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Aufgabe C2

Aufgaben
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1.
Das Berliner Robert-Koch-Institut (RKI) rechnete für das Jahr 2017 mit einem größeren Masernproblem als im Vorjahr. Bis März 2017 waren bundesweit bereits $203$ Fälle bestätigt, während 2016 insgesamt nur $326$ registriert wurden. Grund für diesen Anstieg ist eine zunehmende Impfmüdigkeit der Bevölkerung. Nur rund $70\,\%$ der Zweijährigen in Deutschland sind ausreichend gegen Masern geimpft, wünschenswert wären $95\,\%.$
Nach: Ostthüringer Zeitung, 11.03.2017, S. 8.
Es werden $n$ Zweijährige zufällig ausgewählt und auf ihren Masernimpfschutz überprüfft. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz.
$\,$
a)
Das exakte Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen aufgrund einer solchen Studie ist das Modell „Ziehen ohne Zurücklegen“.
Begründe, dass für diese Berechnungen trotzdem das modell der Binomialverteilung angewendet werden kann.
(3 BE)
#binomialverteilung
$\,$
Verwende das Modell der Binomialverteilung mit $n=100$ und $p=0,7.$
$\,$
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
„Die Anzahl der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz weicht um höchstens $10\,\%$ vom Erwartungswert ab.“
„Bei mindestens der Hälfte aller Zweijährigen ist der Masernimpfschutz ausreichend.“
(4 BE)
$\,$
c)
Betrachtet wird das Ereignis:
„Bei mindestens $k$ der Zweijährigen ist der Masernimpfschutz ausreichend.“
Bestimme den Wert für $k$ so, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C$ mindestens $90\,\%$ beträgt.
(3 BE)
$\,$
Da die Masern eine ernstzunehmende Kinderkrankheit mit möglichen schwerwiegenden Komplikationen sind, wurde in den Medien 2017 verstärkt aufgeklärt.
Im Jahr 2018 soll dazu eine Studie in mehreren Kinderarztpraxen Deutschlands durchgeführt werden, die die Wirksamkeit der Aufklärungskampagne üerprüft. Dabei wird untersucht, ob die Impfungsrate unter den Zweijährigen größer geworden ist. Hierzu werden die Impfdaten von $1000$ Zweijährigen erhoben. Der Test soll auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ durchgeführt werden.
$\,$
d)
Für die Variante 1 gilt: $H_0:\; p_0 \leq 0,7$ und $h_1:\, p_1> 0,7.$
Ermittle den zugehörigen Annahme- und Verwerfungsbereich für diese Variante und gib eine geeignete Entscheidungsregel bezogen auf den Sachverhalt an.
(4 BE)
#hypothesentest
$\,$
e)
Für die Variante 2 gilt: $H_0:\, p_0\geq 0,7$ und $H_1:\, p_1< 0,7.$
Ermittle nun den zugehörigen Annahme- und Verwerfungsbereich für diese Variante.
(3 BE)
#hypothesentest
$\,$
f)
Nimm an, du wärst für die Durchführung der Studie verantwortlich.
Gib die Variante an, für die du dich entscheiden würdest. Begründe deine Entscheidung.
(2 BE)
$\,$
g)
Der $\beta$-Fehler (Fehler 2. Art) für Variante 1 lässt sich für jedes $p_1>0,7$ mit $\beta_1 = B_{1000;p_1}(X\leq 724)$ berechnen.
Begründe diesen Ansatz.
(2 BE)
$\,$
h)
Stelle die Abhängigkeit des $\beta$-Fehlers von der unbekannten Wahrscheinlichkeit $p_1$ für $p_1> 0,7$ graphisch dar (Variante 1).
Interpretiere den Verlauf des Graphen.
(4 BE)
2.
Für jede reelle Zahl $a$ ist eine Gerade $g_a$ durch $g_a: \, \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\4\\6} +r\cdot \pmatrix{1\\0\\a}$ $(r\in \mathbb{R})$ gegeben.
$\,$
a)
Zeige, dass keine Gerade $g_a$ durch den Koordinatenursprung verläuft.
(2 BE)
$\,$
b)
Begründe, dass alle Geraden $g_a$ parallel zur $xz$-Ebene verlaufen.
Gib den Abstand der Schar zur $xz$-Ebene an.
(2 BE)
$\,$
c)
Bestimme eine Gleichung der Gerade $g_a,$ die die $y$-Achse schneidet.
(2 BE)
$\,$
d)
Alle Geraden $g_a$ mit $a\neq 0$ durchstoßen die $xy$-Ebene.
Die Durchstoßpunkte liegen auf einer Geraden.
Ermittle eine Gleichung für diese Gerade.
(3 BE)
$\,$
e)
Alle Geraden $g_a$ schneiden sich im Punkt $P(3\mid 4\mid 6).$
Ermittle alle Werte für $a$ so, dass sich die Geraden $g_a$ und $g_a$ unter einem Winkel von $60^{\circ}$ schneiden.
(3 BE)
$\,$
f)
Der Punkt $P'$ ist der Spiegelpunkt des Punktes $P(3\mid 4\mid 6)$ an der $xz$-Ebene. Der Koordinatenursprung und die Punkte $P$ und $P'$ bilden ein Dreieck.
Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(3 BE)
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Eignung der Binomialverteilung begründenAufgabe C2
Grundvoraussetzung für die Anwendung der Binomialverteilung ist, dass das Zufallsexperiment zwei mögliche Ausgänge hat. Im vorliegenden Fall besitzt jedes untersuchte Zweijährige entweder einen ausreichenden Masernimpfschutz oder nicht. Es gibt also nur zwei Ausgänge.
Eine weitere Voraussetzung ist die Unabhängigkeit. Man kann davon ausgehen, dass der Impfschutz der Zweijährigen untereinander unabhängig von einander ist.
Die weitere Voraussetzung ist, dass die Wahrscheinlichkeit für einen ausreichenden Impfschutz bei jedem Zweijährigen gleich ist. Da die Stichprobe aus allen Zweijährigen in Deutschland genommen wird, ist die Grundgesamtheit so groß, dass die Veränderungen der Wahrscheinlichkeit trotz des Ziehens ohne Zurücklegen so minimal sind, dass die Wahrscheinlichkeit als konstant angenommen werden kann.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz beschreibt. $X$ kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=100$ und $p = 0,7$ angenommen werden.
Du kannst dein CAS verwenden.
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 100 \cdot 0,7 \\[5pt] &=& 70 \end{array}$
Damit ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(70-0,1\cdot 70 \leq X \leq 70 +0,1\cdot 70 ) \\[5pt] &=& P(63\leq X \leq 77) \\[5pt] &=& B_{100;0,7}(63\leq X \leq 77) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 0,8991 \\[10pt] P(B)&=& P(X \geq 50 ) \\[5pt] &=& 1-B_{100;0,7}( X \geq 50) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 1,0000 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx& 0,8991 \\[10pt] P(B)&\approx& 1,0000 \\[10pt] \end{array}$
#binomialverteilung
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Gesucht ist $k$ so, dass folgendes gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&\geq& 0,9 \\[5pt] P(X\geq k) &\geq& 0,9 \\[5pt] B_{100;0,7}(X\geq k)&\geq & 0,9 \end{array}$
Mit dem CAS kannst du für verschiedene Werte von $k$ die Wahrscheinlichkeit berechnen und so durch systematisches Probieren den gesuchten Wert von $k$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} B_{100;0,7}(X\geq 60)&\approx& 0,9875 \\[5pt] B_{100;0,7}(X\geq 70)&\approx& 0,5491 \\[5pt] B_{100;0,7}(X\geq 65)&\approx& 0,8839 \\[5pt] B_{100;0,7}(X\geq 63)&\approx& 0,9470 \\[5pt] B_{100;0,7}(X\geq 64)&\approx& 0,9201 \\[5pt] \end{array}$
Es ist also $k\leq 64.$
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Annahme- und Verwerfungsbereich bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz in der Stichprobe von $1000$ Zweijährigen beschreibt. Diese kann unter Gültigkeit der angegebenen Nullhypothese als binomialverteilt mit $n=1000$ und $p=0,7$ angenommen werden.
Gesucht sind nun der Annahmebereich $A_1=\{0;1;…;k_1\}$ und der Verwerfungsbereich $V_1=\{k_1+1;…;999;1000\}.$ Aufgrund des Signifikanzniveaus von $5\,\%$ muss $k_1$ so gewählt werden, dass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y \in V_1 )&\leq& 0,05 \\[5pt] P(Y\geq k_1+1)&\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(Y\leq k_1)&\leq & 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(Y\leq k_1)&\leq & -0,95 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(Y\leq k_1)&\geq & 0,95 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X \leq k_1 )&\geq & 0,95 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(Y \in V_1 )&\leq& 0,05 \\[5pt] … \\[5pt] B_{1000;0,7}(X \leq k_1 )&\geq & 0,95 \\[5pt] \end{array}$
$k_1$ kannst du nun entweder über die Sigma-Regeln bestimmen oder durch systematisches Probieren mit deinem CAS. Durch Probieren erhältst du beispielsweise folgende Ergebnisse:
$\begin{array}[t]{rll} B_{1000;0,7}(X \leq 750) &\approx& 0,9998 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X \leq 720) &\approx& 0,9221 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X \leq 730) &\approx& 0,9831 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X \leq 725) &\approx& 0,9616 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X \leq 724) &\approx& 0,9554 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X \leq 723) &\approx& 0,9484 \\[5pt] \end{array}$
Es ist also $k_1= 724.$ Der Annahme- und der Verwerfungsbereich sind daher:
$A_1= \{0;…;724\}$ und $V_1=\{725;…;1000\}$
Eine zugehörige Entscheidungsregel kann lauten:
Sind unter den $1000$ untersuchten Zweijährigen mindestens $725$ Kinder geimpft, so kann man davon ausgehen, dass sich der Anteil der Zweijährigen mit einem ausreichenden Masernimpfschutz erhöht hat.
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Annahme- und Verwerfungsbereich ermitteln
Du kannst genauso vorgehen wie in der letzten Teilaufgabe. Betrachtet wird wieder die Zufallsgröße $Y.$ Gesucht sind nun Annahme- und Verwerfungsbereich der folgenden Form:
$A_2=\{k_2+1;…;1000\}$ und $V_2=\{0;1;…;k_2\}$
Aufgrund des Signifikanzniveaus muss $k$ nun so gewählt werden, dass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\in V_2)&\leq& 0,05 \\[5pt] P(Y\leq k_2 )&\leq& 0,05 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X\leq k_2 )&\leq& 0,05 \\[5pt] \end{array}$
Durch systematisches Probieren mit deinem CAS erhältst du folgende Ergebnisse:
$\begin{array}[t]{rll} B_{1000;0,7}(X\leq 680 ) &\approx& 0,0898 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X\leq 675 )&\approx& 0,0462 \\[5pt] B_{1000;0,7}(X\leq 676 )&\approx& 0,0532 \\[5pt] \end{array}$
Es ist also $k_2= 675.$ Damit sind der Annahme- und der Verwerfungsbereich:
$A_2=\{676;…;1000\}$ und $V_2=\{0;1;…;675\}$
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Variante auswählen
In der Studie soll überprüft werden, ob sich die Impfrate der Zweijährigen verbessert hat, also ob der Anteil der Zweijährigen mit ausreichendem Masernimpfschutz gestiegen ist. Mit dem Test in Variante 2 kann man nur eine gegensätzliche Aussage überprüfen, also ob sich die Impfrate verschlechtert hat. Da würde man nämlich bereits ab $676$ Kindern mit ausreichendem Masernimpfschutz davon ausgehen, dass die Impfrate mindestens gleich hoch geblieben ist. Der Erwartungswert bei einer gleichgebliebenen Impfrate von $70\,\%$ beträgt $700.$ Man würde also in Variante zwei schon von einer mindestens gleichhohen Impfrate ausgehen, auch wenn beispielsweise weniger Kinder als erwartet einen ausreichenden Impfschutz aufweisen. Das führt zu einer hohen Fehlerwahrscheinlichkeit.
Im Gegensatz dazu ist in Variante 1 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die angenommene Wahrscheinlichkeit $p_0$ gilt und das Stichprobenergebnis trotzdem im Verwerfungsbereich liegt, also man fälschlicherweise von einer verbesserten Impfrate ausgeht, durch das Signifikanzniveau von $5\,\%$ begrenzt. Hier geht man erst von einer verbesserten Impfrate aus, wenn mindestens $725$ Kinder mit ausreichendem Impfschutz in der Stichprobe sind. Man sichert sich also ab und geht nur bei signifikant mehr Kindern mit ausreichendem Impfschutz von einer verbesserten Impfrate aus.
Ich würde daher Variante 1 wählen.
$\,$
g)
$\blacktriangleright$  Ansatz begründen
Der Fehler 2. Art wird begangen, wenn das Stichprobenergebnis die Nullhypothese bestätigt, obwohl eigentlich eine andere Wahrscheinlichkeit $p_1$ gilt, die zur Gegenhypothese gehört. Die Nullhypothese wird also fälschlicherweise nicht abgelehnt.
Die zugehörige Zufallsgröße $Y_1$ ist dann binomialverteilt mit $n=1000$ und $p=p_1.$ Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Stichprobenergebnis trotzdem im Annahmebereich liegt:
$\begin{array}[t]{rll} \beta_1 &=& P(Y_1 \in A_1) \\[5pt] &=& P(Y_1 \leq 724) \\[5pt] &=& B_{1000;p_1}(X \leq 724) \\[5pt] \end{array}$
$\,$
h)
$\blacktriangleright$  Fehler grafisch darstellen
Zum Zeichnen des Graphen kannst du dein CAS verwenden. Verwende den BinomCDf-Befehl deines CAS im Graphik-Menü und setze anstelle einer spezifischen Wahrscheinlichkeit $p$ eine Variable $x$ ein. So kannst du dir den zugehörigen Graphen anzeigen lassen.
Zur Unterstützung kannst du noch die Wahrscheinlichkeit $B_{1000;p_1}(X\leq 724)$ für verschiedene bestimmte Werte von $p_1> 0,7$ berechnen und diese zur Hilfe in dein Koordinatensystem einzeichnen. Der Graph sieht dann in etwa wie folgt aus:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Aufgabe C2
Abb. 2: Graphik-Menü des CAS
Aufgabe C2
Abb. 2: Graphik-Menü des CAS
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen interpretieren
Der Graph fällt sehr schnell und strebt gegen Null. Bereits ab $p_1 \approx 0,76$ erreicht er annähernd die $p$-Achse. Der Test ist daher sehr sensibel.
2.
a)
$\blacktriangleright$  Verlauf durch den Koordinatenursprung überprüfen
Der Ortsvektor des Koordinatenursprungs ist $\pmatrix{0\\0\\0}.$ Betrachte die Geradengleichung:
$g_a:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\4\\6} + r\cdot \pmatrix{1\\0\\a}$
Der zweite Eintrag des Richtungsvektors ist $0.$ Dadurch hat jeder Punkt auf den Geraden $g_a$ die $y$-Koordinate $4 +0 = 4.$ Es gibt also keinen Punkt auf einer Geraden mit der $y$-Koordinate $0.$
Der Punkt mit den Koordinaten $(0\mid 0\mid 0)$ kann daher auf keiner der Geraden $g_a$ liegen.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Parallelität begründen
Wie oben genannt, haben alle Punkte auf den Geraden $a,$ unabhängig vom Parameter $a,$ die $y$-Koordinate $4.$ Aus dem Grund befinden sich alle Geraden $g_a$ in der Ebene mit der Gleichung $y=4.$ Die $xz$-Ebene kann durch die Gleichung $y=0$ beschrieben werden.
Die Geraden $g_a$ sind daher parallel zur $xz$-Ebene und haben zu dieser einen Abstand von $4$ Längeneinheiten.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Die Gerade $g_a$ schneidet die $y$-Achse, wenn auf $g_a$ ein Punkt liegt, dessen $x$- und $z$-Koordinaten $0$ sind. Gleichsetzen liefert:
$\pmatrix{0\\y\\0} = \pmatrix{3\\4\\6} +r\cdot \pmatrix{1\\0\\a}$
Aus der ersten Zeile für die $x$-Koordinate folgt $r =-3.$ Mit der dritten Zeile für die $z$-Koordinate folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 6 +r\cdot a &\quad \scriptsize \mid\;r= -3 \\[5pt] 0&=& 6 -3\cdot a &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] -6&=& -3\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] 2&=& a \end{array}$
$ a=2 $
Die Gerade $g_{2}$ mit $g_{2}:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\4\\5} +r\cdot \pmatrix{1\\0\\2}$ schneidet die $y$-Achse.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung ermitteln
Du kannst beispielsweise die Durchstoßpunkte von zwei Geraden bestimmen und anschließend eine Gerade durch diese zwei Punkte legen.
Verwende beispielsweise die Geraden $g_1$ und $g_2.$
1. Schritt: Durchstoßpunkte bestimmen
Der Punkt, in dem die Gerade $g_a$ die $xy$-Ebene durchstößt, hat die $z$-Koordinate $0.$ Für $g_1$ folgt:
$\pmatrix{x\\y\\0} = \pmatrix{ 3\\4\\6 } + r\cdot \pmatrix{1\\0\\1}$
Die dritte Zeile für die $z$-Koordinate ist für $r=-6$ erfüllt. Der Ortsvektor des Durchstoßpunkts von $g_1$ ist also:
$\overrightarrow{OD_1} = \pmatrix{ 3\\4\\6 } - 6\cdot \pmatrix{1\\0\\1} = \pmatrix{-3\\4\\0}$
$ \overrightarrow{OD_1} = \pmatrix{-3\\4\\0}$
Für $g_2$ folgt analog:
$\pmatrix{x\\y\\0} = \pmatrix{ 3\\4\\6 } + r\cdot \pmatrix{1\\0\\2}$
Die dritte Zeile für die $z$-Koordinate ist für $r=-3$ erfüllt. Der Ortsvektor des Durchstoßpunkts von $g_2$ ist also:
$\overrightarrow{OD_2} = \pmatrix{ 3\\4\\6 } - 3\cdot \pmatrix{1\\0\\2} = \pmatrix{0\\4\\0}$
$ \overrightarrow{OD_2} =\pmatrix{0\\4\\0} $
2. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Gerade durch $D_1$ und $D_2$ kann beispielsweise durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} d:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OD_1} +s\cdot \overrightarrow{D_1D_2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\4\\0} +s\cdot \pmatrix{3\\0\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ d:\, \overrightarrow{x}=… $
Eine Gleichung der Geraden, auf der die Durchstoßpunkte der Geraden $g_a$ der $xy$-Ebene liegen, lautet:
$d:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{-3\\4\\0} +s\cdot \pmatrix{3\\0\\0}$ mit $s\in \mathbb{R}$
$ d:\, \overrightarrow{x} =… $
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte ermitteln
Der Richtungsvektor von $g_1$ ist $\overrightarrow{r_1} = \pmatrix{1\\0\\1}.$ Der Richtungsvektor von $g_a$ ist $\overrightarrow{r_a}= \pmatrix{1\\0\\a}.$
Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Geraden erhältst du folgende Gleichung, die du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{r_1}\circ \overrightarrow{r_a} \right|}{\left|\overrightarrow{r_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r_a}\right|} \\[5pt] \cos 60^{\circ} &=& \dfrac{\left| \pmatrix{1\\0\\1}\circ \pmatrix{1\\0\\a} \right|}{\left|\pmatrix{1\\0\\1} \right| \cdot \left| \pmatrix{1\\0\\a}\right|} \\[5pt] \cos 60^{\circ} &=& \dfrac{\left| 1\cdot 1 + 0\cdot 0 +1\cdot a \right|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+a^2}} \\[5pt] \cos 60^{\circ} &=& \dfrac{\left| 1+a \right|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+a^2}} &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] a_1&=& \sqrt{3}-2 \\[5pt] a_2&=& -\sqrt{3}-2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{r_1}\circ \overrightarrow{r_a} \right|}{\left|\overrightarrow{r_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r_a}\right|} \\[5pt] … \\[5pt] a_1&=& \sqrt{3}-2 \\[5pt] a_2&=& -\sqrt{3}-2 \\[5pt] \end{array}$
Für $a_1 = \sqrt{3}-2$ und $a_2 = -\sqrt{3}-2$ schneiden sich die Geraden $g_a$ und $g_1$ unter einem Winkel von $60^{\circ}.$
#schnittwinkel
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Da der Punkt $P'$ durch Spiegelung des Punkts $P(3\mid 4 \mid 6)$ an der $xz$-Ebene entsteht, hat er die gleichen Koordinaten wie $P,$ nur dass die $y$-Koordinate ein negatives Vorzeichen erhält:
$P'(3\mid -4\mid 6).$
Der Flächeninhalt des Dreiecks kann mithilfe des Kreuzprodukts zweier Vektoren berechnet werden, die das Dreieck aufspannen:
$\begin{array}[t]{rll} A_{OPP'}&=& \frac{1}{2}\cdot\left| \overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OP'}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{3\\4\\6} \times \pmatrix{3\\-4\\6} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{ 4\cdot 6 - 6\cdot(-4) \\ 6\cdot 3 - 3\cdot 6 \\ 3\cdot (-4) - 4\cdot 3 } \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{ 48 \\ 0 \\ -24 } \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{48^2 +0^2 + (-24)^2} \\[5pt] &=& 12\cdot \sqrt{5} \\[5pt] \end{array}$
$ A_{OPP'} =12\cdot \sqrt{5} $
Der Flächeninhalt des Dreiecks $OPP'$ beträgt $12\sqrt{5}$ Flächeneinheiten.
#kreuzprodukt
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