Aufgabe 2
Kaffee ist das Lieblingsgetränk in Deutschland. Im Durchschnitt trinkt jede Person etwa 
Liter Kaffee im Jahr, davon 
aus Pappbechern.
Pappbecher. In Deutschland leben derzeit ca. 
Millionen Menschen. Karin behauptet: „Jede Stunde werden in Deutschland ungefähr 
Pappbecher in den Müll geworfen.“
Abbildung 1: Kaffeebecher nebeneinander
Der abgebildete Graph stellt eine gute Näherung für den Abkühlungsprozess dar.
Liter Kaffee im Jahr, davon aus Pappbechern.
a)
Berechne, wie viele Liter Kaffee jede Person durchschnittlich im Jahr aus Pappbechern trinkt.
Pro Jahr benutzt jede Person durchschnittlich ca. Pappbecher. In Deutschland leben derzeit ca. Millionen Menschen. Karin behauptet: „Jede Stunde werden in Deutschland ungefähr Pappbecher in den Müll geworfen.“
b)
Hat Karin recht? Begründe.
Die obere Öffnung eines handelsüblichen Pappbechers hat einen Durchmesser von 
Abbildung 1: Kaffeebecher nebeneinander
c)
Der Boden einer Sporthalle mit 
Breite und 
Länge reicht nicht aus, um Becher so wie in Abbildung 1 nebeneinander aufzustellen.
Bestätige dies durch eine Rechnung.
Breite und Länge reicht nicht aus, um Becher so wie in Abbildung 1 nebeneinander aufzustellen.
Bestätige dies durch eine Rechnung.
Ein Pappbecher hat die Form eines Kegelstumpfes (Abbildung 2). Das Volumen des Kegelstumpfes lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
Abbildung 2: Kegelstumpf
d)
Der Pappbecher hat folgende Maße:
und 
Bestätige mithilfe der angegebenen Formel, dass das Volumen eines solchen Bechers ca. 
beträgt.
und
Bestätige mithilfe der angegebenen Formel, dass das Volumen eines solchen Bechers ca. beträgt.
e)
Karin berechnet das Volumen näherungsweise mit der Formel für den Zylinder. Als Radius nimmt sie den Mittelwert der beiden Radien des Kegelstumpfes, die Höhe bleibt gleich.
Karin behauptet: „Das Ergebnis weicht um weniger als
vom Ergebnis des Kegelstumpfvolumens ab.“ Hat sie recht? Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.
Karin misst die Temperatur des Kaffees zu verschiedenen Zeiten. Sie stellt die Messwerte graphisch dar (Abbildung 3).
Karin behauptet: „Das Ergebnis weicht um weniger als
vom Ergebnis des Kegelstumpfvolumens ab.“ Hat sie recht? Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.
Der abgebildete Graph stellt eine gute Näherung für den Abkühlungsprozess dar.
Abbildung 3: Temperatur des Kaffees zu verschiedenen Zeiten
f)
Entscheide, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört. Begründe deine Entscheidung.
(I)
(II)
(III)
a)
Insgesamt trinkt jede Person im Schnitt Liter Kaffee pro Jahr. Davon werden aus Pappbechern getrunken.
Jede Person trinkt im Jahr durchschnittlich 
Liter Kaffee aus Pappbechern.
Liter Kaffee pro Jahr. Davon werden aus Pappbechern getrunken.
Jede Person trinkt im Jahr durchschnittlich Liter Kaffee aus Pappbechern.
b)
Die Gesamtzahl der pro Jahr verbrauchten Pappbecher in Deutschland beträgt:
Daraus wird berechnet, wie viele Pappbecher insgesamt pro Tag verbraucht werden:
Pro Stunde sind es also:
Gerundet sind dies ca. 
Karin hat also recht.
Daraus wird berechnet, wie viele Pappbecher insgesamt pro Tag verbraucht werden:
Pro Stunde sind es also:
Gerundet sind dies ca. Karin hat also recht.
c)
1. Schritt: Einheiten umrechnen
Die Länge und die Breite der Halle sind in Metern angegeben, der Durchmesser eines Bechers ist in Zentimetern angegeben:
2. Schritt: Anzahl der Becher entlang der Hallenlänge berechnen
Da nur ganze Becher aufgestellt werden können, wird auf ganze Zahlen abgerundet:
Entlang der Länge der Halle können also 
Becher nebeneinander aufgestellt werden.
3. Schritt: Anzahl der Becher entlang der Hallenbreite berechnen
Wie oben wird auf ganze Zahlen abgerundet.
Entlang der Breite der Halle können also 
Becher nebeneinander aufgestellt werden.
4. Schritt: Anzahl der Becher pro Hallenboden berechnen
Insgesamt kann der Hallenboden also mit einem Rechteck aus Bechern bedeckt werden, das Becher lang und Becher breit ist:
In der Sporthalle können also nur 
Pappbecher aufgestellt werden, nicht 
2. Schritt: Anzahl der Becher entlang der Hallenlänge berechnen
Da nur ganze Becher aufgestellt werden können, wird auf ganze Zahlen abgerundet:
Entlang der Länge der Halle können also Becher nebeneinander aufgestellt werden.
3. Schritt: Anzahl der Becher entlang der Hallenbreite berechnen
Wie oben wird auf ganze Zahlen abgerundet.
Entlang der Breite der Halle können also Becher nebeneinander aufgestellt werden.
4. Schritt: Anzahl der Becher pro Hallenboden berechnen
Insgesamt kann der Hallenboden also mit einem Rechteck aus Bechern bedeckt werden, das Becher lang und Becher breit ist:
In der Sporthalle können also nur Pappbecher aufgestellt werden, nicht
d)
Das Volumen eines solchen Bechers beträgt also ca. 
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=& \left(r_1^2 +r_1\cdot r_2 +r_2^2 \right) \cdot \dfrac{\pi \cdot h}{3} \\[5pt]
&=& \left((3\,\text{cm})^2 +3\,\text{cm}\cdot 3,5\,\text{cm} +(3,5\,\text{cm})^2 \right) \cdot \dfrac{\pi \cdot 8,5\,\text{cm}}{3} \\[5pt]
&\approx& 283\,\text{cm}^3 \\[5pt]
&=& 283\,\text{m}l \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ebb51df643f4107c21609f964b9b218ec36f29e633fa017408d8ab012526b4cf_light.svg)
e)
1. Schritt: Volumen des Zylinders berechnen
Der Mittelwert der beiden Radien ist:
Die Höhe bleibt mit 
gleich.
Werte in die Formel für das Volumen eines Zylinders einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt]
&=& \pi \cdot (3,25\,\text{cm})^2 \cdot 8,5\,\text{cm}\\[5pt]
&\approx& 282 \,\text{cm}^3 \\[5pt]
&=& 282\,\text{m}l \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/91c62246cfb8e72faf4f9f3426971da585bccff4396185846b0ae8c6508e10ed_light.svg)
2. Schritt: Volumina vergleichen
Das Ergebnis des Kegelstumpfvolumens ist 
Das Ergebnis der näherungsweisen Berechnung weicht also tatsächlich um weniger als von dem des Kegelstumpfes ab. Karin hat recht.
Die Höhe bleibt mit gleich.
Werte in die Formel für das Volumen eines Zylinders einsetzen:
2. Schritt: Volumina vergleichen
Das Ergebnis des Kegelstumpfvolumens ist
Das Ergebnis der näherungsweisen Berechnung weicht also tatsächlich um weniger als von dem des Kegelstumpfes ab. Karin hat recht.
f)
Aus der Abbildung kann Folgendes abgelesen werden:
Die erste Funktionsgleichung erfüllt also beide Bedingungen.
Die zweite Funktionsgleichung erfüllt also beide Bedingungen nicht.
Die dritte Funktionsgleichung erfüllt die zweite Bedingung nicht.
Die einzige Funktionsgleichung, die zum Graphen passt, ist die erste.
- Der Graph schneidet bei
die 
-Achse. - Der Graph verläuft durch den Punkt
(I)
Die erste Funktionsgleichung erfüllt also beide Bedingungen.
(II)
Die zweite Funktionsgleichung erfüllt also beide Bedingungen nicht.
(III)
Die dritte Funktionsgleichung erfüllt die zweite Bedingung nicht.