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Aufgabe A

Aufgaben
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1.
a)
Kreuze jeweils die Aussage an, die richtig ist.
Nullstellen der Funktion $f$ mit $f(x)=(3+x)\cdot(4-x)$ sind:
$x_1=-3$$\;\;$und $\;\;$$x_2=4$
$x_1=-4$$\;\;$und $\;\;$$x_2=3$
$x_1=4$$\;\;$und $\;\;$$x_2=-3$
Die Polstelle(n) der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{x+4}{x^2-9}$ ist (sind):
$x=-4$
$x_1=-3$$\;\;$und $\;\;$$x_2=3$
$x_1=9$$\;\;$und $\;\;$$x_2=-4$
Lösung der Gleichung $e^{x+2} =1$ ist:
$x=\text{ln}(3)$
$x=-2$
Die leere Menge
(3 BE)
b)
Ermittle eine Stammfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=(4x+5)^2$.
(2 BE)
#stammfunktion#nullstelle
2.
Gegeben ist eine Funktion $f$ durch $f(x)=\frac{-1}{2}\cdot x +4$ $\;(x\in\mathbb{R})$.
Ein Punkt $Q$ liegt im $I.$ Quadranten auf dem Graphen von $f$. Die Parallelen durch $Q$ zu den Koordinatenachsen und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck. Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt, den dieses Rechteck besitzen kann.
(5 BE)
#flächeninhalt#rechteck
3.
Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=\frac{1}{2}x+e^x\;\;\;(x\in\mathbb{R})$
a)
Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0=0$.
(3 BE)
b)
Weise nach, dass am Graphen von $f$ keine Tangenten mit negativem Anstieg existieren.
(2 BE)
#steigung#tangente
4.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+12x\;\;\;(x\in\mathbb{R})$.
Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen von $f$ sowie dessen Hochpunkt $H(2\;|\;16)$.
#extrempunkt#steigung#zentraleraufgabenpool
5.
Das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(3\;|\;3\;|\;3)$, $B(6\;|\;7\;|\;3)$ und $C(2\;|\;10\;|\;3)$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig und liegt in der Ebene mit der Gleichung $z=3$.
a)
Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ den Flächeninhalt $\frac{25}{2}$ besitzt.
(2 BE)
b)
Bestimme die Koordinaten eines Punkts $D$ so, dass das Volumen der Pyramide $ABCD$ gleich $25\;\text{VE}$ ist.
(3 BE)
#flächeninhalt#dreieck#zentraleraufgabenpool
6.
Gegeben sind die Punkte $A(2\;|\;2\;|\;2)$ und $B(3\;|\;4\;|\;2)$. Das Quadrat der Seite $\overline{AB}$ liegt parallel zur $xy$-Ebene.
a)
Berechne den Flächeninhalt des Quadrats $ABCD$.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten eines weiteren Eckpunkts des Quadrats.
(3 BE)
#ebenengleichung#flächeninhalt
7.
Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.
a)
Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.
(2 BE)
b)
Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:
Aufgabe A
Abb. 3: I
Aufgabe A
Abb. 3: I
Aufgabe A
Abb. 4: II
Aufgabe A
Abb. 4: II
Aufgabe A
Abb. 5: III
Aufgabe A
Abb. 5: III
Kreuze diese an.
Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.
(3 BE)
#wahrscheinlichkeit#zentraleraufgabenpool#zufallsexperiment
8.
Lena wird ein Glücksspiel mit zwei Würfeln angeboten. Bevor sie spielt, berechnet sie den Erwartungswert für ihren Gewinn:
$x_1\cdot P(x_1)+x_2\cdot P(x_2)=4\;\,€\cdot \frac{6}{36}-1\;\,€\cdot \frac{30}{36}=-\frac{6}{36}\;\,€$
a)
Beschreibe die Bedeutung dieses berechneten Werts im Sachzusammenhang.
(2 BE)
b)
Beschreibe ein zur Rechnung passendes Spiel mit den zugehörigen Gewinnregeln.
(3 BE)
#gewinn#erwartungswert
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.
a)
Nullstellen der Funktion $f$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(3+x)\cdot(4-x) &\quad \scriptsize \\[5pt] f(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion nimmt den Wert Null an, wenn einer der beiden Terme Null wird. Dies gilt für $x_1=-3$ und $x_2=4$
Polstellen bestimmen
Die Polstellen sind die Werte für $x$ für die der Nenner der Funktion $f(x)=\frac{x+4}{x^2-9}$ Null wird:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-9&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] x^2&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x_{1,2}&=\pm 3& \end{array}$
Die Polstellen sind $x_1=3$ und $x_2=-3$.
Lösung der Gleichung $\boldsymbol{e^{x+2}=1}$ bestimmen
Die $e$-Funktion nimmt für $e^0$ den Wert $e^0=1$ an.
$\begin{array}[t]{rll} x+2&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x=-2$ gelöst.
b)
$\blacktriangleright$ Eine Stammfunktion ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(4x+5)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] F(x)&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}(4x+5)^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] F(x)&=&\frac{1}{12}(4x+5)^3 \end{array}$
Eine mögliche Stammfunktion von $f(x)$ ist $F(x)=\frac{1}{12}(4x+5)^3$.
#nullstelle#wahrscheinlichkeit
2.
$\blacktriangleright$ Größtmöglichen Flächeninhalt berechnen
Aufgabe A
Abb. 1: allgemeiner Punkt $Q$ auf dem Graphen von $f$
Aufgabe A
Abb. 1: allgemeiner Punkt $Q$ auf dem Graphen von $f$
1. Schritt: Funktion aufstellen
Der gesuchte Punkt $Q$ mit den Koordinaten $Q(x\;|\;f(x))$ liegt auf dem Graphen von $f$. Die Breite des Rechtecks ergibt sich über die $x$-Koordinate, die Höhe über den $y$-Wert.
Der Flächeninhalt kann also über folgende Funktion beschrieben werden:
$A(x)=x\cdot f(x)$
$A(x)= x \cdot \left(\frac{-1}{2}\cdot x+4 \right)$
$A(x)=\frac{-1}{2}x^2+4x$
2. Schritt: Maximum bestimmen
$A(x)=\frac{-1}{2}x^2+4x$
$A'(x)=-x+4$
Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} A'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -x+4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] x&=&4 \end{array}$
Die Stelle $x=4$ ist eine mögliche Extremstelle des Graphen.
Hinreichendes Kriterium überprüfen:
$A=\frac{-1}{2}x^2+4x$
$A'=-x+4$
$A''=-1$
$A''=-1<0$
Der Funktionswert ergibt sich durch Einsetzen von $x=4$ in die Funktonsgleichung von $f$.
$f(4)=\frac{-1}{2}\cdot 4 +4$
$f(4)=2$
Das hinreichende Kriterium ist erfüllt, somit gibt es am Punkt $E(4\;|\;2)$ ein Maximum.
Randextrema ausschließen:
Die Randstellen der Funkton sind $x=0$ und $x=8$. An diesen Stellen können Randextrema auftreten.
$A(0)=\frac{-1}{2}0^2+4 \cdot 0=0$
$A(8)=\frac{-1}{2}8^2+4\cdot 8 =0$
Die Funktionswerte der Funktion sind an den Stellen $x=0$ und $x=4$ geringer als der Wert bei $x=4$, somit ist bei $x=4$ das Maximum der Funktion und es treten keine Randextrema auf.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Die Koordinaten des Punktes $Q(4\;|\;2)$ geben die Höhe und die breite des Recktecks an. $A=4\cdot 2=8$
Der maximale Flächeninhalt beträgt $8\;\text{FE}$.
#nullstelle#flächeninhalt#extrempunkt
3.
a)
$\blacktriangleright$ Tangentengleichung ermitteln
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ an der Stelle $x_0=0$, also $m = f'(0)$.
  • $t$ verläuft durch den Punkt $S(x\mid y),$ also $t(x)=y.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\frac{1}{2}\cdot x+e^x \\[5pt] f'(x)&=&\frac{1}{2}+e^x \\[5pt] \end{array}$
Also gilt für die Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f'(0) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}+e^0 \\[5pt] &=& \frac{3}{2} \end{array}$
Die Tangente verläuft durch einen Punkt $S$ an der Stelle $x_0=0$:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&\frac{1}{2}\cdot 0+e^0 \\[5pt] f(0)&=&1 \end{array}$
Der Punkt $S$ hat die Koordinaten $S(0\;|\;1)$.
Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $S$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=\frac{3}{2} \cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$
Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = \frac{3}{2} x +1$.
b)
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass keine Tangente mit negativem Anstieg existiert
Damit keine Tangenten mit negativem Anstieg existieren, muss die Ableitung von $f$, also die Steigung von $f$ immer größer Null sein. Es existiert keine Lösung für
$\frac{1}{2}+e^x<0$,
da $e^x$ für alle $x\in\mathbb{R}$ größer als Null ist und auch $\frac{1}{2}$ größer als Null ist.
#steigung#tangente
4
a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt zeigen
Da die betrachtete Fläche vollständig oberhalb der $x$-Achse liegt, lässt sich der Inhalt der Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0$ und $b =2$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A &=&\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(-x^3+12x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}\cdot 12x^2\right]_0^2\\[5pt] &=& -\frac{1}{4}\cdot 2^4+\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2^2 - \left( -\frac{1}{4}\cdot 0^4+\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 0^2\right)\\[5pt] &=& -4+24-0\\[5pt] &=& 20 \end{array}$
$ A=20 $
Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f,$ der $x$-Achse und der Gerade $x=2$ im Bereich $0\leq x\leq 2$ eingeschlossen wird, beträgt $20.$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Die Gerade $g$ mit $g(x)=m\cdot x+b$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid y_S)$ und verläuft durch den Punkt $H(2\mid 16).$ Die Steigung von $g$ ergibt sich daher zu:
$m= \dfrac{16-y_S}{2-0} = \dfrac{16-y_S}{2}$
Da $b$ den $y$-Achsenabschnitt beschreibt, ist $b=y_S.$ Die Gleichung der Geraden in Abhängigkeit von $y_S$ lautet daher:
$g:\, y = \dfrac{16-y_S}{2}x+y_S$
Die beschriebene Fläche ist die Fläche zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen von $f$ im Bereich mit den Grenzen $a=0$ und $b=2.$
Der Inhalt dieser Fläche kann durch ein Integral über die Differenz von $f$ und $g$ berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{2}\left(g(x)-f(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{16-y_S}{2}x+y_S+x^3-12x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\left(\dfrac{16-y_S}{2}-12\right)x+y_S+x^3\right)\;\mathrm dx\\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{-8-y_S}{2}x+y_S+x^3\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \left[\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}x^2+y_Sx+\dfrac{1}{4}x^4\right]^2_0\\[5pt] 20&=& \left(\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}2^2+y_S2+\dfrac{1}{4}2^4 \right)-\left(\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}0^2+y_S\cdot 0+\dfrac{1}{4}0^4\right)\\[5pt] 20&=& -8-y_S+2y_S+4-0 \\[5pt] 20&=& -4+y_S &\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt] 24&=&y_S \end{array}$
$ 24 = y_S $
$g$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid 24).$
#schnittpunkt#zentraleraufgabenpool#flächeninhalt
5
a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt nachweisen
Das Dreieck hat bei $B$ einen rechten Winkel, der Flächeninhalt ergibt sich also zu:
$A = \frac{1}{2}\cdot \left| \overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC} \right|$
Die Seitenlängen können über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC} \right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{3\\4\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{-4\\3\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3^2+4^2+0^2}\cdot \sqrt{(-4)^2+3^2+0^2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5 \\[5pt] &=& \frac{25}{2} \end{array}$
$ A=\frac{25}{2} $
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $\frac{25}{2}.$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Das Volumen einer Pyramide kann mit folgender Formel berechnet werden:
$V= \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h$
Betrachtet man das Dreieck $ABC$ als Grundfläche, gilt nach Teilaufgabe 5.a) $A_G = \frac{25}{2}.$
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h \\[5pt] 25&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{25}{2} \cdot h \\[5pt] 6&=&h \end{array}$
$D$ muss also so gewählt werden, dass die Höhe $h=6$ ist. Die Höhe $h$ entspricht dem Abstand von $D$ zur Ebene, in der die Grundfläche liegt. Diese besitzt die Gleichung $z=3.$ Alle Punkte mit einer $z$-Koordinate, die um $6$ von $z=3$ abweicht, haben einen Abstand von $6$ von dieser Ebene.
Beispielsweise für $D(3\mid 3\mid 9)$ hat die Pyramide $ABCD$ eine Höhe von $6$ und damit ein Volumen von $25.$
#volumen#flächeninhalt#zentraleraufgabenpool
6.
a)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Die Seitenlängen können über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left| \overline{AB}^2\right| \\[5pt] &=& \left| \overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{1\\2\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{1\\2\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{1^2+2^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2+0^2}\\[5pt] &=& \sqrt{5}\cdot \sqrt{5} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt $5\;\text{FE}$.
b)
$\blacktriangleright$ Koordinaten eines weiteren Eckpunktes bestimmen
Zwei Beispiele für weitere Eckpunkte sind $C(1\,|\;5\;|\;2)$ oder $D(0\,|\;3\;|\;2)$.
#koordinaten#flächeninhalt
7.
a)
$\blacktriangleright$ Term für die Wahrscheinlichkeit angeben
In den ersten acht Zügen sollen keine Überraschungseier mit Figur gezogen werden, in den letzten beiden Zügen sollen Figuren enthalten sein. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$p=0,75^8\cdot 0,25^2$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $10$ Überraschungseiern nur die letzten beiden jeweils eine Figur enthalten, kann mit dem Term $0,75^8\cdot 0,25^2$ berechnet werden.
b)
$\blacktriangleright$ Richtige Grafik auswählen und begründen
Die erste Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Der Da $25\,\%$ aller Überraschungseier unabhängig von einander eine Figur enthalten oder nicht, ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine Figur zu enthalten bei jedem Überraschungsei gleich. Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig davon ob sich in den anderen Überraschungseiern der Stichprobe Figuren befinden oder nicht. $X$ kann daher als binomialverteilt mit den Parametern $n=6$ und $p = 0,25$ angenommen werden. Der Erwartungswert von $X$ beträgt daher $6\cdot 0,25 = 1,5.$
Abbildung zwei zeigt eine Gleichverteilung. Da $X$ aber nicht gleichverteilt sondern binomialverteilt ist, kann diese Abbildung nicht die richtige sein.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße gibt den Wert von $X$ mit der größten Wahrscheinlichkeit an. Die höchsten Balken im Diagramm in Abbildung 3 befinden sich aber bei $X=4$ und $X=5,$ nicht bei $X=1$ und $X=2,$ was bei einem Erwartungswert von $1,5$ der Fall sein müsste. Abbildung 3 kann also nicht die richtige sein.
#wahrscheinlichkeit#erwartungswert#binomialverteilung
8.
a)
$\blacktriangleright$ Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang beschreiben
Der Wert gibt den durchschnittlichen Betrag in Euro an, den Lena auf Dauer bei jedem Spiel verlieren wird.
b)
$\blacktriangleright$ Gewinnregeln formulieren
Der Spieleinsatz bei dem Spiel beträgt $1$ Euro, die Gewinnauszahlung beträgt $5$ Euro. Der Gewinn wird ausgezahlt, wenn zwei gleiche Zahlen gewürfelt werden, dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Werden keine zwei gleichen Zahlen gewürfelt, verfällt der Gewinn.
#erwartungswert
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