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Aufgabe B1

Aufgaben
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Die Profillinie einer Achterbahn wird abschnittsweise durch Funktionsgraphen modelliert. Für den letzten Abschnitt dieser Achterbahn mit anschließendem Anhaltebereich können die Graphen dreier Funktionen $g_1$, $g_2$ und $g_3$ verwendet werden.
Die Werte $x$, $g_1(x)$, $g_2(x)$ und $g_3(x)$ stellen Maßzahlen zu Längenangaben in Metern dar.
Die Funktionen $g_1$ und $g_3$ sind gegeben durch
$\;\;$ 
$g_1(x)=-\dfrac{1}{50.000}(x+10)(x-50)^3$   $(0\leq x\leq 50)$   und
$g_3(x)=5\hspace{5.5cm}$ $(70\leq x\leq 120).$
Der Abschnitt der Achterbahn im Intervall $50\leq x\leq70$ wird durch den Graphen einer Funktion $g_2$ beschrieben. Die Übergänge in den Randpunkten des Graphen von $g_2$ sind ohne Knick zu realisieren.
a)  Stelle die Graphen von $g_1$ und $g_3$ in den angegebenen Intervallen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar.
Skizziere einen möglichen Verlauf des Graphen von $g_2$.
Berechne die maximale Höhe der Achterbahn für $0\leq x\leq 50.$
Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem das Gefälle in diesem Intervall am größten ist.
(6P)
b)  Im Punkt $P\left(20\mid g_1(20)\right)$ trifft ein Sonnenstrahl senkrecht auf die Bahn. Dieser Sonnenstrahl schließt mit der Horizontalen einen Winkel ein.
Ermittle die Größe dieses Winkels.
Zu einem anderen Zeitpunkt treffen Sonnenstrahlen unter einem Winkel von $45°$ zur Horizontalen auf die Bahn.
Bestimme die Koordinaten der Punkte auf dem fallenden Bereich des Graphen von $g_1$, in denen die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Bahn treffen.
(4P)
c)  Gesucht ist eine Gleichung für den Graphen von $g_2$, so dass der Graph die beschriebenen Eigenschaften besitzt.
Erläutere ein Vorgehen, um diese zu ermitteln. Gib eine mögliche Gleichung für $g_2$ an.
(4P)
d)  Eine mögliche Gleichung für $g_2$ ist
$g_2(x)=\dfrac{1}{32.000}(x-50)^2(x-90)^2$    $(50\leq x\leq70)$.
Die Länge $k$ eines Graphen einer Funktion $f$ im Intervall $a\leq x\leq b$ kann mit der Gleichung $k=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx$ berechnet werden. Für das Intervall $0\leq x\leq 50$ wurde mit dieser Gleichung die Länge $k_1\approx60\,\text{m}$ ermittelt.
Berechne die Länge der Bahn im Intervall $0\leq x\leq 120$.
(3P)
e)  Um die aktuelle Geschwindigkeit der Wagen der Achterbahn anzuzeigen, sind diese jeweils mit einem Tachometer ausgerüstet. Mit Beginn des Bremsvorganges zeichnet ein Tachometer folgende Daten auf:
Zeit $t$ seit Beginn der Messung in s
$0$ $2$ $4$ $6$ $10$
Geschwindigkeit $v$ in m/s
$20$ $10$ $4$ $1,5$ $0$
(Erst nach 10 Sekunden kommt der Wagen zum Stillstand.)
Ermittle eine Gleichung für eine Funktion $v$ in Abhängigkeit von $t$, die diesen Sachverhalt näherungsweise beschreibt.
Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $v$ und der $t$-Achse im Intervall $0\leq t\leq10$.
Interpretiere dieses Ergebnis im Zusammenhang mit dem Sachverhalt.
(3P)
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Aufgabe a)

$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{g_1}$ und $\boldsymbol{g_3}$ in einem Koordinatensystem darstellen
Das Profil einer Achterbahn wird durch drei Graphen in verschiedenen Abschnitten modelliert. Dabei sind die Graphen zu den Funktionen $g_1$ und $g_3$ bereits durch den folgenden Funktionsterm vorgegeben:
$g_1(x)=-\frac{1}{50.000} \cdot (x + 10)(x-50)^3;\,\,(0 \leq x \leq 50)$
$g_3(x)=5;\,\,(70 \leq x \leq 120)$
Die Übergänge in den Randpunkten des Graphen zur Funktion $g_2$ im Intervall $\left[50;70\right]$ zu den anderen beiden Graphen sollen dabei ohne Knick realisiert werden.
Zeichne zunächst die beiden Graphen zu den Funktionen $g_1$ und $g_3$ im angegebenen Bereich in ein passend gewähltes Koordinatensystem und skizziere anschließend einen möglichen Verlauf des Graphen von $g_2$.
$\blacktriangleright$ Graph von $\boldsymbol{g_2}$ skizzieren
Der Abschnitt zwischen den beiden Graphen im Intervall $\left[50;70\right]$ soll durch den Graphen der Funktion $g_2$ dargestellt werden. Du weißt, dass dieser ohne Knick an den Randpunkten in die beiden anderen Graphen übergehen soll. Skizziere einen möglichen Verlauf dementsprechend:
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe der Achterbahn berechnen
Die Achterbahn erreicht ihre maximale Höhe im Bereich $\left[0;50\right]$. Da die maximale Höhe in diesem Fall gerade der $y$-Koordinate des Hochpunktes zum Graphen der Funktion $g_1$ entspricht, kannst du die Funktion $g_1$ auf Maxima untersuchen.
Eine Funktion $g$ hat an der Stelle $x_M$ genau dann ein Maximum, wenn die folgenden beiden Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{g'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{g''(x_M)<0}$
Bilde also in einem ersten Schritt die erste und zweite Ableitung der Funktion $g_1$ und überprüfe anschließend die beiden Bedingungen, um die gesuchte Maximalstelle $x_M$ zu erhalten. Die maximale Höhe entspricht dann gerade der $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Hochpunktes. Diese kannst du bestimmen, indem du $x_M$ in den Funktionsterm von $g_1$ einsetzt.
$\blacktriangleright$ Punkt bestimmen, in dem Gefälle am größten ist
Die Achterbahn besitzt im Intervall $\left[0;50\right]$ einen Punkt $W$, in dem die Bahn am stärksten fällt. Dieser Punkt stellt gerade den Wendepunkt des Graphen zur Funktion $g_1$ dar. Bestimme die Koordinaten des Punktes $W$.
Eine Funktion $g$ hat an der Stelle $x_W$ genau dann eine Wendestelle, wenn die folgenden beiden Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{g''(x_W)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{g'''(x_W) \neq 0}$
Bilde also in einem ersten Schritt die dritte Ableitung der Funktion $g_1$ und überprüfe anschließend die beiden Bedingungen, um die gesuchte Wendestelle $x_W$ zu erhalten. Die Wendestelle entspricht dann gerade der $x$-Koordinate des Wendepunktes. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_W$ in den Funktionsterm von $g_1$ einsetzt.

Aufgabe b)

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels bestimmen
Im Punkt $P(20 \mid g_1(20))$ trifft ein Sonnenstrahl senkrecht auf die Bahn. Interpretiere diesen Sonnenstrahl als Normale an den Graphen von $g_1$ im Punkt $P$. Diese Normale schneidet wiederum die $x$-Achse unter einem bestimmten Winkel $\alpha$.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Deine Aufgabe ist es, die Größe dieses Winkels zu ermitteln.
Du kannst hierbei in folgenden Schritten vorgehen:
  • 1. Schritt: Bestimme die Gleichung der Normalen durch den Punkt $P$ mit Hilfe des normalLine-Befehls im CAS.
  • 2. Schritt: Berechne mit Hilfe der Beziehung $\boldsymbol{tan(\alpha)=m}$ den Winkel $\alpha$.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte bestimmen
Zu einem anderen Zeitpunkt treffen Sonnenstrahlen im Winkel von $45^\circ$ zur $x$-Achse auf den fallenden Teil der Bahn. In bestimmten Punkten auf der Bahn treffen diese Sonnenstrahlen gerade senkrecht ein. Bestimme diese Punkte.
Gesucht sind also die Punkte auf dem Graphen von $g_1$, in denen die angelegte Normale eine Steigung von $45^\circ$ aufweist. Das heißt, die Normale muss eine Steigung von
$\boldsymbol{tan(45^\circ)=1=m}$
aufweisen. Das sind wiederum gerade die Stellen auf der Bahn, an denen der Graph eine Steigung von $-1$ besitzt. Da die erste Ableitung gerade die Steigung des Graphen angibt, kannst du diese Stellen ermitteln, indem du die $x$-Werte bestimmst, für die gilt:
$\boldsymbol{g_1'(x)=-1}$
Gehe also in den folgenden Schritten vor:
  • Bestimme zunächst alle Stellen, an denen der Graph eine Steigung von $-1$ aufweist. Löse dazu die Gleichung $\boldsymbol{g_1'(x)=-1}$.
  • Berechne die Funktionswerte an diesen Stellen, um die vollständigen Koordinaten der Punkte zu erhalten.

Aufgabe c)

$\blacktriangleright$ Term zur Funktion $\boldsymbol{g_2}$ angeben
Zuvor hast du den Graphen der Funktion $g_2$ im Intervall $\left[ 50;70\right]$ skizziert. Erkläre und beschreibe ein Verfahren, wie ein passender Funktionsterm für $g_2$ gefunden werden kann und bestimme diesen schließlich.
Beachte hierbei, dass der Graph der Funktion $g_1$ ohne Knick in die beiden anderen Graphen übergeht. Das heißt, es müssen folgende $4$ Eigenschaften erfüllt werden:
  • $g_2(50)=g_1(50)$
  • $g_2(70)=g_3(70)$
  • $g_2'(50)=g_1'(50)$
  • $g_2'(70)=g_3'(70)$
Du musst zuvor noch einen geeigneten Funktionstyp wählen, sodass du die gegebenen Eigenschaften einsetzen und so einen passenden Funktionsterm bestimmen kannst.
Betrachte dazu das Schaubild, welches du zur Funktion $g_2$ skizziert hast:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Der Graph der Funktion $g_2$ ist offensichtlich weder konstant noch linear. Ein quadratischer Funktionsterm kann hier ebenfalls nicht in Frage kommen, da der skizzierte Abschnitt nicht parabelförmig ist. Für den nächst höheren Exponenten liegt ein kubischer Funktionsterm vor. Das heißt, wir hätten den folgenden allgemeinen Funktionsterm mit dem zugehörigen Ableitungsterm:
$g_2(x)=a \cdot x^3 +b \cdot x^2 + c \cdot x +d$
$g_2'(x)=3 \cdot a \cdot x^2 +2 \cdot b \cdot x + c$
Hier liegen die $4$ unbekannten Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ vor, außerdem hast du $4$ Eigenschaften gegeben. Damit können alle unbekannten Parameter bestimmt werden. Daher liegt nahe, dass hier tatsächlich kubische Regression vorliegt.
  • Berechne zunächst die gegeben Eigenschaften.
  • Setze diese anschließend in die allgemeinen Funktionsterme ein. Daraus erhältst du schließlich ein lineares Gleichungssystem, welches du nach den unbekannten Parametern $a$, $b$, $c$ und $d$ auflösen kannst.

Aufgabe d)

$\blacktriangleright$ Gesamte Länge der Bahn berechnen
Ein anderer möglicher Term für die Funktion $g_2$ im Intervall $\left[ 50;70\right]$ lautet:
$g_2(x)=\dfrac{1}{32.000} \cdot (x-50)^2 \cdot (x-90)^2,\;\; 50 \leq x \leq 70$
Die Länge $k$ eines Graphen in einem Intervall $\left[ a;b \right]$ kann wie folgt berechnet werden:
$k= \int_b^a \sqrt{1+ (g_2'(x))^2}$
Deine Aufgabe ist es, die gesamte Länge der Bahn zu bestimmen. Da die Bahn aber durch die Graphen von $3$ unterschiedlichen Funktionen modelliert wird, musst du für jeden Abschnitt die entsprechende Funktion in die oben genannte Formel einsetzen.

Aufgabe e)

$\blacktriangleright$ Term für die Funktion $\boldsymbol{v}$ bestimmen
Die Geschwindigkeit $v$ eines Wagens der Achterbahn wird in Sekunden gemessen. Dabei werden folgende Werte aufgezeichnet:
Zeit $t$ in Sekunden $0$ $2$ $4$ $6$ $10$
Geschwindigkeit $v$ in $\frac{m}{s}$ $20$ $10$ $4$ $1,5$ $0$
Ermittle eine Gleichung für die Funktion $v$ in Abhängigkeit von $t$, die die oben gegebenen Punkte enthält. Dabei kannst du erkennen, dass insgesamt $5$ Punkte gegeben sind. Das heißt, es können maximal $5$ unbekannte Parameter bestimmt werden. Anhand der Daten siehst du, dass eine konstante oder lineare Funktion nicht in Frage kommt. Für den nächst höhere Exponent liegt ein kubischer Funktionsterm vor, das heißt, wir haben einen Funktionsterm der folgenden Form:
$v(t)=a \cdot t^3 +b \cdot t^2 + c \cdot t +d$
Mit Hilfe des CAS können wir die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ ermitteln. Wechsle dazu in den Lists & Spreadsheets-Modus.
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Flächeninhaltes
Der Graph der Funktion $v$ schließt mit der $t$-Achse im Intervall $\left[ 0;10 \right]$ eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Dazu kannst du das Integral der Funktion $v$ mit den Integralgrenzen $0$ und $10$ bilden:
$\boldsymbol{\displaystyle \int^{10}_0 v(t)\;dt}$
Beachte dabei aber, dass du die Funktion $v$ hinreichend genau angibst, da sonst eventuell fehlerhafte Werte auftreten können.
$\blacktriangleright$ Interpretation
Wie könnte man diese Messung interpretieren? Betrachte die gegebenen Daten. Gibt es hier irgendwelche Auffälligkeiten?
Zeit $t$ in Sekunden $0$ $2$ $4$ $6$ $10$
Geschwindigkeit $v$ in $\frac{m}{s}$ $20$ $10$ $4$ $1,5$ $0$
Zudem weißt du, dass an der $y$-Achse die Geschwindigkeit in $\frac{m}{s}$ abgetragen wird, wohingegen die $t$-Achse die Zeit in $s=$ Sekunden misst. Was könnte das für die integrierte Fläche bedeuten?
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Aufgabe a)

$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{g_1}$ und $\boldsymbol{g_3}$ in einem Koordinatensystem darstellen
Das Profil einer Achterbahn wird durch drei Graphen in verschiedenen Abschnitten modelliert. Dabei sind die Graphen zu den Funktionen $g_1$ und $g_3$ bereits durch den folgenden Funktionsterm vorgegeben:
$g_1(x)=-\frac{1}{50.000} \cdot (x + 10)(x-50)^3;\,\,(0 \leq x \leq 50)$
$g_3(x)=5;\,\,(70 \leq x \leq 120)$
Die Übergänge in den Randpunkten des Graphen zur Funktion $g_2$ im Intervall $\left[50;70\right]$ zu den anderen beiden Graphen sollen dabei ohne Knick realisiert werden.
Zeichne zunächst die beiden Graphen zu den Funktionen $g_1$ und $g_3$ im angegebenen Bereich in ein passend gewähltes Koordinatensystem und skizziere anschließend einen möglichen Verlauf des Graphen von $g_2$.
Dazu kannst du das CAS verwenden. Wähle den Graph-Modus aus und lass die Graphen zu $g_1$ und $g_3$ zeichnen.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Zusätzlich kannst du dir noch unter
7: Tabelle $\rightarrow$ 1: Tabelle mit geteilten Bildschirm
eine Wertetabelle anzeigen lassen. Mit Hilfe dieser Informationen kannst du nun den Verlauf der beiden Graphen im entsprechenden Intervall übernehmen. Dein Schaubild sollte dann ungefähr folgendermaßen aussehen:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
$\blacktriangleright$ Graph von $\boldsymbol{g_2}$ skizzieren
Der Abschnitt zwischen den beiden Graphen im Intervall $\left[50;70\right]$ soll durch den Graphen der Funktion $g_2$ dargestellt werden. Du weißt, dass dieser ohne Knick an den Randpunkten in die beiden anderen Graphen übergehen soll. Skizziere einen möglichen Verlauf dementsprechend:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe der Achterbahn berechnen
Die Achterbahn erreicht ihre maximale Höhe im Bereich $\left[0;50\right]$. Da die maximale Höhe in diesem Fall gerade der $y$-Koordinate des Hochpunktes zum Graphen der Funktion $g_1$ entspricht, kannst du die Funktion $g_1$ auf Maxima untersuchen.
Eine Funktion $g$ hat an der Stelle $x_M$ genau dann ein Maximum, wenn die folgenden beiden Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{g'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{g''(x_M)<0}$
Bilde also in einem ersten Schritt die erste und zweite Ableitung der Funktion $g_1$ und überprüfe anschließend die beiden Bedingungen, um die gesuchte Maximalstelle $x_M$ zu erhalten. Die maximale Höhe entspricht dann gerade der $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Hochpunktes. Diese kannst du bestimmen, indem du $x_M$ in den Funktionsterm von $g_1$ einsetzt.
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
Für die notwendige und hinreichende Bedingung benötigst du die erste und zweite Ableitung der betrachteten Funktion $g_1$. Diese kannst du mit Hilfe des CAS bilden. Wähle dazu im Calculator-Modus die Option:
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableitung
Definiere zunächst die Funktion $g_1$ und wende anschließend den Befehl zweimal an. Hierbei musst du angeben, dass die Funktion $g_1$ einmal bzw. zweimal nach der Variable $x$ differenziert werden soll.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das liefert dir die folgenden Ableitungsterme:
$g_1'(x)=-\dfrac{3 \cdot(x-50)^2\cdot(x-5)}{12.500}$, $\;g_1''(x)=-\dfrac{(x-50)\cdot(x-20)}{12.500}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Eine Funktion $g_1$ hat an der Stelle $x_M$ eine Maximalstelle, sofern die notwendige Bedingung $\boldsymbol{g_1'(x_M)=0}$ erfüllt wird. Folglich kannst du alle potentiellen Maximalstellen bestimmen, indem du den Term der ersten Ableitungsfunktion $g_1'$ mit Null gleichsetzt und alle $x$-Werte ermittelst, die diese Bedingung erfüllen.
Dazu kannst du den Solve-Befehl des CAS verwenden. Du findest diesen unter:
3: Algebra $\rightarrow$ 1: Löse
Du erhältst die potentiellen Maximalstellen $\boldsymbol{x_{M1}=5}$ und $\boldsymbol{x_{M2}=50}$.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Zuvor hast du die beiden potentiellen Maximalstellen $x_{M1}=5$ und $x_{M2}=50$ ermittelt. Damit an diesen Stellen aber tatsächlich eine Maximalstelle vorliegt, muss ebenfalls die hinreichende Bedingung $\boldsymbol{g_1''(x_M)<0}$ erfüllt werden. Setze die beiden gefundenen Werte in den Term der zweiten Ableitung ein und berechne.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Damit ist die hinreichende Bedingung nur an der Stelle $x_{M1}=5$ erfüllt:
  • $g_1''(x_{M1}=5)=-\frac{81}{500}<0$
  • $g_1''(x_{M2}=50)=0$
Folglich besitzt die Funktion $g_1$ an der Stelle $\boldsymbol{x_{M1}=5}$ ihr Maximum. Eine Betrachtung der Randwerte kannst du hier vernachlässigen, da du dem Verlauf des Graphen entnehmen kannst, dass keine Randmaxima existieren.
4. Schritt: Maximale Höhe bestimmen
An der Stelle $x_{M1}=5$ erreicht die Funktion $g_1$ ihr Maximum. Das heißt, der zugehörige Graph besitzt an dieser Stelle einen Hochpunkt. Die $y$-Koordinate dieses Hochpunktes entspricht gerade der maximalen Höhe. Berechne diese, indem du $x_{M1}=5$ in den Term der Funktion $g_1$ einsetzt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Die maximale Höhe der Achterbahn beträgt $\dfrac{2.187}{80} \approx 27,34$ Meter.
$\blacktriangleright$ Punkt bestimmen, in dem Gefälle am größten ist
Die Achterbahn besitzt im Intervall $\left[0;50\right]$ einen Punkt $W$, in dem die Bahn am stärksten fällt. Dieser Punkt stellt gerade den Wendepunkt des Graphen zur Funktion $g_1$ dar. Bestimme die Koordinaten des Punktes $W$.
Eine Funktion $g$ hat an der Stelle $x_W$ genau dann eine Wendestelle, wenn die folgenden beiden Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{g''(x_W)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{g'''(x_W) \neq 0}$
Bilde also in einem ersten Schritt die dritte Ableitung der Funktion $g_1$ und überprüfe anschließend die beiden Bedingungen, um die gesuchte Wendestelle $x_W$ zu erhalten. Die Wendestelle entspricht dann gerade der $x$-Koordinate des Wendepunktes. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_W$ in den Funktionsterm von $g_1$ einsetzt.
1. Schritt: Dritte Ableitung bestimmen
Für die notwendige und hinreichende Bedingung benötigst du die zweite und dritte Ableitung der betrachteten Funktion $g_1$. Die zweite Ableitung hast du im Aufgabenteil zuvor schon bestimmt, es fehlt also nur noch die dritte Ableitung. Diese kannst du mit Hilfe des CAS bilden. Wähle dazu im Calculator-Modus die Option:
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableitung
Wende den Befehl auf die Funktion $g_1$ an und gib an, dass dreimal nach der Variable $x$ differenziert werden soll.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das liefert dir die folgenden Ableitungsterme:
$g_1''(x)=-\dfrac{3 \cdot(x-50)\cdot(x-20)}{12.500}$, $\;g_1'''(x)=\dfrac{21}{1.250}-\dfrac{3 \cdot x}{6.250}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Eine Funktion $g_1$ hat an der Stelle $x_W$ eine Wendestelle, sofern die notwendige Bedingung $\boldsymbol{g_1''(x_W)=0}$ erfüllt wird. Folglich kannst du alle potentiellen Wendestellen bestimmen, indem du den Term der zweiten Ableitungsfunktion $g_1''$ mit Null gleichsetzt und alle $x$-Werte ermittelst, die diese Bedingung erfüllen.
Dazu kannst du den Solve-Befehl des CAS verwenden. Du findest diesen unter:
3: Algebra $\rightarrow$ 1: Löse
Du erhältst die potentiellen Wendestellen $\boldsymbol{x_{W1}=20}$ und $\boldsymbol{x_{W2}=50}$.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Zuvor hast du die beiden potentiellen Wendestellen $x_{W1}=20$ und $x_{W2}=50$ ermittelt. Damit an diesen Stellen aber tatsächlich eine Wendestelle vorliegt, muss ebenfalls die hinreichende Bedingung $\boldsymbol{g_1'''(x_W)\neq 0}$ erfüllt werden. Setze die beiden gefundenen Werte in den Term der dritten Ableitung ein und berechne.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Damit ist die hinreichende Bedingung an beiden Stellen erfüllt:
  • $g_1'''(x_{W1}=20)=\frac{9}{1.250}\neq 0$
  • $g_1'''(x_{W2}=50)=-\frac{9}{1.250}\neq 0$
Anhand des Graphen kannst du jedoch erkennen, dass der Graph zur Funktion $g_1$ an der Stelle $\boldsymbol{x_{W1}=20}$ stärker fällt und damit dort der gesuchte Punkt liegt.
4. Schritt: Koordinaten bestimmen
An der Stelle $x_{W1}=20$ erreicht die Funktion $g_1$ ihr größtes Gefälle, das heißt, der zugehörige Graph besitzt an dieser Stelle einen Wendepunkt. Die $y$-Koordinate kannst du berechnen, indem du $x_{W1}=2$ in den Term der Funktion $g_1$ einsetzt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Der Punkt mit dem stärksten Gefälle im Intervall $\left[ 0;50 \right]$ besitzt die Koordinaten $W \left( 20 \mid \dfrac{81}{5} =16,2\right)$.

Aufgabe b)

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels bestimmen
Im Punkt $P(20 \mid g_1(20))$ trifft ein Sonnenstrahl senkrecht auf die Bahn. Interpretiere diesen Sonnenstrahl als Normale an den Graphen von $g_1$ im Punkt $P$. Diese Normale schneidet wiederum die $x$-Achse unter einem bestimmten Winkel $\alpha$.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Deine Aufgabe ist es, die Größe dieses Winkels zu ermitteln.
Du kannst hierbei in folgenden Schritten vorgehen:
  • 1. Schritt: Bestimme die Gleichung der Normalen durch den Punkt $P$ mit Hilfe des normalLine-Befehls im CAS.
  • 2. Schritt: Berechne mit Hilfe der Beziehung $\boldsymbol{tan(\alpha)=m}$ den Winkel $\alpha$.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Normalengleichung angeben
Gib die Gleichung der Normalen im Punkt $P(20 \mid g_1(20)) = P(20 \mid 16,2)$ an. Die Gleichung einer Normalen kannst du mit Hilfe des normalLine(f(x),x,x_0)-Befehls bestimmen. Diesen findest du unter:
4: Analysis $\rightarrow$ A: Normalenterm
Gib in der Reihenfolge Funktion, Variable und Stelle an, an der die Normale an den Graphen angelegt werden soll.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Die vollständige Normalengleichung lautet damit:
$n(x)=\dfrac{25}{27}\cdot x -\dfrac{313}{135}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Trifft eine Gerade mit der Steigung $m$ auf die $x$-Achse, so gilt für den Schnittwinkel $\alpha$ gerade die folgende Beziehung:
$tan(\alpha)=m \Leftrightarrow \alpha=tan^{-1}(m)$
Verwende diesen Zusammenhang, um den Schnittwinkel der Normalen $n$ mit der $x$-Achse zu berechnen.
Anhand der Normalengleichung kannst du ablesen, dass die Steigung gerade $m=\dfrac{25}{27}$ beträgt. Bedenke, dass du das CAS auf Gradmaß umstellen musst, um korrekte Werte zu erhalten.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das CAS liefert dir, dass für den Schnittwinkel gerade gilt: $\alpha=42,8^\circ$.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte bestimmen
Zu einem anderen Zeitpunkt treffen Sonnenstrahlen im Winkel von $45^\circ$ zur $x$-Achse auf den fallenden Teil der Bahn. In bestimmten Punkten auf der Bahn treffen diese Sonnenstrahlen gerade senkrecht ein. Bestimme diese Punkte.
Gesucht sind also die Punkte auf dem Graphen von $g_1$, in denen die angelegte Normale eine Steigung von $45^\circ$ aufweist. Das heißt, die Normale muss eine Steigung von
$\boldsymbol{tan(45^\circ)=1=m}$
aufweisen. Das sind wiederum gerade die Stellen auf der Bahn, an denen der Graph eine Steigung von $-1$ besitzt. Da die erste Ableitung gerade die Steigung des Graphen angibt, kannst du diese Stellen ermitteln, indem du die $x$-Werte bestimmst, für die gilt:
$\boldsymbol{g_1'(x)=-1}$
Gehe also in den folgenden Schritten vor:
  • Bestimme zunächst alle Stellen, an denen der Graph eine Steigung von $-1$ aufweist. Löse dazu die Gleichung $\boldsymbol{g_1'(x)=-1}$.
  • Berechne die Funktionswerte an diesen Stellen, um die vollständigen Koordinaten der Punkte zu erhalten.
1. Schritt: Stellen mit Steigung $\boldsymbol{-1}$ ermitteln
Mit Hilfe des CAS kannst du alle Stellen ermitteln, die die Gleichung $g_1'(x)=-1$ erfüllen. Verwende dazu den Solve-Befehl wie in der Abbildung unten:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das CAS liefert dir, dass an den Stellen
  • $x_1=-10\cdot (\sqrt{6}-4) \approx 15,51$,
  • $x_2=25$ und
  • $x_3=10\cdot (\sqrt{6}+4) \approx 64,5$
die Steigung des Graphen $-1$ beträgt. Da sich die Stelle $x_3=64,5$ außerhalb des Intervalls $\left[ 0;50 \right]$ befindet, kannst du diese bei der weiteren Betrachtung vernachlässigen.
2. Schritt: Vollständige Koordinaten der Punkte angeben
Du hast nun die Stellen $\boldsymbol{x_1=15,51}$ und $\boldsymbol{x_2=25}$ ermittelt, an denen der Graph die Steigung $-1$ besitzt, bzw. an denen die Sonnenstrahlen in einem $45^\circ$ Winkel auftreffen. Da in der Aufgabenstellung aber nach den Punkten und damit nach den vollständigen Koordinaten gefragt ist, musst du $x_1$ und $x_2$ noch in den Term der Funktion $g_1$ einsetzen:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Die Koordinaten der Punkte lauten: $P_1\left(-10\cdot (\sqrt{6}-4) \mid \dfrac{26 \cdot \sqrt{6} +41}{5}\right)$ und $P_2\left( 25 \mid \dfrac{175}{16} \right)$.

Aufgabe c)

$\blacktriangleright$ Term zur Funktion $\boldsymbol{g_2}$ angeben
Zuvor hast du den Graphen der Funktion $g_2$ im Intervall $\left[ 50;70\right]$ skizziert. Erkläre und beschreibe ein Verfahren, wie ein passender Funktionsterm für $g_2$ gefunden werden kann und bestimme diesen schließlich.
Beachte hierbei, dass der Graph der Funktion $g_1$ ohne Knick in die beiden anderen Graphen übergeht. Das heißt, es müssen folgende $4$ Eigenschaften erfüllt werden:
  • $g_2(50)=g_1(50)$
  • $g_2(70)=g_3(70)$
  • $g_2'(50)=g_1'(50)$
  • $g_2'(70)=g_3'(70)$
Du musst zuvor noch einen geeigneten Funktionstyp wählen, sodass du die gegebenen Eigenschaften einsetzen und so einen passenden Funktionsterm bestimmen kannst.
Betrachte dazu das Schaubild, welches du zur Funktion $g_2$ skizziert hast:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Der Graph der Funktion $g_2$ ist offensichtlich weder konstant noch linear. Ein quadratischer Funktionsterm kann hier ebenfalls nicht in Frage kommen, da der skizzierte Abschnitt nicht parabelförmig ist. Für den nächst höheren Exponenten liegt ein kubischer Funktionsterm vor. Das heißt, wir hätten den folgenden allgemeinen Funktionsterm mit dem zugehörigen Ableitungsterm:
$g_2(x)=a \cdot x^3 +b \cdot x^2 + c \cdot x +d$
$g_2'(x)=3 \cdot a \cdot x^2 +2 \cdot b \cdot x + c$
Hier liegen die $4$ unbekannten Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ vor, außerdem hast du $4$ Eigenschaften gegeben. Damit können alle unbekannten Parameter bestimmt werden. Daher liegt nahe, dass hier tatsächlich kubische Regression vorliegt.
  • Berechne zunächst die gegeben Eigenschaften.
  • Setze diese anschließend in die allgemeinen Funktionsterme ein. Daraus erhältst du schließlich ein lineares Gleichungssystem, welches du nach den unbekannten Parametern $a$, $b$, $c$ und $d$ auflösen kannst.
Mit Hilfe des CAS erhältst du die folgenden Werte:
  • $g_2(50)=g_1(50)=0$
  • $g_2(70)=g_3(70)=5$
  • $g_2'(50)=g_1'(50)=0$
  • $g_2'(70)=g_3'(70)=0$
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Setzt du alle Eigenschaften ein, so erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{rll} \text{I}& 0&=&a \cdot (50)^3 +b \cdot (50)^2 + c \cdot (50) +d\\ \text{II}& 5&=&a \cdot (70)^3 +b \cdot (70)^2 + c \cdot (70) +d\\ \text{III}&0&=&3 \cdot a \cdot (50)^2 +2 \cdot b \cdot (50) + c\\ \text{IV}& 0&=&3 \cdot a \cdot (70)^2 +2 \cdot b \cdot (70) + c\\ \end{array}$
Löse dieses lineare Gleichungssystem mit Hilfe des CAS. Den entsprechenden Befehl findest du unter:
3: Algebra $\rightarrow$ 7: $\rightarrow$ 1: Gleichungssystem lösen
Gib an, dass insgesamt $4$ Gleichungen mit den Parametern $a$, $b$, $c$ und $d$ existieren. Das liefert dir dann die folgenden Lösung:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
$a=-\dfrac{1}{800}$, $\;\;b=\dfrac{9}{40}$, $\;\;c=-\dfrac{105}{8}$, $\;\;d=250$
Ein möglicher Funktionsterm lautet also:
$g_2(x)=-\dfrac{1}{800} \cdot x^3 +\dfrac{9}{40} \cdot x^2-\dfrac{105}{8} \cdot x +250$

Aufgabe d)

$\blacktriangleright$ Gesamte Länge der Bahn berechnen
Ein anderer möglicher Term für die Funktion $g_2$ im Intervall $\left[ 50;70\right]$ lautet:
$g_2(x)=\dfrac{1}{32.000} \cdot (x-50)^2 \cdot (x-90)^2,\;\; 50 \leq x \leq 70$
Die Länge $k$ eines Graphen in einem Intervall $\left[ a;b \right]$ kann wie folgt berechnet werden:
$k= \int_b^a \sqrt{1+ (g_2'(x))^2}$
Deine Aufgabe ist es, die gesamte Länge der Bahn zu bestimmen. Da die Bahn aber durch die Graphen von $3$ unterschiedlichen Funktionen modelliert wird, musst du für jeden Abschnitt die entsprechende Funktion in die oben genannte Formel einsetzen.
Länge der Bahn im Intervall $\boldsymbol{\left[ 0;50 \right]}$ berechnen
Im Bereich $\left[ 0;50 \right]$ wird die Bahn durch den Graphen der Funktion $g_1$ modelliert. Die Länge der Bahn ist hierbei aber bereits mit $\boldsymbol{60}$ Metern angegeben.
Länge der Bahn im Intervall $\boldsymbol{\left[ 50;70 \right]}$ berechnen
Im Bereich $\left[ 50;70 \right]$ wird die Bahn durch den Graphen der Funktion $g_2$ modelliert. Die Länge der Bahn kannst du mit Hilfe der Formel bestimmen.
Definiere dazu die Funktion $g_2$ im CAS und bilde die erste Ableitung. Den Befehl für die Bestimmung eines Integrals findest du unter
4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
Das CAS liefert dir, dass die Bahn im Intervall $\left[ 50;70 \right]$ eine Länge von $\boldsymbol{20,74}$ Metern besitzt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Länge der Bahn im Intervall $\boldsymbol{\left[ 70;120 \right]}$ berechnen
Im Bereich $\left[ 70;120 \right]$ wird die Bahn durch den Graphen der Funktion $g_3$ modelliert. Die Länge der Bahn kannst du mit Hilfe der Formel bestimmen.
Definiere dazu die Funktion $g_3$ im CAS und bilde die erste Ableitung. Das CAS liefert dir, dass die Bahn im Intervall $\left[ 70;120 \right]$ eine Länge von $\boldsymbol{50}$ Metern besitzt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Insgesamt ist die Bahn $60+20,74+50=130,74$ Meter lang.

Aufgabe e)

$\blacktriangleright$ Term für die Funktion $\boldsymbol{v}$ bestimmen
Die Geschwindigkeit $v$ eines Wagens der Achterbahn wird in Sekunden gemessen. Dabei werden folgende Werte aufgezeichnet:
Zeit $t$ in Sekunden $0$ $2$ $4$ $6$ $10$
Geschwindigkeit $v$ in $\frac{m}{s}$ $20$ $10$ $4$ $1,5$ $0$
Ermittle eine Gleichung für die Funktion $v$ in Abhängigkeit von $t$, die die oben gegebenen Punkte enthält. Dabei kannst du erkennen, dass insgesamt $5$ Punkte gegeben sind. Das heißt, es können maximal $5$ unbekannte Parameter bestimmt werden. Anhand der Daten siehst du, dass eine konstante oder lineare Funktion nicht in Frage kommt. Für den nächst höhere Exponent liegt ein kubischer Funktionsterm vor, das heißt, wir haben einen Funktionsterm der folgenden Form:
$v(t)=a \cdot t^3 +b \cdot t^2 + c \cdot t +d$
Mit Hilfe des CAS können wir die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ ermitteln. Wechsle dazu in den Lists & Spreadsheets-Modus. Dort gibst du zunächst die Werte wie im Bild unten an. Wähle dann anschließend unter
4: Statistik $\rightarrow$ 1: $\rightarrow$ 7: Kubsiche Regression
die Option Kubische Regression aus. Gib hierbei an, dass die $X$-Werte der $a\left[\right]$-Spalte entsprechen und die $Y$-Werte der $b\left[\right]$-Spalte. Bestätigen mit Enter liefert dir das Ergebnis wie in der rechten Abbildung.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Der Term der Funktion $v$ lautet damit:
$v(t)=-0,027123 \cdot t^3 +0,708221 \cdot t^2 -6,37197 \cdot t +20,03$
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Flächeninhaltes
Der Graph der Funktion $v$ schließt mit der $t$-Achse im Intervall $\left[ 0;10 \right]$ eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Dazu kannst du das Integral der Funktion $v$ mit den Integralgrenzen $0$ und $10$ bilden:
$\boldsymbol{\displaystyle \int^{10}_0 v(t)\;dt}$
Beachte dabei aber, dass du die Funktion $v$ hinreichend genau angibst, da sonst eventuell fehlerhafte Werte auftreten können.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das CAS liefert dir $\int^{10}_0 v(t)\;dt \approx 50$. Der Graph der Funktion $v$ schließt damit eine Fläche von $50$ FE ein.
$\blacktriangleright$ Interpretation
Wie könnte man diese Messung interpretieren? Betrachte die gegebenen Daten. Gibt es hier irgendwelche Auffälligkeiten?
Anhand der gegebenen Werte kannst du bereits erkennen, dass der Wagen in den $10$ gemessenen Sekunden abbremst, da die Werte sich der Null annähern bzw. der Wagen nach $10$ Sekunden zum Stillstand kommt.
Zeit $t$ in Sekunden $0$ $2$ $4$ $6$ $10$
Geschwindigkeit $v$ in $\frac{m}{s}$ $20$ $10$ $4$ $1,5$ $0$
Zudem weißt du, dass an der $y$-Achse die Geschwindigkeit in $\frac{m}{s}$ abgetragen wird, wohingegen die $t$-Achse die Zeit in $s=$ Sekunden misst. Daraus kannst du schließend, dass die integrierte Fläche gerade dem Bremsweg des Wagens in Metern entspricht.
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Aufgabe a)

$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{g_1}$ und $\boldsymbol{g_3}$ in einem Koordinatensystem darstellen
Das Profil einer Achterbahn wird durch drei Graphen in verschiedenen Abschnitten modelliert. Dabei sind die Graphen zu den Funktionen $g_1$ und $g_3$ bereits durch den folgenden Funktionsterm vorgegeben:
$g_1(x)=-\frac{1}{50.000} \cdot (x + 10)(x-50)^3;\,\,(0 \leq x \leq 50)$
$g_3(x)=5;\,\,(70 \leq x \leq 120)$
Die Übergänge in den Randpunkten des Graphen zur Funktion $g_2$ im Intervall $\left[50;70\right]$ zu den anderen beiden Graphen sollen dabei ohne Knick realisiert werden.
Zeichne zunächst die beiden Graphen zu den Funktionen $g_1$ und $g_3$ im angegebenen Bereich in ein passend gewähltes Koordinatensystem und skizziere anschließend einen möglichen Verlauf des Graphen von $g_2$.
Dazu kannst du das CAS verwenden. Wähle den Graph-Modus aus und lass die Graphen zu $g_1$ und $g_3$ zeichnen.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Zusätzlich kannst du dir eine Wertetabelle anzeigen lassen. Mit Hilfe dieser Informationen kannst du nun den Verlauf der beiden Graphen im entsprechenden Intervall übernehmen. Dein Schaubild sollte dann ungefähr folgendermaßen aussehen:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
$\blacktriangleright$ Graph von $\boldsymbol{g_2}$ skizzieren
Der Abschnitt zwischen den beiden Graphen im Intervall $\left[50;70\right]$ soll durch den Graphen der Funktion $g_2$ dargestellt werden. Du weißt, dass dieser ohne Knick an den Randpunkten in die beiden anderen Graphen übergehen soll. Skizziere einen möglichen Verlauf dementsprechend:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
$\blacktriangleright$ Maximale Höhe der Achterbahn berechnen
Die Achterbahn erreicht ihre maximale Höhe im Bereich $\left[0;50\right]$. Da die maximale Höhe in diesem Fall gerade der $y$-Koordinate des Hochpunktes zum Graphen der Funktion $g_1$ entspricht, kannst du die Funktion $g_1$ auf Maxima untersuchen.
Eine Funktion $g$ hat an der Stelle $x_M$ genau dann ein Maximum, wenn die folgenden beiden Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{g'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{g''(x_M)<0}$
Bilde also in einem ersten Schritt die erste und zweite Ableitung der Funktion $g_1$ und überprüfe anschließend die beiden Bedingungen, um die gesuchte Maximalstelle $x_M$ zu erhalten. Die maximale Höhe entspricht dann gerade der $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Hochpunktes. Diese kannst du bestimmen, indem du $x_M$ in den Funktionsterm von $g_1$ einsetzt.
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
Für die notwendige und hinreichende Bedingung benötigst du die erste und zweite Ableitung der betrachteten Funktion $g_1$. Diese kannst du mit Hilfe des CAS bilden. Wähle dazu im Calculator-Modus die Option:
Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ diff
Definiere zunächst die Funktion $g_1$ und wende anschließend den Befehl zweimal an. Hierbei musst du angeben, dass die Funktion $g_1$ einmal bzw. zweimal nach der Variable $x$ differenziert werden soll.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das liefert dir die folgenden Ableitungsterme:
$g_1'(x)=-\dfrac{3 \cdot(x-50)^2\cdot(x-5)}{12.500}$, $\;g_1''(x)=-\dfrac{(x-50)\cdot(x-20)}{12.500}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Eine Funktion $g_1$ hat an der Stelle $x_M$ eine Maximalstelle, sofern die notwendige Bedingung $\boldsymbol{g_1'(x_M)=0}$ erfüllt wird. Folglich kannst du alle potentiellen Maximalstellen bestimmen, indem du den Term der ersten Ableitungsfunktion $g_1'$ mit Null gleichsetzt und alle $x$-Werte ermittelst, die diese Bedingung erfüllen.
Dazu kannst du den Solve-Befehl des CAS verwenden. Du findest diesen unter:
Interactive $\rightarrow$ Advanced $\rightarrow$ solve
Du erhältst die potentiellen Maximalstellen $\boldsymbol{x_{M1}=5}$ und $\boldsymbol{x_{M2}=50}$.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Zuvor hast du die beiden potentiellen Maximalstellen $x_{M1}=5$ und $x_{M2}=50$ ermittelt. Damit an diesen Stellen aber tatsächlich eine Maximalstelle vorliegt, muss ebenfalls die hinreichende Bedingung $\boldsymbol{g_1''(x_M)<0}$ erfüllt werden. Setze die beiden gefundenen Werte in den Term der zweiten Ableitung ein und berechne.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Damit ist die hinreichende Bedingung nur an der Stelle $x_{M1}=5$ erfüllt:
  • $g_1''(x_{M1}=5)=-\frac{81}{500}<0$
  • $g_1''(x_{M2}=50)=0$
Folglich besitzt die Funktion $g_1$ an der Stelle $\boldsymbol{x_{M1}=5}$ ihr Maximum. Eine Betrachtung der Randwerte kannst du hier vernachlässigen, da du dem Verlauf des Graphen entnehmen kannst, dass keine Randmaxima existieren.
4. Schritt: Maximale Höhe bestimmen
An der Stelle $x_{M1}=5$ erreicht die Funktion $g_1$ ihr Maximum. Das heißt, der zugehörige Graph besitzt an dieser Stelle einen Hochpunkt. Die $y$-Koordinate dieses Hochpunktes entspricht gerade der maximalen Höhe. Berechne diese, indem du $x_{M1}=5$ in den Term der Funktion $g_1$ einsetzt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Die maximale Höhe der Achterbahn beträgt $\dfrac{2.187}{80} \approx 27,34$ Meter.
$\blacktriangleright$ Punkt bestimmen, in dem Gefälle am größten ist
Die Achterbahn besitzt im Intervall $\left[0;50\right]$ einen Punkt $W$, in dem die Bahn am stärksten fällt. Dieser Punkt stellt gerade den Wendepunkt des Graphen zur Funktion $g_1$ dar. Bestimme die Koordinaten des Punktes $W$.
Eine Funktion $g$ hat an der Stelle $x_W$ genau dann eine Wendestelle, wenn die folgenden beiden Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{g''(x_W)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{g'''(x_W) \neq 0}$
Bilde also in einem ersten Schritt die dritte Ableitung der Funktion $g_1$ und überprüfe anschließend die beiden Bedingungen, um die gesuchte Wendestelle $x_W$ zu erhalten. Die Wendestelle entspricht dann gerade der $x$-Koordinate des Wendepunktes. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_W$ in den Funktionsterm von $g_1$ einsetzt.
1. Schritt: Dritte Ableitung bestimmen
Für die notwendige und hinreichende Bedingung benötigst du die zweite und dritte Ableitung der betrachteten Funktion $g_1$. Die zweite Ableitung hast du im Aufgabenteil zuvor schon bestimmt, es fehlt also nur noch die dritte Ableitung. Diese kannst du mit Hilfe des CAS bilden. Wähle dazu im Calculator-Modus die Option:
Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ Diff
Wende den Befehl auf die Funktion $g_1$ an und gib an, dass dreimal nach der Variable $x$ differenziert werden soll.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das liefert dir die folgenden Ableitungsterme:
$g_1''(x)=-\dfrac{3 \cdot(x-50)\cdot(x-20)}{12.500}$, $\;g_1'''(x)=\dfrac{21}{1.250}-\dfrac{3 \cdot x}{6.250}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Eine Funktion $g_1$ hat an der Stelle $x_W$ eine Wendestelle, sofern die notwendige Bedingung $\boldsymbol{g_1''(x_W)=0}$ erfüllt wird. Folglich kannst du alle potentiellen Wendestellen bestimmen, indem du den Term der zweiten Ableitungsfunktion $g_1''$ mit Null gleichsetzt und alle $x$-Werte ermittelst, die diese Bedingung erfüllen.
Dazu kannst du den Solve-Befehl des CAS verwenden. Du findest diesen unter:
Interactive $\rightarrow$ Advanced $\rightarrow$ Solve
Du erhältst die potentiellen Wendestellen $\boldsymbol{x_{W1}=20}$ und $\boldsymbol{x_{W2}=50}$.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Zuvor hast du die beiden potentiellen Wendestellen $x_{W1}=20$ und $x_{W2}=50$ ermittelt. Damit an diesen Stellen aber tatsächlich eine Wendestelle vorliegt, muss ebenfalls die hinreichende Bedingung $\boldsymbol{g_1'''(x_W)\neq 0}$ erfüllt werden. Setze die beiden gefundenen Werte in den Term der dritten Ableitung ein und berechne.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Damit ist die hinreichende Bedingung an beiden Stellen erfüllt:
  • $g_1'''(x_{W1}=20)=\frac{9}{1.250}\neq 0$
  • $g_1'''(x_{W2}=50)=-\frac{9}{1.250}\neq 0$
Anhand des Graphen kannst du jedoch erkennen, dass der Graph zur Funktion $g_1$ an der Stelle $\boldsymbol{x_{W1}=20}$ stärker fällt und damit dort der gesuchte Punkt liegt.
4. Schritt: Koordinaten bestimmen
An der Stelle $x_{W1}=20$ erreicht die Funktion $g_1$ ihr größtes Gefälle, das heißt, der zugehörige Graph besitzt an dieser Stelle einen Wendepunkt. Die $y$-Koordinate kannst du berechnen, indem du $x_{W1}=2$ in den Term der Funktion $g_1$ einsetzt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Der Punkt mit dem stärksten Gefälle im Intervall $\left[ 0;50 \right]$ besitzt die Koordinaten $W \left( 20 \mid \dfrac{81}{5} =16,2\right)$.

Aufgabe b)

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels bestimmen
Im Punkt $P(20 \mid g_1(20))$ trifft ein Sonnenstrahl senkrecht auf die Bahn. Interpretiere diesen Sonnenstrahl als Normale an den Graphen von $g_1$ im Punkt $P$. Diese Normale schneidet wiederum die $x$-Achse unter einem bestimmten Winkel $\alpha$.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Deine Aufgabe ist es, die Größe dieses Winkels zu ermitteln.
Du kannst hierbei in folgenden Schritten vorgehen:
  • 1. Schritt: Bestimme die Gleichung der Normalen durch den Punkt $P$ mit Hilfe des CAS.
  • 2. Schritt: Berechne mit Hilfe der Beziehung $\boldsymbol{tan(\alpha)=m}$ den Winkel $\alpha$.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Normalengleichung angeben
Gib die Gleichung der Normalen im Punkt $P(20 \mid g_1(20)) = P(20 \mid 16,2)$ an. Die Gleichung einer Normalen kannst du mit Hilfe des normalLine(f(x),x,x_0)-Befehls bestimmen. Diesen findest du unter:
Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ line $\rightarrow$ normal
Gib in der Reihenfolge Funktion, Variable und Stelle an, an der die Normale an den Graphen angelegt werden soll.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Die vollständige Normalengleichung lautet damit:
$n(x)=\dfrac{25}{27}\cdot x -\dfrac{313}{135}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Trifft eine Gerade mit der Steigung $m$ auf die $x$-Achse, so gilt für den Schnittwinkel $\alpha$ gerade die folgende Beziehung:
$tan(\alpha)=m \Leftrightarrow \alpha=tan^{-1}(m)$
Verwende diesen Zusammenhang, um den Schnittwinkel der Normalen $n$ mit der $x$-Achse zu berechnen.
Anhand der Normalengleichung kannst du ablesen, dass die Steigung gerade $m=\dfrac{25}{27}$ beträgt. Bedenke, dass du das CAS auf Gradmaß umstellen musst, um korrekte Werte zu erhalten.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das CAS liefert dir, dass für den Schnittwinkel gerade gilt: $\alpha=42,8^\circ$.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte bestimmen
Zu einem anderen Zeitpunkt treffen Sonnenstrahlen im Winkel von $45^\circ$ zur $x$-Achse auf den fallenden Teil der Bahn. In bestimmten Punkten auf der Bahn treffen diese Sonnenstrahlen gerade senkrecht ein. Bestimme diese Punkte.
Gesucht sind also die Punkte auf dem Graphen von $g_1$, in denen die angelegte Normale eine Steigung von $45^\circ$ aufweist. Das heißt, die Normale muss eine Steigung von
$\boldsymbol{tan(45^\circ)=1=m}$
aufweisen. Das sind wiederum gerade die Stellen auf der Bahn, an denen der Graph eine Steigung von $-1$ besitzt. Da die erste Ableitung gerade die Steigung des Graphen angibt, kannst du diese Stellen ermitteln, indem du die $x$-Werte bestimmst, für die gilt:
$\boldsymbol{g_1'(x)=-1}$
Gehe also in den folgenden Schritten vor:
  • Bestimme zunächst alle Stellen, an denen der Graph eine Steigung von $-1$ aufweist. Löse dazu die Gleichung $\boldsymbol{g_1'(x)=-1}$.
  • Berechne die Funktionswerte an diesen Stellen, um die vollständigen Koordinaten der Punkte zu erhalten.
1. Schritt: Stellen mit Steigung $\boldsymbol{-1}$ ermitteln
Mit Hilfe des CAS kannst du alle Stellen ermitteln, die die Gleichung $g_1'(x)=-1$ erfüllen. Verwende dazu den Solve-Befehl wie in der Abbildung unten:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das CAS liefert dir, dass an den Stellen
  • $x_1=-10\cdot (\sqrt{6}-4) \approx 15,51$,
  • $x_2=25$ und
  • $x_3=10\cdot (\sqrt{6}+4) \approx 64,5$
die Steigung des Graphen $-1$ beträgt. Da sich die Stelle $x_3=64,5$ außerhalb des Intervalls $\left[ 0;50 \right]$ befindet, kannst du diese bei der weiteren Betrachtung vernachlässigen.
2. Schritt: Vollständige Koordinaten der Punkte angeben
Du hast nun die Stellen $\boldsymbol{x_1=15,51}$ und $\boldsymbol{x_2=25}$ ermittelt, an denen der Graph die Steigung $-1$ besitzt, bzw. an denen die Sonnenstrahlen in einem $45^\circ$ Winkel auftreffen. Da in der Aufgabenstellung aber nach den Punkten und damit nach den vollständigen Koordinaten gefragt ist, musst du $x_1$ und $x_2$ noch in den Term der Funktion $g_1$ einsetzen:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Die Koordinaten der Punkte lauten: $P_1\left(-10\cdot (\sqrt{6}-4) \mid \dfrac{26 \cdot \sqrt{6} +41}{5}\right)$ und $P_2\left( 25 \mid \dfrac{175}{16} \right)$.

Aufgabe c)

$\blacktriangleright$ Term zur Funktion $\boldsymbol{g_2}$ angeben
Zuvor hast du den Graphen der Funktion $g_2$ im Intervall $\left[ 50;70\right]$ skizziert. Erkläre und beschreibe ein Verfahren, wie ein passender Funktionsterm für $g_2$ gefunden werden kann und bestimme diesen schließlich.
Beachte hierbei, dass der Graph der Funktion $g_1$ ohne Knick in die beiden anderen Graphen übergeht. Das heißt, es müssen folgende $4$ Eigenschaften erfüllt werden:
  • $g_2(50)=g_1(50)$
  • $g_2(70)=g_3(70)$
  • $g_2'(50)=g_1'(50)$
  • $g_2'(70)=g_3'(70)$
Du musst zuvor noch einen geeigneten Funktionstyp wählen, sodass du die gegebenen Eigenschaften einsetzen und so einen passenden Funktionsterm bestimmen kannst.
Betrachte dazu das Schaubild, welches du zur Funktion $g_2$ skizziert hast:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Der Graph der Funktion $g_2$ ist offensichtlich weder konstant noch linear. Ein quadratischer Funktionsterm kann hier ebenfalls nicht in Frage kommen, da der skizzierte Abschnitt nicht parabelförmig ist. Für den nächst höheren Exponenten liegt ein kubischer Funktionsterm vor. Das heißt, wir hätten den folgenden allgemeinen Funktionsterm mit dem zugehörigen Ableitungsterm:
$g_2(x)=a \cdot x^3 +b \cdot x^2 + c \cdot x +d$
$g_2'(x)=3 \cdot a \cdot x^2 +2 \cdot b \cdot x + c$
Hier liegen die $4$ unbekannten Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ vor, außerdem hast du $4$ Eigenschaften gegeben. Damit können alle unbekannten Parameter bestimmt werden. Daher liegt nahe, dass hier tatsächlich kubische Regression vorliegt.
  • Berechne zunächst die gegeben Eigenschaften.
  • Setze diese anschließend in die allgemeinen Funktionsterme ein. Daraus erhältst du schließlich ein lineares Gleichungssystem, welches du nach den unbekannten Parametern $a$, $b$, $c$ und $d$ auflösen kannst.
Mit Hilfe des CAS erhältst du die folgenden Werte:
  • $g_2(50)=g_1(50)=0$
  • $g_2(70)=g_3(70)=5$
  • $g_2'(50)=g_1'(50)=0$
  • $g_2'(70)=g_3'(70)=0$
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Setzt du alle Eigenschaften ein, so erhältst du folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{rll} \text{I}& 0&=&a \cdot (50)^3 +b \cdot (50)^2 + c \cdot (50) +d\\ \text{II}& 5&=&a \cdot (70)^3 +b \cdot (70)^2 + c \cdot (70) +d\\ \text{III}&0&=&3 \cdot a \cdot (50)^2 +2 \cdot b \cdot (50) + c\\ \text{IV}& 0&=&3 \cdot a \cdot (70)^2 +2 \cdot b \cdot (70) + c\\ \end{array}$
Löse dieses lineare Gleichungssystem mit Hilfe des CAS. Gib an, dass insgesamt $4$ Gleichungen mit den Parametern $a$, $b$, $c$ und $d$ existieren. Das liefert dir dann die folgenden Lösung:
Aufgabe B1
Aufgabe B1
$a=-\dfrac{1}{800}$, $\;\;b=\dfrac{9}{40}$, $\;\;c=-\dfrac{105}{8}$, $\;\;d=250$
Ein möglicher Funktionsterm lautet also:
$g_2(x)=-\dfrac{1}{800} \cdot x^3 +\dfrac{9}{40} \cdot x^2-\dfrac{105}{8} \cdot x +250$

Aufgabe d)

$\blacktriangleright$ Gesamte Länge der Bahn berechnen
Ein anderer möglicher Term für die Funktion $g_2$ im Intervall $\left[ 50;70\right]$ lautet:
$g_2(x)=\dfrac{1}{32.000} \cdot (x-50)^2 \cdot (x-90)^2,\;\; 50 \leq x \leq 70$
Die Länge $k$ eines Graphen in einem Intervall $\left[ a;b \right]$ kann wie folgt berechnet werden:
$k= \int_b^a \sqrt{1+ (g_2'(x))^2}$
Deine Aufgabe ist es, die gesamte Länge der Bahn zu bestimmen. Da die Bahn aber durch die Graphen von $3$ unterschiedlichen Funktionen modelliert wird, musst du für jeden Abschnitt die entsprechende Funktion in die oben genannte Formel einsetzen.
Länge der Bahn im Intervall $\boldsymbol{\left[ 0;50 \right]}$ berechnen
Im Bereich $\left[ 0;50 \right]$ wird die Bahn durch den Graphen der Funktion $g_1$ modelliert. Die Länge der Bahn ist hierbei aber bereits mit $\boldsymbol{60}$ Metern angegeben.
Länge der Bahn im Intervall $\boldsymbol{\left[ 50;70 \right]}$ berechnen
Im Bereich $\left[ 50;70 \right]$ wird die Bahn durch den Graphen der Funktion $g_2$ modelliert. Die Länge der Bahn kannst du mit Hilfe der Formel bestimmen.
Definiere dazu die Funktion $g_2$ im CAS und bilde die erste Ableitung. Den Befehl für die Bestimmung eines Integrals findest du unter
Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ $\int$
Das CAS liefert dir, dass die Bahn im Intervall $\left[ 50;70 \right]$ eine Länge von $\boldsymbol{20,74}$ Metern besitzt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Länge der Bahn im Intervall $\boldsymbol{\left[ 70;120 \right]}$ berechnen
Im Bereich $\left[ 70;120 \right]$ wird die Bahn durch den Graphen der Funktion $g_3$ modelliert. Die Länge der Bahn kannst du mit Hilfe der Formel bestimmen.
Definiere dazu die Funktion $g_3$ im CAS und bilde die erste Ableitung. Das CAS liefert dir, dass die Bahn im Intervall $\left[ 70;120 \right]$ eine Länge von $\boldsymbol{50}$ Metern besitzt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Insgesamt ist die Bahn $60+20,74+50=130,74$ Meter lang.

Aufgabe e)

$\blacktriangleright$ Term für die Funktion $\boldsymbol{v}$ bestimmen
Die Geschwindigkeit $v$ eines Wagens der Achterbahn wird in Sekunden gemessen. Dabei werden folgende Werte aufgezeichnet:
Zeit $t$ in Sekunden $0$ $2$ $4$ $6$ $10$
Geschwindigkeit $v$ in $\frac{m}{s}$ $20$ $10$ $4$ $1,5$ $0$
Ermittle eine Gleichung für die Funktion $v$ in Abhängigkeit von $t$, die die oben gegebenen Punkte enthält. Dabei kannst du erkennen, dass insgesamt $5$ Punkte gegeben sind. Das heißt, es können maximal $5$ unbekannte Parameter bestimmt werden. Anhand der Daten siehst du, dass eine konstante oder lineare Funktion nicht in Frage kommt. Für den nächst höhere Exponent liegt ein kubischer Funktionsterm vor, das heißt, wir haben einen Funktionsterm der folgenden Form:
$v(t)=a \cdot t^3 +b \cdot t^2 + c \cdot t +d$
Mit Hilfe des CAS können wir die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ ermitteln. Wechsle dazu in den Statstics-Modus. Dort gibst du zunächst die Werte wie im Bild unten an. Wähle dann anschließend unter
Calc $\rightarrow$ Regression $\rightarrow$ Cubic Reg
die Option Kubische Regression aus. Gib hierbei an, dass die $X$-Werte der $a\left[\right]$-Spalte entsprechen und die $Y$-Werte der $b\left[\right]$-Spalte. Bestätigen mit Enter liefert dir das Ergebnis wie in der rechten Abbildung.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Der Term der Funktion $v$ lautet damit:
$v(t)=-0,027123 \cdot t^3 +0,708221 \cdot t^2 -6,37197 \cdot t +20,03$
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Flächeninhaltes
Der Graph der Funktion $v$ schließt mit der $t$-Achse im Intervall $\left[ 0;10 \right]$ eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Dazu kannst du das Integral der Funktion $v$ mit den Integralgrenzen $0$ und $10$ bilden:
$\boldsymbol{\displaystyle \int^{10}_0 v(t)\;dt}$
Beachte dabei aber, dass du die Funktion $v$ hinreichend genau angibst, da sonst eventuell fehlerhafte Werte auftreten können.
Aufgabe B1
Aufgabe B1
Das CAS liefert dir $\int^{10}_0 v(t)\;dt \approx 50$. Der Graph der Funktion $v$ schließt damit eine Fläche von $50$ FE ein.
$\blacktriangleright$ Interpretation
Wie könnte man diese Messung interpretieren? Betrachte die gegebenen Daten. Gibt es hier irgendwelche Auffälligkeiten?
Anhand der gegebenen Werte kannst du bereits erkennen, dass der Wagen in den $10$ gemessenen Sekunden abbremst, da die Werte sich der Null annähern bzw. der Wagen nach $10$ Sekunden zum Stillstand kommt.
Zeit $t$ in Sekunden $0$ $2$ $4$ $6$ $10$
Geschwindigkeit $v$ in $\frac{m}{s}$ $20$ $10$ $4$ $1,5$ $0$
Zudem weißt du, dass an der $y$-Achse die Geschwindigkeit in $\frac{m}{s}$ abgetragen wird, wohingegen die $t$-Achse die Zeit in $s=$ Sekunden misst. Daraus kannst du schließend, dass die integrierte Fläche gerade dem Bremsweg des Wagens in Metern entspricht.
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