Aufgabe 3

Aufgabe 3: Würfel

Monya und Paul haben eine Kiste mit 500 gleichen Würfeln. Mit 3 Würfeln legen sie Figur 1 und erweitern diese Figur schrittweise (Abbildung 1).

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Abbildung 1

Wie viele Würfel benötigt man für Figur 4? Ergänze den Wert in der Tabelle.

Figur	Anzahl der Würfel
1	3
2	8
3	15
4

Die Anzahl der Würfel für Figur $n$ kann mit folgendem Term berechnet werden:

$(\text{I})\quad n \cdot (n+2)$

Bestimme mithilfe des Terms die Anzahl der Würfel für Figur 8.

Begründe anhand der Figuren in Abbildung 1, dass mit dem Term die Anzahl der Würfel für jede beliebige Figur $n$ berechnet wird.

Berechne mit dem Term, welche Figur $n$ aus genau 224 Würfeln besteht.

Die Anzahl der Würfel für Figur $n$ kann mit den beiden Termen berechnet werden:

$(\text{I})\quad n\cdot(n+2)$

$(\text{II})\quad (n+1)^{2}-1$

Zeige durch Termumformungen, dass die Terme $(\text{I})$ und $(\text{II})$ gleichwertig sind.

Bestimme die größtmögliche Figur $n,$ die Monya und Paul mit 500 Würfeln legen können und gib an, wie viele Würfel zum Legen der nächsten Figur fehlen.

Figur	Anzahl der Würfel
1	3
2	8
3	15
4	24

$8\cdot (8+2) = 8\cdot 10 = 80$

Die Anzahl der Würfel für Figur 4 beträgt $80.$

Die Höhe von Figur 1 ist 1 Würfel. Mit jeder Figur nimmt die Höhe um einen Würfel zu. Die Höhe der Figur $n$ ist also $n$ Würfel.
Die Breite von Figur 1 ist $3=1+2$ Würfel. Mit jeder Figur nimmt auch die Breite um einen Würfel zu. Die Breite von Figur $n$ ist also $n+2.$
Die Figuren bilden jeweils ein Rechteck. Also ist die Anzahl der Würfel von Figur $n:$ $n\cdot (n+2).$

$\begin{array}[t]{rll} 224 &=& n\cdot (n+2) \\[5pt] 224 &=& n^2 +2n \quad \scriptsize \mid\; -224 \\[5pt] 0 &=& n^2 +2n -224 \quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel} \\[5pt] n_{1/2} &=& -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{2}{2}\right)^2 -(-224)} \\[5pt] &=& -1 \pm 15 \\[10pt] n_1 &=& -16 \\[5pt] n_2 &=& 14 \end{array}$

Eine negative Anzahl ist im Sachzusammenhang nicht möglich. Figur 14 besteht also aus genau 224 Würfeln.

$\begin{array}[t]{rll} (n+1)^2-1&=& n^2+2n+1-1 \\[5pt] &=& n^2+2n \\[5pt] &=& n\cdot (n+2) \end{array}$

Beide Terme sind also gleichwertig.

Es ist bekannt, dass Figur 14 aus 224 Würfeln besteht. Es werden also systematisch größere Werte für $n$ ausprobiert:

$20\cdot 22 = 440$

$21\cdot 23 = 483$

$22\cdot 24 = 528$

Für Figur 22 haben Monya und Paul also nicht genug Würfel.
Monya und Paul können mit 500 Würfeln höchstens Figur 21 legen. Zur nächstgrößeren Figur fehlen ihnen 28 Würfel.