $\lambda$. Ist das der Fall und liegt dieser Wert für $\lambda$ im Intervall $\left[ 0;1 \right]$, so liegt der Punkt $C$ auf der Strecke $\overline{AB}$.
$\begin{array}{rll} \text{I}&0&=&1+ 3 \cdot \lambda &\mid \scriptsize -1\\ \text{II}&-4&=&-2+ 6 \cdot \lambda &\mid \scriptsize +2\\ \text{III}&1&=&3+ 6 \cdot \lambda &\mid \scriptsize -3\\ \hline \text{I}&-1&=&3 \cdot \lambda &\mid \scriptsize :3\\ \text{II}&-2&=&6 \cdot \lambda &\mid \scriptsize :6\\ \text{III}&-2&=&6 \cdot \lambda &\mid \scriptsize :6\\ \hline \text{I}&-\frac{1}{3}&=&\lambda \\ \text{II}&-\frac{1}{3}&=&\lambda \\ \text{III}&-\frac{1}{3}&=&\lambda \\ \end{array}$
Du erhältst den Wert $\lambda = -\frac{1}{3}$. Dieser Wert liegt nicht innerhalb des Intervalls $\left[0;1\right]$, folglich liegt auch der Punkt $C$ nicht auf der Strecke $\overline{AB}$.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Vektoren angeben
In einem Würfel sind die Vektoren
  • $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$
  • $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD}$
  • $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AE}$
gegeben. Der Punkt $S$ sei der Schnittpunkt der Diagonalen der Seitenfläche $ADHE$. Gib die Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{SB}$ mit Hilfe der zuvor definierten Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ an.
Aufgabe A
Aufgabe A
Dazu kannst du folgende Eigenschaft des Würfels verwenden: In einem Würfel sind alle Kanten und damit die definierten Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ gleich lang. Diese drei Vektoren erstrecken sich unter anderem jeweils in eine Richtung des Raumes. Das heißt, du kannst mit Hilfe von Linearkombinationen jeden Eckpunkt des Würfels darstellen.
Welche Linearkombination ist bei den Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{SB}$ jeweils nötig?
Durch geschicktes Anordnen der Vektoren erhältst du:
  • $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
  • $\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{b} - \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{c}$

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ a) Erwartungswert berechnen
In einem Multiple-Choice-Test von insgesamt $32$ Fragen mit je $4$ Antwortmögichkeiten ist pro Frage jeweils eine Antwort richtig. Bei jeder Frage liegt also die Wahrscheinlichkeit bei $p=\frac{1}{4}$, dass die richtige Antwort angekreuzt wird.
Angenommen man kreuzt bei jeder Frage zufällig eine Antwortmöglichkeit an, wie viel richtig beantwortete Fragen kann man dann erwarten?
Definiere dir dazu eine Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der richtigen Antworten angibt. Damit ist bei dieser Aufgabe gerade der Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsvariable $X$ gesucht. Dieser ist allgemein wie folgt definiert:
$E(X)=n \cdot p$
Hier ist $n$ die Anzahl der Fragen und $p$ die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Setze alle Angaben ein und berechne:
$E(X)=32 \cdot \frac{1}{4}=8$
Das liefert dir, dass man mit dieser Strategie $8$ richtig ausgewählte Antworten erwarten kann.
$\blacktriangleright$ b) Wahrscheinlichkeiten den Ereignissen zuordnen
Gegeben sind die folgenden drei Ereignisse:
  • $A:=$ „Max hat alle Fragen falsch beantwortet.“
  • $B:=$ „Max besteht den Test.“
  • $C:=$ „Max hat nur die erste Frage richtig beantwortet.“
Ordne diese Ereignisse den Wahrscheinlichkeiten
  • $p_1= \left(\frac{3}{4}\right)^{32}$
  • $p_2=\left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{31}$
  • $p_3=32 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{31} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{32}$
zu. Zuvor haben wir die Zufallsvariable $X$ definiert, die die Anzahl der richtig beantworteten Fragen beschreibt. Diese Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt, da die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten mit $p= \frac{1}{4}$ bei jeder Frage gleich bleibt und da es nur die Möglichkeit gibt, eine Frage richtig oder falsch zu beantworten. Damit kannst du die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten, wie folgt angeben:
$P(X=k)=\binom {n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}=\binom {32}{k}\cdot \left( \frac{1}{4} \right)^k \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{32-k}$
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ ermitteln
Die Wahrscheinlichkeit, eine Frage falsch zu beantworten, beträgt damit $1- \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Beantwortet Max alle Fragen falsch, so entspricht das gerade der folgenden Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}{rll} P(X=0)&=&\binom {32}{0}\cdot \left( \frac{1}{4} \right)^0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{32-0}\\ &=&1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{32}\\ &=&\left(\frac{3}{4}\right)^{32}\\ &=&p_1\\ \end{array}$
Ereignis $A$ tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p_1$ ein.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ ermitteln
Der Test gilt als bestanden, wenn mehr als $30$ der $32$ Fragen richtig beantwortet wurden. Das heißt, dieses Ereignis entspricht gerade dem Fall, dass Max $31$ oder $32$ Fragen richtig beantwortet. Eingesetzt in die Formel der Binomialverteilung liefert dir das:
$\begin{array}{rll} P(X>30)&=&P(X=31) + P(X=32)\\ &=&\binom {32}{31}\cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{31} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{32-31} + \binom {32}{32}\cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{32} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{32-32}\\ &=&32\cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{31} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1} + 1 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{32} \cdot 1\\ &=&32\cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{31} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1} + \left( \frac{1}{4} \right)^{32}\\ &=&p_3\\ \end{array}$
Damit besitzt das Ereignis $B$ die Wahrscheinlichkeit $p_3$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C}$ ermitteln
Soll Max nur die erste Frage richtig beantworten, so kannst du dir alle $32$ zu beantworteten Fragen in einem Baumdiagramm vorstellen. Im ersten Schritt wird für die erste Frage der Zweig „richtig beantwortet“ gewählt, alle weiteren 31 Schritte wird nur noch „falsch beantwortet“ gewählt. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit erhältst du schließlich über Pfadmultiplikation:
$\left( \frac{1}{4} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \cdot … \cdot \left( \frac{3}{4} \right)=\left( \frac{1}{4} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{31}=p_2$
Damit gehört die Wahrscheinlichkeit $p_2$ zum Ereignis $C$.

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten zu den Ereignissen berechnen
Das Ereignis $L$ bzw. $R$ bezeichne den Fall, dass ein Schüler Links- bzw. Rechtshänder ist. $V$ heiße, dass ein Schüler Volleyball spielt. In einer Schule sind laut Aufgabentext
  • $20\,\%$ Linkshänder: $P(L)=0,2$
  • $10\,\%$ davon spielen Volleyball: $P(V \mid L)=0,1$
  • $80\,\%$ Rechtshänder: $P(R)=0,8$
  • $30\,\%$ davon spielen Volleyball: $P(V \mid R)=0,3$
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $B$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ ermitteln
Die Wahrscheinlichkeit zum Ereignis $A:=$ „Der ausgewählte Schüler ist ein Rechtshänder und spielt Volleyball“ kannst du in mathematischen Symbolen wie folgt schreiben: $P(R \cap V)$.
Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, kannst du die Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit nach $P(R \cap V)$ umstellen und die bekannten Werte einsetzen.
Dazu benötigst du die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit:
$P_B(A)=P(A \mid B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
$\begin{array}{rll} P(V \mid R)&=&\dfrac{P(V \cap R)}{P(R)}& \mid \scriptsize \cdot P(R)\\ P(V \mid R) \cdot P(R)&=&P(V \cap R)\\ 0,3 \cdot 0,8&=&P(V \cap R)\\ 0,24&=&P(V \cap R)\\ \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Rechtshänder ist und Volleyball spielt, beträgt $0,24$ bzw. $24\,\%$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ ermitteln
Die Wahrscheinlichkeit zum Ereignis $B:=$ „Der ausgewählte Schüler spielt nicht Volleyball“ kannst du in mathematischen Symbolen wie folgt schreiben: $P(\overline{V})= 1- P(V)$.
Weiterhin gilt bei bedingten Wahrscheinlichkeiten folgender Zusammenhang:
$P(V) = P(V \mid L)\cdot P(L) +P(V \mid \overline{L}) \cdot P(\overline{L})$
Das Gegenereignis $\overline{L}$, dass ein Schüler nicht Linkshänder ist, entspricht gerade dem Ereignis, dass er ein Rechtshänder ist, also gilt: $\overline{L}=R$. Setze nun alle bekannten Angaben aus dem Aufgabentext ein und bestimme so $P(V)$.
$\begin{array}{rll} P(V)&=&P(V \mid L)\cdot P(L) +P(V \mid \overline{L}) \cdot P(\overline{L})\\ &=&P(V \mid L)\cdot P(L) +P(V \mid R) \cdot P(R)\\ &=&0,1 \cdot 0,2 +0,3 \cdot 0,8\\ &=&0,26\\ \end{array}$
Damit kannst du nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ein Schüler kein Volleyball spielt:
$\begin{array}{rll} P(\overline{V})&=&1-P(V)\\ &=&1-0,26\\ &=&0,74\\ \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Volleyball spielt, beträgt $0,74$ bzw. $74\,\%$.
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