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Aufgabe C1

Aufgaben
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1.
Von einer geraden quadratischen Pyramide $ABCDS$ sind die Punkte $A(6\;|\;2\;|\;0)$, $B(6\;|\;6\;|\;0)$, $C(2\;|\;6\;|\;0)$ und $S(4\;|\;4\;|\;6)$ gegeben.
a)
Gib die Koordinaten des Punkts $D$ an.
Stelle die Pyramide in einem Koordinatensystem graphisch dar.
(3 BE)
b)
Gib die Höhe der Pyramide an.
Berechne die Länge der Seitenkante $\overline{AS}$.
(3 BE)
Für jede reelle Zahl $a$ ist eine Gerade $g_a$ gegeben durch $\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+r\cdot\pmatrix{-2\\a\\-6}\;\;(r\in\mathbb{R}).$
c)
Für $a=0$ und $0\leq r\leq 1$ wird eine Punktmenge bestimmt.
Beschreibe die Lage dieser Punktmenge bezogen auf die Pyramide $ABCDS$.
(2 BE)
d)
Unter den Geraden $g_a$ gibt es Geraden, die mit der Gerade $g_0$ einen Winkel von $60°$ einschließen.
Berechne die Werte für $a$.
(3 BE)
e)
Alle Geraden $g_a$ liegen in einer Ebene $\epsilon$, die die Punkte $C$, $D$ und $S$ enthält.
Bestimme eine Gleichung für $\epsilon$ in Koordinatenform.
(Zur Kontrolle: $3x-z=6$)
(3 BE)
f)
Berechne den Abstand des Punktes $A$ von der Ebene $\epsilon$.
(3 BE)
g)
Gegeben ist die Gerade $k$ durch $\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+t\cdot\pmatrix{0\\1\\0}\;\;(t\in\mathbb{R})$.
Zeige, dass die Gerade $k$ in der Ebene $\epsilon$ liegt, aber nicht zu den Geraden $g_a$ gehört.
(3 BE)
h)
Zu jeder Koordinatenebene gibt es eine parallele Ebene, die das Volumen der Pyramide $ABCDS$ halbiert.
Ermittle jeweils eine Gleichung dieser Ebenen.
(5 BE)
#pyramide#ebenengleichung#geradengleichung
2.
Zur Verkehrsunfallstatistik im Jahr $2014$ für die Stadt Jena wurde veröffentlicht:
„[…]“ Allerdings gibt es bei den Fahranfängern eine positive Tendenz. Ihr Anteil an den Unfällen liegt bei $8$ Prozent und damit „[…]“ niedriger als ein Jahr zuvor. Ältere Fahrer über $65$ Jahren verursachen dagegen $14$ Prozent aller Unfälle „[…]“.
(Aus: Ostthüringer Zeitung. $14.$\$15.05.2015$)
Man geht davon aus, dass diese Anteile sich in den folgenden Jahren nicht ändern werden.
Verwende zur Lösung aller Aufgaben das Modell der Binomialverteilung.
a)
Berechne unter Verwendung der Zahlen für das Jahr $2014$ folgende Wahrscheinlichkeiten für $2017$:
A:=„Höchstens zwei der nächsten $20$ Unfälle im Stadtgebiet werden von Fahranfängern verursacht.“
B:=„Mehr als zwei der nächsten $20$ Unfälle im Stadtbegiet werden von Fahrern über $65$ Jahren verursacht.“
(4 BE)
b)
Betrachtet werden die nächsten $250$ Unfälle.
Ermittle das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert, in dem etwa $80\;\%$ der von Fahranfängern verursachten Unfälle liegen.
(4 BE)
Mit einem Signifikanztest soll untersucht werden, ob der Wert von $8\;\%$ für Unfälle, die von Fahranfängern in Jena verursacht werden, auf Thüringen übertragbar ist. Dazu sollen die nächsten $100$ Unfälle ausgewertet werden. Werden von diesen $100$ Unfällen $3$ bis $13$ Unfälle von Fahranfängern verursacht, so will man glauben, dass auch in Thüringen $8\;\%$ der Unfälle von Fahranfängern verursacht werden.
c)
Ermittle hierfür die Größe des $\alpha$-Fehlers (Fehler 1.Art) dieses Tests.
(3 BE)
d)
Erläutere die Bedeutung des $\alpha$-Fehlers in diesem Zusammenhang.
(2 BE)
e)
Es wurden fünf Fahranfänger als Unfallverursacher unter den nächsten $100$ Unfällen gezählt.
Beurteile hierzu den Wahrheitsgehalt der Aussage: „Auch in Thüringen werden $8\;\%$ der Unfälle von Fahranfängern verursacht.“
(2 BE)
#binomialverteilung#hypothesentest
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Lösungen TI
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ angeben
Damit sich eine quadratische Pyramide ergibt, muss der Punkt $D$ die Koordinaten $D(2\;|\;2\;|\;0)$ haben.
$\blacktriangleright$ Pyramide im Koordinatensystem einzeichnen
b)
$\blacktriangleright$ Höhe der Pyramide angeben
Die Grundfläche der Pyramide liegt in der $xy$-Ebene. Die Höhe wird deshalb durch die $z$-Koordinate der Spitze beschrieben. Die Höhe der Pyramide beträgt also $6\;\text{LE}$
$\blacktriangleright$ Länge der Seitenkante $\boldsymbol{\overline{AS}}$ bestimmen
Die Länge der Seitenkante $\overline{AS}$ ergibt sich über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AS}$:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AS}\right|&=&\left|\pmatrix{4\\4\\6}-\pmatrix{6\\2\\0}\right|& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{-2\\2\\6}\right|& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\sqrt{(-2)^2+2^2+6^2}& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\sqrt{44}& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&2\sqrt{11}& &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{AS}$ ist $2\sqrt{11}\;\text{LE}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$ Lage der Punktmenge beschreiben
Für $a=0$ ist die Punktmenge eine Strecke, die durch folgende Gleichung beschrieben werden kann:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+r\cdot \pmatrix{-2\\0\\6}$
Für $r=0$ ergibt sich:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+0\cdot \pmatrix{-2\\0\\6}=\pmatrix{4\\4\\6}$
Dies entspricht dem Punkt $S$. Für $r=1$ ergibt sich:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+1\cdot \pmatrix{-2\\0\\6}=\pmatrix{2\\4\\0}$
Dies entspricht dem Mittelpunkt der Strecke $\overline{CD}$. Die Punktmenge beschreibt die Strecke vom Punkt $S$ zum Mittelpunkt der Strecke $\overline{CD}$.
d)
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ berechnen
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden ergibt sich mit den beiden beiden Richtungsvektoren durch Gleichsetzen:
Aufgabe C1
Abb. 2: solve-Befehl, norm-Befehl, dotP-Befehl
Aufgabe C1
Abb. 2: solve-Befehl, norm-Befehl, dotP-Befehl
Die Werte für $a$, für die die Geraden $g_a$ die Gerade $g_0$ unter einem Winkel von $60°$ schneiden sind $a=\pm\;2\sqrt{30}$.
e)
$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen
Die Ebene $\epsilon$ soll die drei Punkte $C$, $D$ und $S$ enthalten. Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich beispielsweise mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren dieser Punkte:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{SC}\times \overrightarrow{SD} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\2\\-6} \times \pmatrix{-2\\-2\\-6} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\cdot (-6)-(-2)\cdot(-6) \\ (-6)\cdot (-2)- (-6)\cdot(-2) \\ (-2)\cdot (-2)- (-2)\cdot 2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-12-12 \\ 12-12 \\ 4+4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-24 \\ 0 \\ 8}\\[5pt] \end{array}$
Da für den Normalenvektor nur die Richtung, nicht aber die Länge von Bedeutung ist, kann auch der gekürzte Vektor verwendet werden $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{-3 \\ 0\\ 1}$. Eine vorläufige Koordinatengleichung von $\epsilon$ lautet damit:
$\epsilon:\; -3x+z =d$
$d$ kann nun mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $S$ ermittelt werden:
$\begin{array}[t]{rll} -3x+z&=& d&\quad \scriptsize \mid\;S(4\mid 4\mid 6) \\[5pt] -3\cdot 4+6&=&-6 \\[5pt] -6&=& d \end{array}$
Eine Koordinatengleichung von $\epsilon$ lautet:
$\epsilon:\; -3x+z = -6$
f)
$\blacktriangleright$ Abstand von $\boldsymbol{A}$ zur Ebene berechnen
Der Abstand des Punkts $A$ zur Ebene $\epsilon$ kann mit Hlfe der Hesseschen-Normalenform von $\epsilon$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(\epsilon , A)&=& \dfrac{-3x+z+6}{\sqrt{(-3)^2+0^2+1^2}}\\[5pt] &=& \dfrac{\left|-3x+z+6\right|}{\sqrt{10}}&\quad \scriptsize \mid\;A\left(6\mid 2\mid 0\right) \\[5pt] &=& \dfrac{\left|-3\cdot 6+1\cdot 0 +6\right|}{\sqrt{10}}\\[5pt] &=& \dfrac{12}{\sqrt{10}}\\[5pt] &\approx& 3,79 \\[5pt] \end{array}$
Der Abstand von $A$ zur Ebene $\epsilon$ beträgt ca. $3,79.$
g)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{k}$ in der Ebene liegt, aber nicht zu den Geraden $\boldsymbol{g_a}$ gehört.
$\epsilon: -3x_1+x_3=-6$
$k:\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+t\cdot\pmatrix{0\\1\\0}$
Durch Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \epsilon: -3(4+t\cdot0)1+(6+t\cdot0)&=&-6 &\quad \scriptsize \\[5pt] -12+6&=&-6 \end{array}$
Die Gerade liegt in der Ebene $\epsilon$.
Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen von $k$ und $g_a$ lassen sich Aussagen über die gegenseitige Lage zueinander machen.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{4\\4\\6}+t\cdot\pmatrix{0\\1\\0}&=&\pmatrix{4\\4\\6}+r\cdot\pmatrix{-2\\a\\-6} &\quad \scriptsize \\[5pt] t\cdot\pmatrix{0\\1\\0}-r\cdot\pmatrix{-2\\a\\-6}&=&\pmatrix{0\\0\\0} \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 2r &\quad \scriptsize\mid\;r=0\\ \text{II}\quad&0&=& 1t - a\cdot r &\quad \scriptsize\\ \text{III}\quad&0&=& 6r &\quad \scriptsize\\ \hline \text{II}\quad&0&=& 1t - a\cdot 0 &\quad \scriptsize\\ &t&=& 0 &\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Es gibt nur eine Lösung, die Gerade $k$ gehört deshalb nicht zu den Geraden $g_a$, sie haben nur einen gemeinsamen Punkt.
h)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebenen ermitteln
Die Pyramide ist symmetrisch, sie lässt sich durch Ebenen, die parallel zu den $xz$-, $xy$- und $yz$-Ebenen verlaufen, halbieren. Es lässt sich an der Skizze direkt ablesen, dass $y=4$ die Pyramide halbiert und aufgrund der Symmetrie auch $x=4$ die Pyramide halbiert. Die Ebenengleichung, durch die die Pyramide in Richtung der $xy$-Ebene geteilt wird, lässt sich über das Volumen berechnen. Der obere der beiden Teilkörper, die durch die Teilung entstehen, ist wiederum eine Pyramide mit der quadratischen Grundfläche $EFGH$ und der Spitze $S.$ Die Eckpunkte der Grundfläche haben alle die gleiche $z$-Koordinate und liegen damit in der gesuchten Ebene. Gesucht ist also die $z$-Koordinate der Eckpunkte $E,$ $F,$ $G$ und $H.$
Das Volumen der ursprünglichen Pyramide ergibt sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] V&=&\frac{1}{3}\cdot (4\;\text{LE}\cdot4\;\text{LE})\cdot 6\;\text{LE} \\[5pt] V&=&32\;\text{VE} \end{array}$
Für das Volumen der Teilpyramide gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} V_{2}&=& 16\,\text{VE}\quad\text{ mit } \\[10pt] V_{2}&=& \frac{1}{3}\cdot \left| \overline{EF}\right|^2 \cdot h_2\\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $E$ liegt auf der Gerade durch $A$ und $S:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE_t}&=& \overrightarrow{OA} +t\cdot \overrightarrow{AS} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\2\\0} +t\cdot \pmatrix{-2\\2\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{6-2t\\2+2t\\6t} \end{array}$
Der Punkt $F$ liegt auf der Gerade durch $B$ und $S:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF_t}&=& \overrightarrow{OB} +t\cdot \overrightarrow{BS} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\6\\0} +t\cdot \pmatrix{-2\\-2\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{6-2t\\6-2t\\6t} \end{array}$
Die Höhe der Teilpyramide ergibt sich aus der Differenz der $z$-Koordinaten von $S$ und $E$ bzw. $F:$
$h_t = 6-6t$
Daraus ergibt sich dann das Volumen der Teilpyramide in Abhängigkeit von $t:$
$\begin{array}[t]{rll} V_t&=& \frac{1}{3}\cdot \left|\overline{E_tF_t} \right|^2\cdot h_t \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \left|\pmatrix{0\\4-4t\\0} \right|^2\cdot (6-6t) \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot (4-4t)^2\cdot (6-6t) \\[5pt] &=& (4-4t)^2\cdot (2-2t) \\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen mit $16$ und Lösen der Gleichung mit dem solve-Befehl des CAS liefert:
$\begin{array}[t]{rll} (4-4t)^2\cdot (2-2t)&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t&=& 1-\dfrac{2^{\frac{2}{3}}}{2} \\[5pt] \end{array}$
Für die $z$-Koordinate von $E,$ $F,$ $G$ und $H$ folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} z&=& 6t \\[5pt] &=& 6\cdot \left(1-\dfrac{2^{\frac{2}{3}}}{2} \right) \\[5pt] &=& 6- 3\cdot 2^{\frac{2}{3}} \\[5pt] &=& 6- 3\cdot \sqrt[3]{2^2} \\[5pt] &=& 6-3\cdot \sqrt[3]{4} \\[5pt] \end{array}$
Die Ebene, die das Volumen der Pyramide parallel zur $xy$-Ebene halbiert kann durch die Gleichung $E:z=6-3\sqrt[3]{4}$ dargestellt werden.
2.
a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
Wir betrachten die Zufallsgröße $X$, die die zufällige Anzahl der Unfälle im Stadtgebiet, die von Fahranfängern verursacht werden in der Stichprobe von $20$ Unfällen beschreibt.
Aufgabe C1
Abb. 4: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilungen $\to$ E: Binomial Cdf
Aufgabe C1
Abb. 4: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilungen $\to$ E: Binomial Cdf
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
Wir betrachten die Zufallsgröße $Y$ die die Anzahl der Unfälle im Stadtgebiet, die von Fahrern über $65$ Jahren verursacht werden in der Stichprobe von $20$ Unfällen beschreibt. Bei jedem Unfall wird dabei nur unterschieden, ob er von einem Fahrer über $65$ Jahren $(S)$ oder nicht $(\overline{S})$ verursacht wurde. Erfahrungsgemäß werden $14\,\%$ aller Unfälle von Fahrern über $65$ Jahren verursacht.
Damit kann $Y$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=20$ und $p = 0,14$ angenommen werden. Es kann also die Formel für die Binomialverteilung verwendet werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(3 \leq Y \leq 20) &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &\approx&0,545\\[5pt] &=& 54,5\;\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für $B$ beträgt ca. $54,5\;\%$.
b)
$\blacktriangleright$ Intervall bestimmen
Die Zufallsvariable $X_{250}$ beschreibt die Anzahl der von Fahranfängern verursachten Unfällen bei den nächsten $250$ Unfällen. $X_{250}$ ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt mit $n=250$ und $p=0,08$.
Gesucht ist das Intervall $[\mu-a;\mu+a]$ um den Erwartungswert $\mu$, sodass
$P(\mu-a \leq X_{250} \leq \mu+a)\approx 0,8$.
Der Erwartungswert liegt bei $\mu=250\cdot 0,08 =20$.
Das Intervall, in dem etwa $80\;\%$ der von Fahranfängern verursachten Unfälle liegen, kann mit dem CAS durch systematisches Ausprobieren bestimmt werden.
Der untere Wert für $a$ liegt bei $a=5$, somit ergibt sich das symmetrische Intervall um den Erwartungswert $[15;20]$.
c)
$\blacktriangleright$ Fehler 1. Art bestimmen
Der Fehler $1.$ Art entspricht der Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Der Fehler wird begangen, wenn weniger als $2$ und mehr als $13$ der Unfälle von Fahranfängern verursacht wurden. Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Anzahl der von Fahranfängern verursachten Unfällen. Mit dem CAS lässt sich der Fehler $1.$ Art berechnen:
$P(Z \leq 3-1 )+P(Z \geq 13+1)= P(Z \leq 2) + 1 - P(Z \leq 13)$
Dies lässt sich mit dem CAS berechnen:
$\text{binomialcdf}(0,2,100,0.08)+1-\text{binomialcdf}(0,13,100,0.08)\approx 0,0395$
Der Fehler $1.$ Art beträgt ca. $0,0395$.
d)
$\blacktriangleright$ Bedeutung des Fehlers erläutern
Der Fehler $1.$ Art beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Das bedeutet die Nullhypothese: „ In Thüringen werden $8\;\%$ aller Unfälle von Fahranfängern verursacht. “ wird abgelehnt, obwohl sie eigentlich zutrifft.
e)
$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen
Der Annahmebereich des Hypothesentestes ist $A[3;13]$. Somit liegen die $5$, von Fahranfängern verursachten Unfälle, im Annahmebereich und die Hypothese kann nicht verworfen werden. Allerdings besteht eine Restwahrscheinlichkeit, dass die Hypothese doch nicht zuftrifft.
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ angeben
Damit sich eine quadratische Pyramide ergibt, muss der Punkt $D$ die Koordinaten $D(2\;|\;2\;|\;0)$ haben.
$\blacktriangleright$ Pyramide im Koordinatensystem einzeichnen
b)
$\blacktriangleright$ Höhe der Pyramide angeben
Die Grundfläche der Pyramide liegt in der $xy$-Ebene. Die Höhe wird deshalb durch die $z$-Koordinate der Spitze beschrieben. Die Höhe der Pyramide beträgt also $6\;\text{LE}$
$\blacktriangleright$ Länge der Seitenkante $\boldsymbol{\overline{AS}}$ bestimmen
Die Länge der Seitenkante $\overline{AS}$ ergibt sich über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AS}$:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AS}\right|&=&\left|\pmatrix{4\\4\\6}-\pmatrix{6\\2\\0}\right|& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{-2\\2\\6}\right|& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\sqrt{(-2)^2+2^2+6^2}& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\sqrt{44}& &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&2\sqrt{11}& &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{AS}$ ist $2\sqrt{11}\;\text{LE}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$ Lage der Punktmenge beschreiben
Für $a=0$ ist die Punktmenge eine Strecke, die durch folgende Gleichung beschrieben werden kann:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+r\cdot \pmatrix{-2\\0\\6}$
Für $r=0$ ergibt sich:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+0\cdot \pmatrix{-2\\0\\6}=\pmatrix{4\\4\\6}$
Dies entspricht dem Punkt $S$. Für $r=1$ ergibt sich:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+1\cdot \pmatrix{-2\\0\\6}=\pmatrix{2\\4\\0}$
Dies entspricht dem Mittelpunkt der Strecke $\overline{CD}$. Die Punktmenge beschreibt die Strecke vom Punkt $S$ zum Mittelpunkt der Strecke $\overline{CD}$.
d)
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ berechnen
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden ergibt sich mit den beiden beiden Richtungsvektoren durch Gleichsetzen:
Die Werte für $a$, für die die Geraden $g_a$ die Gerade $g_0$ unter einem Winkel von $60°$ schneiden sind $a=\pm\;2\sqrt{30}$.
e)
$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen
Die Ebene $\epsilon$ soll die drei Punkte $C$, $D$ und $S$ enthalten. Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich beispielsweise mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren dieser Punkte:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{SC}\times \overrightarrow{SD} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\2\\-6} \times \pmatrix{-2\\-2\\-6} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\cdot (-6)-(-2)\cdot(-6) \\ (-6)\cdot (-2)- (-6)\cdot(-2) \\ (-2)\cdot (-2)- (-2)\cdot 2}\\[5pt] &=& \pmatrix{-12-12 \\ 12-12 \\ 4+4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-24 \\ 0 \\ 8}\\[5pt] \end{array}$
Da für den Normalenvektor nur die Richtung, nicht aber die Länge von Bedeutung ist, kann auch der gekürzte Vektor verwendet werden $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{-3 \\ 0\\ 1}$. Eine vorläufige Koordinatengleichung von $\epsilon$ lautet damit:
$\epsilon:\; -3x+z =d$
$d$ kann nun mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $S$ ermittelt werden:
$\begin{array}[t]{rll} -3x+z&=& d&\quad \scriptsize \mid\;S(4\mid 4\mid 6) \\[5pt] -3\cdot 4+6&=&-6 \\[5pt] -6&=& d \end{array}$
Eine Koordinatengleichung von $\epsilon$ lautet:
$\epsilon:\; -3x+z = -6$
f)
$\blacktriangleright$ Abstand von $\boldsymbol{A}$ zur Ebene berechnen
Der Abstand des Punkts $A$ zur Ebene $\epsilon$ kann mit Hlfe der Hesseschen-Normalenform von $\epsilon$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(\epsilon , A)&=& \dfrac{-3x+z+6}{\sqrt{(-3)^2+0^2+1^2}}\\[5pt] &=& \dfrac{\left|-3x+z+6\right|}{\sqrt{10}}&\quad \scriptsize \mid\;A\left(6\mid 2\mid 0\right) \\[5pt] &=& \dfrac{\left|-3\cdot 6+1\cdot 0 +6\right|}{\sqrt{10}}\\[5pt] &=& \dfrac{12}{\sqrt{10}}\\[5pt] &\approx& 3,79 \\[5pt] \end{array}$
Der Abstand von $A$ zur Ebene $\epsilon$ beträgt ca. $3,79.$
g)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{k}$ in der Ebene liegt, aber nicht zu den Geraden $\boldsymbol{g_a}$ gehört.
$\epsilon: -3x_1+x_3=-6$
$k:\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\4\\6}+t\cdot\pmatrix{0\\1\\0}$
Durch Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \epsilon: -3(4+t\cdot0)1+(6+t\cdot0)&=&-6 &\quad \scriptsize \\[5pt] -12+6&=&-6 \end{array}$
Die Gerade liegt in der Ebene $\epsilon$.
Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen von $k$ und $g_a$ lassen sich Aussagen über die gegenseitige Lage zueinander machen.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{4\\4\\6}+t\cdot\pmatrix{0\\1\\0}&=&\pmatrix{4\\4\\6}+r\cdot\pmatrix{-2\\a\\-6} &\quad \scriptsize \\[5pt] t\cdot\pmatrix{0\\1\\0}-r\cdot\pmatrix{-2\\a\\-6}&=&\pmatrix{0\\0\\0} \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 2r &\quad \scriptsize\mid\;r=0\\ \text{II}\quad&0&=& 1t - a\cdot r &\quad \scriptsize\\ \text{III}\quad&0&=& 6r &\quad \scriptsize\\ \hline \text{II}\quad&0&=& 1t - a\cdot 0 &\quad \scriptsize\\ &t&=& 0 &\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Es gibt nur eine Lösung, die Gerade $k$ gehört deshalb nicht zu den Geraden $g_a$, sie haben nur einen gemeinsamen Punkt.
h)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebenen ermitteln
Die Pyramide ist symmetrisch, sie lässt sich durch Ebenen, die parallel zu den $xz$-, $xy$- und $yz$-Ebenen verlaufen, halbieren. Es lässt sich an der Skizze direkt ablesen, dass $y=4$ die Pyramide halbiert und aufgrund der Symmetrie auch $x=4$ die Pyramide halbiert. Die Ebenengleichung, durch die die Pyramide in Richtung der $xy$-Ebene geteilt wird, lässt sich über das Volumen berechnen. Der obere der beiden Teilkörper, die durch die Teilung entstehen, ist wiederum eine Pyramide mit der quadratischen Grundfläche $EFGH$ und der Spitze $S.$ Die Eckpunkte der Grundfläche haben alle die gleiche $z$-Koordinate und liegen damit in der gesuchten Ebene. Gesucht ist also die $z$-Koordinate der Eckpunkte $E,$ $F,$ $G$ und $H.$
Das Volumen der ursprünglichen Pyramide ergibt sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] V&=&\frac{1}{3}\cdot (4\;\text{LE}\cdot4\;\text{LE})\cdot 6\;\text{LE} \\[5pt] V&=&32\;\text{VE} \end{array}$
Für das Volumen der Teilpyramide gilt dann:
$\begin{array}[t]{rll} V_{2}&=& 16\,\text{VE}\quad\text{ mit } \\[10pt] V_{2}&=& \frac{1}{3}\cdot \left| \overline{EF}\right|^2 \cdot h_2\\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $E$ liegt auf der Gerade durch $A$ und $S:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE_t}&=& \overrightarrow{OA} +t\cdot \overrightarrow{AS} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\2\\0} +t\cdot \pmatrix{-2\\2\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{6-2t\\2+2t\\6t} \end{array}$
Der Punkt $F$ liegt auf der Gerade durch $B$ und $S:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF_t}&=& \overrightarrow{OB} +t\cdot \overrightarrow{BS} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\6\\0} +t\cdot \pmatrix{-2\\-2\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{6-2t\\6-2t\\6t} \end{array}$
Die Höhe der Teilpyramide ergibt sich aus der Differenz der $z$-Koordinaten von $S$ und $E$ bzw. $F:$
$h_t = 6-6t$
Daraus ergibt sich dann das Volumen der Teilpyramide in Abhängigkeit von $t:$
$\begin{array}[t]{rll} V_t&=& \frac{1}{3}\cdot \left|\overline{E_tF_t} \right|^2\cdot h_t \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \left|\pmatrix{0\\4-4t\\0} \right|^2\cdot (6-6t) \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot (4-4t)^2\cdot (6-6t) \\[5pt] &=& (4-4t)^2\cdot (2-2t) \\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen mit $16$ und Lösen der Gleichung mit dem solve-Befehl des CAS liefert:
$\begin{array}[t]{rll} (4-4t)^2\cdot (2-2t)&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t&=& 1-\dfrac{2^{\frac{2}{3}}}{2} \\[5pt] \end{array}$
Für die $z$-Koordinate von $E,$ $F,$ $G$ und $H$ folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} z&=& 6t \\[5pt] &=& 6\cdot \left(1-\dfrac{2^{\frac{2}{3}}}{2} \right) \\[5pt] &=& 6- 3\cdot 2^{\frac{2}{3}} \\[5pt] &=& 6- 3\cdot \sqrt[3]{2^2} \\[5pt] &=& 6-3\cdot \sqrt[3]{4} \\[5pt] \end{array}$
Die Ebene, die das Volumen der Pyramide parallel zur $xy$-Ebene halbiert kann durch die Gleichung $E:z=6-3\sqrt[3]{4}$ dargestellt werden.
#hesseschenormalform#pyramide#ebenengleichung
2.
a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
Wir betrachten die Zufallsgröße $X$, die die zufällige Anzahl der Unfälle im Stadtgebiet, die von Fahranfängern verursacht werden in der Stichprobe von $20$ Unfällen beschreibt. Bei jedem Unfall wird dabei nur unterschieden, ob er von einem Fahranfänger $(F)$ oder nicht $(\overline{F})$ verursacht wurde. Erfahrungsgemäß werden $8\,\%$ aller Unfälle von Fahranfängern verursacht.
Damit kann $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=20$ und $p = 0,08$ angenommen werden. Es kann also die Formel für die Binomialverteilung verwendet werden.
Aufgabe C1
Abb. 4: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C1
Abb. 4: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
Wir betrachten die Zufallsgröße $Y$ die die Anzahl der Unfälle im Stadtgebiet, die von Fahrern über $65$ Jahren verursacht werden in der Stichprobe von $20$ Unfällen beschreibt. Bei jedem Unfall wird dabei nur unterschieden, ob er von einem Fahrer über $65$ Jahren $(S)$ oder nicht $(\overline{S})$ verursacht wurde. Erfahrungsgemäß werden $14\,\%$ aller Unfälle von Fahrern über $65$ Jahren verursacht.
Damit kann $Y$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=20$ und $p = 0,14$ angenommen werden. Es kann also die Formel für die Binomialverteilung verwendet werden.
Aufgabe C1
Abb. 6: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C1
Abb. 6: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C1
Abb. 7: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C1
Abb. 7: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
b)
$\blacktriangleright$ Intervall bestimmen
Die Zufallsvariable $X_{250}$ beschreibt die Anzahl der von Fahranfängern verursachten Unfällen bei den nächsten $250$ Unfällen. $X_{250}$ ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt mit $n=250$ und $p=0,08$.
Gesucht ist das Intervall $[\mu-a;\mu+a]$ um den Erwartungswert $\mu$, sodass
$P(\mu-a \leq X_{250} \leq \mu+a)\approx 0,8$.
Der Erwartungswert liegt bei $\mu=250\cdot 0,08 =20$.
Das Intervall in dem etwa $80\;\%$ der von Fahranfängern verursacht liegen, kann mit dem CAS durch systematisches Ausprobieren bestimmt werden.
Der untere Wert für $a$ liegt bei $a=5$, somit ergibt sich das symmetrische Intervall um den Erwartungswert $[15;20]$.
c)
$\blacktriangleright$ Fehler 1. Art bestimmen
Der Fehler $1.$ Art entspricht der Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Der Fehler wird begangen, wenn weniger als $2$ und mehr als $13$ der Unfälle von Fahranfängern verursacht wurden. Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die Anzahl der von Fahranfängern verursachten Unfällen. Mit dem CAS lässt sich der Fehler $1.$ Art berechnen:
$P(Z \leq 3-1 )+P(Z \geq 13+1)= P(Z \leq 2) + 1 - P(Z \leq 13)$
Dies lässt sich mit dem CAS berechnen:
$\text{binomialcdf}(0,2,100,0.08)+1-\text{binomialcdf}(0,13,100,0.08)\approx 0,0395$
Der Fehler $1.$ Art beträgt ca. $0,0395$.
d)
$\blacktriangleright$ Bedeutung des Fehlers erläutern
Der Fehler $1.$ Art beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Das bedeutet die Nullhypothese: „ In Thüringen werden $8\;\%$ aller Unfälle von Fahranfängern verursacht. “ wird abgelehnt, obwohl sie eigentlich zutrifft.
e)
$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen
Der Annahmebereich des Hypothesentestes ist $A[3;13]$. Somit liegen die $5$, von Fahranfängern verursachten Unfälle, im Annahmebereich und die Hypothese kann nicht verworfen werden. Allerdings besteht eine Restwahrscheinlichkeit, dass die Hypothese doch nicht zuftrifft.
#signifikanzniveau#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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