Aufgabe 2
Aufgabe 2: Schwimmbecken
Familie Sommer hat ein Schwimmbecken gekauft. Das Schwimmbecken ist 1,50 m hoch und hat ein Volumen von 14,43 m
.
a)
Bestätige durch eine Rechnung, dass der Flächeninhalt der Grundfläche des Schwimmbeckens 
beträgt.
beträgt.
b)
Das Becken wird bis 20 cm unterhalb des Randes mit Wasser gefüllt. Berechne, wie viele Liter Wasser in das Becken gefüllt werden.
c)
Das Becken steht auf einer quadratischen Terrasse, die an zwei Seiten jeweils 80 cm übersteht (Abbildung 1). Bestimme rechnerisch die Maße der Terrasse.
Abbildung 1: Skizze des Schwimmbeckens auf der Terrasse
der Wasseroberfläche und vermehren sich täglich um 20%. Das Wachstum der Algen auf der Wasseroberfläche kann mit der folgenden Exponentialfunktion 
beschrieben werden:
ist die Zeit in Tagen; 
ist der Tag der Abreise
d)
Erläutere die Bedeutung der Werte 
und 
sowie die Bedeutung von 
im Zusammenhang mit dem Wachstum der Algen.
und sowie die Bedeutung von im Zusammenhang mit dem Wachstum der Algen.
e)
Berechne, wie viele Quadratmeter der Wasseroberfläche nach 6 Tagen bedeckt sind.
f)
Das Algenwachstum lässt sich mit der Funktionsgleichung nur für einen begrenzten Zeitraumdarstellen. Erkläre, warum dies so ist.
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V &=& G\cdot h \quad \scriptsize \mid\; h= 1,50\,\text{m}; V=14,43\,\text{m}^3 \\[5pt]
14,43\,\text{m}^3 &=& G\cdot 1,50\,\text{m} \quad \scriptsize \mid\; : 1,50\,\text{m} \\[5pt]
9,62\,\text{m}^2 &=& G
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c12c363a13950d50750af4250d3ca1abcc9c9b4ca04300ca0f0dcc9e20c3bc5a_light.svg)
Der Flächeninhalt der Grundfläche des Schwimmbeckens beträgt also 
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{\text{Wasser}} &=& G \cdot(1,50 \,\text{m}-0,20\,\text{m}) \\[5pt]
&=& G \cdot 1,30 \,\text{m} \\[5pt]
&=& 9,62\,\text{m}^2 \cdot 1,30 \,\text{m} \\[5pt]
&=& 12,506\,\text{m}^3 \\[5pt]
&=& 12\,506\,l
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0203dc5533a2e373459fbdd4f0b2e0d770980d73cd2dfee4d9231882b2bbc72f_light.svg)
In das Becken werden 
Liter Wasser gefüllt.
c)
Bezeichne den Radius der Grundfläche 
des Beckens mit 
![\(\begin{array}[t]{rll}
G &=& \pi \cdot r^2 \quad \scriptsize \mid\; G = 9,62\,\text{m}^2\\[5pt]
9,62\,\text{m}^2 &=& \pi \cdot r^2 \quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt]
\dfrac{9,62}{\pi}\,\text{m}^2 &=& r^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt]
1,75\,\text{m} &\approx& r
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2e9dc95f6c6d1cd4b5682be4e33e7fa203169861bed8b8af615d94f475fc1758_light.svg)
Die Terrasse hat die Form eines Quadrats mit folgender Seitenlänge:
des Beckens mit
Die Terrasse hat die Form eines Quadrats mit folgender Seitenlänge:
d)
beschreibt den Anfangsbestand, also den Flächeninhalt der Wasseroberfläche, die am Tag der Abreise von den Algen bedeckt ist, in 
.
ist der Wachstumsfaktor der von den Algen bedeckten Fläche, da diese täglich um 20 % zunimmt.
beschreibt den Flächeninhalt der Wasseroberfläche, die Tage nach der Abreise von den Algen bedeckt ist, in .
e)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(6) &=& 0,5\cdot 1,2^6 \\[5pt]
&\approx& 1,5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/004da7bbfd9c5165336b1c48ada84108a64343d567df9f3d76f35fa950450b86_light.svg)
Nach 
Tagen sind ca. 
der Wasseroberfläche mit Algen bedeckt.
f)
Die Funktion ist eine Exponentialfunktion, die immer weiter, immer schneller und unbegrenzt steigt.
Es steht allerdings nur ein begrenzter Flächeninhalt an Wasseroberfläche zur Verfügung.
Ab einem bestimmten Zeitpunkt würde der Flächeninhalt der bedeckten Wasseroberfläche laut der Funktion größer sein als die Wasseroberfläche groß ist.
Das ist in der Realität nicht möglich. Daher kann das Algenwachstum mit der Funktionsgleichung nur bis zu diesem Zeitpunkt beschrieben werden.
ist eine Exponentialfunktion, die immer weiter, immer schneller und unbegrenzt steigt.
Es steht allerdings nur ein begrenzter Flächeninhalt an Wasseroberfläche zur Verfügung.
Ab einem bestimmten Zeitpunkt würde der Flächeninhalt der bedeckten Wasseroberfläche laut der Funktion
größer sein als die Wasseroberfläche groß ist.
Das ist in der Realität nicht möglich. Daher kann das Algenwachstum mit der Funktionsgleichung nur bis zu diesem Zeitpunkt beschrieben werden.