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Aufgabe C2

Aufgaben
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1.
Auf einem ebenen Gelände befindet sich ein $15\,\text{m}$ hoher Antennenmast. Dieses Gelände wird durch die $xy$-Ebene eines Koordinatensystems dargestellt. Der Punkt $F(4 \mid 3 \mid 0)$ beschreibt den Fußpunkt des Antennenmastes. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-1 \\ 10 \\ -5}$. Sie erzeugen auf dem Boden einen Schatten des Antennenmastes.
#vektoren
$\,$
a)
Die Gerade $g$ beschreibt den Verlauf des Lichtstrahles, der auf die Spitze des Antennenmastes trifft.
Gib eine Gleichung für $g$ an.
(1P)
#geradengleichung
$\,$
b)
Berechne die Koordinaten des Durchstoßpunktes $D$ von $g$ mit der $xy$-Ebene sowie die Länge des Schattens in Metern.
(2P)
$\,$
c)
Bestimme die Größe des Winkels, unter dem das Licht auf den Boden fällt.
(1P)
#winkel
Eine kleine Pflanze wächst in der Nähe des Antennenmastes. Ihr Standort kann im Koordinatensystem durch den Punkt $P(5,5 \mid -12 \mid 0)$ beschrieben werden. Es soll untersucht werden, ob sich die Pflanze zu dem bestimmten Zeitpunkt im Schatten des Antennenmastes befindet.
$\,$
d)
Beurteile dazu die beiden folgenden Lösungsansätze:
(A)
Der Abstand zwischen Pflanze und Antennenmast wird berechnet und das Ergebnis wird mit der Schattenlänge des Antennenmastes verglichen.
(B)
Die Gleichung der Geraden durch die Punkte $F$ und $D$ wird aufgestellt. Anschließend wird überprüft, ob der Punkt $P$ auf dieser Geraden liegt.
(3P)
#abstand#geradengleichung
$\,$
e)
Gib an, ob sich die Pflanze im Schatten des Antennenmastes befindet.
(1P)
2.
Seit einiger Zeit wird in Politik und Medien diskutiert, ob es sinnvoll ist, dass Kinder in der Schule die Schreibschrift erlernen. Die Position, dass durch Computer und Smartphone für Kinder der Umgang mit der Druckschrift Alltag ist, kaum dass sie das Alphabet kennen, steht der Ansicht gegenüber, dass das Schreiben mit der Hand kreative Prozesse unterstützt oder, wie Cornelia Funke poetisch ausdrückte: „Die Schreibschrift bringe die ‚Gedanken zum Fliegen.‘“
Ein IT-Unternehmen hat hierzu eine Studie in Auftrag gegeben, die folgende Ergebnisse lieferte:
Aufgabe C2
Aufgabe C2
$\,$
a)
Begründe, dass es nicht möglich ist, die Verteilung zur Frage „Was erledigen Sie gern handschriftlich?“ in einem Kreisdiagramm darzustellen.
(1P)
#diagramm
$\,$
b)
Beschreibe unter Verwendung der obigen Statistik ein Ereignis $D$, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term $P(D) = 0,78^{10} + 10\cdot 0,22\cdot 0,78^9$ berechnet werden kann.
(2P)
#wahrscheinlichkeit
$\,$
c)
In einer Schule werden $96$ Abiturienten befragt, was sie gern handschriftlich erledigen.
Berechne unter der Annahme des Modells der Binomialverteilung und unter Verwendung der obigen Statistik die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A:=
„Genau $80$ Abiturienten schreiben Merkzettel mit der Hand.“
B:=
„Mindestens $10$ aber weniger als $80$ Abiturienten schreiben Merkzettel mit der Hand.“
C:=
„Höchstens $40$ Abiturienten ordnen ihre Gedanken handschriftlich.“
(3P)
#binomialverteilung#wahrscheinlichkeit
$\,$
d)
Ermittle die zu erwartende Anzahl unter den $96$ Abiturienten, die handschriftlich Briefe schreiben.
Gib eine mögliche Ursache dafür an, dass dieses Ergebnis deinen Alltagsbeobachtungen widerspricht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:
E:=
„Die Anzahl der Abiturienten, die handschriftlich Briefe schreiben, weicht um höchstens fünf Abiturienten vom Erwartungswert ab.“
(3P)
#wahrscheinlichkeit#erwartungswert
$\,$
e)
Die Frage „Machen Sie sich handschriftliche Notizen?“ wird vermutlich in zehn Jahren nur noch zu $50\%$ mit „Ja“ beantwortet ($H_0$) statt der $78\%$ aus dem Jahr 2015 ($H_1$).
Konstruiere einen Alternativtest mit dem Stichprobenumfang $n=100$, der diese Hypothese zu höchstens $10\%$ zu Unrecht ablehnt.
(3P)
#hypothesentest
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung aufstellen
Du sollst die Geradengleichung angeben, welche den Verlauf der Sonnenstrahlen ab der Mastspitze beschreibt. Dazu berechnest du zuerst die Koordinaten der Mastspitze, da diese deinen Stützpunkt darstellt. Den Richtungsvektor hast du bereits in der Aufgabenstellung gegeben.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen
Die Koordinaten des Durchstoßpunktes $D$ sind gesucht. Der Durchstoßpunkt gibt den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $xy$-Ebene an. $D$ ansich liegt also ebenfalls in dieser Ebene.
Für einen Punkt in der $xy$-Ebene gilt, dass die $z$-Koordinate $0$ ist. Setze diese Bedingung in deine Geradengleichung ein um so eine Gleichung zu erhalten, die du nach $t$ lösen kannst um anschließend die $x$- und $y$-Koordinaten zu bestimmen.
$\blacktriangleright$  Länge des Schattens berechnen
Aus den Koordinaten von $D$ berechnest du die Schattenlänge. Der Schatten des Turms verläuft zwischen $F\;(4 \mid 3 \mid 0)$ und $D$. Seine Länge entspricht der Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Einfallswinkel bestimmen
Den Einfallswinkel des Lichtes errechnest du mit der Formel für den Schnittwinkel zwischen dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ des Lichtes und einem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene des Bodens.
$\sin\alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}$
$\sin\alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}$
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Lösungsansätze beurteilen
Du sollst zwei Lösungsansätze zur Überprüfung, ob die Pflanze im Schatten liegt, überprüfen. Dabei betrachtest du beide getrennt:
  • (A): Abstand zwischen der Pflanze und dem Fußpunkt bestimmen und mit der Schattenlänge vergleichen.
  • (B): Es wird überprüft, ob die Pflanze auf der Gerade durch $F$ und $D$ liegt.
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob die Pflanze vom Schatten bedeckt wird
Deine Erkenntnisse aus Teilaufgabe d) sollst du nun verwenden, um zu überprüfen ob die Pflanze in der Sonne oder im Schatten liegt. Benutze zuerst den Lösungsansatz (B).
Du verwendest den Ansatz (B). Die nötige Gerade hast du bereits in Teilaufaugabe d) bestimmt. Aus den drei Komponenten erhältst du ein Gleichungssystem, welches eine eindeutige Lösung besitzen muss, damit $P$ auf der Geraden liegt. Das Gleichungssystem löst du wie in Teilaufgabe d).
2.
a)
$\blacktriangleright$  Kreisdiagramm begründen
Du sollst begründen, warum es nicht möglich ist, das erste Diagramm in einem Kreisdiagramm darzustellen. Betrachte hierzu die Art der Ereignisse und die Summe der aufgetragenen Wahrscheinlichkeiten.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
Du sollst beschreiben, welches Ereignis durch die Wahrscheinlichkeit $P(D)=0,78^{10}+10\cdot 0,22\cdot 0,78^9$ ausgedrückt wird.
An den $0,78=78\%$ erkennst du, dass es sich um die rechte Statistik handelt. Für diese Befragung gibt es zwei Antwortmöglichkeiten ‚Ja‘ und ‚Nein‘, welche absolut verschieden sind. Dadurch lässt sich der Versuch als Bernoulli-Experiment behandeln. Für ein Bernoulli-Experiment mit $k$ Treffern aus $n$ Versuchen bei einer Wahrscheinlichkeit von $p$, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit:
$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot \left(1-p\right)^{n-k}$
$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot \left(1-p\right)^{n-k}$
Vergleiche den Term mit der Formel und übertrage deie Ergebnisse auf den Sachkontext.
c)
$\;$
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Die Anzahl der befragten Abiturienten beträgt $96$. Diese Anzahl entspricht den Versuchen $n$, da jeder Schüler befragt wird. Löse nun die Aufgaben $A-C$, indem du die jeweilige Wahrscheinlichkeit im Diagramm aus Abbildung $1$ abliest.
Die Zufallsvariable $X$ beschreibt für $A$ und $B$ die Anzahl der Abiturienten, die einen Merkzettel mit der Hand schreiben, in $C$ die Anzahl der Abiturienten, die sich handschriftlich Gedanken machen. Im Diagramm kannst du eine Wahrscheinlichkeit dafür ablesen.
Setze nun die gegebenen Werte in den Taschenrechner ein.
d)
$\;$
$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Du sollst die erwartete Anzahl der Abiturienten ermitteln, die handschriftlich Briefe schreiben. Es sind insgesammt $96$ Abiturienten, die betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit für „handschriftlich Briefe schreiben“ , kannst du im Diagramm aus Abbildung $1$ ablesen. Berechne den Erwartungswert, indem du die Formel:
$E=p \cdot n$
$E=p \cdot n$
verwendest.
$\blacktriangleright$ Ursache für widersprechnede Alltagsbeobachtung finden
Der Erwartungswert liegt also bei $37$ Abiturienten.
Überlege wann, wo und wie oft du Briefe schreibst, um diese Frage zu beantworten.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Abweichung berechnen
Du kannst die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von höchstens $5$ Abiturienten berechnen, indem du den Taschenrechner zur Hilfe nimmst. Du musst dir überlegen welche Grenzen du festlegst. Da die Abweichung höchstens $5$ beträgt, benötigst du die untere Grenze $37-5=32$ und die obere Grenze $37+5=42$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt wie oben $p=0,39$.
e)
$\;$
$\blacktriangleright$ Alternativtest konstruieren
Du sollst einen Alternativtest konstruieren mit einem Stichprobenumfang von $n=100$, der die Hypothese zu höchstens $\alpha =10 \%$ ablehnt. Stelle zuerst eine Nullhypothese auf und überlege, ob es sich um einen rechts- oder linksseitigen Test handelt.

Vorgehen

Bei der Durchführung eines Signifikanztests wird allgemein folgendermaßen vorgegangen:
  • Formulieren der Hypothesen und Wahl des Signifikanzniveaus $\alpha$
  • Aufstellen eines Ablehnungsbereichs $\overline{A}$
  • Betrachten einer Stichprobe
  • Entscheidungsregel formulieren
Das Signifikanzniveau wird auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt. Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese fälschlicherweise abzulehnen. Dies ist in den Aufgabenstellungen meistens vorgegeben. Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ und der Annahmebereich $A$ haben folgende Form:
  • Linksseitiger Test: $\overline{A} = [0;k-1]$ und $A = [k;n]$
  • Rechtsseitiger Test: $\overline{A} = [k+1;n]$ und $A = [0;k]$
  • Linksseitiger Test: $\overline{A}$ = $[0;k-1]$ und $A$ = $[k;n]$
  • Rechtsseitiger Test: $\overline{A}$ = $[k+1;n]$ und $A$ = $[0;k]$
Liegt die Anzahl der Treffer der Stichprobe innerhalb dieses Ablehnungsbereichs, so wird die Hypothese auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ verworfen, andernfalls liegt sie innerhalb des Annahmebereichs und wird somit als bestätigt angesehen. Die Intervallgrenze $k$ wird beim linksseitigen Test linke Grenze und beim rechtsseitigen Test rechte Grenze genannt.

Berechnen der Grenze

Da das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass eine Stichprobe innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt, obwohl die Nullhypothese gilt, muss bei einem linksseitigen Test folgende Gleichung gelten, wobei $X$ die betrachtete Zufallsvariable mit einer entsprechenden Verteilung ist.
$P(X\leq k-1 ) \approx \alpha$
$P(X\leq k-1 )$ $\approx \alpha$
Mit Hilfe der Verteilung von $X$ kannst du das $k$ aus dieser Gleichung berechnen.
Bei einem rechtsseitigen Test gilt entsprechend:
$P(X\geq k+1 ) \approx \alpha$
$P(X\geq k+1 )$ $\approx \alpha$
Verwende nun deinen Taschenrechner, um das gesuchte $k$ zu bestimmen.
Du kannst den Ablehnungsbereich mit dem $TI$ bestimmen, indem du mit dem Solve-Befehl eine Lösung für $k$ suchst. Wenn du mit dem $CAS$ arbeitest, kannst du die Lösung immer weiter annähern, indem du den Befehl $\text{binomial CDf}$ verwendest
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Lösungen TI
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung aufstellen
Du sollst die Geradengleichung angeben, welche den Verlauf der Sonnenstrahlen ab der Mastspitze beschreibt. Dazu berechnest du zuerst die Koordinaten der Mastspitze, da diese deinen Stützpunkt darstellt. Den Richtungsvektor hast du bereits in der Aufgabenstellung gegeben.
1. Schritt: Koordinaten der Mastspitze bestimmen
Die Mastspitze befindet sich $15\,$m über dem Fußpunkt. Die $x$- und $y$-Koordinaten der Spitze stimmen mit denen des Fußpunktes überein. Lediglich die $z$-Koordinate unterscheidet sich.
Für die Spitze erhälst du die Koordinaten $S\;(4\mid 3\mid 15)$.
2. Schritt: Richtungsvektor hinzufügen
Verwendest du als Richtungsvektor den Verlauf der Sonnenstrahlen aus der Aufgabenstellung erhälst du:
$\begin{array}[t]{rll} g& : & \overrightarrow{x}=\overrightarrow{S}+t\cdot\overrightarrow{v} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] & & \phantom{\overrightarrow{x}}=\pmatrix{4\\3\\15}+t\cdot\pmatrix{-1\\10\\-5} \end{array}$
Die Gerade $g$ beschreibt den Verlauf der Sonnenstrahlen ab der Mastspitze.
#richtungsvektor
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen
Die Koordinaten des Durchstoßpunktes $D$ sind gesucht. Der Durchstoßpunkt gibt den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $x y$-Ebene an. $D$ ansich liegt also ebenfalls in dieser Ebene.
Für einen Punkt in der $xy$-Ebene gilt, dass die $z$-Koordinate $0$ ist. Setze diese Bedingung in deine Geradengleichung ein um die $x$- und $y$-Koordinaten zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} I\phantom{II}& : & x=4-t &\quad \scriptsize \; \\[5pt] II\phantom{I}& : & y=3+10\cdot t \\[5pt] III& : & 0=15-5\cdot t \end{array}$
Dieses lineare Gleichungssystem löst du mit dem Befehl:
Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Gleichungssystem lösen $\rightarrow$ Gleichungssystem lösen
Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Gleichungssystem lösen $\rightarrow$ Gleichungssystem lösen
Aufgabe C2
Abb. 1: Gleichungssystem lösen
Aufgabe C2
Abb. 1: Gleichungssystem lösen
Du erhälst die Lösungen $t=3$, $x=1$ und $y=33$. Der Durchstoßpunkt liegt bei $D\;(1\mid 33\mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Länge des Schattens berechnen
Aus den Koordinaten von $D$ berechnest du die Schattenlänge. Der Schatten des Turms verläuft zwischen $F\;(4 \mid 3 \mid 0)$ und $D$. Seine Länge entspricht der Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte.
1. Schritt: Verbindungsvektor bestimmen
Den Verbindungsvektor $\overrightarrow{FD}$ bestimmst du aus der Differenz der beiden Ortsvektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FD}&=&\overrightarrow{D}-\overrightarrow{F} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\33\\0}-\pmatrix{4\\3\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\30\\0} \end{array}$
Dieser Vektor beschreibt den Verlauf des Schattens, seine Länge bestimmst du durch die Norm, du findest den Befehl unter:
Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Vektor $\rightarrow$ Norm
Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Vektor $\rightarrow$ Norm
Aufgabe C2
Abb. 2: Länge eines Vektors bestimmen
Aufgabe C2
Abb. 2: Länge eines Vektors bestimmen
Der Schatten ist $3\sqrt{101}\approx 30,15\,$m lang.
#gleichungssystem#verbindungsvektor
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Einfallswinkel bestimmen
Der Einfallswinkel des Lichtes errechnest du mit dem Winkelsatz für den Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ des Lichtes und dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene des Bodens.
$\sin\alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}$
$\sin\alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}$
Den Richtungsvektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{-1 & 10 & -5}^\mathrm{T}$ hast du bereits in der Aufgabe gegeben und der Normalenvektor der $xy$-Ebene ist immer $\pmatrix{0 & 0 & 1}^\mathrm{T}$. Die benötigten Beträgt bzw. Normen der Vektoren berechnest du wie zuvor mit dem Befehl Norm, das Skalarprodukt im Zähler mit dem Befehl Skalarprodukt.
Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Vektor $\rightarrow$ Skalarprodukt
Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Vektor $\rightarrow$ Skalarprodukt
Aufgabe C2
Abb. 3: Schnittwinkel bestimmen
Aufgabe C2
Abb. 3: Schnittwinkel bestimmen
Die Lichtstrahlen treffen in einem Winkel von $26,45^\circ$ auf den Boden.
#normalenvektor#skalarprodukt#richtungsvektor
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Lösungsansätze beurteilen
Du sollst zwei Lösungsansätze zur Überprüfung, ob die Pflanze im Schatten liegt, überprüfen. Dabei betrachtest du beide getrennt:
  • (A): Abstand zwischen der Pflanze und dem Fußpunkt bestimmen und mit der Schattenlänge vergleichen.
  • (B): Es wird überprüft, ob die Pflanze auf der Gerade durch $F$ und $D$ liegt.
1. Schritt: (A) widerlegen
Damit (A) eine Methode wäre, um zu überprüfen, ob die Pflanze im Schatten liegt, müsste der Schatten richtungsunabhängig sein. Da er dies aber nicht ist, reicht es nicht aus lediglich die Abstände zu betrachten.
Würde die Pflanze direkt am Fußpunkt des Mastes stehen wäre ihr Abstand $0$ und somit sicher kleiner als die Schattenlänge. Steht die Pflanze nun aber auf der anderen Seite des Mastes, wäre sie trotz winzigem Abstand hell erleuchtet.
2. Schritt: (B) widerlegen
Um zu widerlegen, dass (B) ein funktionierender Lösungsansatz ist, betrachtest du den Verlauf des Schattens auf dem Boden. Den Verlauf des Lichtstrahls hast du bereits mit der Geraden $g$ aus Teilaufgabe a) bestimmt. Für eine Gerade auf dem Boden sind die $z$-Koordinate $0$. Die Gerade ändert sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{4\\3\\0}+t\cdot\pmatrix{-1\\10\\0} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Liegt $P$ nun auf dieser Geraden liegt $P$ auf jeden Fall in der richtigen Himmelsrichtung. Leider sagt es nichts darüber aus, ob $P$ vom Schatten bedeckt ist, da $P$ auch weit vom Mast entfernt liegen könnte.
Für eine Überprüfung, ob $P$ im Schatten liegt, müssen (A) und (B) verwendet werden.
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob die Pflanze vom Schatten bedeckt wird
Deine Erkenntnisse aus Teilaufgabe d) sollst du nun verwenden, um zu überprüfen ob die Pflanze in der Sonne oder im Schatten liegt. Benutze zuerst den Lösungsansatz (B).
Du verwendest den Ansatz (B). Die nötige Gerade hast du bereits in Teilaufaugabe d) bestimmt. Aus den drei Komponenten erhältst du ein Gleichungssystem, welches eine eindeutige Lösung besitzen muss, damit $P$ auf der Geraden liegt. Das Gleichungssystem löst du wie in Teilaufgabe d).
$\begin{array}[t]{rll} I\phantom{II}& : & 5,5=4-t &\quad \scriptsize \; \\[5pt] II\phantom{I}& : & -12=3+10\cdot t \\[5pt] III& : & \phantom{--}0=0 \end{array}$
Aufgabe C2
Abb. 4: Gleichungssystem lösen
Aufgabe C2
Abb. 4: Gleichungssystem lösen
Für $t=-\frac{3}{2}$ erreicht die Gerade den Punkt $P$. Allerdings ist $t$ kleiner als $0$. Da die Pflanze somit „vor“ dem Mast steht, kann sie auf keien Fall vom Schatten überdeckt werden.
#gleichungssystem
2.
a)
$\blacktriangleright$  Kreisdiagramm begründen
Du sollst begründen, warum es nicht möglich ist, das erste Diagramm in einem Kreisdiagramm darzustellen. Betrachte hierzu die Art der Ereignisse und die Summe der aufgetragenen Wahrscheinlichkeiten.
Bei den Ereignissen ‚Merkzettel‘, ‚Gedanken ordnen‘, $\cdots$ handelt es sich um verschiedene Ereginisse. Eine Person kann sowohl einen Merkzettel sowie die Zukunftsplanung gerne handschriftlich verfassen. Dieser Umstand zeigt sich auch daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten weit mehr als $100\%$ beträgt. Doch gerade diese zwei Sachverhalte (Bedingte Ereignisse und $100\%$ Gesamtwahrscheinlichkeit) sind Vorraussetzungen für ein Kreisdiagramm.
Die Frage, „Was erledigen Sie gerne handschriftlich?“ lässt sich somit nicht in einem Kreisdiagramm darstellen.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
Du sollst beschreiben, welches Ereignis durch die Wahrscheinlichkeit $P(D)=0,78^{10}+10\cdot 0,22\cdot 0,78^9$ ausgedrückt wird.
An den $0,78=78\%$ erkennst du, dass es sich um die rechte Statistik handelt. Für diese Befragung gibt es zwei Antwortmöglichkeiten ‚Ja‘ und ‚Nein‘, welche absolut verschieden sind. Dadurch lässt sich der Versuch als Bernoulli-Experiment behandeln. Für ein Bernoulli-Experiment mit $k$ Treffern aus $n$ Versuchen bei einer Wahrscheinlichkeit von $p$, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit:
$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot \left(1-p\right)^{n-k}$
$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot \left(1-p\right)^{n-k}$
Vergleiche den Term mit der Formel und übertrage deie Ergebnisse auf den Sachkontext. Betrachtest du nun $p=0,78$, $1-p=0,28$ und $n=10$ sowie $k\geq 9$, erhältst du den gesuchten Wahrscheinlichkeitsterm.
Dies entspricht neun oder zehn „Treffern“ aus zehn Versuchen. Der Term beschreibt somit die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn zufällig ausgewählten Personen mindestens neun handschriftliche Notizen verfassen.
#bernoullikette
c)
$\;$
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Die Anzahl der befragten Abiturienten beträgt $96$. Diese Anzahl entspricht den Versuchen $n$, da jeder Schüler befragt wird. Löse nun die Aufgaben $A-C$, indem du die jeweilige Wahrscheinlichkeit im Diagramm aus Abbildung $1$ abliest.
Wahrscheinlichkeit für $A$ berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass genau $80$ Abiturienten Merkzettel mit der Hand schreiben. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Abiturienten, die einen Merkzettel mit der Hand schreiben. Im Diagramm kannst du eine Wahrscheinlichkeit dafür von ca. $p=0,87$ ablesen.
Setze nun die gegebenen Werte in den Taschenrechner ein. Folgende Anleitung kann dir dabei helfen:
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$:binomial cdf
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$: binomial cdf
Da du die Wahrscheinlichkeit für genau $80$ Abiturienten berechnen sollst, ist deine obere und untere Grenze $80$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $80$ Abiturienten einen Merkzettel mit der Hand schreiben beträgt ca. $0,064$.
Wahrscheinlichkeit für $B$ berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $10$ aber weniger als $80$ Abiturienten einen Merkzettel mit der Hand schreiben. Dazu kannst du die Wahrscheinlichkeit, die du im Aufgabenteil $a$ bereits abgelesen hast, $p=0,87$, verwenden. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Abiturienten, die einen Merkzettel mit der Hand schreiben. Da es mindestens $10$ Schüler sein sollen, die per Hand Merkzettel schreiben, ist die untere Schranke $10$. Da es weniger als $80$ Schüler sein sollen, liegt die obere Grenze bei $79$. Setze die bekannten Werte in den Taschenrechner ein:
Der Taschenrechnerbefehl lautet:
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$:binomial cdf
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$: binomial cdf
Wenn du alles richtig eingesetzt hast, erscheint auf dem Bildschirm:
Die Wahrscheinlichkeit für $B$ beträgt also ca. $0,114$.
Wahrscheinlichkeit für $C$ berechnen
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass höchstens $40$ Abiturienten ihre Gedanken handschriftlich ordnen, kannst du den Taschenrechner verwenden. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Abiturienten, die ihre Gedanken handschriftlich ordnen.Die obere Schranke liegt bei $X=40$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du im Diagramm aus Abbildung $1$ ablesen. Du erhältst eine Wahrscheinlichkeit von ca. $p=0,48$.
Setze die gegebenen Werte in den Taschenrechner ein:
Du kannst den Taschenrechnerbefehl:
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$:binomial cdf
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$: binomial cdf
verwenden. Wenn du alles richtig eingesetzt hast, erscheint auf dem Bildschirm:
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C$ beträgt also ca. $0,127$.
#binomialverteilung
d)
$\;$
$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Du sollst die erwartete Anzahl der Abiturienten ermitteln, die handschriftlich Briefe schreiben. Es sind insgesammt $96$ Abiturienten, die betrachtet werden, es gilt also $n=96$. Die Wahrscheinlichkeit für „handschriftlich Briefe schreiben“ , kannst du im Diagramm aus Abbildung $1$ ablesen. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. $p=0,39$. Berechne den Erwartungswert, indem du die Formel:
$E=p \cdot n$
$E=p \cdot n$
verwendest. Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst:
$E=0,39 \cdot 96=37,44\approx 37$
$\blacktriangleright$ Ursache für widersprechende Alltagsbeobachtung finden
Der Erwartungswert liegt also bei $37$ Abiturienten.
Eine mögliche Ursache dafür, dass dieses Ergebnis den Alltagsbeobachtungen widerspricht ist, dass Briefe meist zu Hause geschrieben werden, also nicht in der Öffentlichkeit. Somit bekommt man das oft nicht mit. Außerdem lässt die Digitalisierung darauf schließen, dass zum großen Teil über elektronische Geräte kommuniziert wird.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Abweichung berechnen
Du kannst die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von höchstens $5$ Abiturienten berechnen, indem du den Taschenrechner zur hilfe nimmst. Du musst dir überlegen welche Grenzen du festlegst. Da die Abweichung höchstens $5$ beträgt, benötigst du die untere Grenze $37-5=32$ und die obere Grenze $37+5=42$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt wie oben $p=0,39$. Setze diese Werte nun in den Taschenrechner ein:
Du kannst dazu den Taschenrechnerbefehl:
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$:binomial cdf
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$: binomial cdf
zur Hilfe nehmen. Wenn du alles richtig eingetippt hast, erhältst du die Wahrscheinlichkeit von ca. $0,749$.
#binomialverteilung#erwartungswert
e)
$\;$
$\blacktriangleright$ Alternativtest konstruieren
Du sollst einen Alternativtest konstruieren mit einem Stichprobenumfang von $n=100$, der die Hypothese zu höchstens $\alpha =10 \%$ ablehnt. Stelle zuerst eine Nullhypothese auf und überlege, ob es sich um einen rechts- oder linksseitigen Test handelt.
Die Nullhypothese $H_0$ lautet: Die Frage "Machen Sie sich handschriftlich notizen?" wird vermutlich in zehn Jahren nur noch zu $50\%$ mit "Ja" beatnwortet.
Du willst also schauen, ob deine Wahrscheinlichkeit kleiner oder gleich $50\%$ ist. Somit handelt es sich um einen rechtsseitigen Test:
Nullhypothese: $H_0:p \leq p_1$
Alternative: $H_1:p>p_1$
Nullhypothese: $H_0:p \leq p_1$
Alternative: $H_1:p>p_1$
Bei rechtsseitigen Tests wird geprüft, ob die Wahrscheinlichkeit tatsächlich höchstens $p1$ beträgt.
Das Signifikanzniveau entspricht $\alpha=0,1$. Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese fälschlicherweise abzulehnen.
Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ und der Annahmebereich $A$ haben folgende Form:
Rechtsseitiger Test: $\overline A$=$[k+1;n]$ und $A=[0;k]$
Liegt die Anzahl der Treffer der Stichprobe innerhalb dieses Ablehnungsbereichs, so wird die Hypothese auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ verworfen, andernfalls liegt sie innerhalb des Annahmebereichs und wird somit als bestätigt angesehen.
Mit Hilfe der Verteilung von $X$ kannst du das $k$ aus dieser Gleichung berechnen. Bei einem rechtsseitigen Test gilt entsprechend: $P(X \geq k+1)\approx \alpha$
Du kannst diesen Befehl umschreiben zu $P(X \leq k)\approx 1- \alpha $, also $P(X \leq k)\approx 0,9$. Verwende nun deinen Taschenrechner, um das gesuchte $k$ zu bestimmen.
Du kannst den Ablehnungsbereich bestimmen, indem du mit dem Solve-Befehl eine Lösung für $k$ suchst.
Du erhältst $k=44$ für das Signifikanzniveu $\alpha = 0,9$. Der Ablehnungsbereich liegt bei $\overline A$=$[k+1;n]$.
Somit ist der Ablehnungsbereich $\overline A$=$[45;100]$.
#hypothesentest
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung aufstellen
Du sollst die Geradengleichung angeben, welche den Verlauf der Sonnenstrahlen ab der Mastspitze beschreibt. Dazu berechnest du zuerst die Koordinaten der Mastspitze, da diese deinen Stützpunkt darstellt. Den Richtungsvektor hast du bereits in der Aufgabenstellung gegeben.
1. Schritt: Koordinaten der Mastspitze bestimmen
Die Mastspitze befindet sich $15\,$m über dem Fußpunkt. Die $x$- und $y$-Koordinaten der Spitze stimmen mit denen des Fußpunktes überein. Lediglich die $z$-Koordinate unterscheidet sich.
Für die Spitze erhälst du die Koordinaten $S\;(4\mid 3\mid 15)$.
2. Schritt: Richtungsvektor hinzufügen
Verwendest du als Richtungsvektor den Verlauf der Sonnenstrahlen aus der Aufgabenstellung erhälst du:
$\begin{array}[t]{rll} g& : & \overrightarrow{x}=\overrightarrow{S}+t\cdot\overrightarrow{v} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] & & \phantom{\overrightarrow{x}}=\pmatrix{4\\3\\15}+t\cdot\pmatrix{-1\\10\\-5} \end{array}$
Die Gerade $g$ beschreibt den Verlauf der Sonnenstrahlen ab der Mastspitze.
#richtungsvektor
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b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen
Die Koordinaten des Durchstoßpunktes $D$ sind gesucht. Der Durchstoßpunkt gibt den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $x y$-Ebene an. $D$ ansich liegt also ebenfalls in dieser Ebene.
Für einen Punkt in der $xy$-Ebene gilt, dass die $z$-Koordinate $0$ ist. Setze diese Bedingung in deine Geradengleichung ein um die $x$- und $y$-Koordinaten zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} I\phantom{II}& : & x=4-t &\quad \scriptsize \; \\[5pt] II\phantom{I}& : & y=3+10\cdot t \\[5pt] III& : & 0=15-5\cdot t \end{array}$
Dieses lineare Gleichungssystem löst du mit dem Befehl:
Keyboard $\rightarrow$ Math1
Keyboard $\rightarrow$ Math1
Aufgabe C2
Abb. 1: Gleichungssystem lösen
Aufgabe C2
Abb. 1: Gleichungssystem lösen
Du erhälst die Lösungen $t=3$, $x=1$ und $y=33$. Der Durchstoßpunkt liegt bei $D\;(1\mid 33\mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Länge des Schattens berechnen
Aus den Koordinaten von $D$ berechnest du die Schattenlänge. Der Schatten des Turms verläuft zwischen $F\;(4 \mid 3 \mid 0)$ und $D$. Seine Länge entspricht der Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte.
1. Schritt: Verbindungsvektor bestimmen
Den Verbindungsvektor $\overrightarrow{FD}$ bestimmst du aus der Differenz der beiden Ortsvektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FD}&=&\overrightarrow{D}-\overrightarrow{F} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\33\\0}-\pmatrix{4\\3\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\30\\0} \end{array}$
Dieser Vektor beschreibt den Verlauf des Schattens, seine Länge bestimmst du durch die Norm, du findest den Befehl unter:
Interactive $\rightarrow$ Vector $\rightarrow$ norm
Interactive $\rightarrow$ Vector $\rightarrow$ norm
Aufgabe C2
Abb. 2: Länge eines Vektors bestimmen
Aufgabe C2
Abb. 2: Länge eines Vektors bestimmen
Der Schatten ist $3\sqrt{101}\approx 30,15\,$m lang.
#verbindungsvektor#gleichungssystem
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c)
$\blacktriangleright$  Einfallswinkel bestimmen
Der Einfallswinkel des Lichtes errechnest du mit dem Winkelsatz für den Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ des Lichtes und dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene des Bodens.
$\sin\alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}$
$\sin\alpha = \dfrac{\left| \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}$
Den Richtungsvektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{-1 & 10 & -5}^\mathrm{T}$ hast du bereits in der Aufgabe gegeben und der Normalenvektor der $xy$-Ebene ist immer $\pmatrix{0 & 0 & 1}^\mathrm{T}$. Die benötigten Beträgt bzw. Normen der Vektoren berechnest du wie zuvor mit dem Befehl norm, das Skalarprodukt im Zähler mit dem Befehl dotP.
Interactive $\rightarrow$ Vector $\rightarrow$ dotP
Interactive $\rightarrow$ Vector $\rightarrow$ dotP
Aufgabe C2
Abb. 3: Schnittwinkel bestimmen
Aufgabe C2
Abb. 3: Schnittwinkel bestimmen
Die Lichtstrahlen treffen in einem Winkel von $26,45^\circ$ auf den Boden.
#richtungsvektor#skalarprodukt#normalenvektor
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d)
$\blacktriangleright$  Lösungsansätze beurteilen
Du sollst zwei Lösungsansätze zur Überprüfung, ob die Pflanze im Schatten liegt, überprüfen. Dabei betrachtest du beide getrennt:
  • (A): Abstand zwischen der Pflanze und dem Fußpunkt bestimmen und mit der Schattenlänge vergleichen.
  • (B): Es wird überprüft, ob die Pflanze auf der Gerade durch $F$ und $D$ liegt.
1. Schritt: (A) widerlegen
Damit (A) eine Methode wäre, um zu überprüfen, ob die Pflanze im Schatten liegt, müsste der Schatten richtungsunabhängig sein. Da er dies aber nicht ist, reicht es nicht aus lediglich die Abstände zu betrachten.
Würde die Pflanze direkt am Fußpunkt des Mastes stehen wäre ihr Abstand $0$ und somit sicher kleiner als die Schattenlänge. Steht die Pflanze nun aber auf der anderen Seite des Mastes, wäre sie trotz winzigem Abstand hell erleuchtet.
2. Schritt: (B) widerlegen
Um zu widerlegen, dass (B) ein funktionierender Lösungsansatz ist, betrachtest du den Verlauf des Schattens auf dem Boden. Den Verlauf des Lichtstrahls hast du bereits mit der Geraden $g$ aus Teilaufgabe a) bestimmt. Für eine Gerade auf dem Boden sind die $z$-Koordinate $0$. Die Gerade ändert sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{4\\3\\0}+t\cdot\pmatrix{-1\\10\\0} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Liegt $P$ nun auf dieser Geraden liegt $P$ auf jeden Fall in der richtigen Himmelsrichtung. Leider sagt es nichts darüber aus, ob $P$ vom Schatten bedeckt ist, da $P$ auch weit vom Mast entfernt liegen könnte.
Für eine Überprüfung, ob $P$ im Schatten liegt, müssen (A) und (B) verwendet werden.
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Überprüfen, ob die Pflanze vom Schatten bedeckt wird
Deine Erkenntnisse aus Teilaufgabe d) sollst du nun verwenden, um zu überprüfen ob die Pflanze in der Sonne oder im Schatten liegt. Benutze zuerst den Lösungsansatz (B).
Du verwendest den Ansatz (B). Die nötige Gerade hast du bereits in Teilaufaugabe d) bestimmt. Aus den drei Komponenten erhältst du ein Gleichungssystem, welches eine eindeutige Lösung besitzen muss, damit $P$ auf der Geraden liegt. Das Gleichungssystem löst du wie in Teilaufgabe d).
$\begin{array}[t]{rll} I\phantom{II}& : & 5,5=4-t &\quad \scriptsize \; \\[5pt] II\phantom{I}& : & -12=3+10\cdot t \\[5pt] III& : & \phantom{--}0=0 \end{array}$
Aufgabe C2
Abb. 4: Gleichungssystem lösen
Aufgabe C2
Abb. 4: Gleichungssystem lösen
Für $t=-\frac{3}{2}$ erreicht die Gerade den Punkt $P$. Allerdings ist $t$ kleiner als $0$. Da die Pflanze somit „vor“ dem Mast steht, kann sie auf keien Fall vom Schatten überdeckt werden.
#gleichungssystem
2.
a)
$\blacktriangleright$  Kreisdiagramm begründen
Du sollst begründen, warum es nicht möglich ist, das erste Diagramm in einem Kreisdiagramm darzustellen. Betrachte hierzu die Art der Ereignisse und die Summe der aufgetragenen Wahrscheinlichkeiten.
Bei den Ereignissen ‚Merkzettel‘, ‚Gedanken ordnen‘, $\cdots$ handelt es sich um verschiedene Ereginisse. Eine Person kann sowohl einen Merkzettel sowie die Zukunftsplanung gerne handschriftlich verfassen. Dieser Umstand zeigt sich auch daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten weit mehr als $100\%$ beträgt. Doch gerade diese zwei Sachverhalte (Bedingte Ereignisse und $100\%$ Gesamtwahrscheinlichkeit) sind Vorraussetzungen für ein Kreisdiagramm.
Die Frage, „Was erledigen Sie gerne handschriftlich?“ lässt sich somit nicht in einem Kreisdiagramm darstellen.
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b)
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
Du sollst beschreiben, welches Ereignis durch die Wahrscheinlichkeit $P(D)=0,78^{10}+10\cdot 0,22\cdot 0,78^9$ ausgedrückt wird.
An den $0,78=78\%$ erkennst du, dass es sich um die rechte Statistik handelt. Für diese Befragung gibt es zwei Antwortmöglichkeiten ‚Ja‘ und ‚Nein‘, welche absolut verschieden sind. Dadurch lässt sich der Versuch als Bernoulli-Experiment behandeln. Für ein Bernoulli-Experiment mit $k$ Treffern aus $n$ Versuchen bei einer Wahrscheinlichkeit von $p$, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit mit:
$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot \left(1-p\right)^{n-k}$
$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot \left(1-p\right)^{n-k}$
Vergleiche den Term mit der Formel und übertrage deie Ergebnisse auf den Sachkontext. Betrachtest du nun $p=0,78$, $1-p=0,28$ und $n=10$ sowie $k\geq 9$, erhältst du den gesuchten Wahrscheinlichkeitsterm.
Dies entspricht neun oder zehn „Treffern“ aus zehn Versuchen. Der Term beschreibt somit die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn zufällig ausgewählten Personen mindestens neun handschriftliche Notizen verfassen.
#bernoullikette
c)
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$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Die Anzahl der befragten Abiturienten beträgt $96$. Diese Anzahl entspricht den Versuchen $n$, da jeder Schüler befragt wird. Löse nun die Aufgaben $A-C$, indem du die jeweilige Wahrscheinlichkeit im Diagramm aus Abbildung $1$ abliest.
Wahrscheinlichkeit für $A$ berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass genau $80$ Abiturienten Merkzettel mit der Hand schreiben. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Abiturienten, die einen Merkzettel mit der Hand schreiben. Im Diagramm kannst du eine Wahrscheinlichkeit dafür von ca. $p=0,87$ ablesen.
Setze nun die gegebenen Werte in den Taschenrechner ein. Folgende Anleitung kann dir dabei helfen:
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$:binomial cdf
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$: binomial cdf
Da du die Wahrscheinlichkeit für genau $80$ Abiturienten berechnen sollst, ist die obere und untere Grenze $80$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $80$ Abiturienten einen Merkzettel mit der Hand schreiben beträgt ca. $0,064$.
Wahrscheinlichkeit für $B$ berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $10$ aber weniger als $80$ Abiturienten einen Merkzettel mit der Hand schreiben. Dazu kannst du die Wahrscheinlichkeit, die du im Aufgabenteil $a$ bereits abgelesen hast, $p=0.87$, verwenden. Da es mindestens $10$ Schüler sein sollen, ist die untere Schranke $10$. Da es weniger als $80$ Schüler sein sollen, liegt die obere Grenze bei $79$. Setze die bekannten Werte in den Taschenrechner ein:
Der Taschenrechnerbefehl lautet:
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$:binomial cdf
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$: binomial cdf
Die Wahrscheinlichkeit für $B$ beträgt also ca. $0,114$.
Wahrscheinlichkeit für $C$ berechnen
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass höchstens $40$ Abiturienten ihre Gedanken handschriftlich ordnen, kannst du den Taschenrechner verwenden. Die obere Schranke liegt bei $X=40$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du im Diagramm aus Abbildung $1$ ablesen. Du erhältst eine Wahrscheinlichkeit von ca. $p=0.48$.
Setze die gegebenen Werte in den Taschenrechner ein. Du kannst den Taschenrechnerbefehl:
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$:binomial cdf
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$: binomial cdf
verwenden. Wenn du alles richtig eingesetzt hast, erhältst du auf dem Bildschirm:
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C$ beträgt also ca. $0,127$.
#binomialverteilung
d)
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$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Du sollst die erwartete Anzahl der Abiturienten ermitteln, die handschriftlich Briefe schreiben. Es sind insgesammt $96$ Abiturienten, die betrachtet werden, es gilt also $n=96$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, kannst du im Diagramm aus Abbildung $1$ ablesen. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. $p=0,39$. Berechne den Erwartungswert, indem du die Formel:
$E=p \cdot n$
$E=p \cdot n$
verwendest. Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst:
$E=0,39 \cdot 96=37,44\approx 37$
$\blacktriangleright$ Ursache für widersprechende Alltagsbeobachtung finden
Der Erwartungswert liegt also bei $37$ Abiturienten.
Eine mögliche Ursache dafür, dass dieses Ergebnis den Alltagsbeobachtungen widerspricht ist, dass Briefe meist zu Hause geschrieben werden, also nicht in der Öffentlichkeit. Somit bekommt man das oft nicht mit. Außerdem lässt die Digitalisierung darauf schließen, dass zum großen Teil über elektronische Geräte kommuniziert wird.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Abweichung berechnen
Du kannst die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von höchstens $5$ Abiturienten berechnen, indem du den Taschenrechner zur Hilfe nimmst. Du musst dir überlegen welche Grenzen du festlegst. Da die Wahrscheinlichkeit höchstens $5$ beträgt, benötigst du die untere Grenze $37-5=32$ und die obere Grenze $37+5=42$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt wie oben $p=0,39$. Setze diese Werte nun in den Taschenrechner ein:
Du kannst dazu den Taschenrechnerbefehl:
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$:binomial cdf
menu $\rightarrow$ $6$: Statistik $\rightarrow$ $5:$ Verteilung $\rightarrow$ $E$: binomial cdf
zur Hilfe nehmen. Wenn du alles richtig eingetippt hast, erhältst du:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ca. $0,749$.
#binomialverteilung#erwartungswert
e)
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$\blacktriangleright$ Alternativtest konstruieren
Du sollst einen Alternativtest konstruieren mit einem Stihprobenumfang von $n=100$, der die Hypothese zu höchstens $\alpha =10 \%$ ablehnt. Stelle zuerst eine Nullhypothese auf und überlege, ob es sich um einen rechts- oder linksseitigen Test handelt.
Die Nullhypothese $H_0$ lautet: Die Frage "Machen Sie sich handschriftlich notizen?" wird vermutlich in zehn Jahren nur noch zu $50\%$ mit "Ja" beantwortet.
Du willst also schauen, ob deine Wahrscheinlichkeit kleiner oder gleich den $50\%$ ist. Somit handelt es sich um einen rechtsseitigen Test:
Nullhypothese: $H_0:p \leq p_1$
Alternative: $H_1:p>p_1$
Nullhypothese: $H_0:p \leq p_1$
Alternative: $H_1:p>p_1$
Bei rechtsseitigen Tests wird geprüft, ob die Wahrscheinlichkeit tatsächlich höchstens $p1$ beträgt.
Das Signifikanzniveau entspricht $\alpha=0,1$. Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese fälschlicherweise abzulehnen.
Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ und der Annahmebereich $A$ haben folgende Form:
Rechtsseitiger Test: $\overline A$=$[k+1;n]$ und $A=[0;k]$
Liegt die Anzahl der Treffer der Stichprobe innerhalb dieses Ablehnungsbereichs, so wird die Hypothese auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ verworfen, andernfalls liegt sie innerhalb des Annahmebereichs und wird somit als bestätigt angesehen.
Mit Hilfe der Verteilung von $X$ kannst du das $k$ aus dieser Gleichung berechnen. Bei einem rechtsseitigen Test gilt entsprechend: $P(X \geq k+1)\approx \alpha$
Du kannst diesen Befehl umschreiben zu $P(X \leq k)\approx 1- \alpha $, also $P(X \leq k)\approx 0,9$. Verwende nun deinen Taschenrechner, um das gesuchte $k$ zu bestimmen.
Du kannst den Ablehnungsbereich bestimmen, indem du durch systematisches Probieren die Lösung für $k$ bestimmst.
Du erhältst $k=44$ für das Signifikanzniveu $\alpha = 0,9$. Der Ablehnungsbereich liegt bei $\overline A$=$[k+1;n]$
Somit ist der Ablehnungsbereich $\overline A$=$[45;100]$.
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