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Aufgabe C2

Aufgaben
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1.
In einer Zeitschrift wurde veröffentlicht, dass in Thüringen $36,30\;\%$ der Prüflinge die Führerscheinprüfung nicht bestehen.
Nach: www.autobild.de (16.11.2016)
In Thüringen melden sich $50$ Teilnehmer eines Fahrschulkurses zur Prüfung an. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung voraussichtlich nicht bestehen werden.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A:=„Genau $30$ Teilnehmer werden die Prüfung voraussichtlich bestehen.“
B:=„Mindestens $30$ Teilnehmer werden die Prüfung voraussichtlich bestehen.“
(4 BE)
b)
Die Anzahl der Teilnehmer, die die Prüfung nicht bestehen, weicht höchstens um die Standardabweichung vom Erwartungswert ab.
Ermittle die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
(4 BE)
Die Inhaberin einer Fahrschule ist sich sicher, dass die Durchfallquote ihrer Fahrschule niedriger als $p_0=36,30\;\%$ $(H_0)$ ist. Dazu überprüft sie die Ergebnisse der letzten $100$ Prüflinge. Sind darunter höchstens $30$ Teilnehmer, die die Prüfung nicht bestanden haben, will sie davon ausgehen, dass in ihrer Fahrschule die Durchfallquote niedriger ist $(H_1:p_1<36,30\;\%)$.
c)
Berechne den Fehler $1.$ Art. Beschreibe die Bedeutung des Fehlers im Sachzusammenhang.
(3 BE)
d)
Berechne den Fehler $2.$ Art für den Fall $p_1=25\;\%$.
Untersuche die Entwicklung des Fehlers, wenn sich der Wert von $p_1$ dem Wert $p_0$ nähert.
(4 BE)
e)
Formuliere eine neue Entscheidungsregel so, dass der Fehler $1.$ Art höchstens $5\;\%$ beträgt.
(4 BE)
Es wird angenommen, dass die vom Teilnehmer benötigte Prüfungszeit normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu=45$ Minuten und der Standardabweichung $\sigma=5$ Minuten ist.
f)
Dargestellt ist der Graph der entsprechenden Dichtefunktion.
Der Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion für $t\leq40$ Minuten beträgt etwa $0,16$ Flächeneinheiten.
Interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(2 BE)
g)
Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
C:=„Ein zufällig ausgewählter Prüfling benötigt genau $45$ Minuten“
D:=„Ein zufällig ausgewählter Prüfling benötigt höchstens $35$ Minuten“
(4 BE)
#standardabweichung#wahrscheinlichkeit#erwartungswert#binomialverteilung
2.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $L(-1\;|\;0\;|\;3)$ und $M_k(k|k|k)$ mit $k\in\mathbb{R}$ gegeben. Alle Punkte $M_k$ liegen auf einer Geraden $g$.
a)
Ermittle alle Werte von $k$ so, dass der Abstand der Punkte $L$ und $M_k$ $5$ Längeneinheiten beträgt.
(3 BE)
b)
Bestimme $k$ so, dass $L$ und $M_k$ den minimalen Abstand besitzen. Gib diesen Abstand an.
(5 BE)
c)
Berechne die Größe des Schnittwinkels von $g$ mit der $xy$-Ebene.
(3 BE)
d)
Der Punkt $L$ wird an der Gerade $g$ gespiegelt. Ermittle die Koordinaten des Bildpunktes $L'$.
(4 BE)
#schnittwinkel#abstand#spiegelung
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen TI
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Aufgabe C2
Abb. 1: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ D: Binomial Pdf / E: Binomial CDf
Aufgabe C2
Abb. 1: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ D: Binomial Pdf / E: Binomial CDf
Aufgabe C2
Abb. 2: Ergebnisse
Aufgabe C2
Abb. 2: Ergebnisse
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt $P(A)=9,9\;\%$ und die für $B$ $P(B)=75,7\;\%$.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Für den Erwartungswert $E(x)$ und die Standardabweichung $\sigma$ gilt:
$E(x)=0,363\cdot 50=18,15 \approx 18$
$\sigma=\sqrt{50 \cdot 0,363 \cdot 0,637}\approx 3,4$
Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lässt sich mit dem Taschenrechner berechnen, dazu lässt sich der $\text{binomialcdf}$-Befehl verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} P(15\leq X \leq 21 )&\approx& 0,6969 &\quad \scriptsize \\[5pt] P(15\leq X \leq 21 )&=&69,69\;\% \end{array}$
Die zugehörige Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $P=69,7\;\%$.
Alternativer Lösungsweg:
Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ kann durch eine Normalverteilung angenähert werden, wenn $n\cdot p (1-p)>9$ gilt.
$50 \cdot 0,363 (1-0,363)=11,56 >9$
Also gilt:
$P(\mu - 1 \cdot \sigma \leq Y \leq \mu + 1\cdot \sigma) \approx 0,683 $
Die zugehörige Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $P=68,3\;\%$
c)
$\blacktriangleright$ Fehler $\boldsymbol{1.}$ Art berechnen und Sachzusammenhang erklären
Der Fehler $1.$ Art lässt sich mit dem Taschenrechner bestimmen. Die Zufallsvariable $Y$ ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt und beschreibt die Anzahl der nicht bestandenen Prüfungen. Dazu kann der $\text{binomialcdf}$-Befehl verwendet werden. Es ist $P(y\leq30)$ gesucht:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=&P(Y\leq 30) &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] \alpha&\approx& 0,113 \end{array}$
Der Fehler $1.$ Art beträgt $\alpha=0,113$.
Der Fehler $1.$ Art bedeutet, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Im Sachzusammehanag wird er begangen, weil die Inhaberin der Fahrschule der Meinung ist, dass die Durchfallquote in ihrer Fahrschule geringer als die in Thüringen ist. Dies ist aber nicht der Fall.
d)
$\blacktriangleright$ Fehler $\boldsymbol{2.}$ Art berechnen und Entwicklung erklären
Der Fehler 2. Art sagt aus, dass die Nullhypothese fälschlicherweise bestätigt wird, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist. Die Zufallsvariable $Y$ ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt und beschreibt die Anzahl der nicht bestandenen Prüfungen.
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&1-P(Y\leq30) &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS} \\[5pt] \beta&\approx& 0,104 \end{array}$
Der Fehler $2.$ Art beträgt $\beta=0,104$.
Durch Einsetzen verschiedener Werte für $p_1$ lässt sich erkennen, dass der Wert für $\beta$ größer wird, wenn die Differenz von $p_1$ und $p_0$ kleiner wird.
e)
$\blacktriangleright$ Entscheidungsregeln formulieren
Betrachtet wird die Zufallsgröße $K$, die die Anzahl der nicht bestandenen Prüfungen unter $100$ Prüflingen beschreibt. Diese kann aus gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern $n=100$ und unbekanntem $p.$ Laut Aufgabenstellung ist die zu überprüfende Nullhypothese :
$H_0: p \geq 0,28$
Das Signifikanzniveau gibt an, dass die Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ fälschlicherweise abgelehnt werden soll. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, das folgende Ungleichung gerade noch erfüllt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq k)&\leq& 0,05 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq 27)&\approx& 0,0316 \\[5pt] P(X\leq 28)&\approx& 0,0504 \end{array}$
Der Annahmebereich der Nullhypothese ergibt sich also zu $A=[0,…,27].$ Die Entscheidungsregeln für einen Fehler $1.$ Art, der höchstens $5\;\%$ beträgt, lassen sich bestimmen, indem ein $k$ gefunden wird, das die Bedingung erfüllt. Durch systematisches Ausprobieren lässt sich dieses $k$ mit dem Taschenrechner bestimmen.
Für $k=27$ ist der Fehler kleiner $5\;\%$ und die Bedingung somit erfüllt.
f)
$\blacktriangleright$ Wert interpretieren
$\phi(t)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Teilnehmer genau $t$ Minuten für die Prüfung benötigt. Der Flächeninhalt unter dem Graphen von $\phi$ für $t\leq 40$ ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten für alle $t$ bis $t=40$. Er gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Teilnehmer höchstens $40$ Minuten für die Prüfung benötigt. Bis zum Zeitpunkt $t=40$ Minuten haben bereits $16\;\%$ der Teilnehmer die Prüfung abgegeben.
g)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
In der Abbildung ist eine Normalverteilung dargestellt, mit $\sigma=5$ Minuten und $\mu=45$ Minuten. Die Zufallsvariable $Z$ ist normalverteilt.
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&P(Z=45) &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] &\approx& 0,0798\quad \scriptsize \\[5pt] &=&7,98\;\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&P(Z\leq 35) &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] &\approx& 0,0228\quad \scriptsize \\[5pt] &=&2,28\;\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für $C$ beträgt $P(C)=7,98\;\%$, die für $D$ beträgt $P(D)=2,28\;\%$.
#standardabweichung#wahrscheinlichkeit#binomialverteilung#normalverteilung#erwartungswert
2.
a)
$\blacktriangleright$ Werte von $\boldsymbol{k}$ ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} \overline{LM_k}&=& 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \left | \pmatrix{k- (-1)\\k-0\\k-3}\right |&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS} \\[5pt] \end{array}$
Aufgabe C2
Abb. 5: Lösen mit dem CAS
Aufgabe C2
Abb. 5: Lösen mit dem CAS
Für $k=3$ und $k=\frac{-5}{3}$ haben die Punkte $L$ und $M_k$ einen Abstand von $5\;\text{LE}$.
b)
$\blacktriangleright$ Werte für $\boldsymbol{k}$ für minimalen Abstand bestimmen
Der Abstand zwischen den Punkten, kann mit der Funktion $f(k)$ dargestellt werden.
$f(k)=\left|\overline{LM_k}\right|=\sqrt{3k^2-4k+10}$
Mit dem notwendigen Kriterium $f'(x)=0$ für lokale Extremstellen und dem CAS ergibt sich:
Aufgabe C2
Abb. 6: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Aufgabe C2
Abb. 6: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Der minimale Abstand der Punkte beträgt ca. $2,9\;\text{LE}$.
c)
$\blacktriangleright$ Schnittwinkel berechnen
Die Punktmenge $M_k$ liegt auf der Geraden $g$.
$\overrightarrow{OM_k}=\pmatrix{k\\k\\k}=k\cdot \pmatrix{1\\1\\}$
Also kann $g$ wie folgt dargestellt werden:
$g:\overrightarrow{x}=k\cdot \pmatrix{1\\1\\1}$
Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene lautet $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}$.
Mit der Formel für den Schnittwinkel einer Ebene mit einer Geraden folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \circ\pmatrix{1\\1\\1}\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\dfrac{0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1}{1\cdot \sqrt{3}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\dfrac{1}{ \sqrt{3}} &\quad \scriptsize \;\mid \text{sin}^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{ \sqrt{3}}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=& 35,26° \end{array}$
Der Schnittwinkel von $g$ und der $xy$-Ebene beträgt ca. $35,264°$.
d)
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Bildpunktes bestimmen
Der allgemeine Geradenpunkt der Geraden $g$ lautet $G(t\;|\;t\;|\;t)$.
Damit $G$ der Lotfußpunkt zu $L$ ist, der Vektor $\overrightarrow{LG}$ also senkrecht auf dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Gerade $g$ steht, muss ein passender Parameter $t$ bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{LG}\circ \overrightarrow{u}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pmatrix{t-(-1)\\t-0\\t-3}\circ \pmatrix{1\\1\\1}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pmatrix{t+1\\t\\t-3} \circ \pmatrix{1\\1\\1}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (1+t)\cdot 1 +(t)\cdot 1+ (t-3)\cdot 1&=& 0\quad \scriptsize \\[5pt] 3t-2&=& 0\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 3t&=& 2\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] t&=& \frac{2}{3}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Geradenpunkt mit $t=\frac{2}{3}$ lautet $G=\left(\frac{2}{3}\;|\;\frac{2}{3}\;|\;\frac{2}{3}\right)$.
Den Bildpunkt erhält man über die Beziehung:
$\begin{array}[t]{rll} L'&=& \overrightarrow{OL}+2\overrightarrow{LG}&\quad \scriptsize \\[5pt] L'&=& \pmatrix{-1\\0\\3}+2\pmatrix{\frac{2}{3}-1\\ \frac{2}{3}+0\\\frac{2}{3}+3}&\quad \scriptsize \\[5pt] L'&=& \pmatrix{\frac{7}{3}\\ \frac{4}{3}\\ \frac{-5}{3}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Bildpunktes $L'$ lauten $L'\left(\frac{7}{3}\;|\;\frac{4}{3}\;|\;\frac{-5}{3}\right)$.
#abstand#geradengleichung#schnittwinkel#spiegelachse
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der Teilnehmer unter $50$ Teilnehmern beschreibt, die die Prüfung bestehen, ist laut Aufgabenstellung binomialverteilt. Für die zugehörigen Parameter gilt $n=50$ und $p=0,637$.
B:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(x\geq 30) &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] P(B)&\approx& 0,757 &\quad \scriptsize \\[5pt] P(B)&=& 75,7\,\% \end{array}$
Aufgabe C2
Abb. 2: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C2
Abb. 2: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt $P(A)=9,9\;\%$ und die für $B$ $P(B)=75,7\;\%$.
b)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Aufgabe C2
Abb. 3: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C2
Abb. 3: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
c)
$\blacktriangleright$ Fehler $\boldsymbol{1.}$ Art berechnen und Sachzusammenhang erklären
Aufgabe C2
Abb. 4: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C2
Abb. 4: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
d)
$\blacktriangleright$ Fehler $\boldsymbol{2.}$ Art berechnen und Entwicklung erklären
Aufgabe C2
Abb. 5: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C2
Abb. 5: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
e)
$\blacktriangleright$ Entscheidungsregeln formulieren
Aufgabe C2
Abb. 6: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Aufgabe C2
Abb. 6: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Der Annahmebereich der Nullhypothese ergibt sich also zu $A=[0,…,27].$ Die Entscheidungsregeln für einen Fehler $1.$ Art, der höchstens $5\;\%$ beträgt, lassen sich bestimmen, indem ein $k$ gefunden wird, das die Bedingung erfüllt. Durch systematisches Ausprobieren lässt sich dieses $k$ mit dem Taschenrechner bestimmen.
Für $k=27$ ist der Fehler kleiner $5\;\%$ und die Bedingung somit erfüllt.
f)
$\blacktriangleright$ Wert interpretieren
$\phi(t)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Teilnehmer genau $t$ Minuten für die Prüfung benötigt. Der Flächeninhalt unter dem Graphen von $\phi$ für $t\leq 40$ ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten für alle $t$ bis $t=40$. Er gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Teilnehmer höchstens $40$ Minuten für die Prüfung benötigt. Bis zum Zeitpunkt $t=40$ Minuten haben bereits $16\;\%$ der Teilnehmer die Prüfung abgegeben.
g)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
In der Abbildung ist eine Normalverteilung dargestellt, mit $\sigma=5$ Minuten und $\mu=45$ Minuten. Die Zufallsvariable $Z$ ist normalverteilt.
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&P(Z=45) &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] P(C)&\approx& 0,0797\quad \scriptsize \\[5pt] P(C)&=&7,97\;\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&P(Z=35) &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] P(C)&\approx& 0,0228\quad \scriptsize \\[5pt] P(C)&=&2,28\;\% \end{array}$
Aufgabe C2
Abb. 8: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Fortlaufend $\rightarrow$ normCDF
Aufgabe C2
Abb. 8: Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Fortlaufend $\rightarrow$ normCDF
Die Wahrscheinlichkeit für $C$ beträgt $P(C)=7,97\;\%$, die für $D$ beträgt $P(D)=2,28\;\%$.
#wahrscheinlichkeit#standardabweichung#binomialverteilung#normalverteilung#erwartungswert
2.
a)
$\blacktriangleright$ Werte von $\boldsymbol{k}$ ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} \overline{LM_k}&=& 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \left | \pmatrix{k- (-1)\\k-0\\k-3}\right |&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS} \\[5pt] \end{array}$
Für $k=3$ und $k=\frac{-5}{3}$ haben die Punkte $L$ und $M_k$ einen Abstand von $5\;\text{LE}$.
b)
$\blacktriangleright$ Werte für $\boldsymbol{k}$ für minimalen Abstand bestimmen
c)
$\blacktriangleright$ Schnittwinkel berechnen
Die Punktmenge $M_k$ liegt auf der Geraden $g$.
$\overrightarrow{OM_k}=\pmatrix{k\\k\\k}=k\cdot \pmatrix{1\\1\\}$
Also kann $g$ wie folgt dargestellt werden:
$g:\overrightarrow{x}=k\cdot \pmatrix{1\\1\\1}$
Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene lautet $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}$.
Mit der Formel für den Schnittwinkel einer Ebene mit einer Geraden folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \circ\pmatrix{1\\1\\1}\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\dfrac{0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1}{1\cdot \sqrt{3}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\dfrac{1}{ \sqrt{3}} &\quad \scriptsize \;\mid \text{sin}^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{ \sqrt{3}}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=& 35,26° \end{array}$
Der Schnittwinkel von $g$ und der $xy$-Ebene beträgt ca. $35,264°$.
d)
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Bildpunktes bestimmen
Der allgemeine Geradenpunkt der Geraden $g$ lautet $G(t\;|\;t\;|\;t)$.
Damit $G$ der Lotfußpunkt zu $L$ ist, der Vektor $\overrightarrow{LG}$ also senkrecht auf dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Gerade $g$ steht, muss ein passender Parameter $t$ bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{LG}\circ \overrightarrow{u}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pmatrix{t-(-1)\\t-0\\t-3}\circ \pmatrix{1\\1\\1}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pmatrix{t+1\\t\\t-3} \circ \pmatrix{1\\1\\1}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (1+t)\cdot 1 +(t)\cdot 1+ (t-3)\cdot 1&=& 0\quad \scriptsize \\[5pt] 3t-2&=& 0\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 3t&=& 2\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] t&=& \frac{2}{3}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Geradenpunkt mit $t=\frac{2}{3}$ lautet $G=\left(\frac{2}{3}\;|\;\frac{2}{3}\;|\;\frac{2}{3}\right)$.
Den Bildpunkt erhält man über die Beziehung:
$\begin{array}[t]{rll} L'&=& \overrightarrow{OL}+2\overrightarrow{LG}&\quad \scriptsize \\[5pt] L'&=& \pmatrix{-1\\0\\3}+2\pmatrix{\frac{2}{3}-1\\ \frac{2}{3}+0\\\frac{2}{3}+3}&\quad \scriptsize \\[5pt] L'&=& \pmatrix{\frac{7}{3}\\ \frac{4}{3}\\ \frac{-5}{3}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Bildpunktes $L'$ lauten $L'\left(\frac{7}{3}\;|\;\frac{4}{3}\;|\;\frac{-5}{3}\right)$.
#abstand#schnittwinkel#spiegelachse#geradengleichung
Bildnachweise [nach oben]
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