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Aufgabe B1

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{9}{500} \cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} $ $(x \in \mathbb{R})$.
a)
Berechne die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und des Punktes mit dem größten Anstieg.
(4P)
#extrempunkt
b)
Untersuche, ob auf dem Graphen von $f$ Punkte existieren, die gleichweit von der Geraden $x=40$ entfernt sind und in denen sich die Anstiege nur durch das Vorzeichen unterscheiden.
(2P)
Eine Familie möchte auf ihrem Grundstück ein Wohnhaus errichten. Der Grundriss des Grundstücks ist ein Rechteck.
Die Höhenprofillinie längs des Grundstücks kann näherungsweise durch die Funktion $f$ im Intervall $0\leq x\leq 60$ beschrieben werden.
Die Werte von $x$ und $f(x)$ sind Längen in Meter.
#intervall#rechteck
c)
Skizziere die Profillinie in einem Koordinatensystem mit geeignet eingeteilten Achsen.
Gib den größten Anstieg des Geländes in Prozent an.
(3P)
Das Haus soll auf einer waagerechten Fläche errichtet werden. Dazu soll parallel zur linken Grundstücksgrenze eine Mauer errichtet werden. Ausgehend von der Höhe der rechten Grundstücksgrenze wird das Grundstück planiert. Die abgetragene Erde soll rechts der Mauer aufgefüllt werden, so dass eine waagerechte Fläche vom rechten Grundstücksrand bis zur Mauer entsteht.
d)
Veranschauliche den Sachverhalt in deiner Skizze aus Aufgabe c).
Berechne die Größe des zu bewegenden Erdvolumens und die Entfernung der Mauer vom linken Gundstücksrand.
(5P)
#volumen
Gegeben ist für jede reelle Zahl $a$ $(a\neq 0)$ eine Funktion $h_a$ durch $h_a (x)=a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x}$ $(x \in \mathbb{R})$.
Jeder zugehörige Graph besitzt zwei Extrempunkte.
#extrempunkt
e)
Begründe ohne Verwendung der Mittel der Differentialgleichung, dass die x-Koordinaten der Extrempunkte unabhängig von $a$ sind und ein Extrempunkt immer im Ursprung liegt.
(2P)
f)
Gib den Wertebereich von $h_a$ in Abhängigkeit von $a$ an.
(2P)
#wertebereich
g)
Die Graphen der Funktion $s_a$ entstehen durch Spiegelung der Graphen von $h_a$ an der Geraden $y=4$.
Gib eine Gleichung für $s_a$ an.
(2P)
#spiegelung
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Lokalen Extrempunkt bestimmen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem CAS tun, indem du dir den Graphen anzeigen lässt und den Befehl für Extrempunkte verwendest.
$\blacktriangleright$ Punkt mit dem größten Anstieg bestimmen
Da die Funktion nur zwischen den beiden Extrempunken ansteigt, entspricht der Punkt mit dem größten Anstieg dem Wendepunkt zwischen den beiden Extrempunkten. Auch den Wendepunkt kannst du ähnlich wie oben mit dem CAS berechnen.
b)
$\blacktriangleright$ Graph von $\boldsymbol{f}$ auf Punkte, die gleich weit von $\boldsymbol{x=40}$ entfernt sind, untersuchen
Da die beiden Punkte gleich weit von der Geraden $x=40$ entfernt sein sollen, sind die $x$- Koordinaten dieser Punkte:
$x_1=40-x$ und $x_2=40+x$
Außerdem soll die Ableitung an diesen Punkten bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. Deswegen muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$f'(x_1)=-f'(x_2)$
Berechne also die Schnittstellen der beiden Funktionen $f'(40-x)$ und $-f'(40+x)$. Hast du so $x$ berechnet, kannst du dies in $x_1$ und $x_2$ einsetzen und diese wiederum in $f(x)$ einsetzen um auch die $y$-Koordinaten zu bestimmen.
c)
$\blacktriangleright$ Skizze des Höhenprofils erstellen
Du sollst eine Skizze des Höhenprofils in einem geeigneten Koordinatensystem erstellen. Da die Funktion $f$ das Profil im Bereich $0 \le x \le 60$ beschreibt, sollte deine $x$-Achse von $0$ bis $60$ gehen. In Aufgabeteil $a)$ hast du das Maximum von $f$ von $3,9$ bestimmt. Die $y$-Achse sollte deswegen etwas weiter als $4$ reichen.
$\blacktriangleright$ Den größten Anstieg des Geländes bestimmen
Du sollst den größten Anstieg in Prozent angeben. Die Stelle des größten Anstiegs entspricht der Wendestelle. Den Punkt des größten Anstiegs hast du bereits in Aufgabenteil $a)$ bestimmt. Da die Steigung an dieser Stelle dem Wert der Ableitung entspricht, musst du den $x$- Wert der Wendestelle in die Ableitung von $f$ einsetzen.
d)
$\blacktriangleright$Skizze zur Aufgabenstellung erstellen
Als erstes sollst du deine Skizze aus Aufgabenzeil $c)$ so bearbeiten, dass sie alle Veränderungen aus der Aufgabenstellung enthält. Zeichne dazu eine parallele Gerade $g(x)$ zur $x$-Achse, welche sich auf der Höhe der rechten Grundstücksgrenze befindet und dir anzeigt, bis zu welcher Höhe Erde abgetragen wird. Zeichne außerdem die Mauer ein, von welcher du zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht sagen kannst, wo genau sie sich befindet.
$\blacktriangleright$Bewegtes Erdvolumen berechnen
Das Volumen der Erde, die bewegt werden soll berechnest du, indem du den Inhalt der Fläche zwischen der roten Geraden mit $g(x)=f(60)=3,226$ und dem Graphen zu $f$ bestimmst. Die Fläche berechnest du mithilfe des Integrals. Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen von $f$ und $g$. Anschließend musst du dein Ergebnis mit der Breite des Grundstücks, also $20\; \text{m}$ multiplizieren.
$\blacktriangleright$ Abstand der Mauer von der linken Grundstücksgrenze bestimmen
Die abgetragene Erde soll links der Mauer aufgeschüttet werden. Da das Gelände zwischen $x=25$ und $x=60$ bereits die gewünschte Höhe besitzt, wird die Erde nur bis $x=25$ aufgeschüttet. Die Erde, die zum Aufschütten verwendet wird hat ein Volumen von $306\text{m}^3$ oder eine Querschnittsfläche von $15,3\text{m}^2$. Um die Position der Mauer zu bestimmen, löst du mit deinem Taschenrechner folgende Gleichung nach $a$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{a}^{25} (g(x)-f(x))\;\mathrm dx&=& 15,3 \\[5pt] \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$Lage der Extrempunkte begründen
Gegeben ist die Funktion $h_a (x)=a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x}$ $(x \in \mathbb{R})$ mit $a$ $(a\neq 0)$.
Du sollst zuerst begründen, dass die $x$-Koordinaten der Extrempunkte unabhängig von $a$ sind. Überlege dazu, was die Multiplikation mit einer Konstanten anschaulich für den Graphen der Funktion bedeutet.
f)
$\blacktriangleright$ Wertebereich von $\boldsymbol{h_a(x)}$ in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ angeben
Da laut Aufgabenstellung $(a\neq 0)$ und $x^2$ sowie die Exponentialfunktion für alle $x$ positiv sind, musst du nur unterscheiden, ob $a$ kleiner oder größer null ist.
Der kleinste Funktionswert entspricht dem $y$-Wert des Minimums. Diesen kannst du in Abhängigkeit von $a$ berechnen:
Gehe dazu wie folgt vor:
Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, h_a'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $h_a''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $h_a''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Da es in dieser Aufgabe nicht relevant ist, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, musst du nur das notwendige Kriterium überprüfen Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $h_a'$
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $h_a'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Berechne die Funktionswerte von $h_a$ an den Extremstellen.
g)
$\blacktriangleright$ Gleichung für $\boldsymbol{s_a}$ angeben
Du sollst die Gleichung von $s_a$ angeben. Der zugehörige Graph entsteht durch Spiegelung des Graphen von $h_a$ an der Geraden $y=4$. Die Spiegelung an einer Geraden, die parallel zur $x$-Achse ist, entspricht einer Spiegelung an der $x$-Achse mit anschließender Verschiebung. Da die Gerade, an der gespiegelt werden soll, die Funktionsgleichung $y=4$ besitzt, musst du zuerst an der $x$-Achse Spiegeln und anschließend um $8$ Einheiten nach oben verschieben.
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Lösungen TI
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a)
$\blacktriangleright$  Lokalen Extrempunkt bestimmen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
$f(x)=\dfrac{9}{500}\cdot x^2 \cdot e^{-\frac{x}{20}}$
Aufgabe B1
Abb. 1: Lokale Extrempunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 1: Lokale Extrempunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
$\blacktriangleright$ Punkt mit dem größten Anstieg bestimmen
Da die Funktion nur zwischen den beiden Extrempunken ansteigt, entspricht der Punkt mit dem größten Anstieg dem Wendepunkt zwischen den beiden Extrempunkten. Auch den Wendepunkt kannst du mit dem CAS berechnen:
Aufgabe B1
Abb. 2: Wendepunkt mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 2:Wendepunkt mit dem Taschenrechner bestimmen
#wendepunkt
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f}$ auf Punkte die gleich weit von $\boldsymbol{x=40}$ entfernt sind untersuchen
Da die beiden Punkte gleich weit von der Geraden $x=40$ entfernt sein sollen, sind die $x$- Koordinaten dieser Punkte:
$x_1=40-x$ und $x_2=40+x$
Außerdem soll die Ableitung an diesen Punkten bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. Deswegen muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$f'(x_1)=-f'(x_2)$
Berechne die Ableitung der Funktion mit deinem Taschenrechner:
Aufgabe B1
Abb. 3: Ableitung mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 3: Ableitung mit dem Taschenrechner bestimmen
Gib anschließend die Funktionen $f'(40-x)$ und $-f'(40+x)$ als Funktionen in deinen Taschenrechner ein und bestimme den Schnittpunkt. Den Befehl für die Bestimmung des Schnittpunktes findest du unter:
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt
Du erhältst so den Schnittpunkt $S(38,3 \mid 0,054)$
Aufgabe B1
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Die Punkte mit den $x$-Koordinaten $x_1=40-38,3=1,7$ und $x_2=40+38,3=78,3$ sind gleich weit von der Geraden $x=40$ entfernt und in diesen Punkten unterscheidet sich die Steigung nur durch das Vorzeichen. Berechne als nächstes die $y$-Koordinaten der Punkte.
$f(x_1)=0,0478$
$f(x_2)=2,2$
Die vollständigen Koordinaten der Punkte sind also:
$P_1(1,7 \mid 0,0478)$
$P(78,3 \mid 2,2)$
#schnittpunkt#ableitung
c)
$\blacktriangleright$ Skizze des Höhenprofils erstellen
Du sollst eine Skizze des Höhenprofils in einem geeigneten Koordinatensystem erstellen. Da die Funktion $f$ das Profil im Bereich $0 \le x \le 60$ beschreibt, sollte deine $x$-Achse von $0$ bis $60$ gehen. In Aufgabeteil $a)$ hast du das Maximum von $f$ von $3,9$ bestimmt. Die $y$-Achse sollte deswegen etwas weiter als $4$ reichen.
Im Folgenden siehst du, wie das Schaubild aussehen kann:
Aufgabe B1
Abb. 5: Höhenprofil
Aufgabe B1
Abb. 5: Höhenprofil
$\blacktriangleright$ Den größten Anstieg des Geländes bestimmen
Du sollst den größten Anstieg in Prozent angeben. Die Stelle des größten Anstiegs entspricht der Wendestelle. Den Punkt des größten Anstiegs hast du bereits in Aufgabenteil $a)$ bestimmt. Da die Steigung an dieser Stelle dem Wert der Ableitung entspricht, musst du den $x$- Wert der Wendestelle in die Ableitung von $f$ einsetzen. Die Ableitung hast du in Aufgabenteil $b)$ bestimmt.
$\begin{array}[t]{rll} f'(11,7)&=& \left(\dfrac{9\cdot 11,7}{250}-\dfrac{9 \cdot 11,7^2}{10.000}\right)\cdot e^{-\frac{11,7}{20}} \\[5pt] &\approx& 0,166 \end{array}$
$ f'(11,7) \approx 0,166 $
Der größte Anstieg des Geländes in Prozent ist ca. $16,6\%$.
#intervall#wendepunkt#ableitung#schaubild
d)
$\blacktriangleright$Skizze zur Aufgabenstellung erstellen
Als erstes sollst du deine Skizze aus Aufgabenzeil $c)$ so bearbeiten, dass sie alle Veränderungen aus der Aufgabenstellung enthält. Zeichne dazu eine parallele Gerade $g(x)$ zur $x$-Achse, welche sich auf der Höhe der rechten Grundstücksgrenze befindet und dir anzeigt, bis zu welcher Höhe Erde abgetragen wird. Zeichne außerdem die Mauer ein, von welcher du zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht sagen kannst, wo genau sie sich befindet.
Aufgabe B1
Abb. 6: Lösen der Integralgleichung mit dem Taschenrechner
Aufgabe B1
Abb. 6: Lösen der Integralgleichung mit dem Taschenrechner
$\blacktriangleright$Bewegtes Erdvolumen berechnen
Das Volumen der Erde, die bewegt werden soll berechnest du, indem du den Inhalt der Fläche zwischen der roten Geraden mit $g(x)=f(60)=3,226$ und dem Graphen zu $f$ bestimmst. Die Fläche berechnest du mithilfe des Integrals. Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen von $f$ und $g$. Anschließend musst du dein Ergebnis mit der Breite des Grundstücks, also $20\; \text{m}$ multiplizieren:
Berechne zuerst die Schnittpunkte:
Die obere Integrationsgrenze ist der Schnittpunkt bei $x=60$ um den zweiten Schnittpunkt zu bestimmen kannst du deinen Taschenrechner verwenden. Gebe $g(x)$ als weitere Funktion ein und gehe dann vor, wie in Aufgabenteil $b)$. Du findest so den zweiten Schnittpunkt bei $S(25\mid 3,226)$. Deine untere Integrationsgrenze ist also $25$.
Anschließend kannst die Fläche mit deinem Taschenrechner den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven berechnen.
Gehe wie folgt vor:
menu $\rightarrow$ 6:Graph analysieren $\rightarrow$ 8:Begrenzter Bereich
menu $\rightarrow$ 6:Graph analysieren $\rightarrow$ 8:Begrenzter Bereich
Damit erhältst du folgendes Ergebnis:
Aufgabe B1
Abb. 7: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 7: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven bestimmen
Jetzt wählst du die Integrationsschranken als Grenzen und erhältst damit dem Flächeninhalt $15,3$
Um das Volumen der Erde zu berechnen musst du diesen Flächeninhalt im nächsten Schritt mit der Breite des Grundstücks multiplizieren:
$15,3 \cdot 20=306$
Da alle Angaben in Metern sind, beträgt das Volumen $306\; \text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ Abstand der Mauer von der linken Grundstücksgrenze bestimmen
Die abgetragene Erde soll links der Mauer aufgeschüttet werden. Da das Gelände zwischen $x=25$ und $x=60$ bereits die gewünschte Höhe besitzt, wird die Erde nur bis $x=25$ aufgeschüttet. Die Erde, die zum Aufschütten verwendet wird hat ein Volumen von $306\text{m}^3$ oder eine Querschnittsfläche von $15,3\text{m}^2$. Um die Position der Mauer zu bestimmen, löst du mit deinem Taschenrechner folgende Gleichung nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{a}^{25}(g(x)-f(x))\;\mathrm dx&=& 15,3 \\[5pt] \displaystyle\int_{a}^{25}\left( 3,226-\dfrac{9}{500}\cdot x^2 \cdot e^{\frac{-x}{20}}\right)\;\mathrm dx&=& 15,3 \end{array}$
$ \displaystyle\int_{a}^{25}(g(x)-f(x))\;\mathrm dx= 15,3 $
Verwende dafür den solve-Befehl deines Taschenrechners:
Aufgabe B1
Abb. 8: Untere Integrationsschranke berechnen
Aufgabe B1
Abb. 8: Untere Integrationsschranke berechnen
Du erhältst mehrere Lösungen für $a$. Da die Mauer zwischen dem linken Grundstücksende, also $x=0$ und $x=25$ liegen muss, ist die gesuchte Lösung $a=9,7$. Die Mauer ist also $9,7\text{m}$ von der linken Grundstückgrenze entfernt.
#integral#schnittpunkt
e)
$\blacktriangleright$Lage der Extrempunkte begründen
Gegeben ist die Funktion $h_a (x)=a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x}$ $(x \in \mathbb{R})$ mit $a$ $(a\neq 0)$.
Du sollst zuerst begründen, dass die $x$-Koordinaten der Extrempunkte unabhängig von $a$ sind. Da es sich bei der Multiplikation mit einer Konstanten anschaulich um eine Streckung oder Stauchung der Funktion in $y$-Richtung oder eine Spiegelung an der $x$-Achse handelt, haben alle Extrempunkte die gleichen $x$-Koordinaten und unterscheiden sich nur in der $y$-Koordinate.
Sowohl $x^2$ als auch die Exponentialfunktion sind für alle $x$ positiv. Für $x=0$ nimmt die Funktion unabhängig von $a$ den Wert Null an. Ist $a$ positiv, so ist $h_a(x) \ge 0$ und damit liegt bei $h_a(0)=0$ ein Minimum vor. Ist $a$ negativ, so ist $h_a(x) \le 0$ und damit liegt bei $h_a(0)=0$ ein Maximum vor. Zusammengefasst hat $h_a$ unabhängig von $a$ einen Extrempunkt im Ursprung.
#extrempunkt#exponentialfunktion
f)
$\blacktriangleright$ Wertebereich von $\boldsymbol{h_a(x)}$ in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ angeben
Da laut Aufgabenstellung $(a\neq 0)$ und $x^2$ sowie die Exponentialfunktion für alle $x$ positiv sind, musst du nur unterscheiden, ob $a$ kleiner oder größer null ist.
Fall 1: $a<0$
Die Funktionswerte sind alle kleiner oder gleich Null. Der kleinste Funktionswert entspricht dem $y$-Wert des Minimums. Diesen kannst du in Abhängigkeit von $a$ berechnen:
Gehe dazu wie folgt vor:
Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, h_a'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $h_a''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $h_a''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Da es in dieser Aufgabe nicht relevant ist, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, musst du nur das notwendige Kriterium überprüfen Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $h_a'$
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $h_a'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Berechne die Funktionswerte von $h_a$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} h_a (x)&=& a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} \\[10pt] h_a'(x)&=& a \cdot 2x \cdot e^{- \frac{1}{20}x} + a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} (-\frac{1}{20}) \\[10pt] \end{array}$
$ h_a'(x)= … $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $h_a'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen. Beachte debei, dass die Exponentialfunktion für kein $x$ null sein kann:
$\begin{array}[t]{rll} h_a'(x)&=&0 \\[5pt] a \cdot 2x \cdot e^{- \frac{1}{20}x} + a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} (-\frac{1}{20})&=&0 \\[5pt] e^{- \frac{1}{20}x} \bigg(2x \cdot + x^2 \cdot (-\frac{1}{20})\bigg)&=& 0 \\[5pt] 2x \cdot -\frac{1}{20} x^2 &=& 0 \\[5pt] x\cdot (2-\frac{1}{20}x)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_a'(x)&=&0 \\[5pt] x\cdot (2-\frac{1}{20}x)&=& 0 \end{array}$
Der letzten Zeile kannst du entnehmen, dass die eine Extremstelle bei $x=0$ liegt. Um die zweite Nullstelle zu bestimmen, setzt du den Ausdruck in der Klammer gleich null:
$\begin{array}[t]{rll} 2-\frac{1}{20}x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{1}{20}x \\[5pt] 2&=&\frac{1}{20}x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 20 \\[5pt] x &=& 40 \end{array}$
3. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechnen den Funktionswert, indem du $x=40$ in $h_a$ einsetzt:
$h_a(40)=a \cdot 40^2 \cdot e^{- \frac{40}{20}} = 216,54 \cdot a$
Da $a$ kleiner als Null ist, ist dies also der kleinste Wert den die Funktion annehmen kann.
Die Funktion $h_a$ nimmt also Werte zwischen $216,54\cdot a$ und $0$ an.
Fall 2: $a>0$:
Da die Extremstelle unabhängig von $a$ ist, müssen die Schritte $1$ bis $3$ nicht nochmal durchgeführt werden. Auch für $a>0$ Liegt die Extremstelle bei $x=40$ und auch hier ist $h_a(40)=216,54$ allerdings ist dieser Wert für $a>0$ größer als Null.
Damit nimmt die Funktion $h_a$ Werte zwischen $0$ und $216,54\cdot a$ an.
Zusammengefasst hast du also folgendes herausgefunden:
$a<0 : h_a(x) \in [216,54 a\; ;\; 0 ]$
$a>0 :h_a(x) \in [0\; ;\; 216,54 a ]$
#extrempunkt#ableitung#funktionswert#exponentialfunktion#nullstelle
g)
$\blacktriangleright$ Gleichung für $\boldsymbol{s_a}$ angeben
Du sollst die Gleichung von $s_a$ angeben. Der zugehörige Graph entsteht durch Spiegelung des Graphen von $h_a$ an der Geraden $y=4$. Die Spiegelung an einer Geraden, die parallel zur $x$-Achse ist, entspricht einer Spiegelung an der $x$-Achse mit anschließender Verschiebung. Da die Gerade, an der gespiegelt werden soll, die Funktionsgleichung $y=4$ besitzt, musst du zuerst an der $x$-Achse Spiegeln und anschließend um $8$ Einheiten nach oben verschieben.
Für die an der $x$-Achse gespieglete Funktion $s_{a'}$ gilt:
$s_{a'}(x)=-h_a(x) = - a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} $
Im nächsten Schritt musst du $s_{a'}$ um $4$ Einheiten nach oben verschieben:
$\begin{array}[t]{rll} s_{a}(x)&=& s_{a'}(x)+8 \\[5pt] &=&- a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} +8 \end{array}$
Womit du die gesuchte Funktionsgleichung gefunden hast.
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Lokalen Extrempunkt bestimmen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
$f(x)=\dfrac{9}{500}\cdot x^2 \cdot e^{-\frac{x}{20}}$
Aufgabe B1
Abb. 1: Lokale Extrempunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 1: Lokale Extrempunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
$\blacktriangleright$ Punkt mit dem größten Anstieg bestimmen
Du sollst den Punkt mit dem größten Anstieg bestimmen. Da die Steigung an diesem Punkt maximal sein soll, besitzt die Ableitung dort ein Extremum. Bestimme also zuerst mit deinem Taschenrechner den Hochpunkt der Ableitung. Den Befehl zur Berechnung der Ableitung findest du über das Keyboard.
Aufgabe B1
Abb. 2: Maximum der Ableitung bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 2: Maximum der Ableitung bestimmen
Die $x$- Koordinate des Hochpunktes ist somit $11,7$. Bestimme als nächstes mit deinem Taschenrechner den $y$-Wert. Gehe dafür über das Menü in den Berechnungsbildschirm und gebe $y1(11.715729)$ ein:
Aufgabe B1
Abb. 3: Funktionswert mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 3: Funktionswert mit dem Taschenrechner bestimmen
Jetzt hast du sowohl die $x$- als auch die $y$- Koordinate des Punktes mit dem größten Anstige gefunden:
$W(11,72 \mid 1,38)$
#ableitung
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f}$ auf Punkte die gleich weit von $\boldsymbol{x=40}$ entfernt sind untersuchen
Da die beiden Punkte gleich weit von der Geraden $x=40$ entfernt sein sollen, sind die $x$- Koordinaten dieser Punkte:
$x_1=40-x$ und $x_2=40+x$
Außerdem soll die Ableitung an diesen Punkten bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. Deswegen muss folgende Gleichung erfüllt sein:
$f'(x_1)=-f'(x_2)$
Bestimme, wie im vorherigen Aufgabenteil die Ableitung der Funktion mit deinem Taschenrechner
Gib anschließend die Funktionen $y3=y2(40-x)=f'(40-x)$ und $y4=-y2(40+x)=-f'(40+x)$ als Funktionen in deinen Taschenrechner ein und bestimme den Schnittpunkt. Den Befehl für die Bestimmung des Schnittpunktes findest du unter:
Analysis $\to$ G-Solve $\to$ 4: Intersection
Analysis $\to$ G-Solve $\to$ 4: Intersection
Aufgabe B1
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Du erhältst so den Schnittpunkt $S(38,3 \mid 0,054)$
Die Punkte mit den $x$-Koordinaten $x_1=40-38,3=1,7$ und $x_2=40+38,3=78,3$ sind gleich weit von der Geraden $x=40$ entfernt und in diesen Punkten unterscheidet sich die Steigung nur durch das Vorzeichen. Berechne als nächstes die $y$-Koordinaten der Punkte.
$f(x_1)=0,0478$
$f(x_2)=2,2$
Die vollständigen Koordinaten der Punkte sind also:
$P_1(1,7 \mid 0,0478)$
$P(78,3 \mid 2,2)$
#schnittpunkt#ableitung
c)
$\blacktriangleright$ Skizze des Höhenprofils erstellen
Du sollst eine Skizze des Höhenprofils in einem geeigneten Koordinatensystem erstellen. Da die Funktion $f$ das Profil im Bereich $0 \le x \le 60$ beschreibt, sollte deine $x$-Achse von $0$ bis $60$ gehen. In Aufgabeteil $a)$ hast du das Maximum von $f$ von $3,9$ bestimmt. Die $y$-Achse sollte deswegen etwas weiter als $4$ reichen.
Im Folgenden siehst du, wie das Schaubild aussehen kann:
Aufgabe B1
Abb. 5: Höhenprofil
Aufgabe B1
Abb. 5: Höhenprofil
$\blacktriangleright$ Den größten Anstieg des Geländes bestimmen
Du sollst den größten Anstieg in Prozent angeben. Die Stelle des größten Anstiegs entspricht der Wendestelle. Den Punkt des größten Anstiegs hast du bereits in Aufgabenteil $a)$ bestimmt. Da die Steigung an dieser Stelle dem Wert der Ableitung entspricht, musst du den $x$- Wert der Wendestelle in die Ableitung von $f$ einsetzen. Die Ableitung hast du in Aufgabenteil $b)$ bestimmt.
$\begin{array}[t]{rll} f'(11,7)&=& \left(\dfrac{9\cdot 11,7}{250}-\dfrac{9 \cdot 11,7^2}{10.000}\right)\cdot e^{-\frac{11,7}{20}} \\[5pt] &\approx& 0,166 \end{array}$
$ f'(11,7) \approx 0,166 $
Der größte Anstieg des Geländes in Prozent ist $16,6\%$.
#ableitung#wendepunkt#schaubild#intervall
d)
$\blacktriangleright$Skizze zur Aufgabenstellung erstellen
Als erstes sollst du deine Skizze aus Aufgabenzeil $c)$ so bearbeiten, dass sie alle Veränderungen aus der Aufgabenstellung enthält. Zeichne dazu eine parallele Gerade $g(x)$ zur $x$-Achse, welche sich auf der Höhe der rechten Grundstücksgrenze befindet und dir anzeigt, bis zu welcher Höhe Erde abgetragen wird. Zeichne außerdem die Mauer ein, von welcher du zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht sagen kannst, wo genau sie sich befindet.
Aufgabe B1
Abb. 6: Lösen der Integralgleichung mit dem Taschenrechner
Aufgabe B1
Abb. 6: Lösen der Integralgleichung mit dem Taschenrechner
$\blacktriangleright$Bewegtes Erdvolumen berechnen
Das Volumen der Erde, die bewegt werden soll berechnest du, indem du den Inhalt der Fläche zwischen der roten Geraden mit $g(x)=f(60)=3,226$ und dem Graphen zu $f$ bestimmst. Die Fläche berechnest du mithilfe des Integrals. Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen von $f$ und $g$. Anschließend musst du dein Ergebnis mit der Breite des Grundstücks, also $20\; \text{m}$ multiplizieren:
Berechne zuerst die Schnittpunkte:
Du kannst die Fläche, zwischen den Schnittpunkten der Kurven, mit deinem Taschenrechner berechnen.
Gehe wie folgt vor:
Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\displaystyle\int\mathrm dx$ Intersection
Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow$ $\displaystyle\int\mathrm dx$ Intersection
Damit erhältst du folgendes Ergebnis:
Aufgabe B1
Abb. 7: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven bestimmen
Aufgabe B1
Abb. 7: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven bestimmen
Jetzt wählst du die Schnittpunkt als Grenzen und erhältst damit dem Flächeninhalt $15,3$
Um das Volumen der Erde zu berechnen musst du diesen Flächeninhalt im nächsten Schritt mit der Breite des Grundstücks multiplizieren:
$15,3 \cdot 20=306$
Da alle Angaben in Metern sind, beträgt das Volumen $306\; \text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ Abstand der Mauer von der linken Grundstücksgrenze bestimmen
Die abgetragene Erde soll links der Mauer aufgeschüttet werden. Da das Gelände zwischen $x=25$ und $x=60$ bereits die gewünschte Höhe besitzt, wird die Erde nur bis $x=25$ aufgeschüttet. Die Erde, die zum Aufschütten verwendet wird hat ein Volumen von $306\text{m}^3$ oder eine Querschnittsfläche von $15,3\text{m}^2$. Um die Position der Mauer zu bestimmen, musst du die folgende Gleichung nach $a$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{a}^{25}(g(x)-f(x))\;\mathrm dx&=& 15,3 \\[5pt] \end{array}$
Verwende dafür deinen Taschenrechner. Gib das Integral als weiter Funktion $y3$ in deinen Taschenrechner ein. Gib außerdem als vierte Funktion die Gerade mit der Gleicung $y4=15,3$ ein. Bestimme jetzt den Schnittpunkt von $y3$ und $y4$, wie im Aufgabenteil $b)$.
Aufgabe B1
Abb. 8: Untere Integrationsschranke berechnen
Aufgabe B1
Abb. 8: Untere Integrationsschranke berechnen
Da die Mauer zwischen dem linken Grundstücksende, also $x=0$ und $x=25$ liegen muss, suchst du auch in diesem Bereich nach einem Schnittpunkt. Dieser Schnittpunkt ist $a=9,7$. Die Mauer ist also $9,7\text{m}$ von der linken Grundstückgrenze entfernt.
#integral#schnittpunkt
e)
$\blacktriangleright$Lage der Extrempunkte begründen
Gegeben ist die Funktion $h_a (x)=a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x}$ $(x \in \mathbb{R})$ mit $a$ $(a\neq 0)$.
Du sollst zuerst begründen, dass die $x$-Koordinaten der Extrempunkte unabhängig von $a$ sind. Da es sich bei der Multiplikation mit einer Konstanten anschaulich um eine Streckung oder Stauchung der Funktion in $y$-Richtung oder eine Spiegelung an der $x$-Achse handelt, haben alle Extrempunkte die gleichen $x$-Koordinaten und unterscheiden sich nur in der $y$-Koordinate.
Sowohl $x^2$ als auch die Exponentialfunktion sind für alle $x$ positiv. Für $x=0$ nimmt die Funktion unabhängig von $a$ den Wert Null an. Ist $a$ positiv, so ist $h_a(x) \ge 0$ und damit liegt bei $h_a(0)=0$ ein Minimum vor. Ist $a$ negativ, so ist $h_a(x) \le 0$ und damit liegt bei $h_a(0)=0$ ein Maximum vor. Zusammengefasst hat $h_a$ unabhängig von $a$ einen Extrempunkt im Ursprung.
#exponentialfunktion#extrempunkt
f)
$\blacktriangleright$ Wertebereich von $\boldsymbol{h_a(x)}$ in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ angeben
Da laut Aufgabenstellung $(a\neq 0)$ und $x^2$ sowie die Exponentialfunktion für alle $x$ positiv sind, musst du nur unterscheiden, ob $a$ kleiner oder größer null ist.
Fall 1: $a<0$
Die Funktionswerte sind alle kleiner oder gleich Null. Der kleinste Funktionswert entspricht dem $y$-Wert des Minimums. Diesen kannst du in Abhängigkeit von $a$ berechnen:
Gehe dazu wie folgt vor:
Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, h_a'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $h_a''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $h_a''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Da es in dieser Aufgabe nicht relevant ist, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, musst du nur das notwendige Kriterium überprüfen Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $h_a'$
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $h_a'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Berechne die Funktionswerte von $h_a$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} h_a (x)&=& a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} \\[10pt] h_a'(x)&=& a \cdot 2x \cdot e^{- \frac{1}{20}x} + a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} (-\frac{1}{20}) \\[10pt] \end{array}$
$ h_a'(x)= … $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $h_a'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen. Beachte debei, dass die Exponentialfunktion für kein $x$ null sein kann:
$\begin{array}[t]{rll} h_a'(x)&=&0 \\[5pt] a \cdot 2x \cdot e^{- \frac{1}{20}x} + a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} (-\frac{1}{20})&=&0 \\[5pt] e^{- \frac{1}{20}x} \bigg(2x \cdot + x^2 \cdot (-\frac{1}{20})\bigg)&=& 0 \\[5pt] 2x \cdot -\frac{1}{20} x^2 &=& 0 \\[5pt] x\cdot (2-\frac{1}{20}x)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_a'(x)&=&0 \\[5pt] x\cdot (2-\frac{1}{20}x)&=& 0 \end{array}$
Der letzten Zeile kannst du entnehmen, dass die eine Extremstelle bei $x=0$ liegt. Um die zweite Nullstelle zu bestimmen, setzt du den Ausdruck in der Klammer gleich null:
$\begin{array}[t]{rll} 2-\frac{1}{20}x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{1}{20}x \\[5pt] 2&=&\frac{1}{20}x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 20 \\[5pt] x &=& 40 \end{array}$
3. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechnen den Funktionswert, indem du $x=40$ in $h_a$ einsetzt:
$h_a(40)=a \cdot 40^2 \cdot e^{- \frac{40}{20}} = 216,54 \cdot a$
Da $a$ kleiner als Null ist, ist dies also der kleinste Wert den die Funktion annehmen kann.
Die Funktion $h_a$ nimmt also Werte zwischen $216,54\cdot a$ und $0$ an.
Fall 2: $a>0$:
Da die Extremstelle unabhängig von $a$ ist, müssen die Schritte $1$ bis $3$ nicht nochmal durchgeführt werden. Auch für $a>0$ Liegt die Extremstelle bei $x=40$ und auch hier ist $h_a(40)=216,54$ allerdings ist dieser Wert für $a>0$ größer als Null.
Damit nimmt die Funktion $h_a$ Werte zwischen $0$ und $216,54\cdot a$ an.
Zusammengefasst hast du also folgendes herausgefunden:
$a<0 : h_a(x) \in [216,54 a\; ;\; 0 ]$
$a>0 :h_a(x) \in [0\; ;\; 216,54 a ]$
#nullstelle#funktionswert#extrempunkt#exponentialfunktion#ableitung
g)
$\blacktriangleright$ Gleichung für $\boldsymbol{s_a}$ angeben
Du sollst die Gleichung von $s_a$ angeben. Der zugehörige Graph entsteht durch Spiegelung des Graphen von $h_a$ an der Geraden $y=4$. Die Spiegelung an einer Geraden, die parallel zur $x$-Achse ist, entspricht einer Spiegelung an der $x$-Achse mit anschließender Verschiebung. Da die Gerade, an der gespiegelt werden soll, die Funktionsgleichung $y=4$ besitzt, musst du zuerst an der $x$-Achse Spiegeln und anschließend um $8$ Einheiten nach oben verschieben.
Für die an der $x$-Achse gespieglete Funktion $s_{a'}$ gilt:
$s_{a'}(x)=-h_a(x) = - a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} $
Im nächsten Schritt musst du $s_{a'}$ um $4$ Einheiten nach oben verschieben:
$\begin{array}[t]{rll} s_{a}(x)&=& s_{a'}(x)+8 \\[5pt] &=&- a\cdot x^2 \cdot e^{- \frac{1}{20}x} +8 \end{array}$
Womit du die gesuchte Funktionsgleichung gefunden hast.
Bildnachweise [nach oben]
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