Teil C1

Der Diamant ist eine Modifikation des Kohlenstoffes und bildet meist oktaederförmige Kristalle. Oktaeder sind quadratische Doppelpyramiden mit 12 gleich langen Kanten. Betrachtet werden diese geraden quadratischen Pyramiden mit der gemeinsamen Grundfläche $ABCD$ und den Koordinaten der Eckpunkte $A(5 \mid 3 \mid 1),$ $B(5 \mid 7 \mid 1)$ und $C(1 \mid 7 \mid 1).$

Gib die Koordinaten des Punktes $D$ an.

(1 BE)

Die Punkte $E$ und $F$ bilden jeweils die Spitze der Pyramiden und liegen auf einer Geraden $s,$ die durch den Mittelpunkt der Grundfläche verläuft.
Gib eine Gleichung für die Gerade $s$ an.

(1 BE)

Berechne die Koordinaten der Punkte $E$ und $F.$
Zeichne das Oktaeder $ABCDEF$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
[Kontrollergebnis: $E(3 \mid 5 \mid 1 + 2\sqrt{2})$ ]

(4 BE)

Auf der Kante $\overline{AE}$ liegt ein Punkt $T,$ der die Strecke $\overline{AE}$ im Verhältnis $\overline{AT} : \overline{TE} = 1:3$ teilt.
Bestimme die Koordinaten von $T.$

(2 BE)

Der größte je gefundene Diamant namens „Cullinan“ wurde 1950 in einer Mine in Südafrika ausgegraben und später in 105 Steine aufgespalten. Seine Masse betrug 3106,7 Karat $(1\,\text{Kt} = 2\cdot 10^{-4} \,\text{kg}).$
Gib die Masse des Diamanten in $\text{g}$ an.

(1 BE)

Die größten Diamantstücke wurden zu britischen Kronjuwelen verarbeitet.
Das oben beschriebene Oktaeder ist nun ein Modell eines solchen Diamantstücks. Bei ist nun ein Modell eines solchen Diamantstücks. Bei diesem wird durch ein Punkt $T$ (aus Aufgabe d) parallel zur Grundfläche $ABCD$ der quadratischen Pyramide $ABCDE$ der obere Teil der Pyramide abgetrennt.
Berechne den prozentualen Anteil des abgetrennten Teils vom gesamten Oktaeder $ABCDEF.$

(3 BE)

In einem Betrieb werden Glaskugeln in großer Stückzahl als Weihnachtsbaumschmuck hergestellt. Sie werden in vier Arbeitsgängen gefertigt und nach der Fertigstellung geprüft. Erfahrungsgemäß wird in den einzelnen Arbeitsgängen unabhängig voneinander die erwünschte Qualität für $\text I.$ Wahl mit folgenden Wahrscheinlichkeiten erreicht:

Arbeitsgang 1	97 %
Arbeitsgang 2	92 %
Arbeitsgang 3	93 %
Arbeitsgang 4	97 %

Eine fertige Glaskugel gilt nur dann als $\text I.$ Wahl, wenn in jedem Arbeitsgang die Qualität für $\text I.$ Wahl erreicht wurde.

Zeige, dass das Ereignis „Eine fertige Glaskugel ist nicht $\text I.$ Wahl“ mit einer Wahrscheinlichkeit von $p\approx0,195$ eintritt.

(1 BE)

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Glaskugeln in einer Produktionsserie, die nicht $\text I.$ Wahl sind.
Gib mindestens zwei Gründe dafür an, dass man $X$ als binomialverteilt ansehen kann.

(2 BE)

Bestimme unter der Annahme, dass das Modell der Binomialverteilung genutzt werden kann, die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.

$A:$ $=$

„Von zehn hergestellten Glaskugeln sind höchstens zwei nicht $\text I.$ Wahl.“

$B:$ $=$

„Von 100 hergestellten Glaskugeln sind mindestens 80 Glaskugeln $\text I.$ Wahl.“

(2 BE)

Im Betrieb wurden die Produktionsverfahren verbessert. Der Verantwortliche für Qualitätssicherung vermutet nun, dass nur noch $10\,\%$ ( $H_1$ ) statt bisher $19,5\,\%$ ( $H_0$ ) der Kugeln nicht $\text I.$ Wahl sind. Die möchte er an einer Packung mit 100 Kugeln überprüfen. Findet er dabei höchstens 12 fehlerhafte Kugeln, so hält er seine Hypothese für bestätigt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der er zu Unrecht an eine bessere Qualität glaubt.

(3 BE)

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}+\pmatrix{1-5 \\ 7-7 \\ 1-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 \\ 3 \\ 1} \end{array}$

Die gesuchten Koordinaten sind somit $D(1\mid 3 \mid 1).$

Für den Mittelpunkt der Grundfläche folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{5 \\ 3 \\ 1}+\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{1-5 \\ 7-3 \\ 1-1}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} \end{array}$

Ein Normalenvektor der Ebene, in der die Grundfläche liegt, ergibt sich mit Hilfe des CAS wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{BC} \times\overrightarrow{CA} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 0} \times \pmatrix{4 \\ -4 \\ 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 \\ 0 \\ 16} \end{array}$

Mit dem saklierten Normalenvektor $\overrightarrow{n_1}=\frac{1}{16}\cdot\overrightarrow{n}$ folgt die gesuchte Geradengleichung somit:

$s:\overrightarrow{x}=\pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} + t \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$

Koordinaten der Punkte $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{F}$ berechnen

Die Punkte $E$ und $F$ liegen beide auf der, in Aufgabenteil b) bestimmten, Geraden $s.$ Da die Gerade $s$ orthogonal zu der Fläche $ABCD$ steht, ist $AME$ ein rechtwinkliges Dreieck. Für die Länge der Seite $\overline{AM}$ folgt mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AM}\right\vert &=& \left\vert\pmatrix{3-5 \\ 5-3 \\ 1-1}\right\vert \\[5pt] &=& \sqrt{8} \end{array}$

Da die Kanten eines Oktaeders gleich lang sind, folgt für die Länge der Kante $\overline{EA}$ mit dem CAS:

$\left\vert\overrightarrow{EA}\right\vert = \left\vert\overrightarrow{BC}\right\vert = 4$

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich nun die Länge von $\overline{ME}$ im CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{ME}\right\vert&=&\sqrt{\left\vert\overrightarrow{EA}\right\vert^2-\left\vert\overrightarrow{AM}\right\vert^2} \\[5pt] &=& \sqrt{8} \end{array}$

Da der Spannvektor der Geraden $s$ einen Betrag von $1$ besitzt, liefert einsetzen von $t=\sqrt{8}$ in die Geradengleichung von $s$ den Punkt $E:$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE}&=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} + \sqrt{8} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1+\sqrt{8}} \end{array}$

Da der Punkt $F$ im gleichen Abstand zu $ABCD$ und auch auf der Geraden $s$ liegt, liefert Einsetzen von $t=-\sqrt{8}$ den zugehörigen Ortsvektor:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1} - \sqrt{8} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\\[5pt] &=& \pmatrix{3 \\ 5 \\ 1-\sqrt{8}} \end{array}$

Die Koordinaten der Punkte $E$ bzw. $F$ sind somit gegeben durch $E(3\mid 5\mid 1+\sqrt{8})$ bzw. $F(3\mid 5\mid 1-\sqrt{8}).$

Oktaeder zeichnen

Da der Punkt $T$ die Kante $\overline{AE}$ im Verhältnis $\overline{AT}:\overline{TE}=1:3$ teilt, ergibt sich der Ortsvektor von $T$ durch Addition von $\frac{1}{4}\cdot\overrightarrow{AE}$ zum Ortsvektor von $A.$ Mit dem CAS folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{OT} = \pmatrix{\frac{9}{2} \\ \frac{7}{2} \\ 1+ \frac {\sqrt2}{2}}$

Die Koordinaten von $T$ sind somit gegeben durch $T\left(\frac{9}{2}\mid \frac{7}{2}\mid 1+ \frac{\sqrt2}{2}\right).$

$\begin{array}[t]{rll} 3106,7 \;\text{Kt}&=& 3106,7 \cdot 2\cdot 10^{-4} \;\text{kg} \\[5pt] &=& 0,62134 \;\text{kg}\\[5pt] &=& 621,34 \;\text{g} \end{array}$

Die Masse des gefundenen Diamanten beträgt damit $621,34\;\text{g}.$

Der abgetrennte Teil ist eine kleine Pyramide, die zur oberen Pyramide des Oktaeders ähnlich ist. Da $T$ die Strecke $AE$ im Verhältnis $1:3$ teilt, ergibt sich der Längenfaktor $k=\frac{3}{4}.$ Mit diesem Längenfaktor ergibt sich das Verhältnis zwischen dem Volumen $V_1$ der oberen Pyramide des Oktaeders und dem Volumen $V_2$ der abgetrennten Pyramide wie folgt:

$\dfrac{V_2}{V_1}=k^3\approx0,42$

Da der Oktaeder aus zwei Pyramiden mit Volumen $V_1$ besteht, folgt weiter:

$\dfrac{V_2}{2\cdot V_1}\approx \dfrac{1}{2}\cdot0,42 = 0,21$

Der abgetrennte Teil beträgt damit $21\,\%$ des gesamten Oktaeders $ABCDEF.$

$A:$

„Eine fertige Glaskugel ist nicht $\text{I}.$ Wahl“

Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses folgt mit der Pfadmultiplikationsregel:

$\begin{array}[t]{rll} P\left(\overline{A}\right)&=& 0,97\cdot 0,92 \cdot 0,93 \cdot 0,97 \\[5pt] &\approx& 0,805 \end{array}$

Somit folgt insgesamt:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 1-P\left(\overline{A}\right) \\[5pt] &\approx& 0,195 \end{array}$

Die Qualität einer Kugel ist unabhängig von der anderer Kugeln.
Beim Überprüfen einer fertigen Kugel gibt es genau zwei Ergebnisse, nämlich $\text{I}.$ Wahl oder nicht $\text{I}.$ Wahl.
Wegen der großen Stückzahl ist der Unterschied zwischen Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen vernachlässigbar, das heißt es kann von konstanten Wahrscheinlichkeiten ausgegangen werden

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Glaskugeln in einer Produktionsserie, die nicht $\text{I}.$ Wahl sind, und ist binomialverteilt mit den Parametern $n=10$ und $p=0,195$ für Ereignis $A,$ sowie mit $n=100$ und $p=0,195$ für Ereignis $B.$ Mit dem CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&B_{10;0,195}(X\leq2) \\[5pt] &\approx&0,6928 \\[5pt] &=&69,28\,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&B_{100;0,195}(X\leq20) \\[5pt] &\approx&0,6088 \\[5pt] &=&60,88\,\% \end{array}$

Berechnung von binomialen Verteilungen in einer Software-Anwendung.

Die Wahrscheinlichkeit, mit der der Verantwortliche zu Unrecht an eine bessere Qualität glaubt, entspricht dem $\alpha$ -Fehler.
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich der Verwerfungsbereich $V=\{0;\ldots;12\}$ für die Nullhypothese. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt somit, wenn $X$ die mit den Parametern $n=100$ und $p=p_0=0,195$ binomialverteilte Zufallsgröße ist, die die Anzahl der Kugeln die nicht $\text{I}.$ Wahl sind angibt, mit dem CAS:

$B_{100;0,195}(X\leq12)\approx0,0333=3,33\,\%$

Screenshot einer Software mit einer binomialen Verteilungsberechnung.