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Aufgabe C1

Aufgaben
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#zentraleraufgabenpool#pyramide
1.
a)
Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von $S:$
$\pmatrix{0\\0\\15}+r\cdot \pmatrix{-5\\5\\-15} = \pmatrix{0\\30\\15} + s\cdot \pmatrix{-5\\-5\\-15} \Leftrightarrow r=s=3$
$\pmatrix{0\\0\\15}+3\cdot \pmatrix{-5\\5\\-15} = \pmatrix{-15\\15\\-30}$
d.h. $S(-15\mid 15\mid -30)$
Erläutere das dargestellte Vorgehen.
(4 BE)
$\,$
b)
Weise nach, dass die Bodenfläche der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.
(3 BE)
#rechtwinkligesdreieck
$\,$
c)
Berechne für das Dreieck $DEF$ die Größe des Innenwinkels bei $E$ sowie die Länge der Höhe $h$ zur Seite $\overline{EF}.$
(4 BE)
$\,$
d)
Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die für $100\,\text{m}^3$ Rauminhalt eine elektrische Leistung von $0,8$ Kilowatt benötigt.
Weise nach, dass für den Betrieb der Anlage eine Leistung von $25$ Kilowatt ausreichend ist.
(4 BE)
$\,$
e)
Weise nach, dass die Gerade $AG$ und die Ebene, in der das Dreieck $DEF$ liegt, sich im Punkt $R\left(-\frac{50}{7}\mid \frac{50}{7}\mid 15\right)$ schneiden.
(3 BE)
$\,$
f)
An einer Metallstange, die durch die Strecke $\overline{RG}$ dargestellt wird, ist ein Scheinwerfer befestigt, dessen Größe vernachlässigt werden soll. Der Scheinwerfer beleuchtet aus einer Entfernung von $5\,\text{m}$ diejenige Wand, die im Modell durch das Dreieck $EFG$ dargestellt wird.
Berechne die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.
(7 BE)
2.
$\,$
a)
Berechne den „Umsatz an Kaffee“ sowie den „Umsatz an Süßwaren und Eiscreme“ in Euro für 2015 in Deutschland.
(2 BE)
$\,$
Der Inhaber eines Eine-Welt-Ladens möchte sein Sortiment den aktuellen Kundenwünschen anpassen und beobachtet das Kaufverhalten seiner Kunden. Er geht zunächst davon aus, dass sich die Anteile der umsatzstärksten Produkte auf die Anteile der Käufer der jeweiligen Produkte übertragen lassen.
$\,$
b)
Nutze die Grafik und berechne die Wahrscheinlihckeit folgender Ereignisse unter Annahme des Modells der Binomialverteilung:
„Mindestens $40$ der nächsten $150$ Kunden kaufen Kaffee.“
„Mehr als ein Zehntel der nächsten $150$ Kunden kaufen Textilien.“
(4 BE)
#binomialverteilung
$\,$
c)
Beschreibe unter Verwendung der Grafik ein Ereignis $C,$ dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term:
$P(C)= 1-(10\cdot 0,07^1\cdot 0,93^9+0,93^{10})$
$P(C)= 1-(10\cdot 0,07^1\cdot 0,93^9+0,93^{10})$
berechnet werden kann.
(3 BE)
$\,$
Der Inhaber zählt unter den $150$ Kunden $75$ Kaffeekäufer und vermutet, dass die Hälfte seiner Kunden Kaffee kauft. Dies soll mittels eines zweiseitigen Signifikanztests untersucht werden. Dazu wird das Kaufverhalten der nächsten $200$ Kunden beobachtet.
#hypothesentest
$\,$
d)
Beschreibe die Bedeutung des $\alpha$-Fehlers (Fehler 1. Art) im Sachzusammenhang.
(2 BE)
$\,$
e)
Ermittle den Verwerfungsbereich für diesen Test zu einem Signifikanzniveau von $5\,\%.$ Formuliere die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang.
(4 BE)
#signifikanzniveau
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Vorgehen beschreiben
Der Punkt $S$ ist der Schnittpunkt der drei Geraden durch die Punkte $F$ und $C,$ $D$ und $A,$ $E$ und $B.$
Es genügt den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. In der dargestellten Rechnung werden die beiden Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte $D$ und $A$ mit dem Geradenparameter $r$ und durch die Punkte $E$ und $B$ mit dem Geradenparameter $s$ gleichgesetzt.
Diese Gleichung liefert eine Lösung für $r$ und $s.$ Der Wert für $r$ wird in die Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $A$ eingesetzt und liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts.
Daraus erhält man die Koordinaten des Punkts $S.$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Bodenfläche nicht rechtwinklig ist
Die Bodenfläche $DEF$ ist rechtwinklig, wenn es zwei Verbindungsvektoren der Eckpunkte gibt, die senkrecht aufeinander stehen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}&=& \pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\5\\0} \\[5pt] &=& 0\cdot (-25) + 30\cdot 5 + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& 150 \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{EF}&=& \pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \\[5pt] &=& 0\cdot (-25) + 30\cdot (-25) + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& -750 \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DF}\circ \overrightarrow{EF}&=& \pmatrix{-25\\5\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \\[5pt] &=& (-25)\cdot (-25) + 5\cdot (-25) + 0\cdot 0 \\[5pt] &=& 500 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}& \neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{EF}&\neq 0 \\[10pt] \overrightarrow{DF}\circ \overrightarrow{EF}& \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
Die Bodenfläche $DEF$ ist also nicht rechtwinklig.
#skalarprodukt
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Größe des Innenwinkels bestimmen
Der Innenwinkel des Dreiecks $DEF$ entspricht dem Schnittwinkel der beiden Geraden durch die Punkte $E$ und $F$ und durch $E$ und $D.$ Zugehörige Richtungsvektoren sind $\overrightarrow{DE}$ und $\overrightarrow{EF}.$ Mit der entsprechenden Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \epsilon &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{DE} \circ \overrightarrow{EF} \right|}{\left| \overrightarrow{DE}\right| \cdot \left|\overrightarrow{EF}\right|} \\[5pt] \cos \epsilon &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \right|}{\left| \pmatrix{0\\30\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{-25\\-25\\0} \right|} \\[5pt] \cos \epsilon &=& \dfrac{750}{\sqrt{0^2 +30^2 +0^2 }\cdot \sqrt{(-25)^2 +(-25)^2 +0^2} } \\[5pt] \cos \epsilon&=& \dfrac{750}{30\cdot \sqrt{1.250}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \epsilon&=& 45^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \epsilon= 45^{\circ} $
Der Innenwinkel des Dreiecks $DEF$ bei $E$ ist $45^{\circ}$ groß.
$\blacktriangleright$  Länge der Höhe bestimmen
Bezeichne mit $P$ den Punkt, in dem die Höhe $h$ auf die Seite $\overline{EF}$ trifft.
Zwei der Innenwinkel des Dreiecks $DEP$ sind bekannt:
  • Der Winkel $\epsilon$ bei $E$ hat die Größe $45^{\circ}.$
  • Der Innenwinkel bei $P$ beträgt aufgrund der Eigenschaften der Höhe $90^{\circ}.$
Der dritte Winkel $\alpha$ bei $D$ muss also aufgrund der Winkelsumme $180^{\circ}$ eines Dreiecks folgende Größe haben:
$\alpha = 180^{\circ} - 90^{\circ}-45^{\circ} = 45^{\circ}$
Die beiden Innenwinkel bei $E$ und $D$ sind also gleichgroß, sodass es sich bei $DEP$ um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. Dadurch sind auch die beiden Seiten $\overline{PE}$ und $\overline{PD}$ gleich lang: $h= \overline{PE}=\overline{PD}.$
Die Länge der Hypotenuse $\overline{DE}$ kannst du mit dem Vektorbetrag des zugehörigen Vebindungsvektors berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DE}&=& \left| \overrightarrow{DE}\right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{ 0\\30\\0}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+30^2 +0^2} \\[5pt] &=& 30 \end{array}$
$ \overline{DE} = 30 $
Mit dem Satz des Pythagoras folgt dann aufgrund der Gleichschenkligkeit:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DE}&=& h^2+h^2 \\[5pt] 30^2&=& 2\cdot h^2&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 450&=& h^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 15\sqrt{2}&=& h \end{array}$
$ h =15\sqrt{2} $
Die Höhe $h$ ist $15\sqrt{2}$ Längeneinheiten lang.
#schnittwinkel#vektorbetrag
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Ausreichende Leistung nachweisen
Die obere Etage hat die Form einer Pyramide. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Abstand von $G$ zur Ebene durch $DEF.$
1. Schritt: Höhe bestimmen
Die drei Punkte $D,$ $E$ und $F$ besitzen die gleiche $x_3$-Koordinate. Da eine Ebene durch drei unterschiedliche Punkte bereits vollständig bestimmt ist, müssen alle Punkte in der Ebene die gleiche $x_3$-Koordinate besitzen. Bei der Ebene durch die drei Punkte $D,$ $E$ und $F$ handelt es sich also um eine zur $x_1x_2$-Ebene parallele Ebene.
Der Abstand eines Punkts zu dieser Ebene kann daher über die Differenz der $x_3$-Koordinaten berechnet werden. Die $x_3$-Koordinate von $G$ ist $35,$ die $x_3$-Koordinate von $DEF$ ist $15.$
$d = 35 -15 = 20$
Der Abstand von $G$ zur Ebene durch $DEF$ beträgt also $20\,\text{LE}.$
$h_{\text{Pyramide}} = d = 20\,\text{m} $
2. Schritt: Inhalt der Bodenfläche berechnen
Die Bodenfläche der oberen Etage ist das Dreieck $DEF,$ dessen Höhe zur Seite $\overline{EF}$ du bereits berechnet hast:
$h = 15\sqrt{2}\,\text{m}$
Die Länge der Seite $\overline{EF}$ kannst du wieder über den Vektorbetrag berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{EF}&=& \left|\overrightarrow{EF} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-25\\-25\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-25)^2 +(-25)^2 + 0^2} \\[5pt] &=& 25\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{EF} =25\sqrt{2} $
Für den Flächeninhalt der Bodenfläche gilt daher:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \frac{1}{2}\cdot 15\sqrt{2}\,\text{m} \cdot 25\sqrt{2}\,\text{m} \\[5pt] &=& 375\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A= 375\,\text{m}^2 $
3. Schritt: Volumen berechnen
Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{1}{3}\cdot h_{\text{Pyramide}} \cdot A \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 20\,\text{m} \cdot 375\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 2.500\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V = 2.500\,\text{m}^3$
Das Volumen der oberen Etage beträgt $2.500\,\text{m}^3.$ Es werden demnach $25\cdot 0,8 $ Kilowatt benötigt. $25$ Kilowatt reichen also aus.
#vektorbetrag
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt nachweisen
Die Gerade $AG$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} AG:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AG} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\5\\0} + r\cdot \pmatrix{-5\\5\\35} \end{array}$
$ AG:\, … $
Da das Dreieck $DEF$ in einer zur $x_1x_2$-Ebene parallelen Ebene liegt und die Punkte $D,$ $E$ und $F$ alle die $x_3$-Koordinate $15$ haben, kann die Ebene $E,$ in der das Dreieck $DEF$ liegt, durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$E:\, x_3 = 15$
Die $x_3$-Koordinate der Punkte auf der Geraden $AG$ ist $35r.$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x_3&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;x_3 = 35r \\[5pt] 35r&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;:35 \\[5pt] r&=& \frac{3}{7} \end{array}$
$ r = \frac{3}{7} $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts $R:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=& \pmatrix{-5\\5\\0} + \frac{3}{7}\cdot \pmatrix{-5\\5\\35} \\[5pt] &=& \pmatrix{-\frac{50}{7}\\ \frac{50}{7}\\ 15} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OR} = \pmatrix{-\frac{50}{7}\\ \frac{50}{7}\\ 15} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $AG$ und der Ebene, in der das Dreieck $DEF$ liegt, lauten $R\left(-\frac{50}{7}\mid \frac{50}{7}\mid 15\right).$
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Position des Scheinwerfers berechnen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Strecke $\overline{RG}$ kann mit $t\in[0;1]$ durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OR} + t\cdot \overrightarrow{RG} \\[5pt] &=& \pmatrix{-\frac{50}{7}\\ \frac{50}{7}\\15} + t\cdot \pmatrix{-\frac{20}{7}\\ \frac{20}{7}\\ 20} \\[5pt] &=& \pmatrix{-\frac{50}{7}-\frac{20}{7}t \\ \frac{50}{7}+ \frac{20}{7}t \\15+20t} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{x} = … $
Der Punkt $Q,$ in dem sich der Scheinwerfer befindet, hat also Koordinaten der Form
$\left(-\frac{50}{7}-\frac{20}{7}t \mid \frac{50}{7}+ \frac{20}{7}t \mid 15+20t\right)$ mit $t\in [0;1].$
$\left(-\frac{50}{7}-\frac{20}{7}t \mid \frac{50}{7}+ \frac{20}{7}t \mid 15+20t\right)$ mit $t\in [0;1].$
Der Punkt $Q$ soll nun von der Ebene $U,$ in der das Dreieck $EFG$ liegt, einen Abstand von $5\,\text{LE}$ haben.
2. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Bestimme eine Ebenengleichung von $U$ in der Hesseschen Normalenform, da du diese für den Abstand verwenden kannst.
Ein Normalenvektor der Ebene, in der $EFG$ liegt, lässt sich mithilfe des Kreuzprodukts berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EG} \\[5pt] &=& \pmatrix{-25\\-25\\0} \times \pmatrix{-10\\-20\\20} \\[5pt] &=& \pmatrix{-25\cdot 20 - 0\cdot (-20) \\ 0\cdot (-10) - (-25)\cdot 20 \\ (-25)\cdot (-20) - (-25)\cdot (-10)} \\[5pt] &=& \pmatrix{-500 \\ 500 \\ 250} \\[5pt] &=& 250\cdot \pmatrix{-2\\2\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = 250\cdot \pmatrix{-2\\2\\1} $
Für eine Ebenengleichung in Hessescher Normalenform musst du nun noch eine Punktprobe durchführen:
$\begin{array}[t]{rll} U:\; \dfrac{-2\cdot x +2\cdot y +z-d}{\sqrt{(-2)^2 +2^2 +1^2}}&=& 0\\[5pt] \dfrac{-2\cdot x +2\cdot y +z-d}{3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; E(0\mid 30\mid15) \\[5pt] \dfrac{-2\cdot 0 +2\cdot 30 +15-d}{3}&=& 0 \\[5pt] \dfrac{75-d}{3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] 75-d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+d \\[5pt] 75 &=& d \end{array}$
$ d = 75 $
Eine Ebenengleichung von $U$ in der Hesseschen Normalenform ist also:
$U:\, \dfrac{-2\cdot x +2\cdot y +z-75}{3} = 0$
Der Abstand eines Punkts $P(x\mid y\mid z)$ von $U$ ergibt sich daher zu:
$d(P,U) = \dfrac{\left|-2\cdot x +2\cdot y +z-75\right|}{3}$
$d(P,U) = \frac{\left|-2\cdot x +2\cdot y +z-75\right|}{3}$
3. Schritt: Einsetzen
Setze die Koordinaten in den Term für den Abstand ein und setze diesen mit $5$ gleich:
$\begin{array}[t]{rll} d(Q,U)&=& 5 \\[5pt] \dfrac{\left|-2\cdot \left(-\frac{50}{7}-\frac{20}{7}t \right)+2\cdot \left( \frac{50}{7}+ \frac{20}{7}t\right) + 15+20t -75\right|}{3}&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] \left|-\frac{220}{7}+\frac{220}{7}t\right| &=& 15 &\quad \scriptsize \mid\; : \frac{220}{7}\\[5pt] \left|-1+t\right| &=& \frac{21}{44} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(Q,U)&=& 5 \\[5pt] …\\[5pt] \left|-1+t\right| &=& \frac{21}{44} \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung kannst du beispielsweise mithilfe des solve-Befehls deines CAS lösen und erhältst:
$t_1 = \frac{23}{44}$ und $t_2 = \frac{65}{44} $
Die zweite Lösung ist allerdings größer als $1.$ Der Punkt $Q$ würde dann nicht mehr auf der Strecke $\overline{RG}$ liegen. Für die Koordinaten von $Q$ ergibt sich dann:
$Q\left(-\frac{50}{7}-\frac{20}{7}\cdot \frac{23}{44} \mid \frac{50}{7}+ \frac{20}{7}\cdot \frac{23}{44} \mid 15+20\cdot \frac{23}{44}\right) = Q\left(-\frac{95}{11} \mid \frac{95}{11}\mid \frac{280}{11}\right)$
$ Q\left(-\frac{95}{11} \mid \frac{95}{11}\mid \frac{280}{11}\right) $
#kreuzprodukt#hesseschenormalform
2.
a)
$\blacktriangleright$  Umsatz berechnen
Im Jahr 2015 wurden insgesamt $978$ Millionen Euro Umsatz mit Produkten des Siegels gemacht. Davon sind laut Diagramm $37\,\%$ auf Kaffee angefallen:
$0,37\cdot 978 = 361,86$
$361,86$ Millionen Euro Umsatz wurden 2015 mit Kaffee gemacht. Von den $978$ Millionen Euro Umsatz stammen $2\,\% +8\,\% =10\,\%$ aus Süßwaren und Eiscreme:
$0,1\cdot 978 = 97,8$
$97,8$ Millionen Euro Umsatz wurden 2015 mit Süßwaren und Eiscreme gemacht.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der nächsten $150$ Kunden beschreibt, die Kaffee kaufen. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=150$ und $p=0,37$ betrachtet werden. Verwende zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten dein CAS:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X\geq 40) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 39) &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &\approx& 0,9972 \\[10pt] P(B)&=& P(X > 0,1\cdot 150) \\[5pt] &=& P(X > 15) \\[5pt] &=& 1- P(X \leq 15) \\[5pt] &\approx& 0,0613 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx& 0,9972 \\[10pt] P(B)&\approx& 0,0613 \end{array}$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
$0,07$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Kunde Textilien kauft. Der Term in Klammern ist daher die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $10$ Kunden keiner oder nur einer Textilien kauft. Der gesamte Term beschreibt daher die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $10$ Kunden mindestens $2$ Textilien kaufen.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang beschreiben
Der $\alpha$-Fehler gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Hypothese verworfen wird, obwohl sie eigentlich wahr ist. Im Sachzusammenhang gibt er also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Inhaber seine Hypothese „Die Hälfte meiner Kunden kauft Kaffee.“ verwirft, obwohl sie wahr ist.
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Verwerfungsbereich ermitteln und Entscheidungsregel formulieren
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der Kunden unter $200$ Kunden beschreibt, die Kaffee kaufen. Diese kann als binomialverteilt mit $n=200$ angenommen werden. Im Falle der Nullhypothese ist $p=0,5.$ Es gilt dann:
  • $\mu_Y= 200 \cdot 0,5 = 100$
  • $\sigma_Y = \sqrt{200\cdot 0,5\cdot 0,5} = \sqrt{50} > 3$
    $ \sigma_Y > 3 $
Du kannst also die Sigma-Regeln verwenden. Für den Annahmebereich $A=[a;b],$ der symmetrisch um den Erwartungswert liegt, soll gelten:
$P(a\leq Y \leq b) \geq 0,95 $
Mithilfe der Sigma-Regeln erhältst du:
$P(\mu_Y - 1,96\cdot \sigma_Y \leq Y \leq \mu_Y + 1,96\cdot \sigma_Y ) \approx 0,95$
$ P(\mu_Y-1,96\cdot \sigma_Y …) \approx 0,95 $
Es ist also:
$\begin{array}[t]{rll} a&\approx& \mu_Y - 1,96\cdot \sigma_Y \\[5pt] &=& 100 -1,96\cdot \sqrt{50} \\[5pt] &\approx& 86,14 \\[10pt] b&\approx& \mu_Y + 1,96\cdot \sigma_Y \\[5pt] &=& 100 +1,96\cdot \sqrt{50} \\[5pt] &\approx& 113,86 \\[10pt] \end{array}$
Damit die Wahrscheinlichkeit $P(Y\notin A)$ höchstens $5\,\%,$ wie durch das Signifikanzniveau angegeben, beträgt, solltest du $a$ abrunden und $b$ aufrunden:
$a\approx 86,$ $b\approx 114.$
Der Annahmebereich ist daher $A= \left\{86;87;…;113;114\right\}.$ Der Verwerfungsbereich ist dann:
$V= \{0;1;…;84;85\} \cup \{115;116;…;199;200\}.$
$\begin{array}[t]{rll} V&= \{0;1;…;84;85\} \\[5pt] &\cup \{115;116;…;199;200\} \end{array}$
Folgende Entscheidungsregel ist daher möglich:
Die Hypothese „Die Hälfte der Kunden kauft Kaffee.“ wird abgelehnt, wenn weniger als $86$ oder mehr als $114$ Kunden Kaffee kaufen.
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