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Aufgabe C1

Aufgaben
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1.
Der Diamant ist eine Modifikation des Kohlenstoffes und bildet meist oktaederförmige Kristalle. Oktaeder sind quadratische Doppelpyramiden mit $12$ gleich langen Kanten. Betrachtet werden diese geraden quadratischen Pyramiden mit der gemeinsamen Grundfläche $ABCD$ und den Koordinaten der Eckpunkte $A(5 \mid 3 \mid 1)$, $B(5 \mid 7 \mid 1)$ und $C(1 \mid 7 \mid 1)$.
#oktaeder#kohlenstoff#pyramide
$\,$
a)
Gib die Koordinaten des Punktes $D$ an.
(1P)
$\,$
b)
Die Punkte $E$ und $F$ bilden jeweils die Spitze der Pyramiden und liegen auf einer Geraden $s$, die durch den Mittelpunkt der Grundfläche verläuft.
Gib eine Gleichung für die Gerade $s$ an.
(1P)
#geradengleichung
$\,$
c)
Berechne die Koordinaten der Punkte $E$ und $F$.
Zeichne das Oktaeder $ABCDEF$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
[Kontrollergebnis: $E(3 \mid 5 \mid 1 + 2\sqrt{2})$]
(4P)
#kartesischeskoordinatensystem
$\,$
d)
Auf der Kante $\overline{AE}$ liegt ein Punkt $T$, der die Strecke $\overline{AE}$ im Verhältnis $\overline{AT} : \overline{TE} = 1:3$ teilt.
Bestimme die Koordinaten von $T$.
(2P)
$\,$
e)
Der größte je gefundene Diamant namens „ Cullinan“ wurde $1950$ in einer Mine in Südafrika ausgegraben und später in $105$ Steine aufgespalten. Seine Masse betrug $3106,7$ Karat ($1\,\text{Kt} = 2\cdot 10^{-4} \,\text{kg}$).
Gib die Masse des Diamanten in $\,\text{g}$ an.
(1P)
$\,$
f)
Die größten Diamantstücke wurden zu britischen Kronjuwelen verarbeitet.
Das oben beschriebene Oktaeder ist nun ein Modell eines solchen Diamantstücks. Bei ist nun ein Modell eines solchen Diamantstücks. Bei diesem wird durch ein Punkt $T$ (aus Aufgabe d) parallel zur Grundfläche $ABCD$ der quadratischen Pyramide $ABCDE$ der obere Teil der Pyramide abgetrennt.
Berechne den prozentrualen Anteil des abgetrennten Teils vom gesamten Oktaeder $ABCDEF$.
(3P)
2.
In einem Betrieb werden Glaskugeln in großer Stückzahl als Weihnachtsbaumschmuck hergestellt. Sie werden in vier Arbeitsgängen gefertigt und nach der Fertigstellung geprüft. Erfahrungsgemäß wird in den einzelnen Arbeitsgängen unabhängig voneinander die erwünschte Qualität für I. Wahl mit folgenden Wahrscheinlichkeiten erreicht:
Arbeitsgang 1Arbeitsgang 2Arbeitsgang 3Arbeitsgang 4
$97\%$$92\%$$93\%$$97\%$
$ $
Eine fertige Glaskugel gilt nur dann als I. Wahl, wenn in jedem Arbeitsgang die Qualität für I. Wahl erreicht wurde.
#wahrscheinlichkeit
$\,$
a)
Zeige, dass das Ereignis „Eine fertige Glaskugel ist nicht I. Wahl“ mit einer Wahrscheinlichkeit von $p\approx0,195$ eintritt.
(1P)
#wahrscheinlichkeit
$\,$
b)
Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Glaskugeln in einer Produktionsserie, die nicht I. Wahl sind.
Gib mindestens zwei Gründe dafür an, dass man $X$ als binomialverteilt ansehen kann.
(2P)
#binomialverteilung
$\,$
c)
Bestimme unter der Annahme, dass das Modell der Binomialverteilung genutzt werden kann, die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
A:
= „Von zehn hergestellten Glaskugeln sind höchstens zwei nicht I. Wahl.“
B:
= „Von $100$ hergestellten Glaskugeln sind mindestens $80$ Glaskugeln I. Wahl.“
(2P)
#binomialverteilung#wahrscheinlichkeit
$\,$
d)
Im Betrieb wurden die Produktionsverfahren verbessert. Der Verantwortliche für Qualitätssicherung vermutet nun, dass nur noch $10\%$ ($H_1$) statt bisher $19,5\%$ ($H_0$) der Kugeln nicht I. Wahl sind. Die möchte er an einer Packung mit $100$ Kugeln überprüfen. Findet er dabei höchstens $12$ fehlerhafte Kugeln, so hält er seine Hypothese für bestätigt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der er zu Unrecht an eine bessere Qualität glaubt.
(3P)
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung die Koordinaten von drei der vier Punkte entnehmen, welche die quadratische Grundfläche $ABCD$ der Doppelpyramide formen. Diese Punkte formen auch die Grundfläche des Oktaeders.
$A(5\mid 3\mid 1)$
$B(5\mid 7\mid 1)$
$C(1\mid 7\mid 1)$
In der Skizze siehst du die Grundfläche von oben mit den bekannten Punkten und dem unbekannten Punkt $D$.
Aufgabe C1
Abb. 1: Grundfläche der Pyramiden
Aufgabe C1
Abb. 1: Grundfläche der Pyramiden
Da es sich um eine quadratische Grundfläche handelt, sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel. Die Koordinaten des Punktes $D$ erhältst du, indem du zum Ortsvektor von $A$ den Vektor $\overrightarrow{BC}$ addierst.
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Gerade $\boldsymbol{s}$ bestimmen
Um die Gleichung der Geraden $s$ zu bestimmen, wählst du den Ortsvektor zum Mittelpunkt der Grundfläche als Stützvektor und den Normalenvektor der Ebene, in welcher die Grundfläche liegt, als Richtungsvektor.
Bestimme also zuerst den Mittelpunkt der Grundfläche, indem du zum Ortsvektor von $A$ die Hälfte des Vektors $\overrightarrow{AC}$ addierst. Vergleiche diese Überlegung mit der Skizze:
Aufgabe C1
Abb. 2: Mittelpunkt bestimmen
Aufgabe C1
Abb. 2: Mittelpunkt bestimmen
c)
$\blacktriangleright$ Koordianten der Punkte $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{F}$ berechnen
Die Punkte $E$ und $F$ liegen beide auf der Geraden $s$, deren Gleichung du im Aufgabenteil $b)$ bestimmt hast.
Aufgabe C1
Abb. 3: Skizze der Grundfläche mit der Geraden $s(x)$
Aufgabe C1
Abb. 3: Skizze der Grundfläche mit der Geraden $s(x)$
Du weißt, dass alle Seiten des Oktaeders gleich lang sind, darum ist die Seite $\overline{AE}$ so lang wie die Seite $\overline{AB}.$
Aufgabe C1
Abb. 4: Skizze der Gundfläche mit der Geraden $s(x)$ und der Kante $AE$
Aufgabe C1
Abb. 4: Skizze der Gundfläche mit der Geraden $s(x)$ und der Kante $AE$
Du siehst, dass die Punkte $AEM$ ein Dreieck bilden. Gehe jetzt wie folgt vor:
  1. Berechne den Abstand von $M$ zu $E$.
  2. Berechne die Koordinaten von $E$ mit Hilfe der Geraden $s(x)$ und dem Abstand aus Schritt 1.
$\blacktriangleright$ Oktaeder im kartesischen Koordinaten zeichnen
Vervollständige die Skizze, indem du nacheinander die fehlenden Punkte einzeichnest und anschließend die Seitenkanten ergänzt.
d)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{T}$ berechnen
Da der Punkt $T$ die Kante $\overline{AE}$ im Verhältnis $\overline{AT}:\overline{TE}=1:3$ teilt, erhält man die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt $T$, wenn man zum Ortsvektor von $A$ ein Viertel des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AE}$ addiert.
e)
$\blacktriangleright$ Masse des Diamanten in Gramm bestimmen:
Du hast die Masse des Diamanten in Karat gegeben und sollst diese Masse in Gramm umrechnen. Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $1\text{Kt} =2\cdot 10^{-4}kg$ ist.
f)
$\blacktriangleright$ Prozentualer Anteil des abgetrennten Teils vom gesamten Oktaeder berechnen
Betrachte das kleine abgeschnittene Stück der Pyramide $ABCDE$ als zentrische Streckung der großen Pyramide mit Streckzentrum $E$. Du weißt, dass $T$ die Strecke $AE$ im Verhältnis $1:3$ teilt. Der Streckfaktor ist also $k=\frac{3}{4}$. Bei einer zentrischen Streckung gilt für das Verhältnis zwischen dem Volumen $V$ vor der Streckung und dem Volumen $V'$ nach der Streckung:
$\frac{V'}{V}=k^3$
$\frac{V'}{V}=k^3$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit überprüfen
Du sollst zeigen, dass das Ereignis
$A:= „\text{Eine fertige Glaskugel ist nicht I.Wahl}“ $
mit einer Wahrscheinlichkeit von $p\approx 0,195$ eintritt.
Das Gegenereignis zu $A$ ist das Ereignis:
$\overline{A}:= „\text{Eine fertige Glaskugel ist I.Wahl} “$.
Es ist einfacher, die Wahrscheinlichkeit für $\overline{A}$ zu bestimmen und dann über die Gegenwahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ zu berechnen, als die Wahrscheinlichkeit für $A$ direkt zu bestimmen.
Da eine Glaskugel nur dann zur ersten Wahl gehört, wenn sie in allen Arbeitsgängen zur ersten Wahl gehört, kannst du die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel bestimmen.
b)
$\blacktriangleright$ Gründe für die Binomialverteilung von $\boldsymbol{X}$ angeben
Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Glaskugeln, die nicht I. Wahl sind. Eine Zufallsvariable $X$ kann allgemein als binomialverteilt angenommen werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
  1. Es handelt sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment, bei dem auf jeder Stufe nur zwei Möglichkeiten existieren: Erfolg und Misserfolg.
  2. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist in jeder Stufe näherungsweise gleich. Es handelt sich also näherungsweise um ein Ziehen mit Zurücklegen.
Übertrage dies nun auf den Sachverhalt und begründe so die Binomialverteilung.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Zufallsvariablen $X$ eine Binomialverteilung zugrunde gelegt wird. Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen ist
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Du kannst die Ereignisse $A$ und $B$ durch $X$ ausdrücken und anschließend die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Sowohl bei $A$, als auch bei $B$ ist der Parameter $p=0,195$ die Trefferwahrscheinlichkeit. Der Parameter $n$ beschreibt den Stichprobenumfang. Für das Ereignis $A$ ist $n=10$, für das Ereignis $B$ ist $n=100$.
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für unrechtmäßige Annahme berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, mit der der Verantwortliche zu Unrecht an eine bessere Qualität glaubt, entspricht der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1.Art und damit dem Signifikanzniveau.
Kennst du dieses nicht, sondern nur den Ablehnungsbereich, so entspricht die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art der Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Ablehnungsbereich liegt:
$P(X \in \overline{A}) = P\left(\text{Fehler 1. Art}\right) = \alpha$,
wobei die Verteilung von $X$ entsprechend der Nullhypothese angenommen wird.
Der Aufgabenstellung kannst du die Nullhypothese und die Alternative entnehmen:
$H_0: p=0,195$
$H_1: p=0,1$
Da der Verantwortliche die Nullhypothese ablehnt, wenn er höchtens $12$ fehlerhafte Kugeln findet, ist der Ablehungsbereich:
$A=[0;12]$
Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit also wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& P(X \le 12) \end{array}$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
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[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung die Koordinaten von drei der vier Punkte entnehmen, welche die quadratische Grundfläche $ABCD$ der Doppelpyramide formen. Diese Punkte formen auch die Grundfläche des Oktaeders.
$A(5\mid 3\mid 1)$
$B(5\mid 7\mid 1)$
$C(1\mid 7\mid 1)$
In der Skizze siehst du die Grundfläche von oben mit den bekannten Punkten und dem unbekannten Punkt $D$.
Aufgabe C1
Abb. 1: Grundfläche der Pyramiden
Aufgabe C1
Abb. 1: Grundfläche der Pyramiden
Da es sich um eine quadratische Grundfläche handelt, sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel. Die Koordinaten des Punktes $D$ erhältst du, indem du zum Ortsvektor von $A$ den Vektor $\overrightarrow{BC}$ addierst. Berechne zuerst den Vektor $\overrightarrow{BC}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BC}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 \\ 7 \\ 1}+\pmatrix{5 \\7 \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 0} \end{array}$
Jetzt kannst du den Ortsvektor zu $D$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}+\pmatrix{-4 \\ 0 \\ 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 \\ 3 \\ 1} \end{array}$
Die gesuchten Koordinaten sind $D(1\mid 3 \mid 1)$.
#pyramide#vektoren#ortsvektor#quadrat
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Gerade $\boldsymbol{s}$ bestimmen
Um die Gleichung der Geraden $s$ zu bestimmen, wählst du den Ortsvektor zum Mittelpunkt der Grundfläche als Stützvektor und den Normalenvektor der Ebene, in welcher die Grundfläche liegt, als Richtungsvektor.
Bestimme also zuerst den Mittelpunkt der Grundfläche, indem du zum Ortsvektor von $A$ die Hälfte des Vektors $\overrightarrow{AC}$ addierst. Vergleiche diese Überlegung mit der Skizze:
Aufgabe C1
Abb. 2: Mittelpunkt bestimmen
Aufgabe C1
Abb. 2: Mittelpunkt bestimmen
Du brauchst also den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AC}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}&=&\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\pmatrix{1 \\ 7 \\ 1}-\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}\\[5pt] &=&\pmatrix{-4 \\ 4 \\ 0} \end{array}$
Berechne jetzt wie beschrieben den Mittelpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}+\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{-4 \\ 4 \\ 0}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} \end{array}$
Dieser Vektor ist der Stützvektor der Geraden.
Berechne als nächstes den Spannvektor. Dieser soll der Normalenvektor der Ebene sein, in der die vier Punkte der Grundfläche liegen. Dieser Vektor ist also senkrecht zu den Seiten der Grundfläche. Einen Vektor der senkrecht zu $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ erhältst du über das Kreuzprodukt. Berechne zuerst $\overrightarrow{AB}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\pmatrix{5 \\ 7 \\ 1}-\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}\\[5pt] &=& \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0} \end{array}$
Jetzt kannst du das Kreuzprodukt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{BC} &=& \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0} \times \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 0} \\[5pt] &=&\pmatrix{4 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \\ 0\cdot (-4) - 0 \cdot 0 \\ 0\cdot 0- 4 \cdot (-4)} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 \\ 0 \\ 16} \end{array}$
Da es beim Normalenvektor und auch beim Richtungsvektor nur auf die Richtung ankommt, kannst du auch jedes beliebige Vielfache des Vektors als Spannvektor verwenden. Teilst du den Vektor durch 16, erhälst du den Vektor $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$. Dieser Vektor hat die Länge eins, was für die weiteren Rechnungen praktisch ist.
Du hast jetzt einen Stützvektor und einen Richtungsvektor für deine Gerade $s$ gefunden und kannst die Gleichung aufstellen:
$s:\overrightarrow{x}=\pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} + t \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$
#vektoren#verbindungsvektor#kreuzprodukt#normalenvektor
c)
$\blacktriangleright$ Koordianten der Punkte $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{F}$ berechnen
Die Punkte $E$ und $F$ liegen beide auf der Geraden $s$, deren Gleichung du im Aufgabenteil $b)$ bestimmt hast.
Aufgabe C1
Abb. 3: Skizze der Grundfläche mit der Geraden $s(x)$
Aufgabe C1
Abb. 3: Skizze der Grundfläche mit der Geraden $s(x)$
Du weißt, dass alle Seiten des Oktaeders gleich lang sind, darum ist die Seite $\overline{AE}$ so lang wie die Seite $\overline{AB}.$
Aufgabe C1
Abb. 4: Skizze der Gundfläche mit der Geraden $s(x)$ und der Kante $AE$
Aufgabe C1
Abb. 4: Skizze der Gundfläche mit der Geraden $s(x)$ und der Kante $AE$
Du siehst, dass die Punkte $AEM$ ein Dreieck bilden. Gehe jetzt wie folgt vor:
  1. Berechne den Abstand von $M$ zu $E$.
  2. Berechne die Koordinaten von $E$ mit Hilfe der Geraden $s(x)$ und dem Abstand aus Schritt 1.
Schritt 1: Abstand von $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{E}$ berechnen.
Da die Gerade $s$ im rechnten Winkel zu der Fläche $ABCD$ steht, und die Kante $AM$ in der Fläche $ABSD$ liegt, ist bei $M$ ein rechter Winkel. Da es sich also um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du die Länge der Seite $EM$ mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Berechne zuerst die Länge der Kante $AM$:
Du benötogst dazu den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AM}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AM}&=&\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\ 5 \\ 1}-\pmatrix{5 \\3\\ 1}\\[5pt] &=&\pmatrix{-2 \\ 2 \\ 0} \end{array}$
Berechne als nächstes die länge dieses Vektors:
$\begin{array}[t]{rll} \Big|\pmatrix{-2 \\ 2 \\ 0} \Big| &=& \sqrt{(-2)^2+2^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{8}\\[5pt] &=& 2\cdot \sqrt{2} \end{array}$
Da bei einem Oktaeder alle Seiten gleich lang sind, ist die Kante $AE$ gleich lang wie die Kante $AB$. Da die Punkte $A$ und $B$ bekannt sind, kannst du die Länge von $AB$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AE}|&=&|\overrightarrow{AB}| \\[5pt] &=&\,\bigg \vert \, \pmatrix{5 \\ 7 \\ 1}-\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1} \,\bigg \vert \, \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \, \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0} \,\bigg \vert \, \\[5pt] &=&\sqrt{4^2}\\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge von $|EM|$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} |EM|^2&=&|AE|^2-|AM|^2 \\[5pt] &=& 4^2-\sqrt{8}^2 \\[5pt] &=& 16-8 \\[5pt] &=& 8 &\mid \sqrt{\ \ } \\[5pt] |EM|&=& \sqrt{8} \end{array}$
Schritt 2: berechnen der Koordinaten
Der Abstand von $M$ zu $E$ und damit auch der Abstand von $E$ zu der Fläche $ABCD$ ist also $\sqrt{8}$. Die Gerade $s$ hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt $M$. Der Spannvektor ist senkrecht zu der Ebene. Du kannst also in die Geradengleichung $s(x)$ für $t$ den Wert $\sqrt{8}$ einsetzten und erhältst so die Koordinaten des Punktes $E$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE}&=& s(\sqrt{8}) \\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} + \sqrt{8} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1+\sqrt{8}} \end{array}$
Da der Punkt $F$ im gleichen Abstand zu $ABCD$ und auch auf der Geraden $s$ liegt, kannst du die Koordinaten des Ortsvektors direkt berenen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=& s(\sqrt{-8}) \\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} - \sqrt{8} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1-\sqrt{8}} \end{array}$
Damit sind die Koordinaten der Punkte $E(2\mid 5\mid 1+\sqrt{8})$ und $F(2\mid 5\mid 1-\sqrt{8})$.
$\blacktriangleright$ Oktaeder im kartesischen Koordinaten zeichnen
Vervollständige die Skizze, indem du nacheinander die fehlenden Punkte einzeichnest und anschließend die Seitenkanten ergänzt. Im Folgenden siehst du die Zeichnung des Oktaeders im kartesischen Koordinatensystem:
Aufgabe C1
Abb. 5: Okataeder im kartesischen Koordinatensystem
Aufgabe C1
Abb. 5: Okataeder im kartesischen Koordinatensystem
#vektoren#geradengleichung#abstand#satzdespythagoras#verbindungsvektor
d)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{T}$ berechnen
Da der Punkt $T$ die Kante $\overline{AE}$ im Verhältnis $\overline{AT}:\overline{TE}=1:3$ teilt, erhält man die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt $T$, wenn man zum Ortsvektor von $A$ ein Viertel des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AE}$ addiert.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT}&=&\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}+\left( \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1+2\cdot\sqrt{2}}-\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1} \right) \\[5pt] &=& \frac{3}{4} \cdot \pmatrix{5 \\ 3 \\ 1} +\frac{1}{4} \cdot \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1+2\cdot\sqrt{2}} \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \cdot \pmatrix{18\\ 14 \\4+2\sqrt{2}}\\[5pt] &=& \pmatrix{4,5 \\ 3,5 \\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}} \end{array}$
$ \overrightarrow{OT} = \pmatrix{4,5 \\ 3,5 \\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$
Damit sind die Koordinaten des gesuchten Punktes $T\left(4,5\mid 3,5\mid 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
#vektoren#verbindungsvektor#ortsvektor
e)
$\blacktriangleright$ Masse des Diamanten in Gramm bestimmen:
Du hast die Masse des Diamanten in Karat gegeben und sollst diese Masse in Gramm umrechnen. Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $1\text{Kt} =2\cdot 10^{-4}\,\text{kg}$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} 3.106,7 \, Kt&=& 3.106,7 \cdot 2\cdot 10^{-4} \,\text{kg} \\[5pt] &=& 0,62134 \,\text{kg}\\[5pt] &=& 621,34 \,\text{g} \end{array}$
$ 3.106,7 \, Kt = 621,34 \,\text{g}$
Die Masse des gefundenen Diamanten ist $621,34 \text{g}$.
f)
$\blacktriangleright$ Prozentualer Anteil des abgetrennten Teils vom gesamten Oktaeder berechnen
Betrachte das kleine abgeschnittene Stück der Pyramide $ABCDE$ als zentrische Streckung der großen Pyramide mit Streckzentrum $E$. Du weißt, dass $T$ die Strecke $AE$ im Verhältnis $1:3$ teilt. Der Streckfaktor ist also $k=\frac{3}{4}$. Bei einer zentrischen Streckung gilt für das Verhältnis zwischen dem Volumen $V$ vor der Streckung und dem Volumen $V'$ nach der Streckung:
$\frac{V'}{V}=k^3$
Das Verhältnis zwischen dem Volumen der abgetrennten Pyramide und dem Volumen der Pyramide $ABCDE$ ist also:
$\frac{V'}{V}=\Big(\frac{3}{4}\Big)^3 =0,42$
Das Volumen des ganzen Oktaeders ist genau doppelt so groß, wie das Volumen der Pyramide $ABCDE$. Deswegen ist das Verhältnis des Volumens der abgetrennten Pyramide zum Volumen des ganzen Oktaeder: $\frac{V'}{2\cdot V}=\frac{k^3}{2}=\Big(\frac{3}{4}\Big)^3 \cdot \frac{1}{2} = 0,21$
Dieses Verhältnis entspricht gerade dem prozentualen Anteil des abgetrennten Teils vom gesamten Oktaeder $ABCDEF$. Der gesuchte prozentuale Anteil ist also $21\%$.
#volumen#pyramide

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit überprüfen
Du sollst zeigen, dass das Ereignis
$A:= $„Eine fertige Glaskugel ist nicht I.Wahl“
mit einer Wahrscheinlichkeit von $p\approx 0,195$ eintritt.
Das Gegenereignis zu $A$ ist das Ereignis:
$\overline{A}:= $ „Eine fertige Glaskugel ist I.Wahl “
Es ist einfacher, die Wahrscheinlichkeit für $\overline{A}$ zu bestimmen und dann über die Gegenwahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ zu berechnen, als die Wahrscheinlichkeit für $A$ direkt zu bestimmen.
Da eine Glaskugel nur dann zur ersten Wahl gehört, wenn sie in allen Arbeitsgängen zur ersten Wahl gehört, kannst du die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 0,97\cdot 0,92 \cdot 0,93 \cdot 0,97 \\[5pt] &\approx& 0,805 \end{array}$
$ P(\overline{A}) \approx 0,805 $
Durch Bildung der Gegenwahrscheinlichkeit kannst du jetzt die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 1-P(\overline{A}) \\[5pt] &\approx& 1- 0,805\\[5pt] &=& 0,195 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ entspricht also dem in der Aufgabe angegebenen Wert.
#pfadregeln#gegenwahrscheinlichkeit
b)
$\blacktriangleright$ Gründe für die Binomialverteilung von $\boldsymbol{X}$ angeben
Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Glaskugeln, die nicht $I.$ Wahl sind. Als Gründe, dafür dass man $X$ als binomialverteilt ansehen kann hast du mehrere Möglichkeiten:
  1. Betrachtest du das Ereignis $\overline{A}$ als Erfolg, so beschreibt $X$ die Anzahl von Erfolgen in einer Serie von gleichartigen unabhängigen Versuchen.
  2. Beim Überprüfen einer Produktionsreihe gibt es für jede Glaskugel genau zwei Ergebnisse, nämlich $I.$ Wahl oder nicht $I.$ Wahl.
  3. Wegen der großen Stückzahl ist der Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen vernachlässigbar
  4. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist in jedem Durchgang die Gleiche.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Zufallsvariablen $X$ eine Binomialverteilung zugrunde gelegt wird. Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen ist
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Du kannst die Ereignisse $A$ und $B$ durch $X$ ausdrücken und anschließend die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Sowohl bei $A$, als auch bei $B$ ist der Parameter $p=0,195$ die Trefferwahrscheinlichkeit. Der Parameter $n$ beschreibt den Stichprobenumfang. Für das Ereignis $A$ ist $n=10$, für das Ereignis $B$ ist $n=100$.
Betrachte also das Ereignis $A$ mit $p=0,195$ und $n=10$:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X \le 2) \end{array}$
und das Ereignis $B$ mit $p=0,195$ und $n=100$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $80$ von $100$ Glaskugeln Wahl $I$ sind, entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $20$ der Glaskugeln nicht Wahl $I$ sind. Deswegen kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X \le 20) \end{array}$
Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen. Den Befehl dafür findest du unter:
menu $\rightarrow$ 6: Statistik $\rightarrow$ E: BinomCdf
menu \rightarrow 6: Statistik \rightarrow E: BinomCdf
In das Fenster musst du die Parameter $n$ und $p$ eingeben und Außerdem die untere Schranke $0$, sowie die obere Schranke $2$ beziehungsweise $20$
Aufgabe C1
Abb. 6: Eingabe der Werte in den Taschenrechner
Aufgabe C1
Abb. 6: Eingabe der Werte in den Taschenrechner
Damit erhältst du die folgenden Werte:
Aufgabe C1
Abb. 7: Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner berechnet
Aufgabe C1
Abb. 7: Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner berechnet
Die Wahrscheinlichkeiten sind also:
$P(A)=69,3 \%$ und
$P(B)=60,9\%$
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für unrechtmäßige Annahme berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, mit der der Verantwortliche zu Unrecht an eine bessere Qualität glaubt, entspricht der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1.Art und damit dem Signifikanzniveau.
Kennst du dieses nicht, sondern nur den Ablehnungsbereich, so entspricht die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art der Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Ablehnungsbereich liegt:
$P(X \in \overline{A}) = P\left(\text{Fehler 1. Art}\right) = \alpha$,
wobei die Verteilung von $X$ entsprechend der Nullhypothese angenommen wird.
Der Aufgabenstellung kannst du die Nullhypothese und die Alternative entnehmen:
$H_0: p=0,195$
$H_1: p=0,1$
Da der Verantwortliche die Nullhypothese ablehnt, wenn er höchtens $12$ fehlerhafte Kugeln findet, ist der Ablehungsbereich:
$A=[0;12]$
Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit also wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& P(X \le 12) \end{array}$
Verwende, wie im vorherigen Aufgabenteil deinen Taschenrechner, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Die Parameter sind jetzt $n=100$ und $p=0,195$. Dein Taschenrechner gibt dir folgende Werte aus:
Aufgabe C1
Abb. 8: Wahrscheinlichkeit mit dem Taschenrechner berechnen
Aufgabe C1
Abb. 8: Wahrscheinlichkeit mit dem Taschenrechner berechnen
Der Fehler erster Art und damit die Wahrscheinlichkeit für die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese beträgt $3,3\%$.
#hypothesentest#signifikanzniveau
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung die Koordinaten von drei der vier Punkte entnehmen, welche die quadratische Grundfläche $ABCD$ der Doppelpyramide formen. Diese Punkte formen auch die Grundfläche des Oktaeders.
$A(5\mid 3\mid 1)$
$B(5\mid 7\mid 1)$
$C(1\mid 7\mid 1)$
In der Skizze siehst du die Grundfläche von oben mit den bekannten Punkten und dem unbekannten Punkt $D$.
Aufgabe C1
Abb. 1: Grundfläche der Pyramiden
Aufgabe C1
Abb. 1: Grundfläche der Pyramiden
Da es sich um eine quadratische Grundfläche handelt, sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel. Die Koordinaten des Punktes $D$ erhältst du, indem du zum Ortsvektor von $A$ den Vektor $\overrightarrow{BC}$ addierst. Berechne zuerst den Vektor $\overrightarrow{BC}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BC}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 \\ 7 \\ 1}+\pmatrix{5 \\7 \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 0} \end{array}$
Jetzt kannst du den Ortsvektor zu $D$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}+\pmatrix{-4 \\ 0 \\ 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 \\ 3 \\ 1} \end{array}$
Die gesuchten Koordinaten sind $D(1\mid 3 \mid 1)$.
#ortsvektor#pyramide#vektoren#quadrat
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung der Gerade $\boldsymbol{s}$ bestimmen
Um die Gleichung der Geraden $s$ zu bestimmen, wählst du den Ortsvektor zum Mittelpunkt der Grundfläche als Stützvektor und den Normalenvektor der Ebene, in welcher die Grundfläche liegt, als Richtungsvektor.
Bestimme also zuerst den Mittelpunkt der Grundfläche, indem du zum Ortsvektor von $A$ die Hälfte des Vektors $\overrightarrow{AC}$ addierst. Vergleiche diese Überlegung mit der Skizze:
Aufgabe C1
Abb. 2: Mittelpunkt bestimmen
Aufgabe C1
Abb. 2: Mittelpunkt bestimmen
Du brauchst also den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AC}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}&=&\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\pmatrix{1 \\ 7 \\ 1}-\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}\\[5pt] &=&\pmatrix{-4 \\ 4 \\ 0} \end{array}$
Berechne jetzt wie beschrieben den Mittelpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}+\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{-4 \\ 4 \\ 0}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} \end{array}$
Dieser Vektor ist der Stützvektor der Geraden.
Berechne als nächstes den Spannvektor. Dieser soll der Normalenvektor der Ebene sein, in der die vier Punkte der Grundfläche liegen. Dieser Vektor ist also senkrecht zu den Seiten der Grundfläche. Einen Vektor der senkrecht zu $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ erhältst du über das Kreuzprodukt. Berechne zuerst $\overrightarrow{AB}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\pmatrix{5 \\ 7 \\ 1}-\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}\\[5pt] &=& \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0} \end{array}$
Jetzt kannst du das Kreuzprodukt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{BC} &=& \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0} \times \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 0} \\[5pt] &=&\pmatrix{4 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \\ 0\cdot (-4) - 0 \cdot 0 \\ 0\cdot 0- 4 \cdot (-4)} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 \\ 0 \\ 16} \end{array}$
Da es beim Normalenvektor und auch beim Richtungsvektor nur auf die Richtung ankommt, kannst du auch jedes beliebige Vielfache des Vektors als Spannvektor verwenden. Teilst du den Vektor durch 16, erhälst du den Vektor $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$. Dieser Vektor hat die Länge eins, was für die weiteren Rechnungen praktisch ist.
Du hast jetzt einen Stützvektor und einen Richtungsvektor für deine Gerade $s$ gefunden und kannst die Gleichung aufstellen:
$s:\overrightarrow{x}=\pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} + t \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$
#vektoren#kreuzprodukt#normalenvektor#verbindungsvektor
c)
$\blacktriangleright$ Koordianten der Punkte $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{F}$ berechnen
Die Punkte $E$ und $F$ liegen beide auf der Geraden $s$, deren Gleichung du im Aufgabenteil $b)$ bestimmt hast.
Aufgabe C1
Abb. 3: Skizze der Grundfläche mit der Geraden $s(x)$
Aufgabe C1
Abb. 3: Skizze der Grundfläche mit der Geraden $s(x)$
Du weißt, dass alle Seiten des Oktaeders gleich lang sind, darum ist die Seite $\overline{AE}$ so lang wie die Seite $\overline{AB}.$
Aufgabe C1
Abb. 4: Skizze der Gundfläche mit der Geraden $s(x)$ und der Kante $AE$
Aufgabe C1
Abb. 4: Skizze der Gundfläche mit der Geraden $s(x)$ und der Kante $AE$
Du siehst, dass die Punkte $AEM$ ein Dreieck bilden. Gehe jetzt wie folgt vor:
  1. Berechne den Abstand von $M$ zu $E$.
  2. Berechne die Koordinaten von $E$ mit Hilfe der Geraden $s(x)$ und dem Abstand aus Schritt 1.
Schritt 1: Abstand von $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{E}$ berechnen.
Da die Gerade $s$ im rechnten Winkel zu der Fläche $ABCD$ steht, und die Kante $AM$ in der Fläche $ABSD$ liegt, ist bei $M$ ein rechter Winkel. Da es sich also um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du die Länge der Seite $EM$ mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Berechne zuerst die Länge der Kante $AM$:
Du benötogst dazu den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AM}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AM}&=&\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\ 5 \\ 1}-\pmatrix{5 \\3\\ 1}\\[5pt] &=&\pmatrix{-2 \\ 2 \\ 0} \end{array}$
Berechne als nächstes die länge dieses Vektors:
$\begin{array}[t]{rll} \Big|\pmatrix{-2 \\ 2 \\ 0} \Big| &=& \sqrt{(-2)^2+2^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{8}\\[5pt] &=& 2\cdot \sqrt{2} \end{array}$
Da bei einem Oktaeder alle Seiten gleich lang sind, ist die Kante $AE$ gleich lang wie die Kante $AB$. Da die Punkte $A$ und $B$ bekannt sind, kannst du die Länge von $AB$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AE}|&=&|\overrightarrow{AB}| \\[5pt] &=&\,\bigg \vert \, \pmatrix{5 \\ 7 \\ 1}-\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1} \,\bigg \vert \, \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \, \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0} \,\bigg \vert \, \\[5pt] &=&\sqrt{4^2}\\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge von $|EM|$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} |EM|^2&=&|AE|^2-|AM|^2 \\[5pt] &=& 4^2-\sqrt{8}^2 \\[5pt] &=& 16-8 \\[5pt] &=& 8 &\mid \sqrt{\ \ } \\[5pt] |EM|&=& \sqrt{8} \end{array}$
Schritt 2: berechnen der Koordinaten
Der Abstand von $M$ zu $E$ und damit auch der Abstand von $E$ zu der Fläche $ABCD$ ist also $\sqrt{8}$. Die Gerade $s$ hat als Stützvektor den Ortsvektor zum Punkt $M$. Der Spannvektor ist senkrecht zu der Ebene. Du kannst also in die Geradengleichung $s(x)$ für $t$ den Wert $\sqrt{8}$ einsetzten und erhältst so die Koordinaten des Punktes $E$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE}&=& s(\sqrt{8}) \\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} + \sqrt{8} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1+\sqrt{8}} \end{array}$
Da der Punkt $F$ im gleichen Abstand zu $ABCD$ und auch auf der Geraden $s$ liegt, kannst du die Koordinaten des Ortsvektors direkt berenen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=& s(\sqrt{-8}) \\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} - \sqrt{8} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1-\sqrt{8}} \end{array}$
Damit sind die Koordinaten der Punkte $E(2\mid 5\mid 1+\sqrt{8})$ und $F(2\mid 5\mid 1-\sqrt{8})$.
$\blacktriangleright$ Oktaeder im kartesischen Koordinaten zeichnen
Vervollständige die Skizze, indem du nacheinander die fehlenden Punkte einzeichnest und anschließend die Seitenkanten ergänzt. Im Folgenden siehst du die Zeichnung des Oktaeders im kartesischen Koordinatensystem:
Aufgabe C1
Abb. 5: Okataeder im kartesischen Koordinatensystem
Aufgabe C1
Abb. 5: Okataeder im kartesischen Koordinatensystem
#satzdespythagoras#vektoren#abstand#verbindungsvektor#geradengleichung
d)
$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{T}$ berechnen
Da der Punkt $T$ die Kante $\overline{AE}$ im Verhältnis $\overline{AT}:\overline{TE}=1:3$ teilt, erhält man die Koordinaten des Ortsvektors zum Punkt $T$, wenn man zum Ortsvektor von $A$ ein Viertel des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AE}$ addiert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OT}&=&\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}+\left( \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1+2\cdot\sqrt{2}}-\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1} \right) \\[5pt] &=& \frac{3}{4} \cdot \pmatrix{5 \\ 3 \\ 1} +\frac{1}{4} \cdot \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1+2\cdot\sqrt{2}} \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \cdot \pmatrix{18\\ 14 \\4+2\sqrt{2}}\\[5pt] &=& \pmatrix{4,5 \\ 3,5 \\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}} \end{array}$
$ \overrightarrow{OT} = \pmatrix{4,5 \\ 3,5 \\ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$
Damit sind die Koordinaten des gesuchten Punktes $T\left(4,5\mid 3,5\mid 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
#vektoren#verbindungsvektor#ortsvektor
e)
$\blacktriangleright$ Masse des Diamanten in Gramm bestimmen:
Du hast die Masse des Diamanten in Karat gegeben und sollst diese Masse in Gramm umrechnen. Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $1\text{Kt} =2\cdot 10^{-4}kg$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} 3.106,7 \, Kt&=& 3.106,7 \cdot 2\cdot 10^{-4} \,\text{kg} \\[5pt] &=& 0,62134 \,\text{kg}\\[5pt] &=& 621,34 \,\text{g} \end{array}$
$ 3.106,7 \, Kt = 621,34 \,\text{g}$
Die Masse des gefundenen Diamanten ist $621,34 \text{g}$.
f)
$\blacktriangleright$ Prozentualer Anteil des abgetrennten Teils vom gesamten Oktaeder berechnen
Betrachte das kleine abgeschnittene Stück der Pyramide $ABCDE$ als zentrische Streckung der großen Pyramide mit Streckzentrum $E$. Du weißt, dass $T$ die Strecke $AE$ im Verhältnis $1:3$ teilt. Der Streckfaktor ist also $k=\frac{3}{4}$. Bei einer zentrischen Streckung gilt für das Verhältnis zwischen dem Volumen $V$ vor der Streckung und dem Volumen $V'$ nach der Streckung:
$\frac{V'}{V}=k^3$
Das Verhältnis zwischen dem Volumen der abgetrennten Pyramide und dem Volumen der Pyramide $ABCDE$ ist also:
$\frac{V'}{V}=\Big(\frac{3}{4}\Big)^3 =0,42$
Das Volumen des ganzen Oktaeders ist genau doppelt so groß, wie das Volumen der Pyramide $ABCDE$. Deswegen ist das Verhältnis des Volumens der abgetrennten Pyramide zum Volumen des ganzen Oktaeder: $\frac{V'}{2\cdot V}=\frac{k^3}{2}=\Big(\frac{3}{4}\Big)^3 \cdot \frac{1}{2} = 0,21$
Dieses Verhältnis entspricht gerade dem prozentualen Anteil des abgetrennten Teils vom gesamten Oktaeder $ABCDEF$. Der gesuchte prozentuale Anteil ist also $21\%$.
#volumen#pyramide

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit überprüfen
Du sollst zeigen, dass das Ereignis
$A:= $„Eine fertige Glaskugel ist nicht I.Wahl“
mit einer Wahrscheinlichkeit von $p\approx 0,195$ eintritt.
Das Gegenereignis zu $A$ ist das Ereignis:
$\overline{A}:= $ „Eine fertige Glaskugel ist I.Wahl “
Es ist einfacher, die Wahrscheinlichkeit für $\overline{A}$ zu bestimmen und dann über die Gegenwahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ zu berechnen, als die Wahrscheinlichkeit für $A$ direkt zu bestimmen.
Da eine Glaskugel nur dann zur ersten Wahl gehört, wenn sie in allen Arbeitsgängen zur ersten Wahl gehört, kannst du die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 0,97\cdot 0,92 \cdot 0,93 \cdot 0,97 \\[5pt] &\approx& 0,805 \end{array}$
$ P(\overline{A}) \approx 0,805 $
Durch Bildung der Gegenwahrscheinlichkeit kannst du jetzt die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 1-P(\overline{A}) \\[5pt] &\approx& 1- 0,805\\[5pt] &=& 0,195 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ entspricht also dem in der Aufgabe angegebenen Wert.
#gegenwahrscheinlichkeit#pfadregeln
b)
$\blacktriangleright$ Gründe für die binomialvertielung von $\boldsymbol{X}$ angeben
Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Glaskugeln, die nicht $I.$ Wahl sind. Als Gründe, dafür dass man $X$ als binomialverteilt ansehen kann hast du mehrere Möglichkeiten:
  1. Betrachtest du das Ereignis $\overline{A}$ als Erfolg, so beschreibt $X$ die Anzahl von Erfolgen in einer Serie von gleichartigen unabhängigen Versuchen.
  2. Beim Überprüfen einer Produktionsreihe gibt es für jede Glaskugel genau zwei Ergebnisse, nämlich $I.$ Wahl oder nicht $I.$ Wahl.
  3. Wegen der großen Stückzahl ist der Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen vernachlässigbar
  4. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist in jedem Durchgang die Gleiche.
c)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Zufallsvariablen $X$ eine Binomialverteilung zugrunde gelegt wird. Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen ist
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Du kannst die Ereignisse $A$ und $B$ durch $X$ ausdrücken und anschließend die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Sowohl bei $A$, als auch bei $B$ ist der Parameter $p=0,195$ die Trefferwahrscheinlichkeit. Der Parameter $n$ beschreibt den Stichprobenumfang. Für das Ereignis $A$ ist $n=10$, für das Ereignis $B$ ist $n=100$.
Betrachte also das Ereignis $A$ mit $p=0,195$ und $n=10$:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X \le 2) \end{array}$
und das Ereignis $B$ mit $p=0,195$ und $n=100$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $80$ von $100$ Glaskugeln Wahl $I$ sind, entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $20$ der Glaskugeln nicht Wahl $I$ sind. Deswegen kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X \le 20) \end{array}$
Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du mit dem Taschenrechner bestimmen. Den Befehl dafür findest du unter:
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktion $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialCDF
In das Fenster musst du die Parameter $n$ und $p$ eingeben und Außerdem die untere Schranke $0$, sowie die obere Schranke $2$ beziehungsweise $20$
Aufgabe C1
Abb. 6: Eingabe der Werte in den Taschenrechner
Aufgabe C1
Abb. 6: Eingabe der Werte in den Taschenrechner
Damit erhältst du die folgenden Werte:
Aufgabe C1
Abb. 7: Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner berechnet
Aufgabe C1
Abb. 7: Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner berechnet
Die Wahrscheinlichkeiten sind also:
$P(A)=69,3 \%$ und
$P(B)=60,9\%$
d)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für unrechtmäßgie Annahme berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, mir der der Verantwortliche zu Unrecht an eine bessere Qualität glaubt, entspricht der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1.Art und damit dem Signifikanzniveau.
Kennst du dieses nicht, sondern nur den Ablehnungsbereich, so entspricht die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art der Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Ablehnungsbereich liegt:
$P(X \in \overline{A}) = P\left(\text{Fehler 1. Art}\right) = \alpha$,
wobei die Verteilung von $X$ entsprechend der Nullhypothese angenommen wird.
Der Aufgabenstellung kannst du die Nullhypothese und die Alternative entnehmen:
$H_0: p=0,195$
$H_1: p=0,1$
Da der Verantwortliche die Nullhypothese ablehnt, wenn er höchtens $12$ fehlerhafte Kugeln findet, ist der Ablehungsbereich:
$A=[0;12]$
Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit also wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& P(X \le 12) \end{array}$
Verwende, wie im vorherigen Aufgabenteil deinen Taschenrechner, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Die Parameter sind jetzt $n=100$ und $p=0,195$. Dein Taschenrechner gibt dir folgende Werte aus:
Aufgabe C1
Abb. 8: Wahrscheinlichkeit mit dem Taschenrechner berechnen
Aufgabe C1
Abb. 8: Wahrscheinlichkeit mit dem Taschenrechner berechnen
Der Fehler erster Art und damit die Wahrscheinlichkeit für die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese beträgt $3,3\%$.
#hypothesentest#signifikanzniveau
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