Aufgabe 3: Dreieck

Abbildung 1 zeigt das Dreieck Formula: ABC mit vorgegebenen Maßangaben.

Begründe mithilfe einer Rechnung, dass das Dreieck Formula: ABC beim Punkt Formula: C einen rechten Winkel hat.

Zeige rechnerisch, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks $Formula: 24 \mathrm{~cm}^2$ $Formula: 24 \mathrm{~cm}^2$ groß ist.

Begründe, dass die folgende Gleichung gilt:

$Formula: \dfrac{a \cdot b}{2}=\dfrac{c \cdot h_c}{2}$ $Formula: \dfrac{a \cdot b}{2}=\dfrac{c \cdot h_c}{2}$

Dreieck ABC, Basis c=10 cm, Seiten b=8 cm, a=6 cm, Höhe h_c von C auf AB, Winkel α bei A, β bei B.

Abbildung 1: Dreieck $Formula: \scriptsize{ABC}$ $Formula: \scriptsize{ABC}$ mit Maßangaben

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke Formula: h_c.

Bestimme rechnerisch die Größe des Winkels $Formula: \alpha.$ $Formula: \alpha.$

Gegeben ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit der Basis $Formula: c = 10 \mathrm{~cm}$ $Formula: c = 10 \mathrm{~cm}$ und den beiden Schenkeln Formula: a und Formula: b.

Skizziere eine geeignete Planfigur.
Berechne die Länge der Schenkel.

Kai behauptet: „Es gibt auch ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.“

Entscheide begründet, ob Kais Behauptung stimmt.

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Das Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt. Da Formula: c die Hypotenuse ist, folgt: Formula: c:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} a^2 + b^2 &=& c^2 \\[5pt] (6 \mathrm{~cm})^2+(8 \mathrm{~cm})^2 &=& (10 \mathrm{~cm})^2 \\[5pt] 36 \mathrm{~cm}^2+64 \mathrm{~cm}^2 &=&100 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] 100 \mathrm{~cm}^2 &=&100 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} a^2 + b^2 &=& c^2 \\[5pt] (6 \mathrm{~cm})^2+(8 \mathrm{~cm})^2 &=& (10 \mathrm{~cm})^2 \\[5pt] 36 \mathrm{~cm}^2+64 \mathrm{~cm}^2 &=&100 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] 100 \mathrm{~cm}^2 &=&100 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Die Gleichung stimmt, der Satz des Pythagoras gilt also. Somit muss das Dreieck rechtwinklig sein.

Da das Dreieck rechtwinklig bei Formula: C ist, kann Formula: a als Grundseite und Formula: b als zugehörige (senkrecht zu stehende) Höhe angesehen werden. Somit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}A &=& \dfrac{a \cdot b}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{6 \mathrm{~cm} \cdot 8 \mathrm{~cm}}{2} \\[5pt]&=&24 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}A &=& \dfrac{a \cdot b}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{6 \mathrm{~cm} \cdot 8 \mathrm{~cm}}{2} \\[5pt]&=&24 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Der linke Teil der Gleichung entspricht der Formel für die Flächenberechnung bei Dreiecken, denn Formula: a und Formula: b sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks und stehen folglich senkrecht zueinander. Kathete kann als Grundseite Formula: g und Kathete als zugehörige Höhe Formula: h gesehen werden. Der rechte Teil der Gleichung entspricht ebenso der Formel für die Flächenberechnung bei Dreiecken. Die Seite Formula: c entspricht der Grundseite und Formula: h_c der zugehörigen Höhe Formula: h. Damit entsprechen beide Teile der Gleichung dem Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks.

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{c \cdot h_c}{2} \\[5pt] 24 \mathrm{~cm}^2 &=&\dfrac{10 \mathrm{~cm} \cdot h_c}{2} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \dfrac{2}{10\mathrm{~cm}} \\[5pt] \dfrac{24 \mathrm{~cm}^2 \cdot 2}{10 \mathrm{~cm}}&=& h_c \\[5pt] 4,8 \mathrm{~cm} &=& h_c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{c \cdot h_c}{2} \\[5pt] 24 \mathrm{~cm}^2 &=&\dfrac{10 \mathrm{~cm} \cdot h_c}{2} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \dfrac{2}{10\mathrm{~cm}} \\[5pt] \dfrac{24 \mathrm{~cm}^2 \cdot 2}{10 \mathrm{~cm}}&=& h_c \\[5pt] 4,8 \mathrm{~cm} &=& h_c \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{a}{c} \\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{6 \mathrm{~cm}}{10 \mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \sin^{-1}(0,6) \\[5pt]\alpha &\approx& 36,9^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{a}{c} \\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{6 \mathrm{~cm}}{10 \mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \sin^{-1}(0,6) \\[5pt]\alpha &\approx& 36,9^{\circ} \end{array}$

Planfigur

Dreieck ABC mit Basis c=10 cm, Seiten a und b, Winkel α bei A, β bei B und Spitze C.

Länge der Schenkel

Da das Dreieck gleichschenklig ist gilt $Formula: \alpha = \beta.$ $Formula: \alpha = \beta.$ Aufgrund der Innenwinkelsumme von Dreiecken gilt somit $Formula: \alpha = 45^{\circ}.$ $Formula: \alpha = 45^{\circ}.$ Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{a}{c} \\[5pt] \sin \left(45^{\circ}\right)&=& \dfrac{a}{10 \mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 10 \mathrm{~cm} \\[5pt] 10 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(45^{\circ}\right)&=& a \\[5pt] 7,1 \mathrm{~cm}&\approx& a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{a}{c} \\[5pt] \sin \left(45^{\circ}\right)&=& \dfrac{a}{10 \mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 10 \mathrm{~cm} \\[5pt] 10 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(45^{\circ}\right)&=& a \\[5pt] 7,1 \mathrm{~cm}&\approx& a \end{array}$

Die Schenkel Formula: a und Formula: b haben somit beide eine Länge von $Formula: 7,1 \mathrm{~cm}.$

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß. Da die Innenwinkelsumme im Dreieck immer $Formula: \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$ $Formula: \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$ beträgt, muss jeder der drei Winkel genau $Formula: 60^{\circ}$ $Formula: 60^{\circ}$ groß sein. Somit kann es kein rechtwinkliges Dreieck sein. Kais Behauptung ist falsch.

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