Teil C2

1
Auf einem ebenen Gelände befindet sich ein \(15\,\text{m}\) hoher Antennenmast. Dieses Gelände wird durch die \(xy\)-Ebene eines Koordinatensystems dargestellt. Der Punkt \(F(4 \mid 3 \mid 0)\) beschreibt den Fußpunkt des Antennenmastes. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors \(\overrightarrow{v} = \pmatrix{-1 \\ 10 \\ -5}.\) Sie erzeugen auf dem Boden einen Schatten des Antennenmastes.
a)
Die Gerade \(g\) beschreibt den Verlauf des Lichtstrahles, der auf die Spitze des Antennenmastes trifft.
Gib eine Gleichung für \(g\) an.
(1 BE)
b)
Berechne die Koordinaten des Durchstoßpunktes \(D\) von \(g\) mit der \(xy\)-Ebene sowie die Länge des Schattens in Metern.
(2 BE)
c)
Bestimme die Größe des Winkels, unter dem das Licht auf den Boden fällt.
(1 BE)
Eine kleine Pflanze wächst in der Nähe des Antennenmastes. Ihr Standort kann im Koordinatensystem durch den Punkt \(P(5,5 \mid -12 \mid 0)\) beschrieben werden. Es soll untersucht werden, ob sich die Pflanze zu dem bestimmten Zeitpunkt im Schatten des Antennenmastes befindet.
d)
Beurteile dazu die beiden folgenden Lösungsansätze:
(A)
Der Abstand zwischen Pflanze und Antennenmast wird berechnet und das Ergebnis wird mit der Schattenlänge des Antennenmastes verglichen.
(B)
Die Gleichung der Geraden durch die Punkte \(F\) und \(D\) wird aufgestellt. Anschließend wird überprüft, ob der Punkt \(P\) auf dieser Geraden liegt.
(3 BE)
e)
Gib an, ob sich die Pflanze im Schatten des Antennenmastes befindet.
(1 BE)
2
Seit einiger Zeit wird in Politik und Medien diskutiert, ob es sinnvoll ist, dass Kinder in der Schule die Schreibschrift erlernen. Die Position, dass durch Computer und Smartphone für Kinder der Umgang mit der Druckschrift Alltag ist, kaum dass sie das Alphabet kennen, steht der Ansicht gegenüber, dass das Schreiben mit der Hand kreative Prozesse unterstützt oder, wie Cornelia Funke poetisch ausdrückte: „Die Schreibschrift bringe die ‚Gedanken zum Fliegen.‘“
Ein IT-Unternehmen hat hierzu eine Studie in Auftrag gegeben, die folgende Ergebnisse lieferte:
th mathe abi 2016 teil c2 abbildung 2
a)
Begründe, dass es nicht möglich ist, die Verteilung zur Frage „Was erledigen Sie gern handschriftlich?“ in einem Kreisdiagramm darzustellen.
(1 BE)
b)
Beschreibe unter Verwendung der obigen Statistik ein Ereignis \(D\), dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(P(D) = 0,78^{10} + 10\cdot 0,22\cdot 0,78^9\) berechnet werden kann.
(2 BE)
c)
In einer Schule werden 96 Abiturienten befragt, was sie gern handschriftlich erledigen.
Berechne unter der Annahme des Modells der Binomialverteilung und unter Verwendung der obigen Statistik die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
„Genau 80 Abiturienten schreiben Merkzettel mit der Hand.“
„Mindestens 10 aber weniger als 80 Abiturienten schreiben Merkzettel mit der Hand.“
„Höchstens 40 Abiturienten ordnen ihre Gedanken handschriftlich.“
(3 BE)
d)
Ermittle die zu erwartende Anzahl unter den \(96\) Abiturienten, die handschriftlich Briefe schreiben.
Gib eine mögliche Ursache dafür an, dass dieses Ergebnis deinen Alltagsbeobachtungen widerspricht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:
„Die Anzahl der Abiturienten, die handschriftlich Briefe schreiben, weicht um höchstens fünf Abiturienten vom Erwartungswert ab.“
(3 BE)
e)
Die Frage „Machen Sie sich handschriftliche Notizen?“ wird vermutlich in zehn Jahren nur noch zu \(50\,\%\) mit „Ja“ beantwortet \((H_0)\) statt der \(78\,\%\) aus dem Jahr 2015 \((H_1).\)
Konstruiere einen Alternativtest mit dem Stichprobenumfang \(n=100,\) der diese Hypothese zu höchstens \(10\,\%\) zu Unrecht ablehnt.
(3 BE)