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Aufgabe 2

Aufgaben
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Kaffee ist das Lieblingsgetränk in Deutschland. Im Durchschnitt trinkt jede Person etwa $165$ Liter Kaffee im Jahr, davon $5\,\%$ aus Pappbechern.
a)
Berechne, wie viele Liter Kaffee jede Person durchschnittlich im Jahr aus Pappbechern trinkt.
Pro Jahr benutzt jede Person durchschnittlich ca. $34$ Pappbecher. In Deutschland leben derzeit ca. $82$ Millionen Menschen. Karin behauptet: „Jede Stunde werden in Deutschland ungefähr $320.000$ Pappbecher in den Müll geworfen.“
b)
Hat Karin recht? Begründe.
Kaffeebecher
Abb. 1: Kaffeebecher nebeneinander
Kaffeebecher
Abb. 1: Kaffeebecher nebeneinander
Kegelstumpf
Abb. 2: Kegelstumpf
Kegelstumpf
Abb. 2: Kegelstumpf
#kegel
e)
Karin berechnet das Volumen näherungsweise mit der Formel für den Zylinder. Als Radius nimmt sie den Mittelwert der beiden Radien des Kegelstumpfes, die Höhe bleibt gleich.
Karin behauptet: „Das Ergebnis weicht um weniger als $1\,\%$ vom Ergebnis des Kegelstumpfvolumens ab.“ Hat sie recht= Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.
#zylinder#mittelwert
Kaffeetemperatur
Abb. 3: Temperatur des Kaffees zu verschiedenen Zeiten
Kaffeetemperatur
Abb. 3: Temperatur des Kaffees zu verschiedenen Zeiten
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Menge des Kaffees aus Pappbechern berechnen
Insgesamt trinkt jede Person im Schnitt $165$ Liter Kaffee pro Jahr. Davon werden $5\,\%$ aus Pappbechern getrunken.
$165\cdot \frac{5\,\%}{100\,\%} = 8,25$
Jede Person trinkt im Jahr durchschnittlich $8,25$ Liter Kaffee aus Pappbechern.
#prozent
b)
$\blacktriangleright$  Behauptung überprüfen
Die Gesamtzahl der pro Jahr verbrauchten Pappbecher in Deutschland beträgt:
$34 \cdot 82.000.000 = 2.788.000.000$
Berechne nun wie viele Pappbecher insgesamt pro Tag verbraucht werden:
$2.788.000.000 :365$ $= 7.638.356,164$
Pro Stunde sind es also:
$7.638.356,164 : 24$ $= 318.264,8402$
Gerundet sind dies ca. $320.000.$ Karin hat also recht. Pro Stunde werden in Deutschland ca. $320.000$ Pappbecher in den Müll geworfen.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage bestätigen
1. Schritt: Einheiten umrechnen
Die Länge und die Breite der Halle sind in Metern angegeben, der Durchmesser eines Bechers ist in Zentimetern angegeben:
$27\,\text{m} = 2.700 \,\text{cm}$ und $45\,\text{m} = 4.500\,\text{cm}$
2. Schritt: Anzahl der Becher entlang der Hallenlänge berechnen
Runde auf ganze Zahlen ab, da nur ganze Becher aufgestellt werden können.
$4.500\,\text{cm} : 7\,\text{cm} \approx 642$
Entlang der Länge der Halle können also $642$ Becher nebeneinander aufgestellt werden.
3. Schritt: Anzahl der Becher entlang der Hallenbreite berechnen
Runde auf ganze Zahlen ab, da nur ganze Becher aufgestellt werden können.
$2.700\,\text{cm} : 7\,\text{cm} \approx 385$
Entlang der Breite der Halle können also $385$ Becher nebeneinander aufgestellt werden.
4. Schritt: Anzahl der Becher pro Hallenboden berechnen
Insgesamt kann der Hallenboden also mit einem Rechteck aus Bechern bedeckt werden, das $642$ Becher lang und $385$ Becher breit ist:
$642\cdot 385 = 247.170$
In der Sporthalle können also nur $247.170$ Pappbecher aufgestellt werden, nicht $320.000.$
d)
$\blacktriangleright$  Volumen bestätigen
Setze die gegebenen Maße in die Formel für das Volumen ein:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \left(r_1^2 +r_1\cdot r_2 +r_2^2 \right) \cdot \dfrac{\pi \cdot h}{3} \\[5pt] &=& \left((3\,\text{cm})^2 +3\,\text{cm}\cdot 3,5\,\text{cm} +(3,5\,\text{cm})^2 \right) \cdot \dfrac{\pi \cdot 8,5\,\text{cm}}{3} \\[5pt] &\approx& 283\,\text{cm}^3 \\[5pt] &\approx& 280\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 280\,\text{m}l \\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 283\,\text{cm}^3 $
Das Volumen eines solchen Bechers beträgt also ca. $280\,\text{m}l.$
e)
$\blacktriangleright$  Behauptung überprüfen
1. Schritt: Volumen des Zylinders berechnen
Der Mittelwert der beiden Radien ist:
$r=\dfrac{r_1+r_2}{2} = \dfrac{3\,\text{cm} + 3,5\,\text{cm}}{2} = 3,25\,\text{cm}$
$ r = 3,25\,\text{cm} $
Die Höhe bleibt mit $h= 8,5\,\text{cm}$ gleich.
Setze die Werte in die Formel für das Volumen eines Zylinders ein:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot (3,25\,\text{cm})^2 \cdot 8,5\,\text{cm}\\[5pt] &\approx& 282 \,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 282\,\text{m}l \\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 282\,\text{m}l$
2. Schritt: Volumina vergleichen
Das Ergebnis des Kegelstumpfvolumens ist $283\,\text{m}l.$
$\dfrac{283\,\text{m}l- 282\,\text{m}l}{283\,\text{m}l}\cdot 100\,\% \approx 0,4\,\%$
$ … 0,4\,\% $
Das Ergebnis der näherungsweisen Berechnung weicht also tatsächlich um weniger als $1\,\%$ von dem des Kegelstumpfes ab. Karin hat recht.
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung zuordnen
Betrachte die Abbildung. Du erhältst folgende Anhaltspunkte:
  • Der Graph schneidet bei $(0\mid 80)$ die $y$-Achse.
  • Der Graph verläuft durch den Punkt $(45\mid 5).$
(i)
$\begin{array}[t]{rll} T_1(0)&=&80\cdot 0,94^0 &= 80 \\[5pt] T_1(45)&=& 80\cdot 0,94^45 &\approx 5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} T_1(0)&= 80 \\[5pt] T_1(45)&\approx 5 \end{array}$
Die erste Funktionsgleichung erfüllt also beide Bedingungen.
(ii)
$\begin{array}[t]{rll} T_2(0)&=& 0,94^0 +80 &= 81 \\[5pt] T_2(45)&=& 0,94^45 +80&\approx 80 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} T_2(0)&= 81 \\[5pt] T_2(45)&\approx 80 \end{array}$
Die zweite Funktionsgleichung erfüllt also beide Bedingungen nicht.
(ii)
$\begin{array}[t]{rll} T_3(0)&=& 80\cdot 1,8^0 &= 80 \\[5pt] T_3(45)&=& 80\cdot 1,8^45&\approx 2\cdot 10^{13} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} T_3(0)&= 80 \\[5pt] T_3(45)&\approx 2\cdot 10^{13} \end{array}$
Die dritte Funktionsgleichung erfüllt die zweite Bedingung nicht.
Die einzige Funktionsgleichung, die zum Graphen passt, ist die erste.
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