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Teil A

Aufgaben
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1
Gib in der Tabelle je eine zugehörige Funktionsgleichung an.
FunktionAbleitungsfunktion
$f'(x)=2x+1$
$f'(x)=x^{-3}$
$f(x)= \sqrt{x}$
$f(x) = 4\cdot \sin(2x)$
$f(x)= x\cdot \mathrm e^{x}$
(5 BE)
#ableitung
2
a)
Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.
(1 BE)
b)
Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$-Achse und die Gerade $g$ einschließen.
(4 BE)
#symmetrie#zentraleraufgabenpool
3
Der abgebildete Graph $G_f$ stellt eine Funktion $f$ dar.
a)
Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
Teil A
Abb. 3: Graph $\text{I}$
Teil A
Abb. 3: Graph $\text{I}$
Teil A
Abb. 4: Graph $\text{II}$
Teil A
Abb. 4: Graph $\text{II}$
Teil A
Abb. 5: Graph $\text{III}$
Teil A
Abb. 5: Graph $\text{III}$
(3 BE)
b)
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool#ableitung#stammfunktion#monotonie
4
a)
Skizziere je einen möglichen Graphen für die Funktionen $f$ und $f'$ in das gegebene Koordinatensystem.
(2 BE)
b)
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=1$ den Anstieg $-3.$ Ermittle eine Gleichung einer solchen Funktion $f.$
(3 BE)
#ableitung#wendepunkt#nullstelle
5
Gegeben sind die Geraden
$g:\,\overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\2\\3} + r\cdot \pmatrix{2\\4\\1}$ und $h: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{2\\4\\1} +s\cdot \pmatrix{1\\2\\0}$ mit $r,s\in \mathbb{R}.$
a)
Weise nach, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $S.$
(3 BE)
b)
(2 BE)
#vektoren
6
Der Punkt $P(3\mid 8\mid2)$ liegt auf der Oberfläche einer Kugel, die den Mittelpunkt $M(3\mid 4\mid 5)$ hat.
a)
Weise nach, dass die Kugel genau eine Koordinatenebene berührt.
(3 BE)
b)
Bestimme die Koordinaten des Punkts $Q$ so, dass die Strecke $\overline{PQ}$ ein Durchmesser der Kugel ist.
(2 BE)
#kugel
7
Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“ ; die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.
a)
Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.
(2 BE)
b)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
8
Dargestellt sind die Dichtefunktionen normalverteilter Zufallsgrößen $X$ für verschiedene Werte von $\mu$ und $\sigma.$
a)
Ordne die Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ und $\text{III}$ den Wertepaaren zu.
$\mu =10;$ $\sigma =1$$\mu =10;$ $\sigma =3$$\mu =7;$ $\sigma =3$
(2 BE)
b)
Skizziere den Graphen der Dichtefunktion für $\mu=18;$ $\sigma = 1$ in die gegebene Darstellung.
(2 BE)
c)
Beschreibe den Einfluss von $\mu$ auf den Graphen der Dichtefunktion.
(1 BE)
#normalverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1
$\blacktriangleright$  Zugehörige Funktionsgleichungen angebenTeil A
Ist die Ableitungsfunktion $f'$ gegeben, so ist eine Stammfunktion von $f'$ gesucht. Ist die Funktion $f$ gegeben, so ist die erste Ableitungsfunktion $f'$ gesucht.
FunktionAbleitungsfunktion
$\color{#87c800}{f(x)=x^2+x}$ $f'(x)=2x+1$
$\color{#87c800}{f(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-2}}$$f'(x)=x^{-3}$
$f(x)= \sqrt{x}\color{#87c800}{ = x^{\frac{1}{2}}}$$\color{#87c800}{f'(x) =\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{-2\sqrt{x}}} $
$f(x) = 4\cdot \sin(2x)$$\color{#87c800}{f'(x)=4\cdot \cos(2x)\cdot 2 = 8\cdot \cos(2x) }$
$f(x)= x\cdot \mathrm e^{x}$$\color{#87c800}{f'(x)= x\cdot \mathrm e^x +1\cdot \mathrm e^x = (x+1)\cdot \mathrm e^x}$
Für die letzte Ableitung benötigst du die Produktregel.
#produktregel
2
a)
$\blacktriangleright$  Schnittstelle zeigen
Damit sich die Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} -3 &=& f(x) \\[5pt] -3 &=& 1-\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -4 &=& -\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt] 4x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt] x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}.$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt rechnerisch bestimmen
Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$-Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.
Teil A
Abb. 1: Skizze
Teil A
Abb. 1: Skizze
Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\frac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& 1+\frac{1}{1} - \left(0,5+\frac{1}{0,5} \right)\\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
$ A_1 = 0,5 $
Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:
$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$
Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$-Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.
#integral
3
a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.
  • Graph $\text{I}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
    Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$-Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
    Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
  • Graph $\text{II}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gehören.
  • Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$-Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$-Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.
Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$
b)
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$-Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$
4
a)
$\blacktriangleright$  Mögliche Graphen skizzieren
Folgende Informationen kannst du für $f'$ herleiten:
  • In der Abbildung ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion $f''$ dargestellt. Dabei handelt es sich um eine Gerade. $f''$ ist vermutlich also eine ganzrationale Funktion ersten Grades. $f'$ muss dann eine ganzrationale Funktion zweiten Grades sein. Der zugehörige Graph ist also eine Parabel.
  • $f''$ beschreibt die Steigung des Graphen von $f'.$ Diese ist bis zur Nullstelle von $f''$ positiv und dann negativ. Der Graph von $f'$ muss wegen des Vorzeichen-Wechsel-Kriteriums an dieser Stelle also einen Hochpunkt besitzen.
  • $f'$ beschreibt wiederum die Steigung des Graphen von $f.$ Dieser hat laut Aufgabenstellung an der Stelle $x=3$ den Anstieg Null. $f'$ besitzt also an der Stelle $x=3$ eine Nullstelle.
Für $f'$ erhältst du folgende Informationen:
  • Da du bei $f'$ von einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ausgehst, handelt es sich bei $f$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  • $f$ hat an der Stelle $x=3$ eine Nullstelle, der Graph schneidet dort also die $x$-Achse.
  • An derselben Stelle besitzt der Graph von $f$ einen Wendepunkt mit dem Anstieg Null, also einen Sattelpunkt.
  • Da der Graph von $f'$ einen Hochpunkt besitzt, der auf der $x$-Achse liegt, liegt die Parabel ansonsten vollständig unterhalb der $x$-Achse. $f'$ nimmt also keine positiven Werte an. Daher ist die Steigung von $f$ an jeder Stelle, bis auf den Wendepunkt, negativ. Der Graph von $f$ fällt also monoton.
Insgesamt erhältst du dann beispielsweise folgendes Schaubild:
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Aus a) weißt du, dass $f$ vermutlich eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, also folgende Form hat:
$f(x)= ax^3 +bx^2+cx+d$
Für $f$ gilt:
  • $f(3)=0$
  • $f'(3)=0$
  • $f''(3)=0$
  • $f'(1)=-3$
Es gilt:
  • $f'(x)= 3ax^2+2bx +c $
  • $f''(x)=6ax +2b$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0 &=& a\cdot 3^3 +b\cdot 3^2 +c\cdot 3 +d \\ &0 &=& 27 a +9b +3c +d \\[5pt] \text{II}\quad&0&=& 3a\cdot 3^2 + 2b\cdot 3 + c \\ &0&=& 27a + 6b + c \\[5pt] \text{III}\quad&0&=& 6a\cdot 3 +2b \\ &0&=& 18a +2b \\[5pt] \text{IV}\quad&-3&=& 3a\cdot 1^2 +2b\cdot 1 +c \\ &-3&=& 3a +2b +c \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0 =… \\[5pt] \text{II}\quad&0=… \\[5pt] \text{III}\quad&0= …\\[5pt] \text{IV}\quad&-3=… \\ \end{array}$
Du kannst nun beispielsweise die dritte Gleichung nach $b$ umformen:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 18a +2b &\quad \scriptsize \mid\;-2b \\[5pt] -2b &=& 18a &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] b &=& -9a \end{array}$
$ b=-9a $
Dies kannst du in die vierte Gleichung einsetzen und diese dann nach $c$ umformen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{IV}& -3 &=& 3a+2b+c &\quad \scriptsize \mid\; b = -9a \\[5pt] & -3 &=& 3a +2\cdot (-9a) +c \\[5pt] & -3 &=& -15a +c &\quad \scriptsize \mid\; +15a \\[5pt] & 15a -3 &=& c \end{array}$
$ c=15a -3 $
$b$ und $c$ kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen und so $a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}& 0 &=& 27a + 6b + c &\quad \scriptsize \mid\; b = -9a; c= 15a-3 \\[5pt] & 0 &=& 27a + 6\cdot (-9a) + 15a-3 \\[5pt] & 0 &=& -12a -3 &\quad \scriptsize \mid\; +12a \\[5pt] & 12a &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; :12 \\[5pt] & a &=& -\frac{1}{4} \end{array}$
$ a=-\frac{1}{4} $
Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} b &=& -9a &\quad \scriptsize \mid\; a = -\frac{1}{4} \\[5pt] &=& -9\cdot \left(-\frac{1}{4} \right) \\[5pt] &=& \frac{9}{4} \\[10pt] c &=& 15a -3 &\quad \scriptsize \mid\; a=-\frac{1}{4} \\[5pt] &=& 15\cdot \left(-\frac{1}{4} \right) - 3 \\[5pt] &=& -\frac{27}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b &=& \frac{9}{4} \\[10pt] c &=& -\frac{27}{4} \end{array}$
Einsetzen in die erste Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 27a +9b +3c +d &\quad \scriptsize \mid\; a= -\frac{1}{4}; b= \frac{9}{4} ; c= -\frac{27}{4} \\[5pt] 0 &=& 27\cdot \left(-\frac{1}{4} \right) + 9\cdot \frac{9}{4} + 3\cdot \left(-\frac{27}{4}\right) \\[5pt] 0 &=& -\frac{27}{4} +d &\quad \scriptsize \mid\,+\frac{27}{4} \\[5pt] \frac{27}{4} &=& d \\[5pt] \end{array}$
$ d=\frac{27}{4} $
Für die Funktionsgleichung folgt:
$f(x)= -\frac{1}{4} x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$
$ f(x)=… $
#steigung
5
a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt nachweisen und Koordinaten berechnen
Gleichsetzen der beiden Geradenterme liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\2\\3} + r\cdot \pmatrix{2\\4\\1} &=& \pmatrix{2\\4\\1} + s\cdot \pmatrix{1\\2\\0} &\quad \scriptsize \mid\; -\pmatrix{2\\4\\1}; - r\cdot \pmatrix{2\\4\\1} \\[5pt] \pmatrix{-1\\-2\\2} &=& s\cdot \pmatrix{1\\2\\0} - r\cdot \pmatrix{2\\4\\1} \end{array}$
$ \pmatrix{-1\\-2\\2} = … $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -1 &=& s -2r \\ \text{II}\quad& -2 &=& 2s-4r \\ \text{III}\quad& 2 &=& -r \\ \end{array}$
Aus der dritten Gleichung folgt direkt $r= -2.$ Setze dies nun zunächst in die erste Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} &-1 &=& s -2r &\quad \scriptsize \mid\; r = -2\\[5pt] &-1 &=& s -2\cdot (-2) \\[5pt] &-1 &=& s +4 &\quad \scriptsize \mid \; -4 \\[5pt] &-5 &=& s \end{array}$
$ s = -5 $
Setze nun in die zweite Gleichung beide Ergebnisse ein:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II} & -2 &=& 2s -4r &\quad \scriptsize \mid\; r = -2; s= -5\\[5pt] &-2 &=& 2\cdot (-5) -4\cdot (-2) \\[5pt] &-2 &=& -2 \end{array}$
$ … -2= -2 $
Diese Gleichung ist ebenfalls erfüllt. Die Lösung $r = -2$ und $s = -5$ erfüllt alle drei Gleichungen. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, somit gibt es einen Schnittpunkt von $g$ und $h.$
Die Koordinaten von $S$ kannst du nun bestimmen, indem du $r$ oder $s$ in die zugehörige Geradengleichung einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS} &=& \pmatrix{1\\2\\3} -2 \cdot \pmatrix{2\\4\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-6\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{-3\\-6\\1} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ lauten also $S(-3\mid -6\mid 1).$
b)
$\blacktriangleright$  Punkte einzeichnen
$S$ ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Zeichne diesen zuerst ein. $P_1$ erhältst du dann, indem du den eingezeichneten Vektor $\overrightarrow{SP_1}$ an $S$ anlegst. Anschließend erhältst du $P_2,$ indem du ausgehend von $P_1$ viermal den entgegengesetzten Vektor $\overrightarrow{SP_1}$ anlegst.
Teil A
Abb. 3: Einzeichnen der Punkte
Teil A
Abb. 3: Einzeichnen der Punkte
6
a)
$\blacktriangleright$  Berührung genau einer Koordinatenebene nachweisen
Der Radius der Kugel entspricht der Länge des Vektors $\overrightarrow{MP}:$
$\begin{array}[t]{rll} r &=&\left| \overrightarrow{MP} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\4\\-3} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+4^2 +(-3)^2} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$ r=5 $
Die $z$-Koordinate des Mittelpunkts $M$ beträgt $z_M=5.$ Die Kugel berührt also die $xy$-Ebene. Da die übrigen Koordinaten nicht $5$ sind, berührt die Kugel die anderen beiden Koordinatenebenen nicht.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Die drei Punkte $P,$ $M$ und $Q$ müssen auf einer gemeinsamen Gerade liegen und $P$ und $Q$ müssen gleich weit von $M$ entfernt liegen. Es muss also gelten:
$\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MQ}$
Also folgt:
$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OM}+ \overrightarrow{PM} = \pmatrix{3\\4\\5} + \pmatrix{0\\-4\\3} = \pmatrix{3\\0\\8}$
$ \overrightarrow{OQ} = \pmatrix{3\\0\\8} $
Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q(3\mid 0\mid 8).$
#vektorbetrag
7
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{2}{625} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{2}{625} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{8}{25} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{8}{25} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$
#pfadregeln
8
a)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Der Graph der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße ist immer achsensymmetrisch zur Geraden durch den Erwartungswert $x = \mu.$ Je kleiner die Standardabweichung $\sigma$ ist, desto steiler bzw. spitzer verläuft der Graph.
$\mu =10;$ $\sigma =1$$\mu =10;$ $\sigma =3$$\mu =7;$ $\sigma =3$
$\color{#87c800}{\text{II}}$ $\color{#87c800}{\text{III}}$ $\color{#87c800}{\text{I}}$
b)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Der Graph zu $\mu =18$ und $\sigma = 1$ entsteht aus dem Graphen zu $\mu = 10$ und $\sigma = 1$ durch Verschiebung um $8$ Einheiten in positive $x$-Richtung.
Teil A
Abb. 4: Dichtefunktion zu $\mu =18$ und $\sigma =1$
Teil A
Abb. 4: Dichtefunktion zu $\mu =18$ und $\sigma =1$
c)
$\blacktriangleright$  Einfluss auf den Graphen beschreiben
Der Graph der Dichtefunktion ist achsensymmetrisch zur Gerade mit der Gleichung $x=\mu$ und besitzt an dieser Stelle seinen Hochpunkt. Die Veränderung von $\mu$ bewirkt daher eine Verschiebung des Graphen entlang der $x$-Achse.
Bildnachweise [nach oben]
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