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Aufgabe B2

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=-x^3+3x$    $(x\in\mathbb{R})$.
a)  Durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $x$-Achse entsteht der Graph von $f_1$. Der Graph von $f_2$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Geraden $y=2$. Der Graph von $f_3$ entsteht durch Verschiebung des Graphen von $f$ derart, dass der Tiefpunkt des Graphen von $f_3$ im Koordinatenursprung liegt.
Gib je eine Funktionsgleichung von $f_1$, $f_2$ und $f_3$ an.
(3P)
b)  In den Extrempunkten und in den beiden vom Koordinatenursprung verschiedenen Schnittpunkten des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse werden die Tangenten an den Graphen von $f$ gelegt. Diese Tangenten bilden ein Viereck.
Begründe, dass dieses Viereck ein Parallelogramm ist.
Berechne dessen Flächeninhalt und die Größe eines Innenwinkels.
(4P)
c)  Für jede positive reelle Zahl $m$ ist durch $g_m(x)=m\cdot x$ eine Gerade $g_m$ gegeben. Der Graph von $f$ begrenzt mit der $x$-Achse im I. Quadranten die Fläche $A$ vollständig. Der Graph von $g_1$ teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Zeige, dass das Verhältnis der Teilflächen $4:5$ beträgt.
Ermittle den Wert für $m$ so, dass die Gerade $g_m$ die Fläche $A$ in zwei gleich große Flächen teilt.
(5P)
d)  In einem Betrieb fallen Abfallstücke, welche die Form der Fläche $A$ aus Teilaufgabe c) haben, an.
Untersuche, ob man aus einem solchen Stück (siehe Abbildung) ein Quadrat mit der Seitenlänge $a= 1,1\,\text{LE}$ ausschneiden kann.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
(3P)
e)  Für jede positive reelle Zahl $k$ ist eine Funktion $f_k$ gegeben durch
$f_k(x)=-k\cdot x^3+3k\cdot x$    $(x\in\mathbb{R})$.
Beschreibe, wie die Graphen von $f_k$ aus dem Graphen von $f$ in Abhängigkeit von $k$ hervorgehen.
Der Hochpunkt und die Schnittpunkte des Graphen von $f_k$ mit der $x$-Achse $(x\geq0)$ bilden ein Dreieck.
Berechne alle Werte für $k$ so, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
(5P)
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Aufgabe a)

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_1}$, $\boldsymbol{f_2}$ und $\boldsymbol{f_3}$ angeben
Betrachte den Graphen der Funktion $f$ mit dem Funktionsterm
$f(x)=-x^3 +3 \cdot x$
Durch Spiegelungen und Verschiebung des Graphen werden nun die Graphen neuer Funktionen erzeugt. Gib die jeweils neuen Funktionsgleichungen zu $f_1$, $f_2$ und $f_3$ an. Als Hilfestellung kannst du zunächst den Graphen der Funktion $f$ mit dem CAS zeichnen lassen.
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_1}$
Wird der Graph der Funktion $f$ an der $x$-Achse gespiegelt, so sieht der neue Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
In der oben stehenden Abbildung ist der Graph zur Funktion $f$ schwarz, der Graph zur neuen Funktion $f_1$ in grün dargestellt. Du kannst erkennen, dass die Funktionswerte der Funktion $f$ mit $-1$ multipliziert wurden.
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_2}$
Wird der Graph der Funktion $f$ an der Geraden $y=2$ gespiegelt, so sieht der neue Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Vergleichst du diesen Graphen mit dem Graphen zur Funktion $f_1$ so kannst du erkennen, dass man den Graphen zu $f_2$ erhält, indem man zuerst das Schaubild von $f$ an der $x$-Achse spiegelt und anschließend um $4$ LE nach oben verschiebt.
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_3}$
Wird das Schaubild von $f$ so verschoben, dass sich der Tiefpunkt $T$ im Ursprung befindet, so sieht der resultierende Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Der Graph von $f$ wird also um $1$ LE nach rechts und $2$ LE in positive $y$-Achsenrichtung verschoben.

Aufgabe b)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass das Viereck ein Parallelogramm darstellt
Die Funktion $f$ besitzt zwei Extrempunkte $T$ und $H$, sowie drei Schnittstellen mit der $x$-Achse. Eine von diesen Schnittstellen liegt im Koordinatenursprung, die anderen beiden $N_1$ und $N_2$ nicht. In den Punkten $T$, $H$, $N_1$ und $N_2$ sollen nun Tangenten an den Graphen von $f$ gelegt werden. Diese $4$ Tangenten bilden zusammen ein Viereck.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Deine Aufgabe ist es, zu begründen, dass dieses Viereck ein Parallelogramm dartellt.
Ein nicht ausgeartetes Viereck wird Parallelogramm genannt, wenn gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Du musst also zeigen, dass gegenüberliegende Tangenten die gleiche Steigung besitzen.
  • Hier kannst du einerseits verwenden, dass der Graph in Extrempunkten die Steigung $0$ besitzt.
  • Anderseits sind alle Exponenten des Funktionsterms von $f$ ungerade. Das heißt wiederum, dass der Graph punktsymmetrisch ist. Was heißt das für die Schnittstellen mit der $x$-Achse?
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Parallelogramms bestimmen
Du sollst nun den Flächeninhalt $A_p$ des zuvor betrachteten Parallelogramms bestimmen. Dazu kannst du die folgende Formel verwenden:
$A_P=a \cdot h_a(\alpha)$
Dabei sei $a$ eine Seitenlänge und $h_a$ die zugehörige Höhe wie im Schaubild unten abgebildet.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Du kannst erkennen, dass
  • die Höhe $h_a$ gerade der Differenz der beiden $y$-Koordinaten der Extrempunkte entspricht.
  • die Seitenlänge $a$ der Differenz der $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ entspricht.
Bestimme also im ersten Schritt die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse $N_1$ und $N_2$ sowie die $y$-Koordinaten der Extrempunkte. Berechne anschließend $a$ bzw. $h_a$ und daraus schließlich mit Hilfe der Formel den gesuchten Flächeninhalt $A_P$ des Parallelogramms.
$\blacktriangleright$ Innenwinkel des Parallelogramms bestimmen
Zwei gegenüberliegende Innenwinkel eines Parallelogramms sind identisch. Das heißt, es genügt zunächst einen Winkel $\alpha$ zu berechnen, für den anderen Innenwinkel $\beta$ gilt dann schließlich $\beta=180-\alpha$.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Im Schaubild kannst du erkennen, dass der Winkel $\alpha$ gerade dem Schnittwinkel der Tangenten mit der $x$-Achse entspricht. Diesen kannst du mit Hilfe der folgenden Beziehung berechnen:
$tan(\alpha)=m$
Hier ist $m$ die Steigung der Tangenten. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme mit Hilfe des CAS die Tangentengleichung in einem der Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
  • Berechne mit Hilfe von $\boldsymbol{tan(\alpha)=m}$ den Schnittwinkel.

Aufgabe c)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Verhältnis $\boldsymbol{4:5}$ beträgt
Der Graph der Funktion $f$ schließt im I. Quadranten mit der $x$-Achse eine Fläche $A$ vollständig ein. Eine Gerade mit der Gleichung
$g_1(x)=1 \cdot x$
teilt gerade diese Fläche. Zeige, dass das Verhältnis der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ $4:5$ beträgt.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Ist $A$ die gesamte, eingeschlossene Fläche des Graphen von $f$ und der $x$-Achse, so kannst du deren Inhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen:
$A=A_1+A_2=\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x)\;dx$
(Die Integrationsgrenzen sind dir bereits aus dem Aufgabenteil zuvor bekannt, dort haben wir die Schnittstellen der Funktion mit der $x$-Achse bestimmt.) Dann gilt für die beiden Teilflächen $A_1$ und $A_2$:
$A_1=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-g(x)\;dx\;$ und $\;A_2=A-A_1$
Bei der Fläche $A_1$ darf nur bist zur Schnittstelle $S_x$ integriert werden, da ab diesem Punkt $f(x) \leq g(x)$ gilt. Berechne die Flächeninhalte der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ und zeige so, dass das Verhältnis $4:5$ beträgt.
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{m}$ bestimmen
Wir betrachten im Folgenden die allgemein definierte Gerade durch den Ursprung mit der Gleichung:
$g_m(x)=m \cdot x$
Hierbei sei $m$ eine positive, reelle Zahl. Auch hier teilt die Gerade die Fläche $A$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse in zwei Teilflächen. Bestimme die reelle Zahl $m$ so, dass das Verhältnis der beiden Teilflächen $1:1$ beträgt bzw. dass gilt:
$A_1=A_2=\frac{1}{2} \cdot A=\frac{1}{2} \cdot 2,25 =1,125$
Hierbei kannst du folgende Überlegung vornehmen: Damit die Teilflächen gleich groß sind, muss der Flächeninhalt $A_2$ gerade der Hälfte von $A$ entsprechen. In mathematischen Formeln ausgedrückt muss gelten:
$A_1=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-g_m(x)\;dx\;=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-m\cdot x\;dx\; = 1,125$
Das heißt, das Integral ist von der Schnittstelle $S_x$ und der Geraden $g_m(x)=m \cdot x$ abhängig.
  • Bestimme zunächst die Schnittstelle der Geraden $g_m$ mit dem Graphen von $f$,
  • um im nächsten Schritt eine Gleichung zu erhalten, die nur noch von $m$ abhängig ist. Löse diese anschließend nach $m$ auf.

Aufgabe d)

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob ein Quadrat der Seitenlänge $\boldsymbol{a=1,1}$ in die Fläche $\boldsymbol{A}$ passt
Aus der zuvor betrachteten Fläche $A$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse soll ein Quadrat mit Seitenlängen $a=1,1$ LE herausgeschnitten werden. Du sollst untersuchen, ob ein solches Quadrat in die Fläche $A$ überhaupt hineinpasst.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Damit das Quadrat überhaupt in die Fläche $A$ hineinpasst, muss die verfügbare Höhe mindestens $1,1$ LE betragen. Du kannst erkennen, dass der Graph in einem Bereich größer als die geforderten $1,1$ LE ist. Aber ist dieser Bereich auch breit genug?
  • Bestimme die Stellen, an denen die Funktion größere Funktionswerte als $1,1$ annimmt. Das heißt, du löst: $\boldsymbol{f(x)=1,1}$
  • Überprüfe, ob der Abstand zwischen den Stellen, an denen die Funktion $f(x)=1,1$ erfüllt, breiter als $1,1$ LE ist.

Aufgabe e)

$\blacktriangleright$ Beschreibe, wie $\boldsymbol{f_k}$ aus $\boldsymbol{f}$ hervorgeht
Die Funktionenschar $f_k$ ist durch folgenden Funktionsterm gegeben:
$f_k(x)=-k \cdot x^3 +3\cdot k\cdot x=k \cdot \left( -x^3+3\cdot x\right)=k \cdot f(x),\;x \in \mathbb{R}$
Beschreibe, wie die Graphen von $f_k$ aus dem Graphen von $f$ hervorgehen. Anhand des Funktionsterms von $f_k$ kannst du erkennen, dass du diesen erhältst, wenn du den Term zu $f$ mit dem Parameter $k$ multiplizierst.
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist
Zuvor hast du überlegt, dass die Graphen der Funktionenschar $f_k$ aus Stauchung bzw. Streckung des ursprünglichen Terms hervorgehen.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Für beliebige $k$ bilden die Schnittstellen mit der $x$-Achse und der Hochpunkt im I. Quadranten ein Dreieck. Bestimme $k$ so, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Dazu kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse und des Hohpunktes in Abhängigkeit von $k$.
  • Stelle eine von $k$ abhängige Gleichung auf, bei der die Tatsache berücksichtigt wird, dass zwei Seiten des Dreiecks gleich lang sein sollen.
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Aufgabe a)

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_1}$, $\boldsymbol{f_2}$ und $\boldsymbol{f_3}$ angeben
Betrachte den Graphen der Funktion $f$ mit dem Funktionsterm
$f(x)=-x^3 +3 \cdot x$
Durch Spiegelungen und Verschiebung des Graphen werden nun die Graphen neuer Funktionen erzeugt. Gib die jeweils neuen Funktionsgleichungen zu $f_1$, $f_2$ und $f_3$ an. Als Hilfestellung kannst du zunächst den Graphen der Funktion $f$ mit dem CAS zeichnen lassen.
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_1}$
Wird der Graph der Funktion $f$ an der $x$-Achse gespiegelt, so sieht der neue Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
In der oben stehenden Abbildung ist der Graph zur Funktion $f$ schwarz, der Graph zur neuen Funktion $f_1$ in grün dargestellt. Du kannst erkennen, dass die Funktionswerte der Funktion $f$ mit $-1$ multipliziert wurden, das heißt, du erhältst den Term der neuen Funktion $f_1$ wie folgt:
$f_1(x)=-1 \cdot f(x) = -(-x^3 +3 \cdot x)=x^3 - 3 \cdot x$
Der Term der Funktion $f_1$ lautet:
$f_1(x)=x^3 -3 \cdot x$
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_2}$
Wird der Graph der Funktion $f$ an der Geraden $y=2$ gespiegelt, so sieht der neue Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Vergleichst du diesen Graphen mit dem Graphen zur Funktion $f_1$ so kannst du erkennen, dass man den Graphen zu $f_2$ erhält, indem man zuerst das Schaubild von $f$ an der $x$-Achse spiegelt und anschließend um $4$ LE nach oben verschiebt. In mathematischer Schreibweise ausgedrückt also:
$f_2(x)=-f(x)+4=-(-x^3 +3 \cdot x)+4=x^3 - 3 \cdot x +4$
Der Term der Funktion $f_2$ lautet damit:
$f_2(x)=x^3 -3 \cdot x+4$
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_3}$
Wird das Schaubild von $f$ so verschoben, dass sich der Tiefpunkt $T$ im Ursprung befindet, so sieht der resultierende Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Der Graph von $f$ wird also um $1$ LE nach rechts und $2$ LE in positive $y$-Achsenrichtung verschoben. Du kannst den Term von $f$ modifizieren, um den Term der neuen Funktion $f_3$ zu erhalten:
$\begin{array}{rll} f_3(x) &=&f(x-1)+2\\ &=&-(x-1)^3 +3 \cdot (x-1)+2\\ &=&-(x^3-2 \cdot x^2+x-x^2+2 \cdot x-1) +3 \cdot x -3 +2\\ &=&-x^3+2\cdot x^2-x+x^2-2\cdot x+1 +3 \cdot x -3 +2\\ &=&-x^3+3 \cdot x^2\\ \end{array}$
Der Term der Funktion $f_3$ lautet damit:
$f_3(x)=-x^3+3\cdot x^2$

Aufgabe b)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass das Viereck ein Parallelogramm darstellt
Die Funktion $f$ besitzt zwei Extrempunkte $T$ und $H$, sowie drei Schnittstellen mit der $x$-Achse. Eine von diesen Schnittstellen liegt im Koordinatenursprung, die anderen beiden $N_1$ und $N_2$ nicht. In den Punkten $T$, $H$, $N_1$ und $N_2$ sollen nun Tangenten an den Graphen von $f$ gelegt werden. Diese $4$ Tangenten bilden zusammen ein Viereck.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Deine Aufgabe ist es, zu begründen, dass dieses Viereck ein Parallelogramm dartellt.
Ein nicht ausgeartetes Viereck wird Parallelogramm genannt, wenn gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Du musst also zeigen, dass gegenüberliegende Tangenten die gleiche Steigung besitzen.
  • Hier kannst du einerseits verwenden, dass der Graph in Extrempunkten die Steigung $0$ besitzt.
  • Anderseits sind alle Exponenten des Funktionsterms von $f$ ungerade. Das heißt wiederum, dass der Graph punktsymmetrisch ist. Was heißt das für die Schnittstellen mit der $x$-Achse?
Tangenten, die in einem Punkt an einen Graphen angelegt werden, haben dieselbe Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Die Tangenten in den beiden Extrempunkten besitzen damit die Steigung $0$. Folglich sind diese parallel.
Anhand des Funktionsterms von $f$ kannst du erkennen, dass der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, da alle Exponenten ungerade sind. Damit stimmt auch die Steigung in den beiden Schnittpunkten $N_1$ und $N_2$ mit der $x$-Achse überein. Daraus folgt wiederum, dass die Tangenten in diesen Punkten ebenfalls parallel sind.
Damit sind je zwei gegenüberliegende Tagenten paralllel zueinander und du hast gezeigt, dass das Viereck ein Parallelogramm darstellt.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Parallelogramms bestimmen
Du sollst nun den Flächeninhalt $A_p$ des zuvor betrachteten Parallelogramms bestimmen. Dazu kannst du die folgende Formel verwenden:
$A_P=a \cdot h_a(\alpha)$
Dabei sei $a$ eine Seitenlänge und $h_a$ die zugehörige Höhe wie im Schaubild unten abgebildet.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Du kannst erkennen, dass
  • die Höhe $h_a$ gerade der Differenz der beiden $y$-Koordinaten der Extrempunkte entspricht.
  • die Seitenlänge $a$ der Differenz der $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ entspricht.
Bestimme also im ersten Schritt die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse $N_1$ und $N_2$ sowie die $y$-Koordinaten der Extrempunkte. Berechne anschließend $a$ bzw. $h_a$ und daraus schließlich mit Hilfe der Formel den gesuchten Flächeninhalt $A_P$ des Parallelogramms.
1. Schritt: Schnittstellen mit der $\boldsymbol{x}$-Achse bestimmen
Die Seitenlänge $a$ des Paralellogramms entspricht dem Abstand der beiden Schnittstellen mit der $x$-Achse. Für eine solche Schnittstelle mit der $x$-Achse gilt:
$\boldsymbol{f(x)=0}$
Bestimme mit Hilfe des CAS alle Stellen, für die diese Gleichung erfüllt wird. Wähle dazu unter
3: Algebra $\rightarrow$ 1: Löse
den solve-Befehl aus.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Das CAS liefert dir, dass der Graph der Funktion $f$ die $x$-Achse an den Stellen $x_1=-\sqrt{3}$, $x_2=0$ und $x_3=\sqrt{3}$ schneidet. Da aber nur die Schnittstellen von Bedeutung sind, die nicht dem Koordinatenursprung entsprechen, kannst du $x_2$ vernachlässigen und die gesuchte Differenz wie folgt berechnen:
$d(x_1,x_3)=\sqrt{(x_1 - x_3)^2}=\sqrt{(-\sqrt{3} - \sqrt{3})^2}=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4\cdot3}=2 \sqrt{3}$
Der Abstand zwischen den Schnittpunkten mit der $x$-Achse $N_1$ und $N_2$ beträgt $\boldsymbol{a=2\sqrt{3}}$ LE.
2. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte bestimmen
Die Höhe $h_a$ entspricht dem Abstand der $y$-Koordinaten der Extrempunkte $T$ und $H$. Um diese zu bestimmen, kannst du wieder das CAS verwenden. Wechsle in den Graph-Modus und und lass den Graphen zur Funktion $f$ zeichnen. Wähle anschließend unter
4: Analysis $\rightarrow$ 2: Minimum / 3:Maximum
den Befehl zur Bestimmung eines Minimums bzw. Maximums aus.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Hier liefert das CAS die folgenden Koordinaten:
  • $T(-1 \mid -2)$
  • $H(1 \mid 2)$
Berechne die Differenz der $y$-Koordinaten:
$d(y_T,y_H)=\sqrt{(y_T^2 - y_H)^2}=\sqrt{(-2-2)^2}=\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$
Der Abstand zwischen den $y$-Koordinaten der Extrempunkte $T$ und $H$ beträgt $\boldsymbol{h_a=4}$ LE.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Setze alle Angaben in die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms ein und berechne:
$A_p=a \cdot h_a= 2\sqrt{3} \cdot 4 =8 \sqrt{3}$
Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $\boldsymbol{8 \sqrt{3}}$ FE.
$\blacktriangleright$ Innenwinkel des Parallelogramms bestimmen
Zwei gegenüberliegende Innenwinkel eines Parallelogramms sind identisch. Das heißt, es genügt zunächst einen Winkel $\alpha$ zu berechnen, für den anderen Innenwinkel $\beta$ gilt dann schließlich $\beta=180-\alpha$.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Im Schaubild kannst du erkennen, dass der Winkel $\alpha$ gerade dem Schnittwinkel der Tangenten mit der $x$-Achse entspricht. Diesen kannst du mit Hilfe der folgenden Beziehung berechnen:
$tan(\alpha)=m$
Hier ist $m$ die Steigung der Tangenten. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme mit Hilfe des CAS die Tangentengleichung in einem der Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
  • Berechne mit Hilfe von $\boldsymbol{tan(\alpha)=m}$ den Schnittwinkel.
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Die Gleichung einer Tangenten an einen Graphen kannst du mittels CAS bestimmen. Wähle dazu den tangentLine-Befehl aus, welchen du unter
4: Analysis $\rightarrow$ 9: Tangententerm
findest. Gib in der Reihenfolge Funktion, Variable und Stelle, an der die Tangente angelegt werden soll, an.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Hierbei ist es egal, welche Tangentengleichung du bestimmt, da in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Das CAS liefert dir die folgende Gleichung:
$t(x)=6\sqrt{3}-6x$
Die Steigung der Tangenten in einer der Schnittstellen mit der $x$-Achse beträgt $\boldsymbol{m=-6}$
2. Schritt: Schnittwinkel bzw. Innenwinkel berechnen
Da der Innenwinkel gerade dem Schnittwinkel der Tangenten mit der $x$-Achse entspricht, kannst du den Zusammenhang $\boldsymbol{tan(\alpha)=m}$ verwenden:
$\begin{array}{rll} tan(\alpha) &=& m \\ tan(\alpha) &=& -6 &\mid \; \scriptsize tan^{-1} \\ \alpha &=& tan^{-1}(-6)\\ &\approx& -80.5^\circ \\ &\approx& 180^\circ-80.5^\circ \\ &\approx& 99,5^\circ \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass der Innenwinkel eine Größe von $\boldsymbol{\alpha\approx 99,5^\circ}$ besitzt. Der Winkel $\beta$ hat damit eine Größe von $\boldsymbol{\beta \approx 80,5^\circ}$.

Aufgabe c)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Verhältnis $\boldsymbol{4:5}$ beträgt
Der Graph der Funktion $f$ schließt im I. Quadranten mit der $x$-Achse eine Fläche $A$ vollständig ein. Eine Gerade mit der Gleichung
$g_1(x)=1 \cdot x$
teilt gerade diese Fläche. Zeige, dass das Verhältnis der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ $4:5$ beträgt.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Ist $A$ die gesamte, eingeschlossene Fläche des Graphen von $f$ und der $x$-Achse, so kannst du deren Inhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen:
$A=A_1+A_2=\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x)\;dx$
(Die Integrationsgrenzen sind dir bereits aus dem Aufgabenteil zuvor bekannt, dort haben wir die Schnittstellen der Funktion mit der $x$-Achse bestimmt.) Dann gilt für die beiden Teilflächen $A_1$ und $A_2$:
$A_1=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-g(x)\;dx\;$ und $\;A_2=A-A_1$
Bei der Fläche $A_1$ darf nur bist zur Schnittstelle $S_x$ integriert werden, da ab diesem Punkt $f(x) \leq g(x)$ gilt. Berechne die Flächeninhalte der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ und zeige so, dass das Verhältnis $4:5$ beträgt.
Wir bestimmen zunächst den Inhalt der Fläche $A$. Verwende dazu das CAS, den Befehl zum Bestimmen eines Integrals findest du unter:
4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
Gib an, dass $f(x)$ nach der Variablen $x$ im Intervall $\left[ 0; \sqrt{3} \right]$ differenziert werden soll. Das CAS liefert dir einen Flächeninhalt von $\boldsymbol{A=2,25}$ FE.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Um nun den Flächeninhalt der Fläche $A_1$ bestimmen zu können, benötigst du die $x$-Koordinate des Schnittpunktes $S$, in welchem sich die Graphen von $f$ und $g_1$ schneiden. Der solve-Befehl liefert dir die Schnittstelle $\boldsymbol{S_x=\sqrt{2}}$, die beiden weiteren Schnittstellen liegen nicht im I. Quadranten und können somit vernachlässigt werden.
Eingesetzt in das zuvor bestimmte Integral für die Fläche $A_1$ liefert dir, dass $\boldsymbol{A_1=1}$ gilt. Jetzt kannst du den Flächeninhalt von $A_2$ bestimmen:
$A_2=A-A_1=2,25-1=1,25$
Der Inhalt der Fläche $A_2$ beträgt damit $\boldsymbol{A_2=1,25}$ FE. Und für das Verhältnis gilt dann folglich:
$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{1}{1,25}=\boldsymbol{4:5}$
Damit hast du gezeigt, dass das Verhältnis der beiden Teilflächen $A_1$ und $A_2$ $4:5$ beträgt.
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{m}$ bestimmen
Wir betrachten im Folgenden die allgemein definierte Gerade durch den Ursprung mit der Gleichung:
$g_m(x)=m \cdot x$
Hierbei sei $m$ eine positive, reelle Zahl. Auch hier teilt die Gerade die Fläche $A$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse in zwei Teilflächen. Bestimme die reelle Zahl $m$ so, dass das Verhältnis der beiden Teilflächen $1:1$ beträgt bzw. dass gilt:
$A_1=A_2=\frac{1}{2} \cdot A=\frac{1}{2} \cdot 2,25 =1,125$
Hierbei kannst du folgende Überlegung vornehmen: Damit die Teilflächen gleich groß sind, muss der Flächeninhalt $A_2$ gerade der Hälfte von $A$ entsprechen. In mathematischen Formeln ausgedrückt muss gelten:
$A_1=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-g_m(x)\;dx\;=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-m\cdot x\;dx\; = 1,125$
Das heißt, das Integral ist von der Schnittstelle $S_x$ und der Geraden $g_m(x)=m \cdot x$ abhängig.
  • Bestimme zunächst die Schnittstelle der Geraden $g_m$ mit dem Graphen von $f$,
  • um im nächsten Schritt eine Gleichung zu erhalten, die nur noch von $m$ abhängig ist. Löse diese anschließend nach $m$ auf.
1. Schritt: Schnittstelle $\boldsymbol{S_x}$ bestimmen
Die Gerade $g_m$ schneidet den Graphen von $f$ in einem Punkt $S$, der je nach Geradengleichung variiert. Wir können diese allgemeine Schnittstelle bestimmen, indem wir die folgende Gleichung nach $x$ auflösen:
$f(x)=g_m(x)=m\cdot x$
Der solve-Befehl liefert dir die Schnittstellen:
  • $x_1=- \sqrt{(3-m)}$ falls $m-3 \leq 0$
  • $\boldsymbol{x_2= \sqrt{(3-m)}}$ falls $m-3 \leq 0$
  • $x_3= 0$
Aus dem Aufgabentext weißt du, dass sich der Schnittpunkt im I. Quadranten befinden muss. Daher kommen $x_1$ und $x_3$ nicht in Frage. Die gesuchte Schnittstelle ist $x_2=\sqrt{(3-m)}=S_x$.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
2. Schritt: $\boldsymbol{m}$ ermitteln
Die Schnittstelle, an der die Gerade $g_m$ den Graphen von $f$ schneidet, ist von $m$ abhängig. Du hast diese im Schritt zuvor ermittelt und kannst nun alle Angaben in die Integralgleichung einsetzen. Wir erhalten schließlich:
$\displaystyle \int_0^{\sqrt{(3-m)}} f(x)-m\cdot x\;dx\; = 1,125$
Gib diese Gleichung im CAS an und löse nach dem Parameter $m$ auf:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Das CAS liefert dir die Lösungen $m_1 \approx 0,88$ und $m_2 \approx - 5,12$. Jedoch würde bei $m_2 \approx - 5,12$ unter der Wurzel $\sqrt{(3-m)}$ eine negative Zahl stehen. Da die Wurzelfunktion nur für nicht-negative Zahlen definiert ist, muss $m_1 \approx 0,88$ die gesuchte Lösung sein.
Die Gerade $g_m$ mit $\boldsymbol{m_1=3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx 0,88}$ teilt die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse in zwei gleichgroße Teilflächen.

Aufgabe d)

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob ein Quadrat der Seitenlänge $\boldsymbol{a=1,1}$ in die Fläche $\boldsymbol{A}$ passt
Aus der zuvor betrachteten Fläche $A$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse soll ein Quadrat mit Seitenlängen $a=1,1$ LE herausgeschnitten werden. Du sollst untersuchen, ob ein solches Quadrat in die Fläche $A$ überhaupt hineinpasst.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Damit das Quadrat überhaupt in die Fläche $A$ hineinpasst, muss die verfügbare Höhe mindestens $1,1$ LE betragen. Du kannst erkennen, dass der Graph in einem Bereich größer als die geforderten $1,1$ LE ist. Aber ist dieser Bereich auch breit genug?
  • Bestimme die Stellen, an denen die Funktion größere Funktionswerte als $1,1$ annimmt. Das heißt, du löst: $\boldsymbol{f(x)=1,1}$
  • Überprüfe, ob der Abstand zwischen den Stellen, an denen die Funktion $f(x)=1,1$ erfüllt, breiter als $1,1$ LE ist.
1. Schritt: Stellen, die $\boldsymbol{f(x)=1,1}$ erfüllen, bestimmen
Löse die Gleichung $\boldsymbol{f(x)=1,1}$ mit Hilfe des CAS.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Das liefert dir, dass die Funktion $f$ im Bereich von $x_1\approx 0,386 $ bis $x_2\approx 1,507$ größere Funktionswerte als $1,1$ annimmt. Das heißt, ein Quadrat mit Seitenlängen von $1,1$ LE würde von der Höhe in diesen Bereich hineinpassen.
Die dritte Lösung $x_3\approx -1,892$ kannst du vernachlässigen, da wir die Fläche $A$ im I. Quadranten betrachten.
2. Schritt: Überprüfen, ob das Quadrat mit einer Breite von $\boldsymbol{1,1}$ LE in $\boldsymbol{A}$ hineinpasst
Du weißt, dass die Funktion $f$ im Intervall $\left[x_1;x_2 \right]$ Funktionswerte größer als $1,1$ LE annimmt. Das heißt, eine Höhe von mehr als $1,1$ ist dort gewährleistet. Überprüfe, ob in diesem Bereich auch die vorgegebene Breite von $1,1$ LE erfüllbar ist. Dazu bestimmen wir den Abstand von $x_1$ und $x_2$:
$x_2-x_1\approx 1,507 - 0,386 \approx 1,121 > 1,1$
Das liefert dir, dass $x_1$ und $x_2$ einen Abstand von ungefähr $1,121$ und damit mehr als $1,1$ LE besitzen. Ein Quadrat mit den Seitenlängen $a=1,1$ passt also in die Fläche $A$ hinein.

Aufgabe e)

$\blacktriangleright$ Beschreibe, wie $\boldsymbol{f_k}$ aus $\boldsymbol{f}$ hervorgeht
Die Funktionenschar $f_k$ ist durch folgenden Funktionsterm gegeben:
$f_k(x)=-k \cdot x^3 +3\cdot k\cdot x=k \cdot \left( -x^3+3\cdot x\right)=k \cdot f(x),\;x \in \mathbb{R}$
Beschreibe, wie die Graphen von $f_k$ aus dem Graphen von $f$ hervorgehen. Anhand des Funktionsterms von $f_k$ kannst du erkennen, dass du diesen erhältst, wenn du den Term zu $f$ mit dem Parameter $k$ multiplizierst. Wird ein Funktionsterm mit einem Faktor …
  • $\boldsymbol{k>1}$ multipliziert, so wird der zugehörige Graph in $y$-Richtung gestreckt.
  • $\boldsymbol{k<1}$ multipliziert, so wird der zugehörige Graph in $y$-Richtung gestaucht.
  • $\boldsymbol{k=1}$ multipliziert, so liegt keine Änderung vor.
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist
Zuvor hast du überlegt, dass die Graphen der Funktionenschar $f_k$ aus Stauchung bzw. Streckung des ursprünglichen Terms hervorgehen.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Für beliebige $k$ bilden die Schnittstellen mit der $x$-Achse und der Hochpunkt im I. Quadranten ein Dreieck. Bestimme $k$ so, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Dazu kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse und des Hohpunktes in Abhängigkeit von $k$.
  • Stelle eine von $k$ abhängige Gleichung auf, bei der die Tatsache berücksichtigt wird, dass zwei Seiten des Dreiecks gleich lang sein sollen.
1. Schritt: Allgemeine Koordinaten in Abhängigkeit von $\boldsymbol{k}$ angeben
Die Funktionenschar hat genau dann Nullstellen, wenn der Term der Funktion Null wird:
$f_k(x)=-k \cdot x^3 +3\cdot k\cdot x=k \cdot \left( -x^3+3\cdot x\right)=0$
Der Funktionsterm ist gleich Null, falls einer der Faktoren $k$ oder $\left( -x^3+3\cdot x\right)$ Null wird. Das ist genau dann der Fall, wenn $k=0$ oder $x_1=0$ und $x_2=\sqrt{3}$.
Da aber für $k=0$ die Funktion eine Konstante durch Null wäre, ist diese Lösung zu vernachlässigen. Damit sind die Nullstellen unabhängig vom Parameter $k$ und sie haben die Koordinaten:
  • $N_1(0 \mid 0)$
  • $N_2(\sqrt{3} \mid 0)$
Damit hast du bereits $2$ Eckpunkte ermittelt. Ein weiterer ist der Hochpunkt $H_k$. Du kannst diesen ermitteln, indem du die Funktionenschar $f_k$ auf Maxima untersuchst. Hat eine Funktion $f$ an einer Stelle $x_M$ ein Maximum, so müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_M) < 0}$
Dazu kannst du zunächst die erste und zweite Ableitung der Funktionenschar mit Hilfe des CAS definieren. Löse anschließend die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f'_k(x_M)=0}$ nach der Variablen $x$. Das CAS liefert dir, dass $x_M=1$ potentielle Maximalstelle ist. Die Lösung $k=0$ brauchst du hierbei nicht beachten, da der Graph für $k=0$ einer Konstante durch den Koordinatenursprung entspricht und das Dreieck somit entartet ist.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Für $x_M=1$ gilt außerdem $f''_k(x)=-6\cdot k<0$, sofern $k>0$ Das heißt, an $x_M$ liegt tatsächlich eine Maximalstelle vor. Einsetzen in den Term der Funktionenschar liefert dir die allgemeinen Koordinaten des Hochpunktes: $\boldsymbol{H_k(1 \mid 2 \cdot k)}$.
2. Schritt: Gleichung aufstellen und Wert für $\boldsymbol{k}$ ermitteln
Damit ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt, müssen zwei Seitenlängen gleich lang sein. Anhand der Koordinaten siehst du, dass die Schnittstellen mit der $x$-Achse nicht vom Parameter $k$ abhängig sind. Das heißt, diese Seitenlänge des Dreiecks hat für jedes $k$ eine Länge von:
$d(N_1,N_2)=\sqrt{(N_{1x}-N_{2x})^2+(N_{1y}-N_{2y})^2}=\sqrt{(0-\sqrt{3})^2+(0-0)^2}=\sqrt{3}$
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$ LE. Insgesamt gibt es dann $3$ Möglichkeiten, die gleich langen Seiten anzusetzen:
  • $d(N_1,H_k)=\sqrt{(N_{1x}-H_{kx})^2+(N_{1y}-H_{ky})^2}=\sqrt{1+4k^2}=\sqrt{3}=d(N_1,N_2)$
  • $d(N_2,H_k)=\sqrt{(N_{2x}-H_{kx})^2+(N_{2y}-H_{ky})^2}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+4k^2}=\sqrt{3}=d(N_1,N_2)$
  • $d(N_2,H_k)=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+4k^2}=\sqrt{1+4k^2}=d(N_1,H_k)$
Löse diese Gleichungen mit dem CAS:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Das CAS sagt aus, dass entweder $d(N_1,H_k)=d(N_1,N_2)$ oder $d(N_2,H_k)=d(N_1,N_2)$ möglich ist. Die Gleichung $d(N_2,H_k)=d(N_1,H_k)$ kann nicht erfüllt werden.
Bei der Hochpunktbestimmung haben wir außerdem festgehalten, dass ein Hochpunkt nur für $k>0$ vorliegen kann. Das heißt, nur die folgenden positiven Werte sind mögliche Lösungen für $k$:
  • $k_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $k_2=\frac{\sqrt{2\sqrt{3}-1}}{2}$
Für $\boldsymbol{k_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ oder $\boldsymbol{k_2=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}-1}}{2}}$ liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor.
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Aufgabe a)

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_1}$, $\boldsymbol{f_2}$ und $\boldsymbol{f_3}$ angeben
Betrachte den Graphen der Funktion $f$ mit dem Funktionsterm
$f(x)=-x^3 +3 \cdot x$
Durch Spiegelungen und Verschiebung des Graphen werden nun die Graphen neuer Funktionen erzeugt. Gib die jeweils neuen Funktionsgleichungen zu $f_1$, $f_2$ und $f_3$ an. Als Hilfestellung kannst du zunächst den Graphen der Funktion $f$ mit dem CAS zeichnen lassen.
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_1}$
Wird der Graph der Funktion $f$ an der $x$-Achse gespiegelt, so sieht der neue Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
In der oben stehenden Abbildung ist der Graph zur Funktion $f$ schwarz, der Graph zur neuen Funktion $f_1$ in grün dargestellt. Du kannst erkennen, dass die Funktionswerte der Funktion $f$ mit $-1$ multipliziert wurden, das heißt, du erhältst den Term der neuen Funktion $f_1$ wie folgt:
$f_1(x)=-1 \cdot f(x) = -(-x^3 +3 \cdot x)=x^3 - 3 \cdot x$
Der Term der Funktion $f_1$ lautet:
$f_1(x)=x^3 -3 \cdot x$
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_2}$
Wird der Graph der Funktion $f$ an der Geraden $y=2$ gespiegelt, so sieht der neue Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Vergleichst du diesen Graphen mit dem Graphen zur Funktion $f_1$ so kannst du erkennen, dass man den Graphen zu $f_2$ erhält, indem man zuerst das Schaubild von $f$ an der $x$-Achse spiegelt und anschließend um $4$ LE nach oben verschiebt. In mathematischer Schreibweise ausgedrückt also:
$f_2(x)=-f(x)+4=-(-x^3 +3 \cdot x)+4=x^3 - 3 \cdot x +4$
Der Term der Funktion $f_2$ lautet damit:
$f_2(x)=x^3 -3 \cdot x+4$
Funktionsgleichung zu $\boldsymbol{f_3}$
Wird das Schaubild von $f$ so verschoben, dass sich der Tiefpunkt $T$ im Ursprung befindet, so sieht der resultierende Graph gerade folgendermaßen aus:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Der Graph von $f$ wird also um $1$ LE nach rechts und $2$ LE in positive $y$-Achsenrichtung verschoben. Du kannst den Term von $f$ modifizieren, um den Term der neuen Funktion $f_3$ zu erhalten:
$\begin{array}{rll} f_3(x) &=&f(x-1)+2\\ &=&-(x-1)^3 +3 \cdot (x-1)+2\\ &=&-(x^3-2 \cdot x^2+x-x^2+2 \cdot x-1) +3 \cdot x -3 +2\\ &=&-x^3+2\cdot x^2-x+x^2-2\cdot x+1 +3 \cdot x -3 +2\\ &=&-x^3+3 \cdot x^2\\ \end{array}$
Der Term der Funktion $f_3$ lautet damit:
$f_3(x)=-x^3+3\cdot x^2$

Aufgabe b)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass das Viereck ein Parallelogramm darstellt
Die Funktion $f$ besitzt zwei Extrempunkte $T$ und $H$, sowie drei Schnittstellen mit der $x$-Achse. Eine von diesen Schnittstellen liegt im Koordinatenursprung, die anderen beiden $N_1$ und $N_2$ nicht. In den Punkten $T$, $H$, $N_1$ und $N_2$ sollen nun Tangenten an den Graphen von $f$ gelegt werden. Diese $4$ Tangenten bilden zusammen ein Viereck.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Deine Aufgabe ist es, zu begründen, dass dieses Viereck ein Parallelogramm dartellt.
Ein nicht ausgeartetes Viereck wird Parallelogramm genannt, wenn gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Du musst also zeigen, dass gegenüberliegende Tangenten die gleiche Steigung besitzen.
  • Hier kannst du einerseits verwenden, dass der Graph in Extrempunkten die Steigung $0$ besitzt.
  • Anderseits sind alle Exponenten des Funktionsterms von $f$ ungerade. Das heißt wiederum, dass der Graph punktsymmetrisch ist. Was heißt das für die Schnittstellen mit der $x$-Achse?
Tangenten, die in einem Punkt an einen Graphen angelegt werden, haben dieselbe Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Die Tangenten in den beiden Extrempunkten besitzen damit die Steigung $0$. Folglich sind diese parallel.
Anhand des Funktionsterms von $f$ kannst du erkennen, dass der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, da alle Exponenten ungerade sind. Damit stimmt auch die Steigung in den beiden Schnittpunkten $N_1$ und $N_2$ mit der $x$-Achse überein. Daraus folgt wiederum, dass die Tangenten in diesen Punkten ebenfalls parallel sind.
Damit sind je zwei gegenüberliegende Tagenten paralllel zueinander und du hast gezeigt, dass das Viereck ein Parallelogramm darstellt.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Parallelogramms bestimmen
Du sollst nun den Flächeninhalt $A_p$ des zuvor betrachteten Parallelogramms bestimmen. Dazu kannst du die folgende Formel verwenden:
$A_P=a \cdot h_a(\alpha)$
Dabei sei $a$ eine Seitenlänge und $h_a$ die zugehörige Höhe wie im Schaubild unten abgebildet.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Du kannst erkennen, dass
  • die Höhe $h_a$ gerade der Differenz der beiden $y$-Koordinaten der Extrempunkte entspricht.
  • die Seitenlänge $a$ der Differenz der $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $N_1$ und $N_2$ entspricht.
Bestimme also im ersten Schritt die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse $N_1$ und $N_2$ sowie die $y$-Koordinaten der Extrempunkte. Berechne anschließend $a$ bzw. $h_a$ und daraus schließlich mit Hilfe der Formel den gesuchten Flächeninhalt $A_P$ des Parallelogramms.
1. Schritt: Schnittstellen mit der $\boldsymbol{x}$-Achse bestimmen
Die Seitenlänge $a$ des Paralellogramms entspricht dem Abstand der beiden Schnittstellen mit der $x$-Achse. Für eine solche Schnittstelle mit der $x$-Achse gilt:
$\boldsymbol{f(x)=0}$
Bestimme mit Hilfe des CAS alle Stellen, für die diese Gleichung erfüllt wird. Wähle dazu unter
Interactive $\rightarrow$ Advanced $\rightarrow$ solve
den solve-Befehl aus.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Das CAS liefert dir, dass der Graph der Funktion $f$ die $x$-Achse an den Stellen $x_1=-\sqrt{3}$, $x_2=0$ und $x_3=\sqrt{3}$ schneidet. Da aber nur die Schnittstellen von Bedeutung sind, die nicht dem Koordinatenursprung entsprechen, kannst du $x_2$ vernachlässigen und die gesuchte Differenz wie folgt berechnen:
$d(x_1,x_3)=\sqrt{(x_1 - x_3)^2}=\sqrt{(-\sqrt{3} - \sqrt{3})^2}=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4\cdot3}=2 \sqrt{3}$
Der Abstand zwischen den Schnittpunkten mit der $x$-Achse $N_1$ und $N_2$ beträgt $\boldsymbol{a=2\sqrt{3}}$ LE.
2. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte bestimmen
Die Höhe $h_a$ entspricht dem Abstand der $y$-Koordinaten der Extrempunkte $T$ und $H$. Um diese zu bestimmen, kannst du wieder das CAS verwenden. Wechsle in den Graph-Modus und und lass den Graphen zur Funktion $f$ zeichnen. Wähle anschließend unter
Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Min/Max
den Befehl zur Bestimmung eines Minimums bzw. Maximums aus.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Hier liefert das CAS die folgenden Koordinaten:
  • $T(-1 \mid -2)$
  • $H(1 \mid 2)$
Berechne die Differenz der $y$-Koordinaten:
$d(y_T,y_H)=\sqrt{(y_T^2 - y_H)^2}=\sqrt{(-2-2)^2}=\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$
Der Abstand zwischen den $y$-Koordinaten der Extrempunkte $T$ und $H$ beträgt $\boldsymbol{h_a=4}$ LE.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Setze alle Angaben in die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms ein und berechne:
$A_p=a \cdot h_a= 2\sqrt{3} \cdot 4 =8 \sqrt{3}$
Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $\boldsymbol{8 \sqrt{3}}$ FE.
$\blacktriangleright$ Innenwinkel des Parallelogramms bestimmen
Zwei gegenüberliegende Innenwinkel eines Parallelogramms sind identisch. Das heißt, es genügt zunächst einen Winkel $\alpha$ zu berechnen, für den anderen Innenwinkel $\beta$ gilt dann schließlich $\beta=180-\alpha$.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Im Schaubild kannst du erkennen, dass der Winkel $\alpha$ gerade dem Schnittwinkel der Tangenten mit der $x$-Achse entspricht. Diesen kannst du mit Hilfe der folgenden Beziehung berechnen:
$tan(\alpha)=m$
Hier ist $m$ die Steigung der Tangenten. Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme mit Hilfe des CAS die Tangentengleichung in einem der Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
  • Berechne mit Hilfe von $\boldsymbol{tan(\alpha)=m}$ den Schnittwinkel.
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Die Gleichung einer Tangenten an einen Graphen kannst du mittels CAS bestimmen. Wähle dazu den tangentLine-Befehl aus, welchen du unter
Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ line $\rightarrow$ tanLine
findest. Gib in der Reihenfolge Funktion, Variable und Stelle, an der die Tangente angelegt werden soll, an.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Hierbei ist es egal, welche Tangentengleichung du bestimmt, da in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Das CAS liefert dir die folgende Gleichung:
$t(x)=6\sqrt{3}-6x$
Die Steigung der Tangenten in einer der Schnittstellen mit der $x$-Achse beträgt $\boldsymbol{m=-6}$
2. Schritt: Schnittwinkel bzw. Innenwinkel berechnen
Da der Innenwinkel gerade dem Schnittwinkel der Tangenten mit der $x$-Achse entspricht, kannst du den Zusammenhang $\boldsymbol{tan(\alpha)=m}$ verwenden:
$\begin{array}{rll} tan(\alpha) &=& m \\ tan(\alpha) &=& -6 &\mid \; \scriptsize tan^{-1} \\ \alpha &=& tan^{-1}(-6)\\ &\approx& -80.5^\circ \\ &\approx& 180^\circ-80.5^\circ \\ &\approx& 99,5^\circ \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass der Innenwinkel eine Größe von $\boldsymbol{\alpha\approx 99,5^\circ}$ besitzt. Der Winkel $\beta$ hat damit eine Größe von $\boldsymbol{\beta \approx 80,5^\circ}$.

Aufgabe c)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Verhältnis $\boldsymbol{4:5}$ beträgt
Der Graph der Funktion $f$ schließt im I. Quadranten mit der $x$-Achse eine Fläche $A$ vollständig ein. Eine Gerade mit der Gleichung
$g_1(x)=1 \cdot x$
teilt gerade diese Fläche. Zeige, dass das Verhältnis der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ $4:5$ beträgt.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Ist $A$ die gesamte, eingeschlossene Fläche des Graphen von $f$ und der $x$-Achse, so kannst du deren Inhalt mit Hilfe des Integrals bestimmen:
$A=A_1+A_2=\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x)\;dx$
(Die Integrationsgrenzen sind dir bereits aus dem Aufgabenteil zuvor bekannt, dort haben wir die Schnittstellen der Funktion mit der $x$-Achse bestimmt.) Dann gilt für die beiden Teilflächen $A_1$ und $A_2$:
$A_1=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-g(x)\;dx\;$ und $\;A_2=A-A_1$
Bei der Fläche $A_1$ darf nur bist zur Schnittstelle $S_x$ integriert werden, da ab diesem Punkt $f(x) \leq g(x)$ gilt. Berechne die Flächeninhalte der Teilflächen $A_1$ und $A_2$ und zeige so, dass das Verhältnis $4:5$ beträgt.
Wir bestimmen zunächst den Inhalt der Fläche $A$. Verwende dazu das CAS, den Befehl zum Bestimmen eines Integrals findest du unter:
Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ $\int$
Gib an, dass $f(x)$ nach der Variablen $x$ im Intervall $\left[ 0; \sqrt{3} \right]$ differenziert werden soll. Das CAS liefert dir einen Flächeninhalt von $\boldsymbol{A=2,25}$ FE.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Um nun den Flächeninhalt der Fläche $A_1$ bestimmen zu können, benötigst du die $x$-Koordinate des Schnittpunktes $S$, in welchem sich die Graphen von $f$ und $g_1$ schneiden. Der solve-Befehl liefert dir die Schnittstelle $\boldsymbol{S_x=\sqrt{2}}$, die beiden weiteren Schnittstellen liegen nicht im I. Quadranten und können somit vernachlässigt werden.
Eingesetzt in das zuvor bestimmte Integral für die Fläche $A_1$ liefert dir, dass $\boldsymbol{A_1=1}$ gilt. Jetzt kannst du den Flächeninhalt von $A_2$ bestimmen:
$A_2=A-A_1=2,25-1=1,25$
Der Inhalt der Fläche $A_2$ beträgt damit $\boldsymbol{A_2=1,25}$ FE. Und für das Verhältnis gilt dann folglich:
$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{1}{1,25}=\boldsymbol{4:5}$
Damit hast du gezeigt, dass das Verhältnis der beiden Teilflächen $A_1$ und $A_2$ $4:5$ beträgt.
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{m}$ bestimmen
Wir betrachten im Folgenden die allgemein definierte Gerade durch den Ursprung mit der Gleichung:
$g_m(x)=m \cdot x$
Hierbei sei $m$ eine positive, reelle Zahl. Auch hier teilt die Gerade die Fläche $A$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse in zwei Teilflächen. Bestimme die reelle Zahl $m$ so, dass das Verhältnis der beiden Teilflächen $1:1$ beträgt bzw. dass gilt:
$A_1=A_2=\frac{1}{2} \cdot A=\frac{1}{2} \cdot 2,25 =1,125$
Hierbei kannst du folgende Überlegung vornehmen: Damit die Teilflächen gleich groß sind, muss der Flächeninhalt $A_2$ gerade der Hälfte von $A$ entsprechen. In mathematischen Formeln ausgedrückt muss gelten:
$A_1=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-g_m(x)\;dx\;=\displaystyle \int_0^{S_x} f(x)-m\cdot x\;dx\; = 1,125$
Das heißt, das Integral ist von der Schnittstelle $S_x$ und der Geraden $g_m(x)=m \cdot x$ abhängig.
  • Bestimme zunächst die Schnittstelle der Geraden $g_m$ mit dem Graphen von $f$,
  • um im nächsten Schritt eine Gleichung zu erhalten, die nur noch von $m$ abhängig ist. Löse diese anschließend nach $m$ auf.
1. Schritt: Schnittstelle $\boldsymbol{S_x}$ bestimmen
Die Gerade $g_m$ schneidet den Graphen von $f$ in einem Punkt $S$, der je nach Geradengleichung variiert. Wir können diese allgemeine Schnittstelle bestimmen, indem wir die folgende Gleichung nach $x$ auflösen:
$f(x)=g_m(x)=m\cdot x$
Der solve-Befehl liefert dir die Schnittstellen:
  • $x_1=- \sqrt{(3-m)}$ falls $m-3 \leq 0$
  • $\boldsymbol{x_2= \sqrt{(3-m)}}$ falls $m-3 \leq 0$
  • $x_3= 0$
Aus dem Aufgabentext weißt du, dass sich der Schnittpunkt im I. Quadranten befinden muss. Daher kommen $x_1$ und $x_3$ nicht in Frage. Die gesuchte Schnittstelle ist $x_2=\sqrt{(3-m)}=S_x$.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
2. Schritt: $\boldsymbol{m}$ ermitteln
Die Schnittstelle, an der die Gerade $g_m$ den Graphen von $f$ schneidet, ist von $m$ abhängig. Du hast diese im Schritt zuvor ermittelt und kannst nun alle Angaben in die Integralgleichung einsetzen. Wir erhalten schließlich:
$\displaystyle \int_0^{\sqrt{(3-m)}} f(x)-m\cdot x\;dx\; = 1,125$
Gib diese Gleichung im CAS an und löse nach dem Parameter $m$ auf:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Das CAS liefert dir die Lösungen $m_1 \approx 0,88$ und $m_2 \approx - 5,12$. Jedoch würde bei $m_2 \approx - 5,12$ unter der Wurzel $\sqrt{(3-m)}$ eine negative Zahl stehen. Da die Wurzelfunktion nur für nicht-negative Zahlen definiert ist, muss $m_1 \approx 0,88$ die gesuchte Lösung sein.
Die Gerade $g_m$ mit $\boldsymbol{m_1=3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx 0,88}$ teilt die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse in zwei gleichgroße Teilflächen.

Aufgabe d)

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob ein Quadrat der Seitenlänge $\boldsymbol{a=1,1}$ in die Fläche $\boldsymbol{A}$ passt
Aus der zuvor betrachteten Fläche $A$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse soll ein Quadrat mit Seitenlängen $a=1,1$ LE herausgeschnitten werden. Du sollst untersuchen, ob ein solches Quadrat in die Fläche $A$ überhaupt hineinpasst.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Damit das Quadrat überhaupt in die Fläche $A$ hineinpasst, muss die verfügbare Höhe mindestens $1,1$ LE betragen. Du kannst erkennen, dass der Graph in einem Bereich größer als die geforderten $1,1$ LE ist. Aber ist dieser Bereich auch breit genug?
  • Bestimme die Stellen, an denen die Funktion größere Funktionswerte als $1,1$ annimmt. Das heißt, du löst: $\boldsymbol{f(x)=1,1}$
  • Überprüfe, ob der Abstand zwischen den Stellen, an denen die Funktion $f(x)=1,1$ erfüllt, breiter als $1,1$ LE ist.
1. Schritt: Stellen, die $\boldsymbol{f(x)=1,1}$ erfüllen, bestimmen
Löse die Gleichung $\boldsymbol{f(x)=1,1}$ mit Hilfe des CAS.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Das liefert dir, dass die Funktion $f$ im Bereich von $x_1\approx 0,386 $ bis $x_2\approx 1,507$ größere Funktionswerte als $1,1$ annimmt. Das heißt, ein Quadrat mit Seitenlängen von $1,1$ LE würde von der Höhe in diesen Bereich hineinpassen.
Die dritte Lösung $x_3\approx -1,892$ kannst du vernachlässigen, da wir die Fläche $A$ im I. Quadranten betrachten.
2. Schritt: Überprüfen, ob das Quadrat mit einer Breite von $\boldsymbol{1,1}$ LE in $\boldsymbol{A}$ hineinpasst
Du weißt, dass die Funktion $f$ im Intervall $\left[x_1;x_2 \right]$ Funktionswerte größer als $1,1$ LE annimmt. Das heißt, eine Höhe von mehr als $1,1$ ist dort gewährleistet. Überprüfe, ob in diesem Bereich auch die vorgegebene Breite von $1,1$ LE erfüllbar ist. Dazu bestimmen wir den Abstand von $x_1$ und $x_2$:
$x_2-x_1\approx 1,507 - 0,386 \approx 1,121 > 1,1$
Das liefert dir, dass $x_1$ und $x_2$ einen Abstand von ungefähr $1,121$ und damit mehr als $1,1$ LE besitzen. Ein Quadrat mit den Seitenlängen $a=1,1$ passt also in die Fläche $A$ hinein.

Aufgabe e)

$\blacktriangleright$ Beschreibe, wie $\boldsymbol{f_k}$ aus $\boldsymbol{f}$ hervorgeht
Die Funktionenschar $f_k$ ist durch folgenden Funktionsterm gegeben:
$f_k(x)=-k \cdot x^3 +3\cdot k\cdot x=k \cdot \left( -x^3+3\cdot x\right)=k \cdot f(x),\;x \in \mathbb{R}$
Beschreibe, wie die Graphen von $f_k$ aus dem Graphen von $f$ hervorgehen. Anhand des Funktionsterms von $f_k$ kannst du erkennen, dass du diesen erhältst, wenn du den Term zu $f$ mit dem Parameter $k$ multiplizierst. Wird ein Funktionsterm mit einem Faktor …
  • $\boldsymbol{k>1}$ multipliziert, so wird der zugehörige Graph in $y$-Richtung gestreckt.
  • $\boldsymbol{k<1}$ multipliziert, so wird der zugehörige Graph in $y$-Richtung gestaucht.
  • $\boldsymbol{k=1}$ multipliziert, so liegt keine Änderung vor.
$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist
Zuvor hast du überlegt, dass die Graphen der Funktionenschar $f_k$ aus Stauchung bzw. Streckung des ursprünglichen Terms hervorgehen.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Für beliebige $k$ bilden die Schnittstellen mit der $x$-Achse und der Hochpunkt im I. Quadranten ein Dreieck. Bestimme $k$ so, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Dazu kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse und des Hohpunktes in Abhängigkeit von $k$.
  • Stelle eine von $k$ abhängige Gleichung auf, bei der die Tatsache berücksichtigt wird, dass zwei Seiten des Dreiecks gleich lang sein sollen.
1. Schritt: Allgemeine Koordinaten in Abhängigkeit von $\boldsymbol{k}$ angeben
Die Funktionenschar hat genau dann Nullstellen, wenn der Term der Funktion Null wird:
$f_k(x)=-k \cdot x^3 +3\cdot k\cdot x=k \cdot \left( -x^3+3\cdot x\right)=0$
Der Funktionsterm ist gleich Null, falls einer der Faktoren $k$ oder $\left( -x^3+3\cdot x\right)$ Null wird. Das ist genau dann der Fall, wenn $k=0$ oder $x_1=0$ und $x_2=\sqrt{3}$.
Da aber für $k=0$ die Funktion eine Konstante durch Null wäre, ist diese Lösung zu vernachlässigen. Damit sind die Nullstellen unabhängig vom Parameter $k$ und sie haben die Koordinaten:
  • $N_1(0 \mid 0)$
  • $N_2(\sqrt{3} \mid 0)$
Damit hast du bereits $2$ Eckpunkte ermittelt. Ein weiterer ist der Hochpunkt $H_k$. Du kannst diesen ermitteln, indem du die Funktionenschar $f_k$ auf Maxima untersuchst. Hat eine Funktion $f$ an einer Stelle $x_M$ ein Maximum, so müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_M) < 0}$
Dazu kannst du zunächst die erste und zweite Ableitung der Funktionenschar mit Hilfe des CAS definieren. Löse anschließend die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f'_k(x_M)=0}$ nach der Variablen $x$. Das CAS liefert dir, dass $x_M=1$ potentielle Maximalstelle ist. Die Lösung $k=0$ brauchst du hierbei nicht beachten, da der Graph für $k=0$ einer Konstante durch den Koordinatenursprung entspricht und das Dreieck somit entartet ist.
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Für $x_M=1$ gilt außerdem $f''_k(x)=-6\cdot k<0$, sofern $k>0$ Das heißt, an $x_M$ liegt tatsächlich eine Maximalstelle vor. Einsetzen in den Term der Funktionenschar liefert dir die allgemeinen Koordinaten des Hochpunktes: $\boldsymbol{H_k(1 \mid 2 \cdot k)}$.
2. Schritt: Gleichung aufstellen und Wert für $\boldsymbol{k}$ ermitteln
Damit ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt, müssen zwei Seitenlängen gleich lang sein. Anhand der Koordinaten siehst du, dass die Schnittstellen mit der $x$-Achse nicht vom Parameter $k$ abhängig sind. Das heißt, diese Seitenlänge des Dreiecks hat für jedes $k$ eine Länge von:
$d(N_1,N_2)=\sqrt{(N_{1x}-N_{2x})^2+(N_{1y}-N_{2y})^2}=\sqrt{(0-\sqrt{3})^2+(0-0)^2}=\sqrt{3}$
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$ LE. Insgesamt gibt es dann $3$ Möglichkeiten, die gleich langen Seiten anzusetzen:
  • $d(N_1,H_k)=\sqrt{(N_{1x}-H_{kx})^2+(N_{1y}-H_{ky})^2}=\sqrt{1+4k^2}=\sqrt{3}=d(N_1,N_2)$
  • $d(N_2,H_k)=\sqrt{(N_{2x}-H_{kx})^2+(N_{2y}-H_{ky})^2}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+4k^2}=\sqrt{3}=d(N_1,N_2)$
  • $d(N_2,H_k)=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+4k^2}=\sqrt{1+4k^2}=d(N_1,H_k)$
Löse diese Gleichungen mit dem CAS:
Aufgabe B2
Aufgabe B2
Das CAS sagt aus, dass entweder $d(N_1,H_k)=d(N_1,N_2)$ oder $d(N_2,H_k)=d(N_1,N_2)$ möglich ist. Die Gleichung $d(N_2,H_k)=d(N_1,H_k)$ kann nicht erfüllt werden.
Bei der Hochpunktbestimmung haben wir außerdem festgehalten, dass ein Hochpunkt nur für $k>0$ vorliegen kann. Das heißt, nur die folgenden positiven Werte sind mögliche Lösungen für $k$:
  • $k_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $k_2=\frac{\sqrt{2\sqrt{3}-1}}{2}$
Für $\boldsymbol{k_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ oder $\boldsymbol{k_2=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}-1}}{2}}$ liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor.
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