Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
TH, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur
Abitur LK bis 2010
Abitur GK bis 2010
BLF
Realschulabschluss
Quali
Kompetenztest 8 E-Kurs
Kompetenztest 8 G-Kurs
Abitur
Prüfung
wechseln
Abitur
Abitur LK bis 2010
Abitur GK bis 2010
BLF
Realschulabschluss
Quali
Kompetenztest 8 E-Kurs
Kompetenztest 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe C1

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
1  Gegeben sind die Punkte $A(6\mid2\mid0)$, $B(6\mid8\mid1)$, $C(4\mid4\mid3)$ und $D(-2\mid3\mid -6)$.
Die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ sind Grund- und Deckfläche eines dreiseitigen Prismas. Die Strecke $\overline{AD}$ ist eine Seitenkante des Prismas.
a)  Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
Ermittle den Abstand des Punktes $C$ von der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$.
(4P)
b)  Zeige, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Fläche $ABC$ steht.
(1P)
c)  Bestimme die Koordinaten der Punkte $E$ und $F$.
Stelle das Prisma in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar.
Beschreibe eine Möglichkeit für das Zerlegen des Prismas in zwei volumengleiche Teilkörper.
(4P)
d)  Begründe ohne Rechnung, dass die Kante $\overline{AD}$ des Prismas die $y$-$z$-Koordinatenebene schneidet.
Bestimme die Koordinaten dieses Schnittpunktes.
(3P)
2  Im Jahr 2012 gab es in Deutschland $40,7$ Millionen Haushalte. Das Statistische Bundesamt veröffentlichte für die verschiedenen Haushaltsgrößen folgende Zahlen:
Einpersonen-haushalteZweipersonen-haushalte Dreipersonen-haushalteHaushalte mit vier und mehr Personen
$41\,\%$$35\,\%$$12\,\%$$12\,\%$
Quelle: https://www.destatis.de (06.11.2014)
a)  Für eine telefonische Befragung werden drei Haushalte zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
  1. „Ein Zweipersonenhaushalt, ein Dreipersonenhaushalt und ein Haushalt mit vier und mehr Personen werden ausgewählt.“
  2. „In keinem der drei ausgewählten Haushalte leben mehr als zwei Personen.“
(2P)
b)  An einem Abend werden $56$ zufällig ausgewählte Haushalte telefonisch befragt.
Ermittle unter Annahme des Modells der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
C.  „Genau $25$ Haushalte sind Zweipersonenhaushalte.“
D.  „In höchstens $15$ der Haushalte leben mehr als zwei Personen.“
(2P)
c)  Bestimme die Anzahl der Haushalte, die mindestens befragt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens zwei Haushalte mit vier oder mehr Personen dabei sind.
(2P)
d)  Aufgrund familienpolitischer Maßnahmen wird erwartet, dass im Zeitraum von $10$ Jahren die Zahl der Haushalte mit drei und mehr Personen auf $30\,\%$ $(H_1)$ ansteigt. Im Jahr 2022 könnte dazu ein Alternativtest durchgeführt werden, in dem $100$ zufällig ausgewählte Haushalte befragt werden. Sind unter diesen mehr als $27$ Drei- und Mehrpersonenhaushalte, so soll an die Wirksamkeit der familienpolitischen Maßnahmen geglaubt werden. Anderenfalls geht man weiterhin von $24\,\%$ $(H_0)$ Drei- und Mehrpersonenhaushalten aus.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Fehler erster und zweiter Art.
(2P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1 a)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen
Ein Dreieck wird von den Punkten $A(6 \mid 2 \mid 0)$, $B(6 \mid 8 \mid 1)$ und $C(4 \mid 4 \mid 3)$ aufgespannt. Der Flächeninhalt $A_D$ eines Dreiecks kann durch die folgenden Formel bestimmt werden:
$A_D=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a $
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Dabei ist $a$ eine Seitenlänge und $h_a$ die zugehörige Höhe. Wähle beispielsweise $a=\overline{AB}$ und ermittle die zugehörige Höhe.
  • Bestimme die Längen der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$.
  • Ermittle die Größe des Winkels $\gamma$.
  • Berechne die Höhe mit Hilfe der Beziehung $\boldsymbol{h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)}$.
  • Setze alle Angaben in die Formel zur Bestimmung des Flächeninhalts des Dreiecks $A_D$ ein.

Aufgabe 1 b)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{\overline{AD}}$ senkrecht auf dem Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ steht
Möchtest du nachweisen, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Dreiecksfläche steht, so kannst du folgende Überlegungen vornehmen:
Ein Vektor $\overrightarrow{AD}$ steht senkrecht auf einer Ebene $ABC$, wenn dieser Vektor $\overrightarrow{AD}$ senkrecht auf den beiden Spannvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ der Ebene steht. Das heißt, für die Skalarprodukte der Vektoren muss gelten:
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB} =0}$
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AC} =0}$
Rechne diese beiden Bedingungen nach, um zu zeigen, dass die Seitenkante senkrecht auf der Dreiecksfläche steht.

Aufgabe 1 c)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinaten von $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{F}$
Die Dreiecke $ABC$ sowie $DEF$ bilden die Grund- und Deckenfläche eines Prismas. Hierbei handelt es sich um ein gerades Prisma, da du zuvor gezeigt hast, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Dreiecksfläche $ABC$ steht. Du kannst die Punkte $E$ und $F$ wie folgt darstellen:
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{AD}}$
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{AD}}$
Aufgabe C1
Aufgabe C1
$\blacktriangleright$ Prisma in Koordinatensystem darstellen
Um das betrachtete Prisma in einem Koordinatensystem darzustellen, kannst du zunächst die Eckpunkte der Grund- sowie Deckfläche $ABC$ und $DEF$ einzeichnen. Verbinde diese jeweils zu einem Dreieck, anschließend kannst du dann die Punkte $A$ und $D$, $B$ und $E$ sowie $C$ und $F$ verbinden, um die Seitenkanten zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Möglichkeit für das Zerlegen in zwei volumengleichen Teilkörper angeben
Beschreibe ein Verfahren, wie das betrachtete gerade Prisma in zwei gleich große Teilprismen zerlegt werden kann. Überlege dir, an welcher Ebene dieser Körper gespiegelt werden muss, sodass das ursprüngliche Prisma erhalten bleibt.
Aufgabe C1
Aufgabe C1

Aufgabe 1 d)

$\blacktriangleright$ Begründe, dass $\boldsymbol{\overline{AD}}$ die $\boldsymbol{y}$-$\boldsymbol{z}$-Koordinatenebene schneidet
Die Seitenkante $\overline{AD}$ besitzt die Endpunkte $A(6 \mid 2 \mid 0)$ und $D(-2 \mid 3 \mid -6)$. Sollst du nun begründen, dass diese Seitenkante die $y$-$z$-Ebene schneidet, so kannst du die überlegen, welche Lage die Punkte $A$ und $D$ haben. Wie muss die $x$-Koordinate der Punkte gewählt sein, damit eine Strecke durch beide Punkte die $y$-$z$-Ebene schneidet?
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes mit der $\boldsymbol{y}$-$\boldsymbol{z}$-Koordinatenebene bestimmen
Im Aufgabenteil zuvor hast du überlegt, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ die $y$-$z$-Ebene schneidet. Der Punkt, der die $y$-$z$-Ebene schneidet, liegt auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $D$. Damit dieser genau in der $y$-$z$-Ebene liegt, muss für dessen $x$-Koordinate $\boldsymbol{x=0}$ gelten. Du kannst also folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Gleichung der Geraden $g$, die durch die Punkte $A$ und $D$ verläuft.
  • Ermittle den Schnittpunkt dieser Geraden $g$ mit der $y$-$z$-Ebene, indem du $x=0$ in die Geradengleichung einsetzt und die $y$- und $z$-Koordinate daraus berechnest.

Aufgabe 2 a)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
$2012$ gab es in Deutschland $40,7$ Mio. Haushalte. Bei einer telefonischen Befragung werden $3$ Haushalte zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{A:}$ Ein Zweipersonenhaushalt, ein Dreipersonenhaushalt und ein Haushalt mit $4$ und mehr Personen werden ausgewählt.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe der in der Tabelle gegebenen Wahrscheinlichkeiten und der Pfadmultiplikation bestimmen. Beachte dabei, dass es $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ Möglichkeiten gibt, diese anzuordnen.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
$2012$ gab es in Deutschland $40,7$ Mio. Haushalte. Bei einer telefonischen Befragung werden $3$ Haushalte zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{B:}$ In keinem der $3$ ausgewählten Haushalte leben mehr als $2$ Personen.
Dieses Ereignis ist äquivalent zu dem Ereignis, dass in allen $3$ ausgewählten Haushalten nur eine oder $2$ Personen leben.

Aufgabe 2 b)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{C}$ berechnen
Nun werden $56$ zufällig ausgewählte Haushalte befragt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{C:}$ Genau $25$ der befragten Haushalte sind Zweipersonenhaushalte.
Dazu definieren wir die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl beschreibt, wie viel der 56 befragten Haushalte Zweipersonenhaushalte sind.
Dabei darfst du annehmen, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Hier gibt es nur $2$ mögliche Ergebnisse: Entweder ist der Haushalt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,35$ ein Zweipersonenhaushalt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei der Befragung eines Haushaltes immer unverändert.
Wir suchen also:
$P(C)=P(X=25)$
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{D}$ berechnen
Nun werden $56$ zufällig ausgewählte Haushalte befragt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{D:}$ In höchstens $15$ der Haushalte leben mehr als $2$ Personen.
Dazu definieren wir die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Haushalte beschreibt, in welchen mehr als 2 Personen leben.
Dabei darfst du annehmen, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Hier gibt es nur $2$ mögliche Ergebnisse: Entweder leben in diesem Haushalt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,12+0,12=0,24$ mehr als zwei Personen oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei der Befragung eines Haushaltes immer unverändert.
Wir suchen also die folgende Wahrscheinlichkeit:
$P(D)=P(Y \leq 15)$

Aufgabe 2 c)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Haushalte bestimmen
Wie viele Haushalte müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $\boldsymbol{95\;\%}$ mindestens $\boldsymbol{2}$ Haushalte mit $4$ oder mehr Personen unter den Befragten sind? In mathematischen Symbolen ausgedrückt also:
$P(2 \leq Z)>0,95 \Leftrightarrow 1-P(Z<2)<0,05$
Dabei sei $Z$ die binomialverteilte Zufallsvariable, die die Anzahl der Personenhaushalte mit $4$ der mehr Personen beschreibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Personenhaushalt $4$ oder mehr Personen leben, beträgt $p=0,12$. Setzt du die allgemeine Formel der Binomialverteilung ein, so erhältst du die folgende Ungleichung:
$\begin{array}{rll} 1-P(Z<2)&=&P(Z=0)+P(Z=1) \\ \end{array}$

Aufgabe 2 d)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Fehler $\boldsymbol{1.}$ und $\boldsymbol{2.}$ Art berechnen
Gegeben sind die beiden Hypothesen
  • $\boldsymbol{H_0}$: Es gibt weiterhin einen Anteil von $24\;\%$ bei Haushalten von $3$ oder mehr Personen.
  • $\boldsymbol{H_1}$: Der Anteil der Haushalte von $3$ oder mehr Personen steigt auf $30\;\%$.
Dazu sollen $\boldsymbol{100}$ Haushalte zufällig befragt werden. Sind unter diesen mehr als $\boldsymbol{27}$ Haushalte mit $3$ und mehr Personen, so wird $H_1$ als wahr angenommen.
Ein Fehler erster Art tritt dann ein, wenn die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise abgelehnt wird. Dieses Ereignis tritt mit der folgenden Wahrscheinlichkeit ein:
$B_{100;\;0,24} (27< X)$
Ein Fehler zweiter Art tritt dann ein, wenn die Alternative $H_1$ abgelehnt wird, obwohl diese zutrifft. Dieses Ereignis tritt mit der folgenden Wahrscheinlichkeit ein:
$B_{100;\;0,3}(27 \leq X)$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1 a)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen
Ein Dreieck wird von den Punkten $A(6 \mid 2 \mid 0)$, $B(6 \mid 8 \mid 1)$ und $C(4 \mid 4 \mid 3)$ aufgespannt. Der Flächeninhalt $A_D$ eines Dreiecks kann durch die folgenden Formel bestimmt werden:
$A_D=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a $
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Dabei ist $a$ eine Seitenlänge und $h_a$ die zugehörige Höhe. Wähle beispielsweise $a=\overline{AB}$ und ermittle die zugehörige Höhe.
  • Bestimme die Längen der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$.
  • Ermittle die Größe des Winkels $\gamma$.
  • Berechne die Höhe mit Hilfe der Beziehung $\boldsymbol{h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)}$.
  • Setze alle Angaben in die Formel zur Bestimmung des Flächeninhalts des Dreiecks $A_D$ ein.
1. Schritt: Länge der Strecken $\boldsymbol{\overline{AB}}$ und $\boldsymbol{\overline{AC}}$ bestimmen
Die Länge einer Strecke entspricht gerade dem Abstand $d(A,B)$ ihrer Endpunkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$:
$\begin{array}{rll} d(A,B)&=&\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2} \\ &=&\sqrt{(6-6)^2+(8-2)^2+(1-0)^2} \\ &=&\sqrt{(0)^2+(6)^2+(1)^2} \\ &=&\sqrt{36+1} \\ &=&\sqrt{37} \\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{AB}$ ist damit $\boldsymbol{\sqrt{37}}$ LE lang. Analog berechnen wir die Streckenlänge von $\overline{AC}$:
$\begin{array}{rll} d(A,C)&=&\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2} \\ &=&\sqrt{(4-6)^2+(4-2)^2+(3-0)^2} \\ &=&\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(3)^2} \\ &=&\sqrt{4+4+9} \\ &=&\sqrt{17} \\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist damit $\boldsymbol{\sqrt{17}}$ LE lang.
2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ bestimmen
Für einen Winkel, der von zwei Vektoren eingeschlossen wird, gilt der folgende Zusammenhang:
$cos(\gamma) = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AC} \mid}$
Fasse hierbei die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ als Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ auf und berechne mit dem CAS.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Das CAS liefert dir, dass der Winkel $\gamma$ zwischen den Vektoren $53,3^\circ$ groß ist.
3. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_a}$ berechnen
Für die Höhe $h_a$ gilt: $\boldsymbol{h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)}$. Die Länge der Strecke $\overline{AC}$ hast du bereits mit $\sqrt{17}$ LE ermittelt und kannst alle Werte einsetzen:
$h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)=\sqrt{17} \cdot sin(53,3^\circ) \approx 3,31$
Die Höhe des Dreiecks beträgt $\boldsymbol{3,31}$ LE.
4. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_D}$ berechnen
Damit kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ berechnen:
$A_D=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{37}\cdot 3,31\approx 10$
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\boldsymbol{A_D\approx 10}$ FE.
$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $\boldsymbol{C}$ zur Geraden ermitteln
Der Abstand des Punktes $C$ zur Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ entspricht gerade der Höhe des Dreiecks. Zur Erinnerung: Im Aufgabenteil haben wir diese Höhe $h_a$ wie folgt berechnet:
$h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)=\sqrt{17} \cdot sin(53,3^\circ) \approx 3,31$
Die Höhe des Dreiecks bzw. der Abstand des Punktes $C$ zur Geraden durch $A$ und $B$ beträgt $\boldsymbol{3,31}$ LE.

Aufgabe 1 b)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{\overline{AD}}$ senkrecht auf dem Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ steht
Möchtest du nachweisen, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Dreiecksfläche steht, so kannst du folgende Überlegungen vornehmen:
Ein Vektor $\overrightarrow{AD}$ steht senkrecht auf einer Ebene $ABC$, wenn dieser Vektor $\overrightarrow{AD}$ senkrecht auf den beiden Spannvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ der Ebene steht. Das heißt, für die Skalarprodukte der Vektoren muss gelten:
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB} =0}$
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AC} =0}$
Rechne diese beiden Bedingungen nach, um zu zeigen, dass die Seitenkante senkrecht auf der Dreiecksfläche steht.
  • $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}0\\6\\1 \end{pmatrix}=-8 \cdot 0 +1\cdot 6 - 6 \cdot 1=0$
  • $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\2\\3 \end{pmatrix}=-8 \cdot (-2) +1\cdot 2 - 6 \cdot 3=0$
Es gilt $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB} =0$ sowie $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AC} =0$ und damit hast du gezeigt, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Dreiecksfläche $ABC$ steht.

Aufgabe 1 c)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinaten von $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{F}$
Die Dreiecke $ABC$ sowie $DEF$ bilden die Grund- und Deckenfläche eines Prismas. Hierbei handelt es sich um ein gerades Prisma, da du zuvor gezeigt hast, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Dreiecksfläche $ABC$ steht. Du kannst die Punkte $E$ und $F$ wie folgt darstellen:
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{AD}}$
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{AD}}$
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Berechne die Koordinaten des Punktes $E$:
$\begin{pmatrix}6\\8\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\9\\-5 \end{pmatrix}$
Damit besitzt der Punkt $E$ die Koordinaten $\boldsymbol{E(-2 \mid 9 \mid -5)}$.
Berechne die Koordinaten des Punktes $F$:
$\begin{pmatrix}4\\4\\3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\5\\-3 \end{pmatrix}$
Damit besitzt der Punkt $E$ die Koordinaten $\boldsymbol{F(-4 \mid 5 \mid -3)}$.
$\blacktriangleright$ Prisma in Koordinatensystem darstellen
Um das betrachtete Prisma in einem Koordinatensystem darzustellen, kannst du zunächst die Eckpunkte der Grund- sowie Deckfläche $ABC$ und $DEF$ einzeichnen. Verbinde diese jeweils zu einem Dreieck, anschließend kannst du dann die Punkte $A$ und $D$, $B$ und $E$ sowie $C$ und $F$ verbinden, um die Seitenkanten zu erhalten.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
$\blacktriangleright$ Möglichkeit für das Zerlegen in zwei volumengleichen Teilkörper angeben
Beschreibe ein Verfahren, wie das betrachtete gerade Prisma in zwei gleich große Teilprismen zerlegt werden kann. Überlege dir, an welcher Ebene dieser Körper gespiegelt werden muss, sodass das ursprüngliche Prisma erhalten bleibt.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Ermittelst du von den Seitenkanten $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ und $\overline{CF}$ die Mittelpunkte und schneidest das Prisma genau durch diese drei Mittelpunkte, so erhältst du zwei volumengleiche Teilkörper.

Aufgabe 1 d)

$\blacktriangleright$ Begründe, dass $\boldsymbol{\overline{AD}}$ die $\boldsymbol{y}$-$\boldsymbol{z}$-Koordinatenebene schneidet
Die Seitenkante $\overline{AD}$ besitzt die Endpunkte $A(6 \mid 2 \mid 0)$ und $D(-2 \mid 3 \mid -6)$. Sollst du nun begründen, dass diese Seitenkante die $y$-$z$-Ebene schneidet, so kannst du die überlegen, welche Lage die Punkte $A$ und $D$ haben. Wie muss die $x$-Koordinate der Punkte gewählt sein, damit eine Strecke durch beide Punkte die $y$-$z$-Ebene schneidet?
Damit die $y$-$z$-Ebene geschnitten wird, muss die $x$-Koordinate eines Punktes negativ, die des anderen Punktes positiv sein. Betrachtest du die Punkte $A$ und $D$, so kannst du erkennen, dass das der Fall ist.
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes mit der $\boldsymbol{y}$-$\boldsymbol{z}$-Koordinatenebene bestimmen
Im Aufgabenteil zuvor hast du überlegt, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ die $y$-$z$-Ebene schneidet. Der Punkt, der die $y$-$z$-Ebene schneidet, liegt auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $D$. Damit dieser genau in der $y$-$z$-Ebene liegt, muss für dessen $x$-Koordinate $\boldsymbol{x=0}$ gelten. Du kannst also folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Gleichung der Geraden $g$, die durch die Punkte $A$ und $D$ verläuft.
  • Ermittle den Schnittpunkt dieser Geraden $g$ mit der $y$-$z$-Ebene, indem du $x=0$ in die Geradengleichung einsetzt und die $y$- und $z$-Koordinate daraus berechnest.
1. Schritt: Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Die Gleichung $g$ verläuft durch die Punkte $A$ und $D$. Daher verwenden wir $\overrightarrow{OA}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{AD}$:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s \cdot \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}6\\2\\0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix}$
2. Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ berechnen
Damit du den Schnittpunkt mit der $y$-$z$-Ebene erhältst, kannst du $\boldsymbol{x=0}$ in die Geradengleichung einsetzen und einen passenden Parameter für $s$ ermitteln. Dieser liefert dir anschließend die $y$- und $z$-Koordinaten des Schnittpunktes $S$.
$\begin{array}{rlll} \text{I} &x&=&6-8\cdot s \\ \text{II} &y&=&2+1 \cdot s \\ \text{III} &z&=&0-6\cdot s \\ \hline \text{I} &0&=&6-8\cdot s &\mid\; \scriptsize +8\cdot s;\; :8 \\ \text{II} &y&=&2+1 \cdot s \\ \text{III} &z&=&0-6\cdot s \\ \hline \text{I}a &s&=&\frac{3}{4} \\ \text{II} &y&=&2+1 \cdot \frac{3}{4}=\frac{11}{4} \\ \text{III} &z&=&0-6\cdot \frac{3}{4}=-\frac{9}{2} \\ \end{array}$
Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten damit $\boldsymbol{S\left(0 \mid \dfrac{11}{4} \mid -\dfrac{9}{2}\right)}$.

Aufgabe 2 a)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
$2012$ gab es in Deutschland $40,7$ Mio. Haushalte. Bei einer telefonischen Befragung werden $3$ Haushalte zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{A:}$ Ein Zweipersonenhaushalt, ein Dreipersonenhaushalt und ein Haushalt mit $4$ und mehr Personen werden ausgewählt.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe der in der Tabelle gegebenen Wahrscheinlichkeiten und der Pfadmultiplikation bestimmen. Beachte dabei, dass es $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ Möglichkeiten gibt, diese anzuordnen:
$6 \cdot 0,35 \cdot 0,12 \cdot 0,12 = 0,03024$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt $\boldsymbol{P(A)=0,03024}$ bzw. $\boldsymbol{3,024\;\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
$2012$ gab es in Deutschland $40,7$ Mio. Haushalte. Bei einer telefonischen Befragung werden $3$ Haushalte zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{B:}$ In keinem der $3$ ausgewählten Haushalte leben mehr als $2$ Personen.
Dieses Ereignis ist äquivalent zu dem Ereignis, dass in allen $3$ ausgewählten Haushalten nur eine oder $2$ Personen leben.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe der in der Tabelle gegebenen Wahrscheinlichkeiten und der Pfadmultiplikation bestimmen.
$(0,35+0,41) \cdot (0,35+0,41) \cdot (0,35+0,41) = 0,4390$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ beträgt $\boldsymbol{P(B)=0,4390}$ bzw. $\boldsymbol{43,90\;\%}$.

Aufgabe 2 b)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{C}$ berechnen
Nun werden $56$ zufällig ausgewählte Haushalte befragt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{C:}$ Genau $25$ der befragten Haushalte sind Zweipersonenhaushalte.
Dazu definieren wir die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl beschreibt, wie viel der 56 befragten Haushalte Zweipersonenhaushalte sind.
Dabei darfst du annehmen, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Hier gibt es nur $2$ mögliche Ergebnisse: Entweder ist der Haushalt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,35$ ein Zweipersonenhaushalt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei der Befragung eines Haushaltes immer unverändert.
Wir können also rechnen:
$P(C)=P(X=25)=\binom{n}{k} \cdot \left( p \right)^{k} \cdot \left( 1-p \right)^{n-k}=\binom{56}{25} \cdot \left( 0,35 \right)^{25} \cdot \left( 0,65\right)^{31}\approx 0,0353$
Zur Berechnung kannst du das CAS verwenden. Den Befehl Binomial Pdf findest du unter
5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ D: Binomial Pdf
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $56$ befragten Haushalten genau $25$ Zweipersonenhaushalte sind, beträgt $\boldsymbol{0,0353}$ bzw. $\boldsymbol{3,53\;\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{D}$ berechnen
Nun werden $56$ zufällig ausgewählte Haushalte befragt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{D:}$ In höchstens $15$ der Haushalte leben mehr als $2$ Personen.
Dazu definieren wir die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Haushalte beschreibt, in welchen mehr als 2 Personen leben.
Dabei darfst du annehmen, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Hier gibt es nur $2$ mögliche Ergebnisse: Entweder leben in diesem Haushalt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,12+0,12=0,24$ mehr als zwei Personen oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei der Befragung eines Haushaltes immer unverändert.
Wir suchen also die folgende Wahrscheinlichkeit:
$P(D)=P(Y \leq 15)$
Verwende das CAS. Den Befehl Binomial Cdf findest du unter
5: Wahrscheinlichkeit $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ E: Binomial Cdf
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den $56$ befragten Haushalten höchstens $15$ Haushalte mit mehr als $2$ Personen gibt, beträgt $\boldsymbol{0,7454}$ bzw. $\boldsymbol{74,54\;\%}$.

Aufgabe 2 c)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Haushalte bestimmen
Wie viele Haushalte müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $\boldsymbol{95\;\%}$ mindestens $\boldsymbol{2}$ Haushalte mit $4$ oder mehr Personen unter den Befragten sind? In mathematischen Symbolen ausgedrückt also:
$P(2 \leq Z)>0,95 \Leftrightarrow 1-P(Z<2)<0,05$
Dabei sei $Z$ die binomialverteilte Zufallsvariable, die die Anzahl der Personenhaushalte mit $4$ der mehr Personen beschreibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Personenhaushalt $4$ oder mehr Personen leben, beträgt $p=0,12$. Setzt du die allgemeine Formel der Binomialverteilung ein, so erhältst du die folgende Ungleichung:
$\begin{array}{rll} 1-P(Z<2)&=&P(Z=0)+P(Z=1) \\ &=&\binom{n}{0}\cdot (0,12)^{0}\cdot (1-0,12)^{n-0} +\binom{n}{1}\cdot (0,12)^{1}\cdot (1-0,12)^{n-1}\\ &=&(0,88)^{n} +n \cdot (0,12) \cdot (0,88)^{n-1}\\ &<&0,05 \\ \end{array}$
Löse diese Gleichung mit Hilfe des CAS. Beachte aber, dass dieser diese Gleichung nur für Gleichheit lösen kann.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Es müssen mindestens $\boldsymbol{38}$ Haushalte befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\;\%$ mindestens 2 Haushalte mit $4$ oder mehr Personen darunter sind.

Aufgabe 2 d)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Fehler $\boldsymbol{1.}$ und $\boldsymbol{2.}$ Art berechnen
Gegeben sind die beiden Hypothesen
  • $\boldsymbol{H_0}$: Es gibt weiterhin einen Anteil von $24\;\%$ bei Haushalten von $3$ oder mehr Personen.
  • $\boldsymbol{H_1}$: Der Anteil der Haushalte von $3$ oder mehr Personen steigt auf $30\;\%$.
Dazu sollen $\boldsymbol{100}$ Haushalte zufällig befragt werden. Sind unter diesen mehr als $\boldsymbol{27}$ Haushalte mit $3$ und mehr Personen, so wird $H_1$ als wahr angenommen.
Ein Fehler erster Art tritt dann ein, wenn die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise abgelehnt wird. Dieses Ereignis tritt mit der folgenden Wahrscheinlichkeit ein:
$B_{100;\;0,24} (27< X)=B_{100;\;0,24}(28 \leq X)\approx 0,2043$
Unter $100$ befragten Haushalten geben mehr als $27$ an, ein Haushalt von $3$ oder mehr Personen zu sein. Man nimmt hier dann fälschlicherweise an, dass der Anteil auf $30\;\%$ gestiegen ist. Dies geschieht mit einer Wahrscheinlichkeit von $20,43\;\%$.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Ein Fehler zweiter Art tritt dann ein, wenn die Alternative $H_1$ abgelehnt wird, obwohl diese zutrifft. Dieses Ereignis tritt mit der folgenden Wahrscheinlichkeit ein:
$B_{100;\;0,3}(27 \leq X)\approx 0,2964$
Unter $100$ befragten Haushalten geben weniger als $27$ an, ein Haushalt von $3$ oder mehr Personen zu sein. Man nimmt hier dann fälschlicherweise an, dass sich der Anteil mit $24\;\%$ nicht geändert hat. Dies geschieht mit einer Wahrscheinlichkeit von $29,64\;\%$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1 a)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen
Ein Dreieck wird von den Punkten $A(6 \mid 2 \mid 0)$, $B(6 \mid 8 \mid 1)$ und $C(4 \mid 4 \mid 3)$ aufgespannt. Der Flächeninhalt $A_D$ eines Dreiecks kann durch die folgenden Formel bestimmt werden:
$A_D=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a $
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Dabei ist $a$ eine Seitenlänge und $h_a$ die zugehörige Höhe. Wähle beispielsweise $a=\overline{AB}$ und ermittle die zugehörige Höhe.
  • Bestimme die Längen der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$.
  • Ermittle die Größe des Winkels $\gamma$.
  • Berechne die Höhe mit Hilfe der Beziehung $\boldsymbol{h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)}$.
  • Setze alle Angaben in die Formel zur Bestimmung des Flächeninhalts des Dreiecks $A_D$ ein.
1. Schritt: Länge der Strecken $\boldsymbol{\overline{AB}}$ und $\boldsymbol{\overline{AC}}$ bestimmen
Die Länge einer Strecke entspricht gerade dem Abstand $d(A,B)$ ihrer Endpunkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$:
$\begin{array}{rll} d(A,B)&=&\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2} \\ &=&\sqrt{(6-6)^2+(8-2)^2+(1-0)^2} \\ &=&\sqrt{(0)^2+(6)^2+(1)^2} \\ &=&\sqrt{36+1} \\ &=&\sqrt{37} \\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{AB}$ ist damit $\boldsymbol{\sqrt{37}}$ LE lang. Analog berechnen wir die Streckenlänge von $\overline{AC}$:
$\begin{array}{rll} d(A,C)&=&\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2} \\ &=&\sqrt{(4-6)^2+(4-2)^2+(3-0)^2} \\ &=&\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(3)^2} \\ &=&\sqrt{4+4+9} \\ &=&\sqrt{17} \\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist damit $\boldsymbol{\sqrt{17}}$ LE lang.
2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ bestimmen
Für einen Winkel, der von zwei Vektoren eingeschlossen wird, gilt der folgende Zusammenhang:
$cos(\gamma) = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AC} \mid}$
Fasse hierbei die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ als Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ auf und berechne mit dem CAS.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Das CAS liefert dir, dass der Winkel $\gamma$ zwischen den Vektoren $53,3^\circ$ groß ist.
3. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_a}$ berechnen
Für die Höhe $h_a$ gilt: $\boldsymbol{h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)}$. Die Länge der Strecke $\overline{AC}$ hast du bereits mit $\sqrt{17}$ LE ermittelt und kannst alle Werte einsetzen:
$h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)=\sqrt{17} \cdot sin(53,3^\circ) \approx 3,31$
Die Höhe des Dreiecks beträgt $\boldsymbol{3,31}$ LE.
4. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_D}$ berechnen
Damit kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ berechnen:
$A_D=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{37}\cdot 3,31\approx 10$
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\boldsymbol{A_D\approx 10}$ FE.
$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $\boldsymbol{C}$ zur Geraden ermitteln
Der Abstand des Punktes $C$ zur Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ entspricht gerade der Höhe des Dreiecks. Zur Erinnerung: Im Aufgabenteil haben wir diese Höhe $h_a$ wie folgt berechnet:
$h_a=\mid \overline{AC} \mid \cdot sin(\gamma)=\sqrt{17} \cdot sin(53,3^\circ) \approx 3,31$
Die Höhe des Dreiecks bzw. der Abstand des Punktes $C$ zur Geraden durch $A$ und $B$ beträgt $\boldsymbol{3,31}$ LE.

Aufgabe 1 b)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{\overline{AD}}$ senkrecht auf dem Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ steht
Möchtest du nachweisen, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Dreiecksfläche steht, so kannst du folgende Überlegungen vornehmen:
Ein Vektor $\overrightarrow{AD}$ steht senkrecht auf einer Ebene $ABC$, wenn dieser Vektor $\overrightarrow{AD}$ senkrecht auf den beiden Spannvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ der Ebene steht. Das heißt, für die Skalarprodukte der Vektoren muss gelten:
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB} =0}$
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AC} =0}$
Rechne diese beiden Bedingungen nach, um zu zeigen, dass die Seitenkante senkrecht auf der Dreiecksfläche steht.
  • $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}0\\6\\1 \end{pmatrix}=-8 \cdot 0 +1\cdot 6 - 6 \cdot 1=0$
  • $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\2\\3 \end{pmatrix}=-8 \cdot (-2) +1\cdot 2 - 6 \cdot 3=0$
Es gilt $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB} =0$ sowie $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AC} =0$ und damit hast du gezeigt, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Dreiecksfläche $ABC$ steht.

Aufgabe 1 c)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinaten von $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{F}$
Die Dreiecke $ABC$ sowie $DEF$ bilden die Grund- und Deckenfläche eines Prismas. Hierbei handelt es sich um ein gerades Prisma, da du zuvor gezeigt hast, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Dreiecksfläche $ABC$ steht. Du kannst die Punkte $E$ und $F$ wie folgt darstellen:
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{AD}}$
  • $\boldsymbol{\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{AD}}$
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Berechne die Koordinaten des Punktes $E$:
$\begin{pmatrix}6\\8\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\9\\-5 \end{pmatrix}$
Damit besitzt der Punkt $E$ die Koordinaten $\boldsymbol{E(-2 \mid 9 \mid -5)}$.
Berechne die Koordinaten des Punktes $F$:
$\begin{pmatrix}4\\4\\3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\5\\-3 \end{pmatrix}$
Damit besitzt der Punkt $E$ die Koordinaten $\boldsymbol{F(-4 \mid 5 \mid -3)}$.
$\blacktriangleright$ Prisma in Koordinatensystem darstellen
Um das betrachtete Prisma in einem Koordinatensystem darzustellen, kannst du zunächst die Eckpunkte der Grund- sowie Deckfläche $ABC$ und $DEF$ einzeichnen. Verbinde diese jeweils zu einem Dreieck, anschließend kannst du dann die Punkte $A$ und $D$, $B$ und $E$ sowie $C$ und $F$ verbinden, um die Seitenkanten zu erhalten.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
$\blacktriangleright$ Möglichkeit für das Zerlegen in zwei volumengleichen Teilkörper angeben
Beschreibe ein Verfahren, wie das betrachtete gerade Prisma in zwei gleich große Teilprismen zerlegt werden kann. Überlege dir, an welcher Ebene dieser Körper gespiegelt werden muss, sodass das ursprüngliche Prisma erhalten bleibt.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Ermittelst du von den Seitenkanten $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ und $\overline{CF}$ die Mittelpunkte und schneidest das Prisma genau durch diese drei Mittelpunkte, so erhältst du zwei volumengleiche Teilkörper.

Aufgabe 1 d)

$\blacktriangleright$ Begründe, dass $\boldsymbol{\overline{AD}}$ die $\boldsymbol{y}$-$\boldsymbol{z}$-Koordinatenebene schneidet
Die Seitenkante $\overline{AD}$ besitzt die Endpunkte $A(6 \mid 2 \mid 0)$ und $D(-2 \mid 3 \mid -6)$. Sollst du nun begründen, dass diese Seitenkante die $y$-$z$-Ebene schneidet, so kannst du die überlegen, welche Lage die Punkte $A$ und $D$ haben. Wie muss die $x$-Koordinate der Punkte gewählt sein, damit eine Strecke durch beide Punkte die $y$-$z$-Ebene schneidet?
Damit die $y$-$z$-Ebene geschnitten wird, muss die $x$-Koordinate eines Punktes negativ, die des anderen Punktes positiv sein. Betrachtest du die Punkte $A$ und $D$, so kannst du erkennen, dass das der Fall ist.
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes mit der $\boldsymbol{y}$-$\boldsymbol{z}$-Koordinatenebene bestimmen
Im Aufgabenteil zuvor hast du überlegt, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ die $y$-$z$-Ebene schneidet. Der Punkt, der die $y$-$z$-Ebene schneidet, liegt auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $D$. Damit dieser genau in der $y$-$z$-Ebene liegt, muss für dessen $x$-Koordinate $\boldsymbol{x=0}$ gelten. Du kannst also folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Gleichung der Geraden $g$, die durch die Punkte $A$ und $D$ verläuft.
  • Ermittle den Schnittpunkt dieser Geraden $g$ mit der $y$-$z$-Ebene, indem du $x=0$ in die Geradengleichung einsetzt und die $y$- und $z$-Koordinate daraus berechnest.
1. Schritt: Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Die Gleichung $g$ verläuft durch die Punkte $A$ und $D$. Daher verwenden wir $\overrightarrow{OA}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{AD}$:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s \cdot \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}6\\2\\0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-8\\1\\-6 \end{pmatrix}$
2. Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ berechnen
Damit du den Schnittpunkt mit der $y$-$z$-Ebene erhältst, kannst du $\boldsymbol{x=0}$ in die Geradengleichung einsetzen und einen passenden Parameter für $s$ ermitteln. Dieser liefert dir anschließend die $y$- und $z$-Koordinaten des Schnittpunktes $S$.
$\begin{array}{rlll} \text{I} &x&=&6-8\cdot s \\ \text{II} &y&=&2+1 \cdot s \\ \text{III} &z&=&0-6\cdot s \\ \hline \text{I} &0&=&6-8\cdot s &\mid\; \scriptsize +8\cdot s;\; :8 \\ \text{II} &y&=&2+1 \cdot s \\ \text{III} &z&=&0-6\cdot s \\ \hline \text{I}a &s&=&\frac{3}{4} \\ \text{II} &y&=&2+1 \cdot \frac{3}{4}=\frac{11}{4} \\ \text{III} &z&=&0-6\cdot \frac{3}{4}=-\frac{9}{2} \\ \end{array}$
Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten damit $\boldsymbol{S\left(0 \mid \dfrac{11}{4} \mid -\dfrac{9}{2}\right)}$.

Aufgabe 2 a)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
$2012$ gab es in Deutschland $40,7$ Mio. Haushalte. Bei einer telefonischen Befragung werden $3$ Haushalte zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{A:}$ Ein Zweipersonenhaushalt, ein Dreipersonenhaushalt und ein Haushalt mit $4$ und mehr Personen werden ausgewählt.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe der in der Tabelle gegebenen Wahrscheinlichkeiten und der Pfadmultiplikation bestimmen. Beachte dabei, dass es $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ Möglichkeiten gibt, diese anzuordnen:
$6 \cdot 0,35 \cdot 0,12 \cdot 0,12 = 0,03024$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt $\boldsymbol{P(A)=0,03024}$ bzw. $\boldsymbol{3,024\;\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
$2012$ gab es in Deutschland $40,7$ Mio. Haushalte. Bei einer telefonischen Befragung werden $3$ Haushalte zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{B:}$ In keinem der $3$ ausgewählten Haushalte leben mehr als $2$ Personen.
Dieses Ereignis ist äquivalent zu dem Ereignis, dass in allen $3$ ausgewählten Haushalten nur eine oder $2$ Personen leben.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe der in der Tabelle gegebenen Wahrscheinlichkeiten und der Pfadmultiplikation bestimmen.
$(0,35+0,41) \cdot (0,35+0,41) \cdot (0,35+0,41) = 0,4390$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ beträgt $\boldsymbol{P(B)=0,4390}$ bzw. $\boldsymbol{43,90\;\%}$.

Aufgabe 2 b)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{C}$ berechnen
Nun werden $56$ zufällig ausgewählte Haushalte befragt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{C:}$ Genau $25$ der befragten Haushalte sind Zweipersonenhaushalte.
Dazu definieren wir die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl beschreibt, wie viel der 56 befragten Haushalte Zweipersonenhaushalte sind.
Dabei darfst du annehmen, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Hier gibt es nur $2$ mögliche Ergebnisse: Entweder ist der Haushalt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,35$ ein Zweipersonenhaushalt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei der Befragung eines Haushaltes immer unverändert.
Wir können also rechnen:
$P(C)=P(X=25)=\binom{n}{k} \cdot \left( p \right)^{k} \cdot \left( 1-p \right)^{n-k}=\binom{56}{25} \cdot \left( 0,35 \right)^{25} \cdot \left( 0,65\right)^{31}\approx 0,0353$
Zur Berechnung kannst du das CAS verwenden. Den Befehl Binomial Pdf findest du unter
Interactive $\rightarrow$ Distribution $\rightarrow$ Discrete $\rightarrow$ binomialPDf
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $56$ befragten Haushalten genau $25$ Zweipersonenhaushalte sind, beträgt $\boldsymbol{0,0353}$ bzw. $\boldsymbol{3,53\;\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $\boldsymbol{D}$ berechnen
Nun werden $56$ zufällig ausgewählte Haushalte befragt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das folgende Ereignis ein:
$\boldsymbol{D:}$ In höchstens $15$ der Haushalte leben mehr als $2$ Personen.
Dazu definieren wir die Zufallsvariable $Y$, die die Anzahl der Haushalte beschreibt, in welchen mehr als 2 Personen leben.
Dabei darfst du annehmen, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Hier gibt es nur $2$ mögliche Ergebnisse: Entweder leben in diesem Haushalt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,12+0,12=0,24$ mehr als zwei Personen oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei der Befragung eines Haushaltes immer unverändert.
Wir suchen also die folgende Wahrscheinlichkeit:
$P(D)=P(Y \leq 15)$
Verwende das CAS. Den Befehl Binomial Cdf findest du unter
Interactive $\rightarrow$ Distribution $\rightarrow$ Discrete $\rightarrow$ binomialCDf
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den $56$ befragten Haushalten höchstens $15$ Haushalte mit mehr als $2$ Personen gibt, beträgt $\boldsymbol{0,7454}$ bzw. $\boldsymbol{74,54\;\%}$.

Aufgabe 2 c)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Haushalte bestimmen
Wie viele Haushalte müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $\boldsymbol{95\;\%}$ mindestens $\boldsymbol{2}$ Haushalte mit $4$ oder mehr Personen unter den Befragten sind? In mathematischen Symbolen ausgedrückt also:
$P(2 \leq Z)>0,95 \Leftrightarrow 1-P(Z<2)<0,05$
Dabei sei $Z$ die binomialverteilte Zufallsvariable, die die Anzahl der Personenhaushalte mit $4$ der mehr Personen beschreibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Personenhaushalt $4$ oder mehr Personen leben, beträgt $p=0,12$. Setzt du die allgemeine Formel der Binomialverteilung ein, so erhältst du die folgende Ungleichung:
$\begin{array}{rll} 1-P(Z<2)&=&P(Z=0)+P(Z=1) \\ &=&\binom{n}{0}\cdot (0,12)^{0}\cdot (1-0,12)^{n-0} +\binom{n}{1}\cdot (0,12)^{1}\cdot (1-0,12)^{n-1}\\ &=&(0,88)^{n} +n \cdot (0,12) \cdot (0,88)^{n-1}\\ &<&0,05 \\ \end{array}$
Löse diese Gleichung mit Hilfe des CAS. Beachte aber, dass dieser diese Gleichung nur für Gleichheit lösen kann.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Es müssen mindestens $\boldsymbol{38}$ Haushalte befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\;\%$ mindestens 2 Haushalte mit $4$ oder mehr Personen darunter sind.

Aufgabe 2 d)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Fehler $\boldsymbol{1.}$ und $\boldsymbol{2.}$ Art berechnen
Gegeben sind die beiden Hypothesen
  • $\boldsymbol{H_0}$: Es gibt weiterhin einen Anteil von $24\;\%$ bei Haushalten von $3$ oder mehr Personen.
  • $\boldsymbol{H_1}$: Der Anteil der Haushalte von $3$ oder mehr Personen steigt auf $30\;\%$.
Dazu sollen $\boldsymbol{100}$ Haushalte zufällig befragt werden. Sind unter diesen mehr als $\boldsymbol{27}$ Haushalte mit $3$ und mehr Personen, so wird $H_1$ als wahr angenommen.
Ein Fehler erster Art tritt dann ein, wenn die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise abgelehnt wird. Dieses Ereignis tritt mit der folgenden Wahrscheinlichkeit ein:
$B_{100;\;0,24} (27< X)=B_{100;\;0,24}(28 \leq X)\approx 0,2043$
Unter $100$ befragten Haushalten geben mehr als $27$ an, ein Haushalt von $3$ oder mehr Personen zu sein. Man nimmt hier dann fälschlicherweise an, dass der Anteil auf $30\;\%$ gestiegen ist. Dies geschieht mit einer Wahrscheinlichkeit von $20,43\;\%$.
Aufgabe C1
Aufgabe C1
Ein Fehler zweiter Art tritt dann ein, wenn die Alternative $H_1$ abgelehnt wird, obwohl diese zutrifft. Dieses Ereignis tritt mit der folgenden Wahrscheinlichkeit ein:
$B_{100;\;0,3}(27 \leq X)\approx 0,2964$
Unter $100$ befragten Haushalten geben weniger als $27$ an, ein Haushalt von $3$ oder mehr Personen zu sein. Man nimmt hier dann fälschlicherweise an, dass sich der Anteil mit $24\;\%$ nicht geändert hat. Dies geschieht mit einer Wahrscheinlichkeit von $29,64\;\%$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App