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Aufgabe B

Aufgaben
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1.
Für jede positive reelle Zahl $a$ ist eine Funktion $f_a$ durch
$f_a(x)=\dfrac{5}{3a^3}\cdot(x-a)^2\cdot(x+a)^2$ mit $x\in\mathrm{R}$ gegeben
#funktionenschar
$\;$
a)
Gib drei gemeinsame Eigenschaften der Graphen von $f_a$ an, die von $a$ nicht beeinflusst werden.
(3 BE)
$\;$
b)
Untersuche die Graphen von $f_a$ auf lokale Extrempunkte und auf Wendepunkte.
Gib die Koordinaten dieser Punkte an.

[Zur Kontrolle: $W_1\left(\frac{a}{3}\sqrt3\mid\frac{20}{27}a\right)$]
(6 BE)
#extrempunkt#wendepunkt
$\;$
c)
Zeige, dass die Größe des Schnittwinkels der Wendetangenten unabhängig von $a$ ist.
(3 BE)
#tangente#schnittwinkel
$\;$
d)
Für jeden Wert von $a$ bilden die Wendepunkte, der Hochpunkt und der Koordinatenursprung ein Viereck.
Stelle diesen Sachverhalt für den Graphen von $f_8$ dar.
Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks in Abhängigkeit von $a$.
Untersuche, ob es einen Wert für $a$ so gibt, dass das Viereck ein Quadrat ist.
(7 BE)
$\;$
Für die Teilaufgaben e) und f) gilt $a=8$.
e)
In die Fläche, die vom Graphen von $f_8$ und der $x$-Achse vollständig begrenzt wird, soll ein Quadrat gelegt werden. Eine Seite des Quadrates liegt auf der $x$-Achse und die anderen beiden Eckpunkte liegen auf dem Graphen von $f_8$.
Berechne den Flächeninhalt des Quadrates.
(3 BE)
$\;$
f)
Der Graph von $f_8$ wird
  1. an der $x$-Achse gespiegelt.
  2. an der $y$-Achse gespiegelt.
  3. so verschoben, dass das Bild des Graphen durch den Koordinatenursprung verläuft.
  4. so gestaucht, dass die Tiefpunkte erhalten bleiben und die $y$-Koordinate des Hochpunktes halbiert wird.
Gib für jeden dieser Fälle eine Funktionsgleichung an.
(4 BE)
2.
„Unter Photovoltaik… versteht man die direkte Umwandlung von Lichtenergie, meist aus Sonnenlicht, in elektrische Energie mittels Solarzellen.“
Aus: https://de.m.wikipedia.org (18.06.2018)
Aufgabe B
Abb. 1: 04.07.2015
Aufgabe B
Abb. 1: 04.07.2015
Aufgabe B
Abb. 2: 20.07.2015
Aufgabe B
Abb. 2: 20.07.2015
$\;$
a)
Schlussfolgere unter Nutzung der Diagramme auf das Wetter an beiden Tagen.
(2 BE)
$\;$
b)
Die am 20.07.2015 insgesamt bereitgestellte Energie in kWh soll abgeschätzt werden.
Erläutere ein Vorgehen, um einen groben Schätzwert zu erhalten.
Gib deinen Schätzwert entsprechend deines gewählten Verfahrens an.
(3 BE)
$\;$
c)
Begründe, dass eine Verschiebung des Graphen von $f_8$ aus Aufgabe 1 mit $f_8(x)=\frac{5}{1536}\cdot(x-8)^2\cdot(x+8)^2$ entlang der $x$-Achse eine gute Näherung für die Leistung am 04.07.2015 ist.
Berechne die von der Anlage an diesem Tag insgesamt bereitgestellte Energie in kWh.
(5 BE)
$\;$
d)
Am 04.07.2015 wurden zu Arbeitsbeginn um 07:00 Uhr die elektrischen Anlagen der Firma eingeschaltet und zu Arbeitsende um 17:00 Uhr ausgeschaltet. Die dafür benötigte Leistung kann im Intervall $7\leq x\leq 17$ durch eine Funktion $h$ mit
$h(x)=-\frac{1}{100}\cdot(x-7)\cdot(x-17)^3$
beschrieben werden.
Der Wert von $x$ entspricht der aktuellen Uhrzeit in Stunden.
Es gab einen Zeitraum, in dem die durch die Photovoltaikanlage bereitgestellte Leistung nicht ausreichte, um den Bedarf der Firma abzudecken.
Ermittle diesen Zeitraum.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Drei Eigenschaften angeben, die nicht von $\boldsymbol{a}$ beeinflusst werden
Beachte dass $a$ eine positive reelle Zahl ist, d.h. $a>0$ und $a\in\mathrm{R}$
  • Die Graphen aller Funktionen $f_a$ sind unabhängig von $a$ nach oben geöffnete Parabeln vierten Grades
  • Die Graphen aller Funktionen $f_a$ sind unabhängig von $a$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse
  • Alle Funktionen $f_a$ haben unabhängig von $a$ genau zwei doppelte Nullstellen
  • Alle Funktionen $f_a$ haben den Wertebereich $f_a(x)\geq0$
$\;$
b)
$\blacktriangleright$  Graphen auf lokale Extrempunkte untersuchen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
Die erste und zweite Ableitungsfunktion von $f_a$ kannst du mit deinem CAS definieren. Den Befehl für die Ableitung findest du wie folgt:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
Verwende den solve-Befehl deines CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;CAS \\[5pt] x_1&=& -a\\[5pt] x_2&=& 0 \\[5pt] x_3&=& a \end{array}$
Mögliche Extremstellen von $f_a$ sind also $x_1 = -a,$ $x_2 = 0$ und $x_3 =a.$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(-a)&=& \frac{40}{3a} > 0 \\[5pt] f_a''(0)&=& -\frac{20}{3\cdot a} < 0\\[5pt] f_a''(a)&=& \frac{40}{3a} > 0 \end{array}$
Der Graph von $f_a$ besitzt also an den Stellen $x_1 = -a$ und $x_3 =a$ jeweils einen Tiefpunkt und an der Stelle $x_2=0$ einen Hochpunkt.
4. Schritt: Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(-a)&=& 0 \\[5pt] f_a(0)&=& \frac{5}{3}a \\[5pt] f_a(a)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Die Graphen von $f_a$ besitzen also zwei Tiefpunkte mit den Koordinaten $T_1(-a\mid 0)$ und $T_2(a\mid 0)$ sowie einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H\left(0\mid \frac{5}{3}a\right).$
$\blacktriangleright$  Graphen auf Wendepunkte untersuchen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&=& -a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \\[5pt] x_2&=& a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Definiere die dritte Ableitung wie oben in deinem CAS. Dann erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''\left(-a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right)&=& -40\cdot \frac{\sqrt{3}}{3a^2} \neq 0 \\[5pt] f_a'''\left(a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right)&=& 40\cdot \frac{\sqrt{3}}{3a^2} \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a'''\left(-a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right)&\neq 0 \\[5pt] f_a'''\left(a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right)& \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(-a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right) &=& \frac{20a}{27} \\[5pt] f_a\left(a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right) &=& \frac{20a}{27} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $f_a$ hat also die beiden Wendepunkte $W_1\left(-a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{20a}{27} \right)$ und $W_2\left(a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{20a}{27} \right).$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit des Schnittwinkels zeigen
Die Steigungen der beiden Wendetangenten entsprechen den Steigungen des Graphen von $f_a$ an den Wendestellen und lassen sich daher mithilfe der ersten Ableitungsfunktion bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} m_1 &=& f_a'\left(-a\frac{\sqrt{3}}{3}\right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{40\cdot \sqrt{3}}{27} \\[10pt] m_2 &=& f_a'\left(a\frac{\sqrt{3}}{3}\right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{-40\cdot \sqrt{3}}{27} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_1 &=& \frac{40\cdot \sqrt{3}}{27} \\[10pt] m_2 &=& \frac{-40\cdot \sqrt{3}}{27} \\[10pt] \end{array}$
Beide Steigungswerte sind unabhängig von $a.$ Da der Schnittwinkel zweier Geraden aber nur von den Steigungswerten der beiden Geraden abhängt, hängt auch der Schnittwinkel nicht von $a$ ab.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt darstellen
Aufgabe B
Abb. 1: Viereck
Aufgabe B
Abb. 1: Viereck
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Bei den Vierecken $W_1OW_2H$ handelt es sich um Drachenvierecke. Deren Flächeninhalt wird mithilfe der Längen der Diagonalen bestimmt:
$\left|\overline{OH} \right| = \frac{5}{3}a$
$\left|\overline{W_1W_2} \right| = a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \left(-a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = 2\cdot a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} $
$ \left|\overline{W_1W_2} \right| = 2\cdot a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$
Der Flächeninhalt ergibt sich also zu:
$\begin{array}[t]{rll} A(a) &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3}a \cdot 2\cdot a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \\[5pt] &=& \frac{5\sqrt{3}}{9}a^2 \end{array}$
$ A(a) =\frac{5\sqrt{3}}{9}a^2 $
$\blacktriangleright$  Quadrat überprüfen
Du kannst beispielsweise mithilfe von Vektoren überprüfen, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den der Innenwinkel bei $O$ ein rechter Winkel ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OW_1}&=& \pmatrix{-a\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{20}{27}a} \\[5pt] \overrightarrow{OW_2}&=& \pmatrix{a\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{20}{27}a} \\[5pt] \end{array}$
Der Innenwinkel bei $O$ ist dann ein rechter Winkel, wenn die beiden Vektoren $\overrightarrow{OW_1}$ und $\overrightarrow{OW_2}$ senkrecht aufeinander stehen, wenn also ihr Skalarprodukt Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OW_1} \circ \overrightarrow{OW_2} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{-a\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{20}{27}a} \circ \pmatrix{a\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{20}{27}a}&=& 0 \\[5pt] -a\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot a\frac{\sqrt{3}}{3} +\frac{20}{27}a \cdot \frac{20}{27}a &=& 0 \\[5pt] -a^2\cdot \frac{1}{3} + a^2\cdot \frac{20^2}{27^2} &=& 0 \\[5pt] a^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}-\frac{20^2}{27^2}\right)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OW_1} \circ \overrightarrow{OW_2} &=& 0 \\[5pt] … \\[5pt] a^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}-\frac{20^2}{27^2}\right)&=& 0 \end{array}$
Die Gleichung lässt sich nur für $a=0$ erfüllen. $a$ ist aber als positive Zahl vorgegeben, sodass es kein $a$ gibt, sodass das Viereck ein Quadrat ist.
#skalarprodukt
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Da der Graph von $f_8$ symmetrisch zur $y$-Achse liegt und beide oberen Eckpunkte des Quadrats auf dem Graphen liegen sollen, liegt das Quadrat auch symmetrisch zur $y$-Achse.
Die Breite des Vierecks wird durch die $x$-Koordinaten der Eckpunkte bestimmt, die Höhe durch die $y$-Koordinate der oberen Eckpunkte. Die oberen Eckpunkte haben die Koordinaten $(x\mid f_8(x))$ und $(-x\mid f_8(x)).$
Damit es sich um ein Quadrat handelt muss $f_8(x)= 2\cdot x$ sein. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f_8(x)&=& 2\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;CAS \\[5pt] x&\approx& 3,89 \end{array}$
Die andere Lösung liegt außerhalb des betrachteten Bereichs, da $x\in [-8;8]$ liegen muss, da $-8$ und $8$ die Nullstellen von $f_8$ und damit die Begrenzungen des betrachteten Bereichs sind.
Der Flächeninhalt ergibt sich dann zu:
$A\approx (2\cdot 3,89)^2 \approx 60,53\,\text{[FE]} $
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen angeben
$\text{I})$
$g_1(x) = -f_8(x)=-\frac{5}{3\cdot 8^3}\cdot (x-8)^2\cdot (x+8)^2$
$g_1(x) = -f_8(x)= $ $-\frac{5}{3\cdot 8^3}\cdot (x-8)^2\cdot (x+8)^2$
$\text{II})$
Da der Graph von $f_8$ bereits symmetrisch zur $y$-Achse ist, verändert eine Spiegelung an der $y$-Achse nichts.
$g_2(x) = f_8(x) = \frac{5}{3\cdot 8^3}\cdot (x-8)^2\cdot (x+8)^2$
$g_2(x) = f_8(x) =$ $\frac{5}{3\cdot 8^3}\cdot (x-8)^2\cdot (x+8)^2$
$\text{III})$
Der Graph kann beispielsweise so verschoben werden, dass der Hochpunkt im Koordinatenursprung liegt. Dazu muss er entsprechend der $y$-Koordinate entlang der $y$-Achse verschoben werden:
$H(0\mid \frac{5}{3}\cdot 8) = H(0\mid \frac{40}{3})$
$g_3(x)= f_8(x)-\frac{40}{3} = \frac{5}{3\cdot 8^3}\cdot (x-8)^2\cdot (x+8)^2 -\frac{40}{3} $
$g_3(x)= f_8(x)-\frac{40}{3}=$ $\frac{5}{3\cdot 8^3}\cdot (x-8)^2\cdot (x+8)^2 -\frac{40}{3} $
$\text{IV})$
Da die Tiefpunkte des Graphen von $f_8$ auf der $x$-Achse liegen, ändern sich ihre Koordinaten durch eine Stauchung des Graphen in $y$-Richtung nicht. Damit die $y$-Koordinate des Hochpunkts halbiert wird, muss der Funktionswert mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ multipliziert werden:
$g_4(x)= \frac{1}{2}\cdot f_8(x)= \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3\cdot 8^3}\cdot (x-8)^2\cdot (x+8)^2$
$g_4(x)= \frac{1}{2}\cdot f_8(x)=$ $\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3\cdot 8^3}\cdot (x-8)^2\cdot (x+8)^2$
2.
a)
$\blacktriangleright$  Auf das Wetter schlussfolgern
Am 4.7.2015 verläuft der Graph der Leistung der Anlage sehr gleichmäßig, ähnlich wie man auch den Verlauf des Sonnenstands erwartet. Man kann also von einem eher wolkenlosen Tag ausgehen.
Am 20.7.2015 ist der Graph von deutlichen Einbrüchen unterbrochen. Hier kann man also von einer wechselhaften Bewölkung sprechen.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Vorgehen erläutern
Die insgesamt bereitgestellte Energie am 20.07.2015 entspricht dem Flächeninhalt der Fläche unter dem zugehörigen Graphen. Diese Fläche kann durch geeignete geometrische Figuren angenähert werden, beispielsweise Dreiecke oder Rechtecke, deren Flächeninhalt berechnet werden kann.
$\blacktriangleright$  Schätzwert angeben
Du erhältst beispielsweise einen Schätzwert von ca. $113\,\text{kWh}.$
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Gute Näherung begründen
Der Graph von $f_8$ muss so entlang der $x$-Achse verschoben werden, dass der Hochpunkt an der Stelle $x\approx 13$ liegt. Es ergibt sich dann folgender Funktionsterm:
$g(x) = f_8(x-13) = \frac{5}{1536}\cdot (x-13-8)^2\cdot (x-13+8)^2 = \frac{5}{1536}\cdot (x-21)^2\cdot (x-5)^2$
$g(x) = f_8(x-13) $ $ =\frac{5}{1536}\cdot (x-13-8)^2\cdot (x-13+8)^2 $ $=\frac{5}{1536}\cdot (x-21)^2\cdot (x-5)^2$
Die Nullstellen von $g$ sind dann $x_1 = 5$ und $x_2 = 21.$ Die Koordinaten des Hochpunktes sind dann $H\left(13\mid \frac{40}{3}\right)\approx H\left(13\mid 13,3\right).$
Vergleicht man den Verlauf in Abbildung 1 des Aufgabenblattes, dann lässt sich auch hier schätzen, dass die Leistung etwa zum Zeitpunkt $5:00$ Uhr und $21:00$ Uhr auf Null heruntergeht. Dazwischen verläuft sowohl der Graph von $g$ als auch der Graph der Leistung nahezu parabelförmig mit einem Hochpunkt bei etwa $H(13\mid 13,3).$
Insgesamt kann der verschobene Graph von $f_8$ daher als gute Näherung für den Verlauf der Leistung der Photovoltaikanlage verwendet werden.
$\blacktriangleright$  Bereitgestellte Energie berechnen
Verwende ein Integral mit den Integrationsgrenzen $x_1 = 5$ und $x_2 = 21$ über die Funktion $g$ von oben. Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{5}^{21}g(x)\;\mathrm dx &=& \displaystyle\int_{5}^{21}\frac{5}{1536}\cdot (x-21)^2\cdot (x-5)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 114 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{5}^{21}g(x)\;\mathrm dx \approx 114 $
Insgesamt hat die Anlage am 04.07.2015 also ca. $114\,\text{kWh}$ bereitgestellt.
#integral
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Zeitraum ermitteln
Der Zeitraum entspricht dem Zeitraum, indem die bereitsgestellte Energie, die durch die oben genannte Funktion $g$ beschrieben wird, unter der benötigten Leistung, die durch die Funktion $h$ beschrieben wird, liegt.
Bestimme also das Intervall $[x_1;x_2],$ in dem gilt $g(x) < h(x).$ Mit dem solve-Befehl deines CAS erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&<& h(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] 7,39&< x< & 10,14 \end{array}$
$ 7,39< x< 10,14 $
$0,39\cdot 60 \approx 23$ und $0,14\cdot 60 \approx 8$
Im Zeitraum von ca. $07:23$ Uhr bis $10:08$ Uhr reichte die bereitgestellte Leistung der Photovoltaikanlage nicht aus um den Bedarf der Firma zu decken.
#integral
Bildnachweise [nach oben]
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