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Teil C1

Aufgaben
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1
Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $xy$-Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320\mid -1750\mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990\mid 6990 \mid 0)$.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\,\text{m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.
#zentraleraufgabenpool
$\,$
a)
Begründe, dass die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne im Modell entlang der Gerade
$g:\overrightarrow{x}$ $=\pmatrix{7320\\-1750\\50}+r\cdot\pmatrix{-8310\\8740\\0}$
mit $r\in \mathbb{R}$ verläuft.
(2 BE)
$\,$
$100$ Sekunden, nachdem die Drohne die Höhe von $50\,\text{m}$ erreicht hat, wird ihre Position durch den Punkt $P(6489\mid -876\mid 50)$ dargestellt.
$\,$
b)
Zeige, dass sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn befindet. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der die Position der Drohne nach weiteren $200$ Sekunden Flugzeit auf der vorgesehenen Flugbahn darstellt.
(3 BE)
$\,$
c)
Bestimme die Geschwindigkeit der Drohne während des horizontalen Flugs.
(2 BE)
$\,$
Die Drohne soll ihren Weg zum Landeplatz selbständig zurücklegen können. Während der Testphase wird ihr Flug von einer Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0\mid 0\mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000\,\text{m}.$
$\,$
d)
Weise nach, dass sich die Drohne auf dem horizontalen Teil der vorgesehenen Flugbahn über eine Strecke von mehr als $8,5\,\text{km}$ innerhalb der Reichweite der Bodenstation befindet.
(5 BE)
$\,$
Einer Korrektur der Bodenstation folgend, weicht die Drohne im Modell im Punkt $Q(3996\mid 1746\mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ geradlinig auf einem Ausweichlandplatz zu, der durch den Punkt $A(4050\mid 1810\mid 0)$ dargestellt wird.
$\,$
e)
Bestimme die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn gegenüber dem Gelände beim Anflug auf den Ausweichlandeplatz.
(3 BE)
#neigungswinkel
$\,$
f)
Berechne, um wie viele Meter sich die Flughöhe pro Sekunde verringert.
(3 BE)
$\,$
Nach der Landung auf dem Ausweichplatz steuert die Drohne eine Position an, die sich in einer Höhe von $50\;m$ befindet und vom Startplatz, vom regulären Landeplatz und der Bodenstation gleich weit entfernt ist. Diese Position wird durch den Punkt $R$ beschrieben.
$\,$
g)
Die Ebene $E$ enthält alle Punkte, die von $S$ und $L$ den gleichen Abstand haben.
Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
(3 BE)
#koordinatenform#ebenengleichung
$\,$
h)
(4 BE)
2
An einem Kiosk kann man Rubbellose kaufen. Ein Los besteht aus insgesamt $16$ Feldern. Auf jedem Feld steht genau eine Zahl. Auf acht Feldern steht $0$, auf vier Feldern $1$ und auf den restlichen vier Feldern steht die Zahl $5$. Die Zahlen sind zufällig auf die Felder verteilt und werden erst nach dem Freirubbeln sichtbar. Der Käufer eines Loses darf genau zwei Felder freirubbeln (siehe Abbildung). Der Auszahlungsbetrag in Euro ergibt sich aus dem Produkt der beiden sichtbaren Zahlen.
#wahrscheinlichkeit
$\,$
a)
Eine Frau kauft ein Rubellos und rubbelt genau zwei Felder frei.
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$A:=$ „Die Frau rubbelt zuerst ein Feld frei, das keine $0$ anzeigt.“
$B:=$ „Der Frau werden $25\;€$ ausgezahlt.“
(2 BE)
$\,$
b)
Ein Mann kauft $20$ Lose.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$C:=$ „Der Mann erhält genau einmal $25\;€$.“
$D:=$ „Der Mann erhält mindestens fünfmal $25\;€$.“
(4 BE)
$\,$
c)
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Kunde beim Kauf eines Rubbelloses mindestens einen Betrag von $5\;€$ ausgezahlt bekommt, $\frac{11}{60}$ beträgt.
Bestimme die Anzahl der Lose, die er mindestens kaufen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\;\%$ mindestens einmal einen Betrag von mindestens $5\;€$ ausgezahlt zu bekommen.
(5 BE)
$\,$
d)
Der Kioskbesitzer behauptet, dass $10\;\%$ seiner Kunden Loskäufer sind. Ein Schüler, der als Aushilfe im Kiosk arbeitet, bezweifelt die Aussage des Kioskbesitzers. Mithilfe eines zweiseitigen Signifikanztest vom Umfang $n=250$ und einem Signifikanzniveau von $5\;\%$ will er die Hypothese $(H_0:p_0=0,1)$ testen.
Ermittle den Verwerfungsbereich des Tests.
Unter den nächsten $250$ Kunden zählt er $17$ Losverkäufer.
Beurteile anhand deines Ergebnisses die Zweifel des Schülers.
(4 BE)
#signifikanzniveau#hypothesentest
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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#cas
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Lösungen
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1
a)
$\blacktriangleright$  Verlauf der Flugbahn begründen Teil C1
Die Drohne steigt zunächst vom Startpunkt $S(7320\mid -1750\mid 0)$ aus $50\,\text{m}$ vertikal auf. Die Höhe wird durch die $z$-Koordinate beschrieben. Nach diesem vertikalen Aufstieg befindet sich die Drohne also zunächst im Punkt $S_1(7320\mid -1750\mid 50).$ Von dort aus fliegt sie in Richtung des Landeplatzes $L(-990\mid 6990\mid 0),$ allerdings ohne dabei ihre Höhe zu verändern. Die $z$-Koordinate des Richtungsvektors muss also $0$ sein.
Die $x$- und $y$-Koordinaten des Richtungsvektors können aus dem Vektor $\overrightarrow{SL} = \pmatrix{-8310 \\ 8740 \\ 0}$ verwendet werden. Als Stützpunkt kann $S_1$ veerwendet werden.
Die Flugbahn kann also durch eine Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben werden:
$g: \, \overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{7320\\ -1750\\50} + r\cdot \pmatrix{-8310 \\ 8740\\ 0}$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Position der Drohne auf der Flugbahn zeigen
Zu zeigen ist, dass die Koordinaten des angegebenen Punkts die Geradengleichung der Flugbahn erfüllen:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{6489 \\ -876 \\ 50} &=& \pmatrix{7320\\-1750 \\50} +r \cdot \pmatrix{-8310\\8740\\ 0} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{7320\\-1750 \\50} \\[5pt] \pmatrix{-831 \\ 874 \\ 0} &=& r \cdot \pmatrix{-8310\\8740\\ 0} \end{array}$
$ \pmatrix{-831 \\ 874 \\ 0} = r \cdot \pmatrix{-8310\\8740\\ 0} $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -831 &=& -8310 r \\ \text{II}\quad&874 &=& 8740r \\ \text{III}\quad&0&=& 0r \\ \end{array}$
Die dritte Gleichung ist für alle $r$ erfüllt. Aus der ersten Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} -831 &=& -8310r &\quad \scriptsize \mid\; :(-8310) \\[5pt] 0,1 &=& r \end{array}$
$ r = 0,1 $
Aus der zweiten Gleichung folgt ebenfalls:
$\begin{array}[t]{rll} 874 &=& 8740r &\quad \scriptsize \mid\; :8740 \\[5pt] 0,1 &=& r \end{array}$
$ r = 0,1 $
$r=0,1$ erfüllt also die Gleichung. Der Punkt $P(6489\mid -876\mid 50)$ liegt also auf der Geraden $g.$ Die Drohne befindet sich also auf der vorgesehenen Flugbahn.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der neuen Position bestimmen
$100$ Sekunden nachdem die Drohne ihren horizontalen Flug gestartet hat, befindet sie sich auf der Position $P,$ die für $r=0,1$ durch die Gerade $g$ beschrieben werden kann. Die Position weitere $200$ Sekunden später kann daher mit $r=0,3$ bestimmt werden, da die Drohne mit konstanter Geschwindigkeit fliegt.
$\overrightarrow{OP_1} =\pmatrix{7320\\-1750 \\50} +0,3 \cdot \pmatrix{-8310\\8740\\ 0} = \pmatrix{4827\\ 872 \\50}$
$ \overrightarrow{OP_1} = \pmatrix{4827\\ 872 \\50}$
Nach weiteren $200$ Sekunden Flugzeit wird die Position der Drohne durch den Punkt $P_1(4827\mid 872 \mid 50)$ beschrieben.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit der Drohne bestimmen
Die Strecke, die die Drohne in $100$ Sekunden zurücklegt, wird beispielsweise durch die Länge des Vektors $\overrightarrow{S_1P}$ beschrieben. Diese kannst du über den Vektorbetrag bestimmen und dafür den norm-Befehl deines CAS verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{S_1P} \right| &=& \left|\pmatrix{-831\\874\\ 0} \right| \\[5pt] &\approx& 1206,00 \end{array}$
In $100$ Sekunden legt die Drohne während des horizontalen Flugs also ca. $1206,00\,\text{m}$ zurück. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von ca. $12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$
#cas#vektorbetrag
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Reichweite nachweisen
Während des horizontalen Fluges wird die Position der Drohne durch die Punkte der Geraden $g$ beschrieben. Diese Punkte haben die Koordinaten:
$P_r(7320 - 8310r \mid -1750 +8740r \mid 50)$
$P_r(7320 - 8310r \mid -1750 +8740r \mid 50)$
Gesucht ist nun der Bereich, in dem sich $P_r$ befinden kann, sodass er von $B$ noch einen Abstand von höchstens $6000$ besitzt. Der Abstand wird in Abhängigkeit von $r$ durch $\left|\overrightarrow{BP_r} \right|$ beschrieben.
Bestimme also $r,$ sodass $\left|\overrightarrow{BP_r} \right| \leq 6000$ ist. Diese Ungleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS nach $r$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{BP_r} \right| &\leq& 6000 \\[5pt] \left|\pmatrix{7320 - 8310r \\ -1750 +8740r \\ 50} \right| &\leq & 6000 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] \end{array}$
$ .. \leq 6000 $
Du erhältst ungefähr $0,1601\leq r \leq 0,8867.$
$r= 0,1601$ entspricht der Position $P_2(5989,569 \mid -350,726 \mid 50),$ $r= 0,8867$ entspricht der Position $P_3(-48,477 \mid 5999,758 \mid 50).$
Die Länge der Strecke zwischen diesen beiden Positionen kannst du wieder über den Vektorbetrag berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{P_2P_3} \right|&=& \left|\pmatrix{-6038,046 \\ 6350,484 \\ 0} \right| \\[5pt] &\approx& 8763 \, \text{[m]} \end{array}$
Auf einer Strecke von ca. $8763 \, \text{m}$ befindet sich die Drohne also in Reichweite der Bodenstation. Dieser Teil der Flugstrecke ist länger als $8,5\,\text{km}.$
#vektorbetrag#cas
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Größe des Neigungswinkels gegenüber dem Gelände bestimmen
Die abgeänderte Flugbahn kann durch die Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} h: \, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OQ} + r\cdot \overrightarrow{QA} \\[5pt] &=& \pmatrix{3996\\ 1746 \\ 50} + s\cdot \pmatrix{54 \\ 64 \\ -50} \\[5pt] \end{array}$
$ h: \, \overrightarrow{x} = … $
Der Neigungswinkel der abgeänderten Flugbahn gegenüber dem Gelände entspricht dem Schnittwinkel der Geraden $h$ mit der $xy$-Ebene, die durch die Gleichung $z=0$ beschrieben werden kann.
Ein Normalenvektor dieser Ebene ist $\overrightarrow{n}_z = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ einer Gerade und einer Ebene folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{QA} \circ \overrightarrow{n}_z \right|}{\left|\overrightarrow{QA} \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_z \right| } \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{\left| \pmatrix{54 \\ 64 \\ -50} \circ \pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left|\pmatrix{54 \\ 64 \\ -50} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right| } \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{50 }{\sqrt{9512} } &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 30,8^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 30,8^{\circ} $
Der Neigungswinkel der abgeänderten Flugbahn gegenüber dem Gelände ist ca. $31^{\circ}$ groß.
#schnittwinkel
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Abnahme der Flughöhe berechnen
Vom Punkt $Q$ zum Punkt $A$ verringert die Drohne ihre Höhe um $50\,\text{m}.$ Berechne die Zeit, die die Drohne für diese Strecke benötigt, indem du zunächst die Länge der Strecke berechnest, die die Drohne dabei zurücklegt:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{QA} \right|&=& \left| \pmatrix{54\\64 \\-50} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{9512} \end{array}$
Die Drohne legt auf dem Weg also eine Strecke von $\sqrt{9512} \,\text{m}$ zurück. Sie fliegt mit einer Geschwindigkeit von $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$ Sie benötigt für diese Strecke also:
$\sqrt{9512} \,\text{m} : 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s}$
In $ \frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s}$ verringert die Drohne ihre Höhe also um $50\,\text{m}.$
Die Höhe pro Sekunde ergibt sich daher zu:
$50\,\text{m} : \frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s} \approx 2,56\,\frac{\text{m}}{\text{s}} $
Pro Sekunde verringert sich die Flughöhe der Drohne um ca. $2,56\,\text{m}.$
#vektorbetrag
$\,$
g)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Die Ebene $E$ muss senkrecht zur Strecke $\overline{SL}$ verlaufen. Ein möglicher Normalenvektor von $E$ ist also $\overrightarrow{SL} = \pmatrix{-8.310 \\ 8.740\\0}.$
Da die Ebene alle Punkte enthält, die von $L$ und $S$ den gleichen Abstand haben, muss sie auch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{SL}$ enthalten.
Die Koordinaten des Mittelpunkts kannst du mit der entsprechenden Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_{\overline{SL}} &=& \frac{1}{2}\cdot \left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OL}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left( \pmatrix{7.320 \\ -1.750 \\0} +\pmatrix{-990 \\ 6.990 \\ 0} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{3.165\\2.620\\0} \end{array}$
$ \overrightarrow{OM}_{\overline{SL}} =\pmatrix{3.165\\2.620\\0} $
Die Ebene $E$ soll durch den Punkt $M(3.165\mid 2.620 \mid 0)$ verlaufen:
$\begin{array}[t]{rll} E: \, -8.310 x +8.740 y +0z &=& d &\quad \scriptsize \mid\;M(3.165\mid 2.620 \mid 0)\\[5pt] -8.310 \cdot 3.165 +8.740 \cdot 2.620 &=& d \\[5pt] -3.402.350 &=& d \end{array}$
$ d =-3.402.350 $
Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet:
$E: \, -8.310 x +8.740 y = -3.402.350$
$E: \, -8.310 x +8.740 y = -3.402.350$
$\,$
h)
$\blacktriangleright$  Ebene darstellen
Teil C1
Abb. 2: Ebene $E$
Teil C1
Abb. 2: Ebene $E$
$\blacktriangleright$  Verfahren beschreiben
Der Punkt $R$ soll gleich weit von $L,$ $S$ und $B$ entfernt liegen. In der Ebene $E$ liegen alle Punkte, die gleich weit von $L$ und $S$ entfernt sind.
$R$ muss also in der Ebene $E$ liegen. Analog zu $E$ gibt es auch eine Ebene $H,$ in der alle Punkte liegen, die von $B$ und $S$ gleichweit entfernt sind. Diese Ebene kann in der Abbildung ebenfalls durch eine Gerade dargestellt werden, die analog zu $E$ die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{BS}$ ist. Diese Gerade schneidet dann die Gerade, die die Ebene $E$ in der Abbildung darstellt in genau einem Punkt $T.$ Dieser Punkt stellt die Gerade dar, auf der alle Punkte liegen, die gleich weit von $L,$ $S$ und $B$ entfernt sind. Diese Punkte haben alle die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten wie $T,$ die aus der Abbildung bestimmt werden können.
Der Punkt $R$ liegt auf dieser Geraden, besitzt also die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten wie $T$ und die $z$-Koordinate $50.$
$\blacktriangleright$  Verfahren veranschaulichen
Teil C1
Abb. 2: Verfahren veranschaulichen
Teil C1
Abb. 2: Verfahren veranschaulichen
#mittelsenkrechte
2
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten ermitteln
Von den $16$ Feldern sind $8$ Felder mit einer $0$ versehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Frau zuerst ein Feld mit einer $0$ freirubbelt, beträgt also $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}.$
$P(A) = \frac{1}{2} $
$25\,€$ Auszahlung sind nur möglich, wenn die Frau zweimal eine $5$ freirubbelt. $4$ Felder sind mit einer $5$ versehen. Ein Feld das einmal freigerubbelt ist, kann nicht ein zweites mal freigerubbelt werden. Es ergibt sich also:
$P(B) = \frac{4}{16} \cdot \frac{3}{15} = \frac{1}{20}$
#pfadregeln
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Bei jedem Los ist die Wahrscheinlichkeit dafür, $25\,€$ ausgezahlt zu bekommen, mit $p = \frac{1}{20}$ gleich hoch. Diese Wahrscheinlichkeit ist jeweils unabhängig davon, wie das Ergebnis bei den bisherigen Losen war.
Die Anzahl der Lose, bei denen $25\,€$ ausgezahlt werden, kann daher als binomialverteilt angenommen werden. Betrachte also die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Lose beschreibt, bei denen dem Mann $25\,€$ ausgezahlt werden. Diese ist binomialverteilt mit $p = \frac{1}{20} = 0,05$ und $n= 20.$ Für Ereignis $C$ erhältst du mit der entsprechenden Formel:
$\begin{array}[t]{rll} P(C) &=& P(X=1) \\[5pt] &=& \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \\[5pt] &\approx& 0,3774 \\[5pt] &=& 37,74\,\% \end{array}$
Für Ereignis $D$ kannst du dein CAS verwenden:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
$\begin{array}[t]{rll} P(D) &=& P(X\geq 5) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 4) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 0,0026 \\[5pt] &=& 0,26\,\% \end{array}$
$ P(D) \approx 0,26\,\% $
#binomialverteilung#cas
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
Eine Auszahlung von mindestens $5\,€$ kommt genau dann zustande, wenn entweder eine $1$ und eine $5,$ eine $5$ und eine $1$ oder eine $5$ und eine $5$ freigerubbelt werden. Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{mindestens }5\,€) &=& \frac{4}{16}\cdot \frac{4}{15} + \frac{4}{16}\cdot \frac{4}{15} + \frac{4}{16}\cdot \frac{3}{15} \\[5pt] &=& \frac{11}{60} \end{array}$
$ P(\text{mindestens }5\,€) = … $
$\blacktriangleright$  Anzahl der Lose bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $Y_n,$ die unter $n$ Losen die Anzahl der Lose beschreibt, bei denen mehr als $5\,€$ ausgezahlt werden. Diese kann ebenfalls als binomialverteilt angenommen werden mit $p = \frac{11}{60}$ und unbekanntem $n.$
$n$ soll nun so bestimmt werden, dass $P(Y_n \geq 1) \geq 0,95 $ ist.
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_n \geq 1) &\geq& 0,95 \\[5pt] 1- P(Y_n =0 )&\geq& 0,95 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] - P(Y_n = 0)&\geq& -0,05 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(Y_n = 0)&\leq& 0,05 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot \left(\frac{11}{60} \right)^0\cdot \left(\frac{49}{60} \right)^n &\leq& 0,05 \\[5pt] \left(\frac{49}{60} \right)^n &\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] n &\geq& 14,8 \end{array}$
$ n \geq 14,8 $
Der Mann muss mindestens $15$ Lose kaufen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens einmal mindestens $5\,€$ ausgezahlt bekommt.
#pfadregeln#binomialverteilung
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Verwerfungsbereich ermitteln
Es soll ein zweiseitiger Signifikanztest mit einer Stichprobe von $250$ Kunden durchgeführt werden. Der Verwerfungsbereich hat also die Form:
$V = \{0,…,k_1\} \cup \{k_1,…,250 \}$
Betrachte die Zufallsgröße $T,$ die die Anzahl der Kunden beschreibt, die ein Los kaufen. Man kann vereinfachend davon ausgehen, dass die Kunden unabhängig voneinander ein Los kaufen oder nicht. $T$ kann daher als binomialverteilt mit $n=250$ angenommen werden. Laut angegebener Nullhypothese gilt $p = 0,1.$
Aufgrund des angegebenen Signifikanzniveaus $\alpha = 0,05$ müssen die Grenzen $k_1$ und $k_2$ nun so bestimmt werden, dass folgende Ungleichungen für $p=0,1$ erfüllt werden:
$P(T \leq k_1) \leq \frac{\alpha}{2} $ und $P(T \geq k_2) \leq \frac{\alpha}{2} $
Mit deinem CAS kannst du nun für verschiedene Werte von $k_1$ die Wahrscheinlichkeit $P(T \leq k_1)$ berechnen. Du erhältst dann beispielsweise:
  • $P(T\leq 20) \approx 0,1719 > \frac{0,05}{2} $
  • $P(T \leq 10) \approx 0,0004 < \frac{0,05}{2} $
  • $P(T \leq 15) \approx 0,0175 < \frac{0,05}{2} $
  • $P(T \leq 16) \approx 0,0309 > \frac{0,05}{2} $
Es ist also $k_1 = 15.$ Für $k_2$ folgt analog:
  • $P(T\geq 30) \approx 0,1704 > \frac{0,05}{2} $
  • $P(T \leq 40) \approx 0,0021 < \frac{0,05}{2} $
  • $P(T \leq 35) \approx 0,0267 > \frac{0,05}{2} $
  • $P(T \leq 36) \approx 0,0169 < \frac{0,05}{2} $
Es ist also $k_2 = 36.$ Der Verwerfungsbereich lautet daher $V = \{0,…,15\} \cup \{36,…,250\}.$
$\blacktriangleright$  Zweifel des Schülers beurteilen
Die Anzahl der Loskäufer liegt nicht im Verwerfungsbereich $V.$ Die Nullhypothese, dass $10\,\%$ der Kunden Loskäufer sind, kann also nicht widerlegt werden. Damit kann auch die Aussage des Schülers mit dieser Stichprobe nicht gestützt werden.
#binomialverteilung#cas
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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