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Aufgabe C2

Aufgaben
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1  Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(5\mid2\mid4)$, $B(2\mid-2\mid1)$ und $C(3\mid6\mid2)$.
a)  Bestimme die Koordinaten eines Punktes $D$ so, dass die Punkte $ABCD$ ein Parallelogramm bilden.
(2P)
b)  Ermittle die Koordinaten eines Punktes $T$, der die Strecke $\overline{AC}$ im Verhältnis $3:1$ teilt.
(2P)
c)  Gib die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der nicht auf der Strecke $\overline{AC}$ liegt und begründe die Auswahl dieses Punktes.
(1P)
d)  Eine Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A$ und $C$. Die Gerade $g$ schneidet die $x$-$z$-Koordinatenebene.
Berechne die Koordinaten dieses Schnittpunktes.
(2P)
e)  Die Gerade $g$ wird an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt.
Gib eine Gleichung der gespiegelten Geraden an.
(1P)
2  Die Stadtverwaltung einer Großstadt führt unter der Bevölkerung eine Befragung zu einem geplanten Bauprojekt durch. Insgesamt werden mehr als $86.000$ Fragebögen an alle mindestens $16$-jährigen Bürger der Stadt versandt. Vor Auswertung dieser Fragebögen werden von ansässigen Zeitungen bereits mündliche Befragungen unter Besuchern und Markthändlern der Innenstadt durchgeführt und veröffentlicht. Hierbei zeigt sich, dass etwa $60\,\%$ der Befragten das Bauprojekt ablehnen.
a)  Beurteile den Wahrheitsgehalt folgender Aussagen.
  1. Die Auszählung der offiziellen Fragebogen kann sich die Stadt ersparen. Die Ablehnung des Bauprojektes ist damit schon absolut sicher.
  2. Es ist eher unwahrscheinlich, dass die Auszählung der offiziellen Fragebogen eine Befürwortung des Bauprojektes bringen wird.
(2P)
b)  Betrachtet werden die Ereignisse:
  1. „Die nächsten $10$ Befragten lehnen das Bauprojekt alle ab.“
  2. „Genau drei der nächsten $10$ Befragten lehnen das Bauprojekt ab.“
  3. „Unter den nächsten $10$ Befragten lehnt mehr als die Hälfte das Bauprojekt ab.“
  4. „Die Zahl der Projektgegner weicht bei den nächsten $10$ Befragten um höchstens zwei vom Erwartungswert ab.“
Erläutere, aufgrund welcher Bedingungen für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse das Modell der Binomialverteilung angenommen werden kann.
Berechnen die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, wenn $60\,\%$ der Befragten das Bauprojekt ablehnen.
(6P)
c)  In einer groß angelegten Kampagne wurde für das Bauprojekt geworben. Nun glauben die Befürworter, dass die Mehrheit der Bevölkerung für eine Bebauung votieren wird $(H_1: p_1 = 0,51)$, während die Gegner weiterhin von nur $40\,\%$ Befürwortern ausgehen $(H_0: p_0 = 0,40)$. Um hierfür eine Prognose zu treffen, soll ein Alternativtest genutzt werden, zu dem $100$ zufällig ausgewählte Bürger mündlich befragt werden.
Konstruiere einen solchen Alternativtest, bei dem die Summe der Fehler erster und zweiter Art minimal wird.
Bestimme hierfür den Annahme- und Ablehnungsbereich für $H_0$.
(4P)
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Tipps
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Aufgabe 1 a)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Die Punkte $A(5 \mid 2 \mid 4)$, $B(2 \mid -2 \mid 1)$ und $C(3 \mid 6 \mid 2)$ spannen das Dreieck $ABC$ auf. Konstruiere die Koordinaten des Punktes $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm bilden. Bei einem Parallelogramm müssen die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sein. Folglich kannst du den Punkt $D$ wie folgt darstellen:
$\boldsymbol{\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}}$
Aufgabe C2
Aufgabe C2

Aufgabe 1 b)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{T}$ bestimmen
Der Punkt $T$ teilt die Strecke $\overline{AC}$ im Verhältnis $3:1$. Das heißt, du kannst den Punkt $T$ wie folgt darstellen:
$\boldsymbol{\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AC}}$
Setze alle Vektoren ein und berechne so die Koordinaten des Punktes $T$.

Aufgabe 1 c)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{P}$ angeben
Gib die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der nicht auf der Strecke $\overline{AC}$ liegt und begründe deine Auswahl. Dazu kannst du zunächst die Gleichung der Strecke $\overline{AC}$ aufstellen und anschließend einen Punkt bestimmen, der nicht auf dieser Strecke liegt.
$\boldsymbol{\overline{AC}=\overrightarrow{OA}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AC},\quad \lambda \in \left[0;1 \right]}$
Der Parameter $\lambda$ muss im Intervall $\left[0;1 \right]$ liegen, damit genau die Strecke einschließlich der Endpunkte $A$ und $C$ dargestellt wird. Wählst du beispielsweise einen Parameter $\lambda \not\in \left[0;1 \right]$, so erhältst du einen Punkt, der zwar auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $C$ liegt, aber nicht auf der Strecke $\overline{AC}$.

Aufgabe C2 1 d)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes $\boldsymbol{S}$ berechnen
Die Gerade $g$ durch die Punkte $A$ und $C$ kann durch folgende Geradengleichung dargestellt werden:
$\boldsymbol{g:\quad \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AC},\quad t \in \mathbb{R}}$
Diese Gerade schneidet die $x$-$z$-Ebene in einem Punkt $S$. Berechne dessen Koordinaten.
Damit die Gerade $g$ die $x$-$z$-Ebene schneidet, muss für die $y$-Koordinate $\boldsymbol{y=0}$ gelten. Setze diese Bedingung in die Gleichung der Geraden $g$ ein und ermittle so die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes $S$.

Aufgabe 1 e)

$\blacktriangleright$ Gleichung der gespiegelten Geraden angeben
Die zuvor betrachtete Gerade $g$ wird nun an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt. Dabei bliebt der Schnittpunkt $S(6 \mid 0 \mid 5)$ mit der $x$-$z$-Ebene erhalten.
Eine Gerade wird durch zwei Punkte vollständig definiert. Du benötigst folglich zwei Punkte der Geraden $g'$, die an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt wurde. Da der Schnittpunkt $S(6 \mid 0 \mid 5)$ mit der Ebene bei einer Spiegelung erhalten bleibt, musst du nur noch den Punkt $A'$ wie in der Abbildung unten ermitteln.
Aufgabe C2
Aufgabe C2
Der Punkt $A'$ entsteht durch die Spiegelung des Punktes $A$ an der $x$-$z$-Ebene. Um die Koordinaten von $A'$ zu erhalten, kannst du folgende Überlegung vornehmen:
Der Punkt $A$ besitzt die Koordinaten $A(5 \mid 2 \mid 4)$ und soll an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt werden. Wird der Punkt $A$ senkrecht auf die $x$-$z$-Ebene projiziert, so wird allein die $y$-Koordinate des Punktes Null: Wir erhalten dadurch den auf die $x$-$z$-Ebene projizierten Punkt $S'(5 \mid 0 \mid 4)$.
Anschließend kannst du den Punkt $A'$ durch die folgende Vektorkette darstellen:
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{OA'}&=&\overrightarrow{OS'}+ \overrightarrow{AS'}\\ \end{array}$

Aufgabe 2 a)

$\blacktriangleright$ Wahrheitsgehalt der Aussagen bewerten
Bei einer Umfrage zu einem Bauprojekt sollen insgesamt $86\;000$ Bürger befragt werden. Davor wird aus einer Stichprobe von ausgewählten Personen die gleiche Umfrage durchgeführt. Dabei zeigt sich, dass etwa $60\;\%$ das Bauprojekt ablehnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Beurteilen der Aussage $\boldsymbol{1}$
In Aussage $\boldsymbol{1}$ wird behauptet, dass die offizielle Befragung damit hinfällig wird, da das Ergebnis aus einer Stichprobe als akkurate Vorhersage gewertet werden kann.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Beurteilen der Aussage $\boldsymbol{2}$
Aussage $\boldsymbol{2}$ gibt an, dass durch die Ablehnung des Bauprojekts innerhalb der Stichprobe vorhergesagt werden kann, dass eine Annahme des Bauprojektes unwahrscheinlich ist. Das heißt, die Stichprobe kann als Vorhersage gewertet werden, die jedoch nicht zutreffen muss.

Aufgabe 2 b)

$\blacktriangleright$ Erläutern, warum Binomialverteilung angenommen werden kann
Das Modell der Binomialverteilung, kann genau dann angenommen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit unter $n$ Versuchen für jeden einzelnen Versuch gleichbleibt und es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt.
Treffen diese beiden Eigenschaften bei der Befragung zu?
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{A}$ bestimmen
Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit für Ablehnung des Bauprojekts $p=0,6$ beträgt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{A}$: Die nächsten $10$ Befragten lehnen das Bauprojekt alle ab.
Dieses Ereignis entspricht einem Bernoulli-Versuch mit $10$ Stufen, in jedem Versuch wird das Projekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,6$ abgelehnt.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{B}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{B}$: Genau $3$ der nächsten $10$ Befragten lehnen das Bauprojekt ab.
Dieses Ereignis entspricht einem Bernoulli-Versuch mit $10$ Stufen, in $3$ der $10$ Versuch wird das Projekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,6$ abgelehnt. Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen.
$P(B)=B_{10;\;0,6}(X=3)$
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{C}$: Unter den nächsten $10$ Befragten lehnt mehr als die Hälfte das Bauprojekt ab.
Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen. Mehr als die Hälfte heißt hierbei, dass die folgende Wahrscheinlichkeit gesucht wird:
$P(X>5)=P(X\geq 6)= P(X=6) + P(X=7) + … + P(X=10)$
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{D}$: Die Zahl der Projektgegner weicht bei den nächsten $10$ Befragten um höchstens $2$ vom Erwartungswert ab.
Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen.
Um dieses Ereignis besser verstehen zu können, müssen wir zunächst den Erwartungswert berechnen, wie viele Personen unter $10$ Befragten das Bauprojekt voraussichtlich ablehnen:
$E(X)=p \cdot n = 0,6 \cdot 10 = 6$
Dieser Wert sagt aus, dass man unter $10$ Befragungen mit $6$ Personen rechnen kann, die das Projekt ablehnen. Soll dieser Wert nun um höchstens $2$ Personen abweichen, so ist gerade die folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:
$P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=P(4\leq X \leq 8)$

Aufgabe 2 c)

$\blacktriangleright$ Alternativtest konstruieren
Bei einer Kampagne wird für das Bauprojekt geworben, um die Mehrheit der Bevölkerung von dem Bauprojekt zu überzeugen. Man nimmt im Folgenden die Nullhypothese und Alternative an:
  • $\boldsymbol{H_0: p_0=0,40}$
  • $\boldsymbol{H_1: p_1=0,51}$
Hierbei werden $100$ Bürger zufällig befragt. Konstruiere einen Alternativtest, bei dem die Summe der Fehler $1.$ und $2.$ Art minimal wird.
Stimmen besonders viele Leute für das Bauprojekt, so wird die Alternative $H_1$ angenommen, bzw. abgehlehnt, falls besonders wenige dafür stimmen. Der Annahme- und Ablehnungsbereich wird meist mit Hilfe des Erwartungswert ermittelt. Wir gehen davon aus, dass $p_0=0,40$ zutrifft, damit erhalten wir
$E(X)=n \cdot p_0=100 \cdot 0,40 =40$
Das heißt, bei Beachtung von $p_0$ werden $40$ Befürworter unter $100$ Befragten erwartet.
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Aufgabe 1 a)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Die Punkte $A(5 \mid 2 \mid 4)$, $B(2 \mid -2 \mid 1)$ und $C(3 \mid 6 \mid 2)$ spannen das Dreieck $ABC$ auf. Konstruiere die Koordinaten des Punktes $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm bilden. Bei einem Parallelogramm müssen die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sein. Folglich kannst du den Punkt $D$ wie folgt darstellen:
$\boldsymbol{\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}}$
Aufgabe C2
Aufgabe C2
Wir bilden die Vektoren $\overrightarrow{OA}$ sowie $\overrightarrow{BC}$ und setzen ein:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix}3\\6\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-2\\1 \end{pmatrix}\right) &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\8\\1 \end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}6\\10\\5 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $D$ besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{D( 6\mid 10 \mid 5)}$.

Aufgabe 1 b)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{T}$ bestimmen
Der Punkt $T$ teilt die Strecke $\overline{AC}$ im Verhältnis $3:1$. Das heißt, du kannst den Punkt $T$ wie folgt darstellen:
$\boldsymbol{\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AC}}$
Setze alle Vektoren ein und berechne so die Koordinaten des Punktes $T$.
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{OT}&=&\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\cdot \overrightarrow{AC} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \frac{3}{4}\cdot\left( \begin{pmatrix}3\\6\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix}\right) &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \frac{3}{4}\cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\-2 \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\3\\-\frac{3}{2} \end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\frac{7}{2}\\5\\\frac{5}{2} \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $T$ besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{T \left( \frac{7}{2} \mid 5 \mid \frac{5}{2}\right)}$.

Aufgabe 1 c)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{P}$ angeben
Gib die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der nicht auf der Strecke $\overline{AC}$ liegt und begründe deine Auswahl. Dazu kannst du zunächst die Gleichung der Strecke $\overline{AC}$ aufstellen und anschließend einen Punkt bestimmen, der nicht auf dieser Strecke liegt.
$\boldsymbol{\overline{AC}=\overrightarrow{OA}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AC},\quad \lambda \in \left[0;1 \right]}$
Der Parameter $\lambda$ muss im Intervall $\left[0;1 \right]$ liegen, damit genau die Strecke einschließlich der Endpunkte $A$ und $C$ dargestellt wird. Wählst du beispielsweise einen Parameter $\lambda \not\in \left[0;1 \right]$, so erhältst du einen Punkt, der zwar auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $C$ liegt, aber nicht auf der Strecke $\overline{AC}$.
Dazu wählen wir beispielsweise $\lambda = 2$ und erhalten die Koordinaten des Punktes $P$:
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{OP}&=&\overrightarrow{OA}+2 \cdot \overrightarrow{AC} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + 2 \cdot\left( \begin{pmatrix}3\\6\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix}\right) &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\-2 \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\8\\-4 \end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}1\\10\\0 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $P$ besitzt beispielsweise die Koordinaten $\boldsymbol{P \left( 1 \mid 10 \mid 0\right)}$. Hier sind auch andere Koordinaten möglich.

Aufgabe 1 d)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes $\boldsymbol{S}$ berechnen
Die Gerade $g$ durch die Punkte $A$ und $C$ kann durch folgende Geradengleichung dargestellt werden:
$\boldsymbol{g:\quad \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AC},\quad t \in \mathbb{R}}$
Diese Gerade schneidet die $x$-$z$-Ebene in einem Punkt $S$. Berechne dessen Koordinaten.
Damit die Gerade $g$ die $x$-$z$-Ebene schneidet, muss für die $y$-Koordinate $\boldsymbol{y=0}$ gelten. Setze diese Bedingung in die Gleichung der Geraden $g$ ein und ermittle so die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes $S$.
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+t \cdot \overrightarrow{AC} \\ \begin{pmatrix}x\\y=0\\z \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\-2 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Daraus kannst du die Gleichung $0=2+ 4 \cdot t$ ablesen. Diese ist für $\boldsymbol{t=-\frac{1}{2}}$ erfüllt. Setze $t=-\frac{1}{2}$ auch in die anderen beiden Gleichungen ein und erhalte so die Koordinaten des Schnittpunktes $S$.
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+t \cdot \overrightarrow{AC} \\ \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\-2 \end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Schnittpunkt mit der $x$-$z$-Ebene besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{S(6 \mid 0 \mid 5)}$.

Aufgabe 1 e)

$\blacktriangleright$ Gleichung der gespiegelten Geraden angeben
Die zuvor betrachtete Gerade $g$ wird nun an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt. Dabei bliebt der Schnittpunkt $S(6 \mid 0 \mid 5)$ mit der $x$-$z$-Ebene erhalten.
Eine Gerade wird durch zwei Punkte vollständig definiert. Du benötigst folglich zwei Punkte der Geraden $g'$, die an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt wurde. Da der Schnittpunkt $S(6 \mid 0 \mid 5)$ mit der Ebene bei einer Spiegelung erhalten bleibt, musst du nur noch den Punkt $A'$ wie in der Abbildung unten ermitteln.
Aufgabe C2
Aufgabe C2
Der Punkt $A'$ entsteht durch die Spiegelung des Punktes $A$ an der $x$-$z$-Ebene. Um die Koordinaten von $A'$ zu erhalten, kannst du folgende Überlegung vornehmen:
Der Punkt $A$ besitzt die Koordinaten $A(5 \mid 2 \mid 4)$ und soll an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt werden. Wird der Punkt $A$ senkrecht auf die $x$-$z$-Ebene projiziert, so wird allein die $y$-Koordinate des Punktes Null: Wir erhalten dadurch den auf die $x$-$z$-Ebene projizierten Punkt $S'(5 \mid 0 \mid 4)$.
Anschließend kannst du den Punkt $A'$ durch die folgende Vektorkette darstellen:
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{OA'}&=&\overrightarrow{OS'}+ \overrightarrow{AS'}\\ &=&\begin{pmatrix}5\\0\\4 \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix}5\\0\\4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix}\right) &=&\begin{pmatrix}5\\0\\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\2\\0 \end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\-2\\4 \end{pmatrix} \\ \end{array}$
Der gespiegelte Punkt $A'$ besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{A'(5 \mid -2 \mid 4)}$. Mit Hilfe des Punktes $A'$ kannst du nun die Gleichung der gespiegelten Geraden $g'$ angeben:
$\begin{array}{rllll} g': \quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OS}+ s \cdot \overrightarrow{SA'}\\ &=&\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix}5\\-2\\4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix}\right)\\ &=&\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix} s \cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\-1 \end{pmatrix} \\ \end{array}$
Eine Geradengleichung der Geraden $g'$ lautet damit:
$g': \quad \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix} s \cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\-1 \end{pmatrix}$
Hier wäre beispielsweise auch eine andere Gleichung denkbar. Die Richtungsvektoren müssen jedoch linear abhängig sein.

Aufgabe 2 a)

$\blacktriangleright$ Wahrheitsgehalt der Aussagen bewerten
Bei einer Umfrage zu einem Bauprojekt sollen insgesamt $86\;000$ Bürger befragt werden. Davor wird aus einer Stichprobe von ausgewählten Personen die gleiche Umfrage durchgeführt. Dabei zeigt sich, dass etwa $60\;\%$ das Bauprojekt ablehnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Beurteilen der Aussage $\boldsymbol{1}$
In Aussage $\boldsymbol{1}$ wird behauptet, dass die offizielle Befragung damit hinfällig wird, da das Ergebnis aus einer Stichprobe als akkurate Vorhersage gewertet werden kann.
Diese Aussage ist falsch, da eine Stichprobe mit einer bestimmen Wahrscheinlichkeit nur diese Personen beinhalten könnte, die beispielsweise gegen das Bauprojekt stimmen. Es kann damit keine Aussage über die Gesamtheit der befragten Masse getroffen werden.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Beurteilen der Aussage $\boldsymbol{2}$
Aussage $\boldsymbol{2}$ gibt an, dass durch die Ablehnung des Bauprojekts innerhalb der Stichprobe vorhergesagt werden kann, dass eine Annahme des Bauprojektes unwahrscheinlich ist. Das heißt, die Stichprobe kann als Vorhersage gewertet werden, die jedoch nicht zutreffen muss.
Diese Aussage ist richtig, da eine Stichprobe mit einer bestimmen Wahrscheinlichkeit eine gemischte Auswahl an befragten Personen enthält, die annähernd die Verteilung in der gesamten Bevölkerung repräsentiert. Dadurch kann eine Vorhersage getroffen werden, die jedoch in bestimmten Fällen nicht zutreffen muss.

Aufgabe 2 b)

$\blacktriangleright$ Erläutern, warum Binomialverteilung angenommen werden kann
Das Modell der Binomialverteilung, kann genau dann angenommen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit unter $n$ Versuchen für jeden einzelnen Versuch gleichbleibt und es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt.
Treffen diese beiden Eigenschaften bei der Befragung zu?
Bei der Umfrage wird ermittelt, ob ein Bürger für oder gegen das Bauprojekt stimmt. Damit gibt es jeweils nur zwei mögliche Ausgänge. Weiterhin bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine befragte Person das Projekt ablehnt, immer gleich. Damit sind beide Eigenschaften erfüllt und es kann eine Binomialverteilung angenommen werden.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{A}$ bestimmen
Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit für Ablehnung des Bauprojekts $p=0,6$ beträgt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{A}$: Die nächsten $10$ Befragten lehnen das Bauprojekt alle ab.
Dieses Ereignis entspricht einem Bernoulli-Versuch mit $10$ Stufen, in jedem Versuch wird das Projekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,6$ abgelehnt:
$P(A)=0,6 \cdot … \cdot 0,6 = 0,6^{10} \approx 0,0060$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $10$ befragte Personen hintereinander das Projekt ablehnen, beträgt $\boldsymbol{0,0060}$ bzw. $\boldsymbol{0,6\,\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{B}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{B}$: Genau $3$ der nächsten $10$ Befragten lehnen das Bauprojekt ab.
Dieses Ereignis entspricht einem Bernoulli-Versuch mit $10$ Stufen, in $3$ der $10$ Versuch wird das Projekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,6$ abgelehnt. Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen.
$P(B)=B_{10;\;0,6}(X=3)=\binom{10}{3} \cdot (0,6)^{3} \cdot (1-0,6)^{10-3} \approx 0,0425$
Aufgabe C2
Aufgabe C2
Die Wahrscheinlichkeit, dass $3$ unter $10$ befragten Personen das Projekt ablehnen, beträgt $\boldsymbol{0,0425}$ bzw. $\boldsymbol{4,25\,\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{C}$: Unter den nächsten $10$ Befragten lehnt mehr als die Hälfte das Bauprojekt ab.
Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen. Mehr als die Hälfte heißt hierbei, dass die folgende Wahrscheinlichkeit gesucht wird:
$P(X>5)=P(X\geq 6)= P(X=6) + P(X=7) + … + P(X=10)$
Berechne diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des CAS:
Aufgabe C2
Aufgabe C2
$P(C)=B_{10;\;0,6}(X\geq 6) \approx 0,6331$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als die Hälfte unter $10$ befragten Personen das Projekt ablehnen, beträgt $\boldsymbol{0,6331}$ bzw. $\boldsymbol{63,31\,\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{D}$: Die Zahl der Projektgegner weicht bei den nächsten $10$ Befragten um höchstens $2$ vom Erwartungswert ab.
Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen.
Um dieses Ereignis besser verstehen zu können, müssen wir zunächst den Erwartungswert berechnen, wie viele Personen unter $10$ Befragten das Bauprojekt voraussichtlich ablehnen:
$E(X)=p \cdot n = 0,6 \cdot 10 = 6$
Dieser Wert sagt aus, dass man unter $10$ Befragungen mit $6$ Personen rechnen kann, die das Projekt ablehnen. Soll dieser Wert nun um höchstens $2$ Personen abweichen, so ist gerade die folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:
$P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=P(4\leq X \leq 8)$
Berechne diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des CAS:
Aufgabe C2
Aufgabe C2
$P(D)=B_{10;\;0,6}(4\leq X \leq 8) \approx 0,8989$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ablehner unter $10$ befragten Personen um höchstens $2$ vom Erwartungswert abweicht, beträgt $\boldsymbol{0,8989}$ bzw. $\boldsymbol{89,89\,\%}$.

Aufgabe 2 c)

$\blacktriangleright$ Alternativtest konstruieren
Bei einer Kampagne wird für das Bauprojekt geworben, um die Mehrheit der Bevölkerung von dem Bauprojekt zu überzeugen. Man nimmt im Folgenden die Nullhypothese und Alternative an:
  • $\boldsymbol{H_0: p_0=0,40}$
  • $\boldsymbol{H_1: p_1=0,51}$
Hierbei werden $100$ Bürger zufällig befragt. Konstruiere einen Alternativtest, bei dem die Summe der Fehler $1.$ und $2.$ Art minimal wird.
Stimmen besonders viele Leute für das Bauprojekt, so wird die Alternative $H_1$ angenommen, bzw. abgehlehnt, falls besonders wenige dafür stimmen. Der Annahme- und Ablehnungsbereich wird meist mit Hilfe des Erwartungswert ermittelt. Wir gehen davon aus, dass $p_0=0,40$ zutrifft, damit erhalten wir
$E(X)=n \cdot p_0=100 \cdot 0,40 =40$
Das heißt, bei Beachtung von $p_0$ werden $40$ Befürworter unter $100$ Befragten erwartet. Wir können den Annahme- bzw Ablehnungsbereich wie folgt definieren:
$A=\{0,1,…,40 \}\quad \quad \overline{A}=\{41,42,…,100 \}$.
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Lösungen Casio
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Aufgabe 1 a)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Die Punkte $A(5 \mid 2 \mid 4)$, $B(2 \mid -2 \mid 1)$ und $C(3 \mid 6 \mid 2)$ spannen das Dreieck $ABC$ auf. Konstruiere die Koordinaten des Punktes $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm bilden. Bei einem Parallelogramm müssen die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sein. Folglich kannst du den Punkt $D$ wie folgt darstellen:
$\boldsymbol{\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}}$
Aufgabe C2
Aufgabe C2
Wir bilden die Vektoren $\overrightarrow{OA}$ sowie $\overrightarrow{BC}$ und setzen ein:
$\begin{array}{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix}3\\6\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-2\\1 \end{pmatrix}\right) &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\8\\1 \end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}6\\10\\5 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $D$ besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{D( 6\mid 10 \mid 5)}$.

Aufgabe 1 b)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{T}$ bestimmen
Der Punkt $T$ teilt die Strecke $\overline{AC}$ im Verhältnis $3:1$. Das heißt, du kannst den Punkt $T$ wie folgt darstellen:
$\boldsymbol{\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AC}}$
Setze alle Vektoren ein und berechne so die Koordinaten des Punktes $T$.
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{OT}&=&\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\cdot \overrightarrow{AC} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \frac{3}{4}\cdot\left( \begin{pmatrix}3\\6\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix}\right) &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \frac{3}{4}\cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\-2 \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\3\\-\frac{3}{2} \end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\frac{7}{2}\\5\\\frac{5}{2} \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $T$ besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{T \left( \frac{7}{2} \mid 5 \mid \frac{5}{2}\right)}$.

Aufgabe 1 c)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{P}$ angeben
Gib die Koordinaten eines Punktes $P$ an, der nicht auf der Strecke $\overline{AC}$ liegt und begründe deine Auswahl. Dazu kannst du zunächst die Gleichung der Strecke $\overline{AC}$ aufstellen und anschließend einen Punkt bestimmen, der nicht auf dieser Strecke liegt.
$\boldsymbol{\overline{AC}=\overrightarrow{OA}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AC},\quad \lambda \in \left[0;1 \right]}$
Der Parameter $\lambda$ muss im Intervall $\left[0;1 \right]$ liegen, damit genau die Strecke einschließlich der Endpunkte $A$ und $C$ dargestellt wird. Wählst du beispielsweise einen Parameter $\lambda \not\in \left[0;1 \right]$, so erhältst du einen Punkt, der zwar auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $C$ liegt, aber nicht auf der Strecke $\overline{AC}$.
Dazu wählen wir beispielsweise $\lambda = 2$ und erhalten die Koordinaten des Punktes $P$:
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{OP}&=&\overrightarrow{OA}+2 \cdot \overrightarrow{AC} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + 2 \cdot\left( \begin{pmatrix}3\\6\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix}\right) &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\-2 \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\8\\-4 \end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}1\\10\\0 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Punkt $P$ besitzt beispielsweise die Koordinaten $\boldsymbol{P \left( 1 \mid 10 \mid 0\right)}$. Hier sind auch andere Koordinaten möglich.

Aufgabe 1 d)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes $\boldsymbol{S}$ berechnen
Die Gerade $g$ durch die Punkte $A$ und $C$ kann durch folgende Geradengleichung dargestellt werden:
$\boldsymbol{g:\quad \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AC},\quad t \in \mathbb{R}}$
Diese Gerade schneidet die $x$-$z$-Ebene in einem Punkt $S$. Berechne dessen Koordinaten.
Damit die Gerade $g$ die $x$-$z$-Ebene schneidet, muss für die $y$-Koordinate $\boldsymbol{y=0}$ gelten. Setze diese Bedingung in die Gleichung der Geraden $g$ ein und ermittle so die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes $S$.
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+t \cdot \overrightarrow{AC} \\ \begin{pmatrix}x\\y=0\\z \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\-2 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Daraus kannst du die Gleichung $0=2+ 4 \cdot t$ ablesen. Diese ist für $\boldsymbol{t=-\frac{1}{2}}$ erfüllt. Setze $t=-\frac{1}{2}$ auch in die anderen beiden Gleichungen ein und erhalte so die Koordinaten des Schnittpunktes $S$.
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+t \cdot \overrightarrow{AC} \\ \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}-2\\4\\-2 \end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Der Schnittpunkt mit der $x$-$z$-Ebene besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{S(6 \mid 0 \mid 5)}$.

Aufgabe 1 e)

$\blacktriangleright$ Gleichung der gespiegelten Geraden angeben
Die zuvor betrachtete Gerade $g$ wird nun an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt. Dabei bliebt der Schnittpunkt $S(6 \mid 0 \mid 5)$ mit der $x$-$z$-Ebene erhalten.
Eine Gerade wird durch zwei Punkte vollständig definiert. Du benötigst folglich zwei Punkte der Geraden $g'$, die an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt wurde. Da der Schnittpunkt $S(6 \mid 0 \mid 5)$ mit der Ebene bei einer Spiegelung erhalten bleibt, musst du nur noch den Punkt $A'$ wie in der Abbildung unten ermitteln.
Aufgabe C2
Aufgabe C2
Der Punkt $A'$ entsteht durch die Spiegelung des Punktes $A$ an der $x$-$z$-Ebene. Um die Koordinaten von $A'$ zu erhalten, kannst du folgende Überlegung vornehmen:
Der Punkt $A$ besitzt die Koordinaten $A(5 \mid 2 \mid 4)$ und soll an der $x$-$z$-Ebene gespiegelt werden. Wird der Punkt $A$ senkrecht auf die $x$-$z$-Ebene projiziert, so wird allein die $y$-Koordinate des Punktes Null: Wir erhalten dadurch den auf die $x$-$z$-Ebene projizierten Punkt $S'(5 \mid 0 \mid 4)$.
Anschließend kannst du den Punkt $A'$ durch die folgende Vektorkette darstellen:
$\begin{array}{rllll} \overrightarrow{OA'}&=&\overrightarrow{OS'}+ \overrightarrow{AS'}\\ &=&\begin{pmatrix}5\\0\\4 \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix}5\\0\\4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}5\\2\\4 \end{pmatrix}\right) &=&\begin{pmatrix}5\\0\\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\2\\0 \end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\-2\\4 \end{pmatrix} \\ \end{array}$
Der gespiegelte Punkt $A'$ besitzt die Koordinaten $\boldsymbol{A'(5 \mid -2 \mid 4)}$. Mit Hilfe des Punktes $A'$ kannst du nun die Gleichung der gespiegelten Geraden $g'$ angeben:
$\begin{array}{rllll} g': \quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OS}+ s \cdot \overrightarrow{SA'}\\ &=&\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix}5\\-2\\4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix}\right)\\ &=&\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix} s \cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\-1 \end{pmatrix} \\ \end{array}$
Eine Geradengleichung der Geraden $g'$ lautet damit:
$g': \quad \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\5 \end{pmatrix} s \cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\-1 \end{pmatrix}$
Hier wäre beispielsweise auch eine andere Gleichung denkbar. Die Richtungsvektoren müssen jedoch linear abhängig sein.

Aufgabe 2 a)

$\blacktriangleright$ Wahrheitsgehalt der Aussagen bewerten
Bei einer Umfrage zu einem Bauprojekt sollen insgesamt $86\;000$ Bürger befragt werden. Davor wird aus einer Stichprobe von ausgewählten Personen die gleiche Umfrage durchgeführt. Dabei zeigt sich, dass etwa $60\;\%$ das Bauprojekt ablehnen.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Beurteilen der Aussage $\boldsymbol{1}$
In Aussage $\boldsymbol{1}$ wird behauptet, dass die offizielle Befragung damit hinfällig wird, da das Ergebnis aus einer Stichprobe als akkurate Vorhersage gewertet werden kann.
Diese Aussage ist falsch, da eine Stichprobe mit einer bestimmen Wahrscheinlichkeit nur diese Personen beinhalten könnte, die beispielsweise gegen das Bauprojekt stimmen. Es kann damit keine Aussage über die Gesamtheit der befragten Masse getroffen werden.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Beurteilen der Aussage $\boldsymbol{2}$
Aussage $\boldsymbol{2}$ gibt an, dass durch die Ablehnung des Bauprojekts innerhalb der Stichprobe vorhergesagt werden kann, dass eine Annahme des Bauprojektes unwahrscheinlich ist. Das heißt, die Stichprobe kann als Vorhersage gewertet werden, die jedoch nicht zutreffen muss.
Diese Aussage ist richtig, da eine Stichprobe mit einer bestimmen Wahrscheinlichkeit eine gemischte Auswahl an befragten Personen enthält, die annähernd die Verteilung in der gesamten Bevölkerung repräsentiert. Dadurch kann eine Vorhersage getroffen werden, die jedoch in bestimmten Fällen nicht zutreffen muss.

Aufgabe 2 b)

$\blacktriangleright$ Erläutern, warum Binomialverteilung angenommen werden kann
Das Modell der Binomialverteilung, kann genau dann angenommen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit unter $n$ Versuchen für jeden einzelnen Versuch gleichbleibt und es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt.
Treffen diese beiden Eigenschaften bei der Befragung zu?
Bei der Umfrage wird ermittelt, ob ein Bürger für oder gegen das Bauprojekt stimmt. Damit gibt es jeweils nur zwei mögliche Ausgänge. Weiterhin bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine befragte Person das Projekt ablehnt, immer gleich. Damit sind beide Eigenschaften erfüllt und es kann eine Binomialverteilung angenommen werden.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{A}$ bestimmen
Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit für Ablehnung des Bauprojekts $p=0,6$ beträgt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{A}$: Die nächsten $10$ Befragten lehnen das Bauprojekt alle ab.
Dieses Ereignis entspricht einem Bernoulli-Versuch mit $10$ Stufen, in jedem Versuch wird das Projekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,6$ abgelehnt:
$P(A)=0,6 \cdot … \cdot 0,6 = 0,6^{10} \approx 0,0060$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $10$ befragte Personen hintereinander das Projekt ablehnen, beträgt $\boldsymbol{0,0060}$ bzw. $\boldsymbol{0,6\,\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{B}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{B}$: Genau $3$ der nächsten $10$ Befragten lehnen das Bauprojekt ab.
Dieses Ereignis entspricht einem Bernoulli-Versuch mit $10$ Stufen, in $3$ der $10$ Versuch wird das Projekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,6$ abgelehnt. Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen.
$P(B)=B_{10;\;0,6}(X=3)=\binom{10}{3} \cdot (0,6)^{3} \cdot (1-0,6)^{10-3} \approx 0,0425$
Aufgabe C2
Aufgabe C2
Die Wahrscheinlichkeit, dass $3$ unter $10$ befragten Personen das Projekt ablehnen, beträgt $\boldsymbol{0,0425}$ bzw. $\boldsymbol{4,25\,\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{C}$: Unter den nächsten $10$ Befragten lehnt mehr als die Hälfte das Bauprojekt ab.
Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen. Mehr als die Hälfte heißt hierbei, dass die folgende Wahrscheinlichkeit gesucht wird:
$P(X>5)=P(X\geq 6)= P(X=6) + P(X=7) + … + P(X=10)$
Berechne diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des CAS:
Aufgabe C2
Aufgabe C2
$P(C)=B_{10;\;0,6}(X\geq 6) \approx 0,6331$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als die Hälfte unter $10$ befragten Personen das Projekt ablehnen, beträgt $\boldsymbol{0,6331}$ bzw. $\boldsymbol{63,31\,\%}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{D}$: Die Zahl der Projektgegner weicht bei den nächsten $10$ Befragten um höchstens $2$ vom Erwartungswert ab.
Sei dabei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen beschreibt, die das Bauprojekt ablehnen.
Um dieses Ereignis besser verstehen zu können, müssen wir zunächst den Erwartungswert berechnen, wie viele Personen unter $10$ Befragten das Bauprojekt voraussichtlich ablehnen:
$E(X)=p \cdot n = 0,6 \cdot 10 = 6$
Dieser Wert sagt aus, dass man unter $10$ Befragungen mit $6$ Personen rechnen kann, die das Projekt ablehnen. Soll dieser Wert nun um höchstens $2$ Personen abweichen, so ist gerade die folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:
$P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=P(4\leq X \leq 8)$
Berechne diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des CAS:
Aufgabe C2
Aufgabe C2
$P(D)=B_{10;\;0,6}(4\leq X \leq 8) \approx 0,8989$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ablehner unter $10$ befragten Personen um höchstens $2$ vom Erwartungswert abweicht, beträgt $\boldsymbol{0,8989}$ bzw. $\boldsymbol{89,89\,\%}$.

Aufgabe 2 c)

$\blacktriangleright$ Alternativtest konstruieren
Bei einer Kampagne wird für das Bauprojekt geworben, um die Mehrheit der Bevölkerung von dem Bauprojekt zu überzeugen. Man nimmt im Folgenden die Nullhypothese und Alternative an:
  • $\boldsymbol{H_0: p_0=0,40}$
  • $\boldsymbol{H_1: p_1=0,51}$
Hierbei werden $100$ Bürger zufällig befragt. Konstruiere einen Alternativtest, bei dem die Summe der Fehler $1.$ und $2.$ Art minimal wird.
Stimmen besonders viele Leute für das Bauprojekt, so wird die Alternative $H_1$ angenommen, bzw. abgehlehnt, falls besonders wenige dafür stimmen. Der Annahme- und Ablehnungsbereich wird meist mit Hilfe des Erwartungswert ermittelt. Wir gehen davon aus, dass $p_0=0,40$ zutrifft, damit erhalten wir
$E(X)=n \cdot p_0=100 \cdot 0,40 =40$
Das heißt, bei Beachtung von $p_0$ werden $40$ Befürworter unter $100$ Befragten erwartet. Wir können den Annahme- bzw Ablehnungsbereich wie folgt definieren:
$A=\{0,1,…,40 \}\quad \quad \overline{A}=\{41,42,…,100 \}$.
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