Aufgabe 2: Lautsprecher
Chris möchte sich einen Lautsprecher kaufen. Er vergleicht dazu Maße und Volumen des zylinderförmigen Modells Echo mit den Maßen und dem Volumen des näherungsweise kugelförmigen Modells Dot (Abbildung 1).
Abbildung 1: Lautsprecher im Vergleich
Das Volumen des zylinderförmigen Modells Echo beträgt ca. 
Berechne die Höhe des Lautsprechers.
Als Näherungslösung berechnet Chris für das Modell Dot das Kugelvolumen. Als Ergebnis erhält er ca. 
Bestätige durch eine Rechnung das Kugelvolumen.
Damit das Modell Dot stabil steht, hat der Hersteller unten ein Kugelsegment abgetrennt. Das Volumen des abgetrennten Kugelsegments (Abbildung 2) wird mit folgender Formel berechnet:
ist die Höhe des abgetrennten Kugelsegments und 
der Radius der Kugel.
Abbildung 2: Kugelsegment einer Kugel mit Maßangaben
Bestätige mit einer Rechnung, dass das Volumen des abgetrennten Kugelsegments ca. 
des Kugelvolumens entspricht.
Chris hat sich das Modell Dot gekauft und erstellt eine Playlist mit Liedern seiner drei Lieblingskünstler (Abbildung 3).
Die Lieder der Playlist lässt er in zufälliger Reihenfolge abspielen.
Erläutere, dass die Wahrscheinlichkeit, als Erstes ein Lied des Sängers Ed Sheeran zu hören, 
beträgt.
Abbildung 3: Playlist mit Künstlern und Liedern
Bei der zufälligen Wiedergabe wird aus der Playlist jedes Lied nur genau einmal abgespielt. Von einer Künstlerin/einem Künstler können aber mehrere Lieder nacheinander gespielt werden. Das Baumdiagramm in Abbildung 4 stellt das Abspielen der ersten beiden Lieder dar.
Ergänze die sechs fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden ersten Lieder von Ed Sheeran stammen.
Abbildung 4: Baumdiagramm
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V_Z &=& 906 \mathrm{~cm^3} \\[5pt]
\pi \cdot r^2 \cdot h &=& 906 \mathrm{~cm^3} \\[5pt]
\pi \cdot (4,4 \mathrm{~cm})^2 \cdot h &=& 906 \mathrm{~cm^3} &\quad\scriptsize\mid\; :\left(\pi \cdot (4,4\mathrm{~cm})^2\right) \\[5pt]
h &=& \dfrac{906\mathrm{~cm^3}}{\pi \cdot (4,4\mathrm{~cm})^2} \\[5pt]
h &\approx& 14,90\mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/fca69ae63fd7fc5dfe25a3a664963c6601d8039015da4d615ec97f4e4285cd69_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V_Z &=& 906 \mathrm{~cm^3} \\[5pt]
\pi \cdot r^2 \cdot h &=& 906 \mathrm{~cm^3} \\[5pt]
\pi \cdot (4,4 \mathrm{~cm})^2 \cdot h &=& 906 \mathrm{~cm^3} &\quad\scriptsize\mid\; :\left(\pi \cdot (4,4\mathrm{~cm})^2\right) \\[5pt]
h &=& \dfrac{906\mathrm{~cm^3}}{\pi \cdot (4,4\mathrm{~cm})^2} \\[5pt]
h &\approx& 14,90\mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/fca69ae63fd7fc5dfe25a3a664963c6601d8039015da4d615ec97f4e4285cd69_dark.svg)
Der zylinderförmige Lautsprecher ist ca. 
hoch.
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot (5,0\mathrm{~cm})^3 \\[5pt] &\approx& 523,60 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &\approx& 524 \mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/54abf439d0bd259688695f6a7f3aebd38ba1860f782dd82c1f5e336524151555_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot (5,0\mathrm{~cm})^3 \\[5pt] &\approx& 523,60 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &\approx& 524 \mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/54abf439d0bd259688695f6a7f3aebd38ba1860f782dd82c1f5e336524151555_dark.svg)
Das Volumen des kugelförmigen Lautsprechers beträgt etwa
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V_{\text{Kugelsegment}}&=&\pi \cdot b^2 \cdot\left(r-\dfrac{b}{3}\right) \\[5pt]
&=&\pi \cdot(1,1 \mathrm{~cm})^2 \cdot\left(5 \mathrm{~cm}-\dfrac{1,1 \mathrm{~cm}}{3}\right) \\[5pt]
&\approx& 17,61 \mathrm{~cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c3de44c3b269389d4d5074578331221f64fd497e57286cfcd4212a634f989407_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V_{\text{Kugelsegment}}&=&\pi \cdot b^2 \cdot\left(r-\dfrac{b}{3}\right) \\[5pt]
&=&\pi \cdot(1,1 \mathrm{~cm})^2 \cdot\left(5 \mathrm{~cm}-\dfrac{1,1 \mathrm{~cm}}{3}\right) \\[5pt]
&\approx& 17,61 \mathrm{~cm}^3
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Damit folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
p &=& \dfrac{V_{\text{Kugelsegment}}}{V_{\text{Kugel}}} \\[5pt]
&=& \dfrac{17,61 \mathrm{~cm}^3}{524 \mathrm{~cm}^3} \\[5pt]
&\approx& 0,03 \\[5pt]
&=& 3 \,\%
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2a182df07570df0cad1ddff07de5f7497ea1e6477985d60dcda9dd2f2a27e2b4_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
p &=& \dfrac{V_{\text{Kugelsegment}}}{V_{\text{Kugel}}} \\[5pt]
&=& \dfrac{17,61 \mathrm{~cm}^3}{524 \mathrm{~cm}^3} \\[5pt]
&\approx& 0,03 \\[5pt]
&=& 3 \,\%
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2a182df07570df0cad1ddff07de5f7497ea1e6477985d60dcda9dd2f2a27e2b4_dark.svg)
Das Volumen des Kugelsegments entspricht etwa des Kugelvolumens.
Da von den zehn Liedern auf der Playliste drei von Ed Sheeran sind, gilt 
Mithilfe der Pfadregel im Baumdiagramm wird die Wahrscheinlichkeit berechnet:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
p(ES; ES) &=& \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{15} \\[5pt]
&\approx& 0,067 \\[5pt]
&=& 6,7\,\%
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d85734f7e382b1bd07cd0343a15d9827051d2ef0948742ea6acd2d502da7cd20_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
p(ES; ES) &=& \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{15} \\[5pt]
&\approx& 0,067 \\[5pt]
&=& 6,7\,\%
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d85734f7e382b1bd07cd0343a15d9827051d2ef0948742ea6acd2d502da7cd20_dark.svg)
Die beiden ersten abgespielten Lieder sind mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 
beide von Ed Sheeran.