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Aufgabe B

Aufgaben
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1.
Für jede positive Zahl $a$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=x^2\cdot e^{-a\cdot x}$ mit $x\in\mathbb{R}$.
Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.
a)
Berechne denjenigen Wert von $a$, für den der Punkt $U\left(1\;|\;\frac{1}{2}\right)$ auf $G_a$ liegt.
(2 BE)
b)
Bestimme die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$. Begründe, dass der Hochpunkt für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten liegt.
(zur Kontrolle: Extremstellen von $f_a:\; x_1=0;\;x_2=\frac{2}{a}$)
(6 BE)
c)
Für jede positive reelle Zahl $b$ sind die Punkte $A(0\;|\;0)$ und $B(b\;|\;0)$ sowie der Punkt $C$ gegeben, der die $x$-Koordinate $b$ hat und auf dem Graphen $G_{\frac{1}{5}}$ liegt.
Bestimme denjenigen Wert von $b$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ maximal ist, und gib den zugehörigen Flächeninhalt an.
(5 BE)
Der Graph $G_{\frac{1}{5}}$, die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=p\;\;$ \left($p\in\mathbb{R}; p>0$\right) schließen ein Flächenstück ein.
d)
Berechne die Größe dieses Flächenstücks.
Zeige, dass der Inhalt des Flächenstücks auch für beliebig große Werte von $p$ kleiner als $250$ ist.
(4 BE)
#zentraleraufgabenpool#extrempunkt#funktionenschar
2
Die Abbildung zeigt schematisch einen Längsschnitt eines Schiffs dessen Deck horizontal liegt. Bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen Ursprung an der Bugspitze liegt und dessen $x$-Achse entlang der Decklinie verläuft, beschreibt die Funktion $k(x)=-\frac{3}{10} x^2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}x}$ für $0\leq x\leq20$ $\;\;(x\in\mathbb{R})$ modellhaft die abgebildete Kiellinie. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in Wirklichkeit.
a)
Für $x\in \mathbb{R}$ gilt $k(x)=-\frac{3}{10}\cdot f_{\frac{1}{5}}(x).$ Beschreibe, wie der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f_{\frac{1}{5}}$ hervorgeht.
(2 BE)
b)
Berechne die Höhendifferenz in Meter zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck.
(4 BE)
c)
Der Kiel hat in einem Punkt seinen größten Neigungswinkel gegen die Horizontale. Bestimme die Größe dieses Neigungswinkels.
(4 BE)
d)
Der horizontal liegende Boden der Kajüte befindet sich $2,20\,\text{m}$ unterhalb des Decks. Berechne die Länge des Bodens in Längsrichtung des Schiffs.
(4 BE)
e)
Der Boden des Stauraums unterhalb der Kajüte hat in Längsrichtung des Schiffs eine Länge von $6\;\text{m}$.
Ermitteln Sie rechnerisch in Metern, wie weit der Boden des Stauraums unterhalb des Bodens der Kajüte liegt.
(5 BE)
f)
Der Punkt $B$ stellt die Bugspitze, der Punkt $E$ den Endpunkt des Kiels am Heck dar. Ein Näherungswert für die Länge der Kiellinie kann im Modell durch einen Streckenzug von $B$ zu $E$ über zwei weitere Punkte, die auf dem Graphen von $k$ liegen, bestimmt werden.
Formuliere eine allgemeine Aussage zur Länge der Kiellinie im Vergleich zum Näherungswert, ohne diese zu bestimmen. Begründen Sie diese Aussage.
Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a;b]$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit erster Ableitungsfunktion $h'$, so gilt für die Länge $s$ dieses Kurvenstücks:
$s = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(h'(x)\right)^2}\;\mathrm dx$
Berechne damit die Länge der Kiellinie.
(4 BE)
#neigungswinkel#zentraleraufgabenpool
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Lösungen TI
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1
a)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen
Es soll gelten $f(1)=\frac{1}{2}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] 1^2\cdot e^{-a\cdot 1}&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] e^{-a}&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{ln} \\[5pt] -a&=&\text {ln}\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] -a&=&\text {ln}(1)-\text {ln}(2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{ln}(1)=0 \\[5pt] a&=&\text {ln}(2) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $a=\text{ln}(2)$ liegt der Punkt $U$ auf dem Graphen von $f_a$.
b)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Mit dem notwendigen Kriterium $f'(x)=0$ für lokale Extremstellen und dem CAS ergibt sich:
Aufgabe B
Abb. 1: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Aufgabe B
Abb. 1: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Aufgabe B
Abb. 2: solve-Befehl
Aufgabe B
Abb. 2: solve-Befehl
Der Graph von $f_a$ besitzt für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H_a\left(\dfrac{2}{a}\mid \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Lage des Hochpunkts begründen
Ein Punkt liegt dann im ersten Quadranten, wenn sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinate positiv ist.
Die Koordinaten des Hochpunkts lauten für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ $G_a\left(\dfrac{2}{a}\mid \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right).$ Da $a\in \mathbb{R}^+$ ist, gilt $\frac{2}{a} >0.$
Zudem ist auch $\mathrm e^{-2} > 0$, damit auch $4\cdot \mathrm e^{-2} > 0$ und insgesamt gilt damit auch für die $y$-Koordinate $\frac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} > 0.$
Sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinaten von $G_a$ sind für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ positiv. Daher liegt der Hochpunkt für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ im ersten Quadranten.
c)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{b}$ bestimmen
1. Schritt: Funktion aufstellen
Die Grundseite des Rechtecks lässt sich über die $x$-Koordinate, die Höhe über den zugehörigen Funktionswert berechnen. Der Flächeninhalt kann also über folgende Funktion beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& a\cdot b \cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(x)&=& b\cdot f_{\frac{1}{5}}(x)\cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(x)&=&b\cdot b^2\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 \end{array}$
2. Schritt: Maximum bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& b^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] A'(x)&=&\frac{3}{2}b^2\cdot e^{-\frac{1}{2}b}-\frac{1}{20}b^3\cdot e^{-\frac{1}{5}b}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} A'(x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS}\\[5pt] b_1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] b_2&=&15 \end{array}$
Es gibt zwei mögliche Extremstellen.
Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden:
$A''(0)=2 > 0 \;\;\rightarrow T$
$A''(15)\approx -32,55 < 0 \;\;\; \rightarrow \;H$
Das Maximum des Flächeninhaltes ist gesucht, deshalb ist nur die Lösung $b=15$ sinnvoll.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$A=b\cdot f_{\frac{1}{5}}(x)\cdot 0,5$
$A=15^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot 15}\cdot 0,5\approx \frac{3.375}{2e^3}\;\text{FE}$
Der maximale Flächeninhalt beträgt $\frac{3.375}{2e^3}\;\text{FE}$.
d)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_{\frac{1}{5}}(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] x^2&=& 0\\[5pt] x_{1/2}&=&0 \end{array}$
Die einzige Nullstelle ist also $x_0 =0$. Der gesuchte Flächeninhalt kann also mit einem Integral $f_{0,2}$ in den Grenzen $0$ und $p$ berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A_p &=& \displaystyle\int_{0}^{p}f_{0,2}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{p}\left(x^2\cdot\mathrm e^{-0,2x}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& -5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250 \\[5pt] \end{array}$
Aufgabe B
Abb. 3: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Aufgabe B
Abb. 3: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Die Größe des Flächenstücks beträgt
$A_p=-5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250$.
$\blacktriangleright$  Begrenzung zeigen
$A_p = -5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250 $
$ A_p = … $
Dieser besteht aus vier Summanden, von denen nur einer, $250,$ positiv ist. Die übrigen drei sind wegen des negativen Vorzeichens und weil $p> 0$ und $\mathrm e^{-\frac{p}{5}} > 0$ gilt negativ. Von $250$ wird also für jedes $p\in \mathbb{R}^+$ etwas abgezogen. Also ist der Wert des Terms und damit der Flächeninhalt immer kleiner als $250$.
#integral#extrempunkt#funktionenschar
2
a)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
Der Funktionsterm von $k$ entsteht durch Multiplikation des Funktionsterms von $f_{\frac{1}{5}}$ mit dem Faktor $-\frac{3}{10}.$ Durch das negative Vorzeichen wird der Graph von $f_{\frac{1}{5}}$ an der $x$-Achse gespiegelt. Durch den Faktor $0,3$ wird der Graph entlang der $y$-Achse gestaucht.
Der Graph von $k$ geht also aus dem Graphen von $f_{\frac{1}{5}}$ durch Stauchung um den Faktor $\frac{3}{10}$ entlang der $y$-Achse und Spiegelung an der $x$-Achse hervor.
b)
$\blacktriangleright$  Höhendifferenz berechnen
Die gesuchte Höhendifferenz ergibt sich aus der Differenz der Funktionswerte an der Minimalstelle und an der Stelle $x=20$:
$d=k(20)-k(10)$
$\begin{array}[t]{rll} k(10)&=& -0,3\cdot f_{0,2}(10) \\[5pt] &=& -0,3\cdot 100\mathrm e^{-2} \\[5pt] &=& -30\mathrm e^{-2} \\[5pt] \end{array}$
$k(10) = -30\mathrm e^{-2} $
$\begin{array}[t]{rll} k(20)&=&-0,3\cdot 20^2\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 20} \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] \end{array}$
$ k(20)=-120\cdot \mathrm e^{-4} $
$\begin{array}[t]{rll} k(20)-k(10)&=&-120\cdot \mathrm e^{-4} -\left(-30\mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} -\left(-30\mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} +30\mathrm e^{-2} \\[5pt] &\approx& 1,86 \end{array}$
$ k(20)-k(10) \approx 1,86$
Die Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck beträgt ca. $1,86\,\text{m}.$
c)
$\blacktriangleright$  Betrag des größten Neigungswinkels berechnen
1. Schritt: Stelle mit der steilsten Steigung berechnen
Die Stellen mit der steilsten Steigung des Graphen von $k$, sind die Extremstellen von $k'$. Mit dem notwendigen Kriterium folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] x_1&=& -5\cdot \sqrt{2}+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& 5\cdot \sqrt{2}+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Überprüfung mit dem hinreichenden Kriterium ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,09 \neq 0 \\[5pt] k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -5,58 \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,09 \neq 0 \\[10pt] &k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -5,58 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
An beiden Stellen besitzt der Graph von $k'$ also einen Extrempunkt. Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -0,69 \\[5pt] k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -0,69 \\[10pt] &k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
Die betragsmäßig größte Steigung hat der Graph von $k$ also an der Stelle $x_s = -5\cdot \sqrt{2}+10$ mit $k'(x_s)\approx -0,69.$
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& k'(x_s) \\[5pt] \tan (\alpha)&\approx& -0,69 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& -34,61^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx -34,61^{\circ}$
Der Betrag des betragsmäßig größten Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$
d)
$\blacktriangleright$  Länge des Bodens berechnen
Die Länge des Bodens ergibt sich also aus der Differenz der Schnittstellen der Gerade mit dem Graphen von $k.$
$k(x)= -2,20$ mit dem solve-Befehl berechnen:.
$x_1\approx 4,07$ und $x_2 \approx 19,99$
Die dritte Lösung liegt außerhalb des betrachteten Bereichs.
Die Differenz beträgt $19,99 -4,07 = 15,9.$
Der Boden ist in Längsrichtung ca. $15,9\,\text{m}$ lang.
e)
$\blacktriangleright$  Lage des Stauraums berechnen
Stelle mit dem Solve-Befehl suchen, an der gilt:
$k(x)=k(x+6)$
Es ergibt sich $x\approx 7,3$. Der zugehörige $y$-Wert ist $k(7,3)\approx -3,7$.
Die Kajüte liegt $2,2\;\text{m}$ unterhalb des Decks, somit ergibt sich:
$3,7-2,2=1,5$
Der Boden des Stauraums ist ca. $1,5\;\text{m}$ vom Boden der Kajüte entfernt.
f)
$\blacktriangleright$  Länge des Kiels berechnen
Die Näherung über die Streckenzüge ist immer kürzer als die tatächliche Länge des Kiels. dies liegt daran, dass der Streckenzug aus $3$ Geraden besteht, die die $4$ Punkte auf dem Graphen verbinden. Der kürzeste Weg zwischen $2$ Punkten ist immer eine Gerade, weshalb die Verbindung mit Streckenzügen immer kürzer ist als ein Graph oder eine Kurve.
$\begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{0}^{20}\sqrt{1+ \left( h'(x)\right)^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx & 21,2 \\[5pt] \end{array}$
$ L \approx 21,2 $
Die Länge des Kiels beträgt ca. $21,2\,\text{m}.$
#neigungswinkel
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a)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen
Es soll gelten $f(1)=\frac{1}{2}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] 1^2\cdot e^{-a\cdot 1}&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] e^{-a}&=&\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{ln} \\[5pt] -a&=&\text {ln}\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] -a&=&\text {ln}(1)-\text {ln}(2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{ln}(1)=0 \\[5pt] a&=&\text {ln}(2) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $a=\text{ln}(2)$ liegt der Punkt $U$ auf dem Graphen von $f_a$.
b)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Mit dem notwendigen Kriterium $f'(x)=0$ für lokale Extremstellen und dem CAS ergibt sich:
Aufgabe B
Abb. 1: keyboard $\to$ Math2
Aufgabe B
Abb. 1: keyboard $\to$ Math2
Aufgabe B
Abb. 2: solve-Befehl
Aufgabe B
Abb. 2: solve-Befehl
Aufgabe B
Abb. 3: Funktionswerte der zweiten Ableitung berechnen
Aufgabe B
Abb. 3: Funktionswerte der zweiten Ableitung berechnen
$\blacktriangleright$  Lage des Hochpunkts begründen
Ein Punkt liegt dann im ersten Quadranten, wenn sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinate positiv ist.
Die Koordinaten des Hochpunkts lauten für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ $G_a\left(\dfrac{2}{a}\mid \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right).$ Da $a\in \mathbb{R}^+$ ist, gilt $\frac{2}{a} >0.$
Zudem ist auch $\mathrm e^{-2} > 0$, damit auch $4\cdot \mathrm e^{-2} > 0$ und insgesamt gilt damit auch für die $y$-Koordinate $\frac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} > 0.$
Sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinaten von $G_a$ sind für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ positiv. Daher liegt der Hochpunkt für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ im ersten Quadranten.
c)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{b}$ bestimmen
1. Schritt: Funktion aufstellen
Die Grundseite des Rechtecks lässt sich über die $x$-Koordinate, die Höhe über den zugehörigen Funktionswert berechnen. Der Flächeninhalt kann also über folgende Funktion beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& a\cdot b \cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(x)&=& b\cdot f_{\frac{1}{5}}(x)\cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(x)&=&b\cdot b^2\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 \end{array}$
2. Schritt: Maximum bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& b^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] A'(x)&=&\frac{3}{2}b^2\cdot e^{-\frac{1}{2}b}-\frac{1}{20}b^3\cdot e^{-\frac{1}{5}b}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} A'(x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS}\\[5pt] b_1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] b_2&=&15 \end{array}$
Es gibt zwei mögliche Extremstellen.
Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden:
$A''(0)=2 > 0 \;\;\rightarrow T$
$A''(15)\approx -32,55 < 0 \;\;\; \rightarrow \;H$
Das Maximum des Flächeninhaltes ist gesucht, deshalb ist nur die Lösung $b=15$ sinnvoll.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$A=b\cdot f_{\frac{1}{5}}(x)\cdot 0,5$
$A=15^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot 15}\cdot 0,5\approx \frac{3.375}{2e^3}\;\text{FE}$
Der maximale Flächeninhalt beträgt $\frac{3.375}{2e^3}\;\text{FE}$.
d)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_{\frac{1}{5}}(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] x^2&=& 0\\[5pt] x_{1/2}&=&0 \end{array}$
Die einzige Nullstelle ist also $x_0 =0$. Der gesuchte Flächeninhalt kann also mit einem Integral $f_{0,2}$ in den Grenzen $0$ und $p$ berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A_p &=& \displaystyle\int_{0}^{p}f_{0,2}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{p}\left(x^2\cdot\mathrm e^{-0,2x}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& -5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250 \\[5pt] \end{array}$
Die Größe des Flächenstücks beträgt
$A_p=-5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250$.
$\blacktriangleright$  Begrenzung zeigen
$A_p = -5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250 $
$ A_p = … $
Dieser besteht aus vier Summanden, von denen nur einer, $250,$ positiv ist. Die übrigen drei sind wegen des negativen Vorzeichens und weil $p> 0$ und $\mathrm e^{-\frac{p}{5}} > 0$ gilt negativ. Von $250$ wird also für jedes $p\in \mathbb{R}^+$ etwas abgezogen. Also ist der Wert des Terms und damit der Flächeninhalt immer kleiner als $250$.
#funktionenschar#integral#extrempunkt
2
a)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
Der Funktionsterm von $k$ entsteht durch Multiplikation des Funktionsterms von $f_{\frac{1}{5}}$ mit dem Faktor $-\frac{3}{10}.$ Durch das negative Vorzeichen wird der Graph von $f_{\frac{1}{5}}$ an der $x$-Achse gespiegelt. Durch den Faktor $0,3$ wird der Graph entlang der $y$-Achse gestaucht.
Der Graph von $k$ geht also aus dem Graphen von $f_{\frac{1}{5}}$ durch Stauchung um den Faktor $\frac{3}{10}$ entlang der $y$-Achse und Spiegelung an der $x$-Achse hervor.
b)
$\blacktriangleright$  Höhendifferenz berechnen
Die gesuchte Höhendifferenz ergibt sich aus der Differenz der Funktionswerte an der Minimalstelle und an der Stelle $x=20$:
$d=k(20)-k(10)$
$\begin{array}[t]{rll} k(10)&=& -0,3\cdot f_{0,2}(10) \\[5pt] &=& -0,3\cdot 100\mathrm e^{-2} \\[5pt] &=& -30\mathrm e^{-2} \\[5pt] \end{array}$
$k(10) = -30\mathrm e^{-2} $
$\begin{array}[t]{rll} k(20)&=&-0,3\cdot 20^2\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 20} \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] \end{array}$
$ k(20)=-120\cdot \mathrm e^{-4} $
$\begin{array}[t]{rll} k(20)-k(10)&=&-120\cdot \mathrm e^{-4} -\left(-30\mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} -\left(-30\mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} +30\mathrm e^{-2} \\[5pt] &\approx& 1,86 \end{array}$
$ k(20)-k(10) \approx 1,86$
Die Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck beträgt ca. $1,86\,\text{m}.$
c)
$\blacktriangleright$  Betrag des größten Neigungswinkels berechnen
1. Schritt: Stelle mit der steilsten Steigung berechnen
Die Stellen mit der steilsten Steigung des Graphen von $k$, sind die Extremstellen von $k'$. Mit dem notwendigen Kriterium folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{CAS} \\[5pt] x_1&=& -5\cdot \sqrt{2}+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& 5\cdot \sqrt{2}+10 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Überprüfung mit dem hinreichenden Kriterium ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,09 \neq 0 \\[5pt] k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -5,58 \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,09 \neq 0 \\[10pt] &k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -5,58 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
An beiden Stellen besitzt der Graph von $k'$ also einen Extrempunkt. Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -0,69 \\[5pt] k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -0,69 \\[10pt] &k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
Die betragsmäßig größte Steigung hat der Graph von $k$ also an der Stelle $x_s = -5\cdot \sqrt{2}+10$ mit $k'(x_s)\approx -0,69.$
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& k'(x_s) \\[5pt] \tan (\alpha)&\approx& -0,69 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& -34,61^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx -34,61^{\circ}$
Der Betrag des betragsmäßig größten Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$
d)
$\blacktriangleright$  Länge des Bodens berechnen
Die Länge des Bodens ergibt sich also aus der Differenz der Schnittstellen der Gerade mit dem Graphen von $k.$
$k(x)= -2,20$ mit dem solve-Befehl berechnen:.
$x_1\approx 4,07$ und $x_2 \approx 19,99$
Die dritte Lösung liegt außerhalb des betrachteten Bereichs.
Die Differenz beträgt $19,99 -4,07 = 15,9.$
Der Boden ist in Längsrichtung ca. $15,9\,\text{m}$ lang.
e)
$\blacktriangleright$  Lage des Stauraums berechnen
Stelle mit dem Solve-Befehl suchen, an der gilt:
$k(x)=k(x+6)$
Es ergibt sich $x\approx 7,3$. Der zugehörige $y$-Wert ist $k(7,3)\approx -3,7$.
Die Kajüte liegt $2,2\;\text{m}$ unterhalb des Decks, somit ergibt sich:
$3,7-2,2=1,5$
Der Boden des Stauraums ist ca. $1,5\;\text{m}$ vom Boden der Kajüte entfernt.
f)
$\blacktriangleright$  Länge des Kiels berechnen
Die Näherung über die Streckenzüge ist immer kürzer als die tatächliche Länge des Kiels. dies liegt daran, dass der Streckenzug aus $3$ Geraden besteht, die die $4$ Punkte auf dem Graphen verbinden. Der kürzeste Weg zwischen $2$ Punkten ist immer eine Gerade, weshalb die Verbindung mit Streckenzügen immer kürzer ist als ein Graph oder eine Kurve.
$\begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{0}^{20}\sqrt{1+ \left( h'(x)\right)^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx & 21,2 \\[5pt] \end{array}$
$ L \approx 21,2 $
Die Länge des Kiels beträgt ca. $21,2\,\text{m}.$
#neigungswinkel
Bildnachweise [nach oben]
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