Aufgabe 3: Reißzwecke

Eine Reißzwecke ist ein kurzer Nagel mit einem großen Kopf aus Metall. Eine Reißzwecke kann auf dem „Kopf“ oder auf der „Seite“ liegen bleiben (Abbildung 1).

In Hannahs Mathematikunterricht wird in acht Gruppen untersucht, mit welcher Häufigkeit das Ereignis „Seite“ eintritt.

Zwei Nägel in Ansicht von oben und von der Seite.

Abbildung 1: Reißzwecke auf dem Kopf und auf der Seite

Jede Gruppe bekommt dafür Formula: 25 identische Reißzwecken. Die Reißzwecken werden auf den Tisch fallen gelassen. Es werden die Reißzwecken gezählt, die auf der „Seite“ liegen geblieben sind. Die Ergebnisse der Gruppen Formula: A bis Formula: H sind in der folgenden Tabelle festgehalten:

	$Formula: \boldsymbol{A}$ $Formula: \boldsymbol{A}$	$Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$	$Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$	$Formula: \boldsymbol{D}$ $Formula: \boldsymbol{D}$	$Formula: \boldsymbol{E}$ $Formula: \boldsymbol{E}$	$Formula: \boldsymbol{F}$ $Formula: \boldsymbol{F}$	$Formula: \boldsymbol{G}$ $Formula: \boldsymbol{G}$	$Formula: \boldsymbol{H}$ $Formula: \boldsymbol{H}$	Summe
Anzahl der Reißzwecken
„Seite“

Bestimme die relative Häufigkeit des Ereignisses „Seite“ von Gruppe Formula: C in Prozent.

Die Anzahl, wie oft das Ereignis „Seite“ eingetreten ist, unterscheidet sich bei den Gruppen.

Erläutere, warum unterschiedliche Häufigkeiten zu erwarten sind.

(1)

Berechne die fehlenden Summen in der Tabelle.

(2)

Begründe, warum man den Wert Formula: 0{,}6 näherungsweise als Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Seite“ annehmen kann.

Hannah überlegt, wie die Wahrscheinlichkeiten bei einer zweimal hintereinander geworfenen Reißzwecke aussehen. Sie nimmt für das Ergebnis „Seite“ die Wahrscheinlichkeit $Formula: p_{\mathrm{Seite}}=0{,}6$ $Formula: p_{\mathrm{Seite}}=0{,}6$ an.

Vervollständige das Baumdiagramm für den zweifachen Wurf einer Reißzwecke.

Baumdiagramm mit den Merkmalen Seite und Kopf sowie Wahrscheinlichkeitsfeldern.

Abbildung 2: Baumdiagramm zweifacher Wurf einer Reißzwecke

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Hannah beim zweimaligen Werfen mit der Reißzwecke zweimal „Seite“ wirft.

Berechne mit dem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Hannah beim zweimaligen Werfen mit der Reißzwecke genau einmal „Kopf“ wirft.

Hannah hat die Spielregeln geändert, so dass ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $Formula: p=0{,}6^5$ $Formula: p=0{,}6^5$ eintritt.

(1)

Wie könnte Hannah die Spielregeln verändert haben? Nenne eine Möglichkeit.

(2)

Gib ein passendes Ereignis an, das mit der Wahrscheinlichkeit $Formula: p=0{,}6^5$ $Formula: p=0{,}6^5$ eintritt, und erläutere deine Entscheidung.

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$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{17}{14+13+17+19+15+8+21+12}&=&\dfrac{17}{119} \\[5pt] &=&0,1429 \\[5pt] &=&14,29\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{17}{14+13+17+19+15+8+21+12}&=&\dfrac{17}{119} \\[5pt] &=&0,1429 \\[5pt] &=&14,29\,\% \end{array}$

Die relative Häufigkeit ergibt sich somit als $Formula: 14,29\,\%.$ $Formula: 14,29\,\%.$

Es ist fast unmöglich, dass jede Gruppe ihre Reißzwecken unter genau dem gleichen Winkel und aus genau der gleichen Höhe fallen lässt. Somit unterscheidet sich auf ganz natürliche Weise, wie diese auf dem Tisch aufkommen und somit auch wie viele auf der „Seite“ liegen bleiben.

(1)

Für die Summe der Reißzwecken ergibt sich:

Formula: 25+25+25+25+25 $Formula: +25+25+25=8\cdot25=200$ $Formula: +25+25+25=8\cdot25=200$

Für die Summe des Ereignisses „Seite“ folgt:

Formula: 14+13+17+19+15 Formula: +8+21+12=119

(2)

Über die Würfe aller Gruppen gesehen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für „Seite“ wie folgt:

$Formula: \dfrac{119}{200}=0,595\approx0,6$ $Formula: \dfrac{119}{200}=0,595\approx0,6$

Somit kann die Wahrscheinlichkeit näherungsweise als Formula: 0,6 angenommen werden.

Wahrscheinlichkeitsbaum für zweimaliges Werfen einer Münze mit den Ergebnissen Seite und Kopf.

$Formula: p(S;S)=0,6\cdot0,6=0,36$ $Formula: p(S;S)=0,6\cdot0,6=0,36$

Für dieses Ereignis gibt es zwei Möglichkeiten. Mit dem Baumdiagramm folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}{rlll} p&=&0,6\cdot0,4+0,4\cdot0,6 \\[5pt] &=&0,24+0,24 \\[5pt] &=&0,48 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p&=&0,6\cdot0,4+0,4\cdot0,6 \\[5pt] &=&0,24+0,24 \\[5pt] &=&0,48 \end{array}$

(1)

Hannah könnte die Spielregeln so verändert haben, dass ab jetzt die Reißzwecke fünfmal geworfen wird.

(2)

Ein passendes Ereignis wäre, dass die Reißzwecke bei allen fünf Würfen auf der Seite landet. Da die Wahrscheinlichkeit für „Seite“ bei einem Wurf Formula: 0,6 beträgt, folgt die gegebene Wahrscheinlichkeit von Formula: 0,6^5.

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