Aufgabe 2

Anna und Hussam zeichnen nach einem bestimmten Muster Figuren aus grauen und grünen Quadraten.

Abbildung 1: Figur 1

Abbildung 2: Figur 2

Abbildung 3: Figur 3

Abbildung 4: Figur 4

Die Figuren werden fortgesetzt. Skizziere Figur 5.

Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle.

Figur	$6$	$7$
Anzahl aller Quadrate	$36$
Anzahl der grauen Quadrate
Anzahl der grünen Quadrate		$13$

Begründe, dass Hussams Aussage richtig ist: „Die Anzahl der grauen Quadrate beträgt bei keiner Figur genau $200.$ “

Die Anzahl der grünen Quadrate wird mit jeder Figur größer.
Anna und Hussam stellen jeweils einen richtigen Term auf, mit dem sie die Anzahl der grünen Quadrate in Figur $n$ berechnen können:

Anna: $n^2 - (n-1)^2\quad$ Hussam: $2\cdot n-1$

Zeige durch Termumformungen, dass die Terme von Anna und Hussam gleichwertig sind.

Beschreibe für einen der beiden Terme, wie damit die Anzahl der grünen Quadrate berechnet wird.

Entscheide, ob die Anzahl der grünen Quadrate linear, quadratisch oder exponentiell zunimmt.
Begründe deine Antwort.

Anna behauptet: „Die Anzahl der grauen Quadrate wächst schneller als die Anzahl der grünen Quadrate.“
Hat Anna recht? Begründe deine Antwort.

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Figur	$5$	$6$	$7$
Anzahl aller Quadrate	$25$	$36$	$49$
Anzahl der grauen Quadrate	$16$	$25$	$36$
Anzahl der grünen Quadrate	$9$	$11$	$13$

Die grauen Quadrate bilden wiederum gemeinsam ein größeres Quadrat. Die Anzahl der grauen Quadrate ist daher immer eine Quadratzahl. Da $200$ aber keine Quadratzahl ist, kann bei keiner der Figuren die Anzahl der grauen Quadrate $200$ sein.

Forme beispielsweise Annas Term mithilfe der binomischen Formeln um:

$\begin{array}[t]{rll} &n^2-(n-1)^2 \\[5pt] =&n^2 -(n^2-2\cdot 1\cdot n +1^2) \\[5pt] =&n^2 -n^2 +2n -1 \\[5pt] =& 2n-1 \end{array}$

Dies entspricht dem Term von Hussam. Beide Terme sind also gleichwertig.

Lösungsweg Anna:

Anna berechnet zuerst die Gesamzanzahl der kleinen Quadrate mit $n^2$ und zieht anschließend die Anzahl der grauen Quadrate mit $(n-1)^2$ davon ab.

Lösungsweg Hussam:

Hussam zählt die obere grüne Reihe, in der sich $n$ grüne Quadrate befinden und die rechte Spalte, in der sich auch $n$ grüne Quadrate befinden. Das Quadrat oben rechts wurde dabei doppelt gezählt, weshalb $1$ abgezogen werden muss:

$n+n-1 = 2n-1$

Anhand von Hussams Term kann man erkennen, dass die Zunahme der grünen Quadrate linear ist.

Ja, Anna hat recht. Wie oben schon beschrieben, wächst die Anzahl der grünen Quadrate linear. Die Anzahl der grauen Quadrate dagegen ist $(n-1)^2,$ wächst also quadratisch und daher schneller.

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