Teil C1

Gegeben sind die Punkte $A(6\mid2\mid0)$ , $B(6\mid8\mid1)$ , $C(4\mid4\mid3)$ und $D(-2\mid3\mid -6)$ .
Die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ sind Grund- und Deckfläche eines dreiseitigen Prismas. Die Strecke $\overline{AD}$ ist eine Seitenkante des Prismas.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ .
Ermittle den Abstand des Punktes $C$ von der Geraden durch die Punkte $A$ und $B.$

(4 BE)

Zeige, dass die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Fläche $ABC$ steht.

(1 BE)

Bestimme die Koordinaten der Punkte $E$ und $F$ .
Stelle das Prisma in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar.
Beschreibe eine Möglichkeit für das Zerlegen des Prismas in zwei volumengleiche Teilkörper.

(4 BE)

Begründe ohne Rechnung, dass die Kante $\overline{AD}$ des Prismas die $y$ - $z$ -Koordinatenebene schneidet.
Bestimme die Koordinaten dieses Schnittpunktes.

(3 BE)

Im Jahr 2012 gab es in Deutschland 40,7 Millionen Haushalte. Das Statistische Bundesamt veröffentlichte für die verschiedenen Haushaltsgrößen folgende Zahlen:

Einpersonenhaushalte	41 %
Zweipersonenhaushalte	35 %
Dreipersonenhaushalte	12 %
Haushalte mit vier und mehr Personen	12 %

Quelle: https://www.destatis.de (06.11.2014)

Für eine telefonische Befragung werden drei Haushalte zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

$A:$

„Ein Zweipersonenhaushalt, ein Dreipersonenhaushalt und ein Haushalt mit vier und mehr Personen werden ausgewählt.“

$B:$

„In keinem der drei ausgewählten Haushalte leben mehr als zwei Personen.“

(2 BE)

An einem Abend werden 56 zufällig ausgewählte Haushalte telefonisch befragt.
Ermittle unter Annahme des Modells der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

$C:$

„Genau 25 Haushalte sind Zweipersonenhaushalte.“

$D:$

„In höchstens 15 der Haushalte leben mehr als zwei Personen.“

(2 BE)

Bestimme die Anzahl der Haushalte, die mindestens befragt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens zwei Haushalte mit vier oder mehr Personen dabei sind.

(2 BE)

Aufgrund familienpolitischer Maßnahmen wird erwartet, dass im Zeitraum von $10$ Jahren die Zahl der Haushalte mit drei und mehr Personen auf $30\,\%$ $(H_1)$ ansteigt. Im Jahr 2022 könnte dazu ein Alternativtest durchgeführt werden, in dem $100$ zufällig ausgewählte Haushalte befragt werden. Sind unter diesen mehr als $27$ Drei- und Mehrpersonenhaushalte, so soll an die Wirksamkeit der familienpolitischen Maßnahmen geglaubt werden. Anderenfalls geht man weiterhin von $24\,\%$ $(H_0)$ Drei- und Mehrpersonenhaushalten aus.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Fehler erster und zweiter Art.

(2 BE)

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen

Für die Längen der Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ folgt mit Hilfe des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{6\\8\\1}-\pmatrix{6\\2\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{37}\;[\text{LE}] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{4\\4\\3}-\pmatrix{6\\2\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{17}\;[\text{LE}] \end{array}$

Für den eingeschlossenen Winkel $\alpha$ zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ gilt:

$cos(\alpha) = \dfrac{\left\vert\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert\cdot \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert}$

Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt:

$\alpha\approx53,27^\circ$

Mathematische Berechnungen und Formeln in einem digitalen Format.

Die Höhe $h$ des Dreiecks bezüglich der Grundseite $\overline{AB}$ ergibt sich somit mit dem CAS wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert\cdot\sin(\alpha) \\[5pt] &\approx&3,3\;[\text{LE}] \end{array}$

Für den Flächeninhalt $A_{ABC}$ des Dreiecks $ABC$ folgt damit insgesamt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert\cdot h \\[5pt] &\approx&10\;[\text{FE}] \end{array}$

Abstand des Punktes $\boldsymbol{C}$ ermitteln

Der Abstand des Punktes $C$ von der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ ist durch die oben berechnete Höhe $h$ gegeben und beträgt somit ca. $3,3\;\text{LE}.$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{-8\\1\\-6}\circ\pmatrix{0\\6\\1} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AC}&=&\pmatrix{-8\\1\\-6}\circ\pmatrix{-2\\2\\3} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Der Vektor $\overrightarrow{AD}$ steht somit senkrecht auf den Spannvektoren der Ebene in der das Dreieck $ABC$ liegt und damit die Seitenkante $\overline{AD}$ senkrecht auf der Fläche $ABC.$

Koordinaten bestimmen

Da die Kante $\overline{AD}$ senkrecht auf dem Dreieck $ABC$ steht, handelt es sich um ein gerades Prisma und es folgt mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE}&=&\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=&\pmatrix{-2\\9\\-5} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\5\\-3} \end{array}$

Prisma darstellen

Möglichkeit für das Zerlegen beschreiben

Die beiden Grundflächen $ABC$ und $DEF$ des Prismas sind gleichgroß. Somit entstehen zwei volumengleiche Teilkörper, indem das große Prisma entlang des durch die Mittelpunkte der drei Seitenkanten aufgespannten Dreiecks zerlegt wird.

Begründen, dass $\boldsymbol{\overline{AD}}$ die $\boldsymbol{y}$ - $\boldsymbol{z}$ -Ebene schneidet

Die $x$ -Koordinaten der beiden Endpunkte $A$ und $D$ besitzen unterschiedliche Vorzeichen, somit schneidet die Kante $\overline{AD}$ die $y$ - $z$ -Ebene.

Koordinaten des Schnittpunktes bestimmen

Die eindeutige Gerade $g$ durch die Punkte $A$ und $D$ besitzt folgende mögliche Geradengleichung:

$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s \cdot \overrightarrow{AD}$ $=\pmatrix{6\\2\\0}+s \cdot \pmatrix{-8\\1\\-6}$

Ein allgemeiner Punkt in der $y$ - $z$ -Ebene besitzt die Koordinaten $(0\mid y\mid z).$ Gleichsetzen mit der Geradengleichung von $g$ liefert folgendes lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 6-8s \\ \text{II}\quad&y&=&2+s &\quad \\ \text{II}\quad&z&=&-6s &\quad \\ \end{array}$

Lösen dieses Gleichungssystems mit dem CAS liefert $y=\frac{11}{4}, s = \frac{3}{4}$ und $z=-\frac{9}{2}.$ Der gesuchte Schittpunkt besitzt somit die Koordinaten $S\left(0\mid\frac{11}{4}\mid-\frac{9}{2}\right).$

Da die Reihenfolge, in der die Haushalte ausgewählt werden, keine Rolle spielt, ergeben sich $3! = 3\cdot2\cdot 1 = 6$ verschiedene Möglichkeiten für das Ereignis $A$ und es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&6\cdot0,35\cdot0,12\cdot0,12 \\[5pt] &\approx&0,0302 \\[5pt] &=&3,02\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Haushalt mit 2 oder weniger Personen beträgt $0,35+0,41=0,76.$ Für das Ereignis $B$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&0,76 \cdot 0,76 \cdot 0,76 \\[5pt] &\approx&0,439 \\[5pt] &=&43,9\,\% \end{array}$

Die Zufallsvariable $X,$ die die Anzahl der Zweipersonenhaushalte angibt, ist binomialverteilt mit den Parametern $n=56$ und $p=0,35.$ Mit dem CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&B_{56;0,35}(X=25) \\[5pt] &\approx&0,0353 \\[5pt] &=&3,53\,\% \end{array}$

Screenshot eines Taschenrechners mit einer Berechnung zur binomialen Verteilung.

Die Zufallsvariable $Y,$ die die Anzahl der Haushalte mit mehr als zwei Personen angibt, ist binomialverteilt mit den Parametern $n=56$ und $p=0,12+0,12=0,24.$

Mit dem CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&B_{56;0,24}(Y\leq15) \\[5pt] &\approx&0,7454 \\[5pt] &=&74,54\,\% \end{array}$

Screenshot eines mathematischen Berechnungsprogramms mit einer binomialen kumulativen Verteilungsfunktion.

Die Zufallsvariable $Z,$ die die Anzahl der Haushalte mit vier oder mehr Personen angibt, ist binomialverteiltmit mit unbekanntem $n$ und $p=0,12.$ Mit der allgemeinen Formel der Binomialgleichung folgt:

Rechenweg anzeigen

$(0,88)^n+n \cdot (0,12) \cdot (0,88)^{n-1}$ $\geq 0,05$

Mit Hilfe des nsolve-Befehls des CAS folgt:

$n\approx37,62$

Es müssen somit mindestens $38$ Haushälte befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens zwei Haushalte mit vier oder mehr Personen darunter sind.

Mathematische Gleichung zur Lösung mit zwei möglichen Werten für n.

Wahrscheinlichkeit für Fehler erster Art berechnen

Die Zufallsvariable $X_t,$ die die Anzahl der Haushalte mit drei oder mehr Personen angibt, ist binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p=p_0=0,24.$ Mit dem CAS folgt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art:

Rechenweg anzeigen

$B_{100;0,24}(X\gt27) \approx 20,43\,\%$

Wahrscheinlichkeit für Fehler zweiter Art berechnen

Die Zufallsvariable $X_t,$ die die Anzahl der Haushalte mit drei oder mehr Personen angibt, ist nun binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p=p_1=0,30.$ Mit dem CAS folgt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers zweiter Art somit:

$\begin{array}[t]{rll} B_{100;0,30}(X\leq27)&\approx&0,2964 \\[5pt] &=&29,64\,\% \end{array}$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen

Für die Längen der Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ folgt mit Hilfe des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{6\\8\\1}-\pmatrix{6\\2\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{37}\;[\text{LE}] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{4\\4\\3}-\pmatrix{6\\2\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{17}\;[\text{LE}] \end{array}$

Für den eingeschlossenen Winkel $\alpha$ zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ gilt:

$cos(\alpha) = \dfrac{\left\vert\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert\cdot \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert}$

Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt:

$\alpha\approx53,27^\circ$

Mathematische Berechnungen mit Vektoren und Funktionen in einer grafischen Benutzeroberfläche.