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Pflichtaufgabe B0

Aufgaben
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1 Analysis

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.
1.1
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(2 BE)
1.2
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#tangente#gleichschenkligesdreieck#nullstelle#zentraleraufgabenpool

2 Analysis

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von $10$ Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt $t$ (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung $n(t)= 3t^2-60t+500$ beschrieben werden.
2.1
Bestimme die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde während der ersten beiden Stunden der Messung.
(2 BE)
2.2
Ermittle den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane zeitliche Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde $-30$ beträgt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#änderungsrate

3 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Ebene $E:\, 2x+y-2z = -18.$
3.1
Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x$-Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $y$-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreieckes. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
3.2
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene $E$ ist.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#normalenvektor#ortsvektor

4 Stochastik

Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.
4.1
Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseier jeweils eine Figur enthalten ist.
(2 BE)
4.2
Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:
Abb. 1: I
Abb. 1: I
Abb. 2: II
Abb. 2: II
Abb. 3: III
Abb. 3: III
Gib an, welche Abbildung dies ist.
Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Nullstelle ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=& \frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \frac{1}{2}x&=& \ln\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x&=& 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\[5pt] \end{array}$
$ x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)$
1.2
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit nachweisen
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$, also $m = f'(0)$.
  • $t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f'(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$
Also gilt für die Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f'(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $S$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$
Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$.
2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$. Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$
3. Schritt: Seitenlängen berechnen
Es gilt $\overline{OS} = 1 $, $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$. Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$, $S$ und $S_x$ gleichschenklig.

2 Analysis

2.1
$\blacktriangleright$  Mittlere Änderungsrate bestimmen
Die Funktion $n$ beschreibt die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft. Die mittlere Änderungsrate, beschreibt, wie schnell die Anzahl der Pollen in den ersten beiden Stunden im Schnitt gestiegen bzw. gefallen ist. Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden.
Es geht um die ersten beiden Stunden, wobei $t$ in Stunden nach Messbeginn angegeben ist, also $a=0$ und $b = 2:$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}&=& \dfrac{3\cdot 2^2-60\cdot 2+500 - \left(3\cdot 0^2-60\cdot 0 +500\right)}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 2^2-60\cdot 2}{2}\\[5pt] &=& -54 \end{array}$
$ \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = -54 $
In den ersten beiden Stunden der Messung beträgt die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft $-54\,\frac{1}{\text{h}}$. Die Anzahl der Pollen nimmt also im Schnitt um ca. $54$ pro Stunde ab.
2.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt ermitteln
Da die momentane zeitliche Änderungsrate durch die erste Ableitungsfunktion $n'$ von $n$ beschrieben wird, ist $t$ gesucht mit $n'(t)=-30$.
$\begin{array}[t]{rll} n(t)&=&3t^2-60t+500 \\[10pt] n'(t)&=& 3\cdot 2\cdot t -60 \\[5pt] &=& 6t-60 \end{array}$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} n'(t) &=& -30 \\[5pt] 6t-60 &=& -30 &\quad \scriptsize \mid\; +60 \\[5pt] 6t&=& 30&\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] t&=& 5 \end{array}$
$ t = 5 $
$5$ Stunden nach Beginn der Messung beträgt die momentane zeitliche Änderungsrate der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und _Stunde $-30\,\frac{1}{\text{h}}.$

3 Analytische Geometrie

3.1
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x$-Achse. Für alle Punkte auf der $x$-Achse gilt $(x\mid 0 \mid 0).$ Setze diese in die Ebenengleichung ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x +y -2z &\quad \scriptsize \mid\; y = z =0 \\[5pt] -18&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -9&=&x \end{array}$
$ -9=x $
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Bei dem dritten Eckpunkt handelt es sich um den Schnittpunkt von $E$ mit der $y$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x +y -2z &\quad \scriptsize \mid\; x = z =0\\[5pt] -18&=&y \end{array}$
$ -18 = y $
Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Mit dem Kreuzprodukt kann der Flächeninhalt wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-9\\0\\0}\times \pmatrix{0\\-18\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\162} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+162^2}\\[5pt] &=& 81 \end{array}$
$A = 81 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.
3.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Gesucht ist ein Vektor $\overrightarrow{v}$, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ ist, als auch der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist. Aus der Ebenengleichung kann ein Normalenvektor von $E$ abgelesen werden. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:
$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$.
Durch Einsetzen in die Ebenengleichung erhält man das $t,$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x +y -2z &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{v} = \pmatrix{2t\\ t\\ -2t} \\[5pt] -18&=& 2\cdot 2t + t -2\cdot (-2t) \\[5pt] -18&=&9t &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] -2&=& t \end{array}$
$ -2 = t $
Setze ein:
$\overrightarrow{v} = -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} = \pmatrix{-4\\-2\\4}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$
#kreuzprodukt

4 Stochastik

4.1
$\blacktriangleright$ Term für die Wahrscheinlichkeit angeben
In den ersten acht Zügen sollen keine Überraschungseier mit Figur gezogen werden, in den letzten beiden Zügen sollen Figuren enthalten sein. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$p=0,75^8\cdot 0,25^2$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $10$ Überraschungseiern nur die letzten beiden jeweils eine Figur enthalten, kann mit dem Term $0,75^8\cdot 0,25^2$ berechnet werden.
4.2
$\blacktriangleright$ Richtige Abbildung auswählen und begründen
Die erste Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Der Da $25\,\%$ aller Überraschungseier unabhängig von einander eine Figur enthalten oder nicht, ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine Figur zu enthalten bei jedem Überraschungsei gleich. Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig davon ob sich in den anderen Überraschungseiern der Stichprobe Figuren befinden oder nicht. $X$ kann daher als binomialverteilt mit den Parametern $n=6$ und $p = 0,25$ angenommen werden. Der Erwartungswert von $X$ beträgt daher $6\cdot 0,25 = 1,5.$
Abbildung zwei zeigt eine Gleichverteilung. Da $X$ aber nicht gleichverteilt sondern binomialverteilt ist, kann diese Abbildung nicht die richtige sein.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße gibt den Wert von $X$ mit der größten Wahrscheinlichkeit an. Die höchsten Balken im Diagramm in Abbildung 3 befinden sich aber bei $X=4$ und $X=5,$ nicht bei $X=1$ und $X=2,$ was bei einem Erwartungswert von $1,5$ der Fall sein müsste. Abbildung 3 kann also nicht die richtige sein.
#erwartungswert#binomialverteilung#pfadregeln
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