Teil 2

Aufgabe 1: Rösti

Ein Unternehmen stellt nach eigenem Rezept aus Kartoffeln sogenannte Rösti her (Abbildung 1 und 2). Dazu wird der Teig in eine zylindrische Form gegossen (Abbildung 3) und anschließend gebacken. Für ein Rösti benötigt man 100 g Teig.

Abbildung 1: Rösti aus Kartoffeln

Rezept für Rösti-Teig

520 g geriebene Kartoffeln

1 Ei (ca. 60 g)

110 g Paniermehl

20 g Gewürze

Abbildung 2: Rezept für Rösti-Teig

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Abbildung 3: zylindrische Form

Zeige rechnerisch, dass aus der Teigmenge eines Rezeptes sieben Rösti hergestellt werden können (Abbildung 2).

$100 \,\text{g}$ Teig haben ein Volumen von $81\,\text{cm}^3.$

Berechne, wie viel Gramm ein Kubikzentimeter Teig wiegt.

Ein Rösti soll $2 \,\text{cm}$ dick sein und ein Volumen von $81\,\text{cm}^3$ haben.

Zeige, dass die zylindrische Form einen Durchmesser von ca. $7,2 \,\text{cm}$ haben muss.

Das Unternehmen möchte zusätzlich Mini-Rösti herstellen. Ein Mini-Rösti soll auch $2\,\text{cm}$ dick sein, aber nur das halbe Volumen haben.

Ein Mitarbeiter behauptet: „Für ein Mini-Rösti brauchen wir eine Form mit halbem Durchmesser!“

Hat er recht? Begründe deine Entscheidung.

Bevor die Rösti verpackt werden, wird zuerst das Gewicht und dann das Aussehen kontrolliert. Alle Rösti, deren Gewicht oder deren Aussehen nicht der Vorgabe entsprechen, werden aussortiert. Das Baumdiagramm zeigt die Anteile. Die Anteile werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeit gedeutet.

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Ergänze die fehlenden Angaben im Baumdiagramm.

Berechne, wie viel Prozent der Rösti insgesamt den Vorgaben entsprechen.

Das Unternehmen kontrolliert an einem Tag 10 000 Rösti.

Wie viele Rösti werden vermutlich aussortiert, weil sie nicht den Vorgaben entsprechen?

Notiere deine Rechnung.

Aufgabe 2: Wassermelonen

Für ein Schulprojekt beschäftigt sich Sinja mit der Form und dem Wachstum von Wassermelonen.

Sinja hat eine nahezu kugelförmige Wassermelone gekauft, die einen Durchmesser von ca. 25 cm hat (Abbildung 1).

Abbildung 1: aufgeschnittene Wassermelone

Zeige rechnerisch, dass diese Wassermelone ein Volumen von $V\approx8\,200 \,\text{cm}^3$ hat.

Die Schale der Wassermelone hat eine Dicke von 1,5 cm (Abbildung 1).

Berechne den prozentualen Anteil des Fruchtfleisches an der ganzen Wassermelone.

Sinja entdeckt würfelförmige Wassermelonen, die in Japan verkauft werden (Abbildung 2).

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Abbildung 2: würfelförmige Wassermelone

Eine würfelförmige Wassermelone hat ebenfalls ein Volumen von $V= 8\,200\,\text{cm}^3$

Bestätige durch eine Rechnung, dass diese Wassermelone eine Kantenlänge von ca. $20,2\,\text{cm}$ hat.

Entscheide durch eine Rechnung, ob die kugelförmige oder die würfelförmige Wassermelone eine größere Oberfläche hat.

Wassermelonen verdoppeln ihr Gewicht pro Woche unter idealen Wachstumsbedingungen. Sinja überlegt, wie sich das Gewicht einer 400 g schweren Wassermelone unter idealen Bedingungen voraussichtlich entwickelt. Sie erstellt dazu eine Tabelle.

Beobachtungswoche	Gewicht in $g$
0	400
1	800
2	1600
...	...

Berechne das Gewicht der Wassermelone nach 4 Wochen.

Sinja behauptet: „Der Graph in Abbildung 3 beschreibt das Wachstum dieser Wassermelone.“

Hat Sinja recht? Begründe deine Entscheidung.

Abbildung 3: Graph zum Wachstum der Wassermelone

Aufgabe 3: Parabel und Rechteck

Julia zeichnet mithilfe einer Geometriesoftware die Parabel $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=-0,5x^2+5,5$ in ein Koordinatensystem (Abbildung 1).

Abbildung 1: Parabel $f$ und Rechteck $A_1B_1C_1D_1$

Bestätige durch eine Rechnung, dass der Punkt $A_1(3\mid 1)$ auf der Parabel $f$ liegt.

Begründe mit den Eigenschaften dieser Parabel, dass der Punkt $B_1(-3\mid 1)$ ebenfalls auf dem Graphen von $f$ liegt.

Die Punkte $C_1$ und $D_1$ liegen auf der $x$ -Achse und bilden mit den Punkten $A_1$ und $B_1$ das Rechteck $A_1B_1C_1D_1$ .

Berechne den Umfang dieses Rechtecks.

Ausgehend von anderen Punkten auf der Parabel $f$ kann man auf die gleiche Art weitere Rechtecke zeichnen.

(1) Zeichne den Punkt $A_2(1\mid 5)$ in Abbildung 1 ein.

(2) Ergänze die drei weiteren Punkte $B_2,$ $C_2$ und $D_2$ und verbinde die vier Punkte zu dem Rechteck $A_2B_2C_2D_2.$

Mit dem Term $(\text{I})$ kann man den Umfang für jedes dieser Rechtecke berechnen

$(\text{I})\quad 2\cdot 2x+2\cdot (-0,5x^2+5,5).$

Dabei ist $x\gt 0$ und steht für die $x$ -Koordinate des zum Rechteck gehörenden Punktes $A_1,A_2$ usw.

Berechne mit dem Term $(\text{I})$ den Umfang des Rechtecks, das durch den Punkt $A_2(1\mid 5)$ festgelegt ist.

Julia vereinfacht den Term $(\text{I})$ zu $(\text{II})-x^2+4x+11.$

Zeige durch Termumformungen, dass die beiden Terme $(\text{I})$ und $(\text{II})$ gleichwertig sind.

Julia stellt die folgende Gleichung auf: $-x^2+4x+11=14,75$

(1) Löse die Gleichung.

(2) Erkläre das Ergebnis in Bezug auf die Rechtecke unter der Parabel $f.$

Bildnachweise [nach oben]

[2]

Flickr user laughlin from Tokyo, Japan, Square watermelon, CC BY 2.0

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Lösung 1: Rösti

1. Schritt: Mengenangaben addieren

$520\,\text{g}+60\,\text{g}+110\,\text{g}+20\,\text{g}=710\,\text{g}$

2. Schritt: Zeigen, dass aus der Teigmenge sieben Rösti hergestellt werden können

$710\,\text{g}:100\,\text{g}=7,1$

Ein Kubikzentimeter Teig wiegt also 1,23 g.

Durchmesser eines Röstis berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Rösti}}&=& \pi\cdot r^2\cdot h \quad \scriptsize \mid\;:\pi \mid\;:h\\[5pt] r^2&=& \dfrac{V_{\,\text{Rösti}}}{\pi\cdot h}\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] r&=& \sqrt{\dfrac{V_{\,\text{Rösti}}}{\pi\cdot h}} \\[5pt] r&=& \sqrt{\dfrac{81\,\text{cm}^3}{\pi\cdot 2\,\text{cm}}} \\[5pt] r&\approx& 3,6 \,\text{cm} \\[5pt] \Rightarrow d&=& 2\cdot 3,6 \,\text{cm}=7,2\,\text{cm} \end{array}$

Da der Durchmesser eines Röstis bei etwa $7,2\,\text{cm}$ liegt, muss auch der Durchmesser der zylindrischen Form bei ca. $7,2\,\text{cm}$ liegen.

Volumen eines Rösti mit halbem Durchmesser berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi\cdot \left(\dfrac{r}{2}\right)^2\cdot h \\[5pt] &=& \pi\cdot (1,8\,\text{cm})^2\cdot 2\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 20,4\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen eines Rösti mit halben Durchmesser wäre deutlich geringer als $\dfrac{81\,\text{cm}^3}{2}=40,5\,\text{cm}^3.$ Der Mitarbeiter hat also nicht recht.

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$\begin{array}[t]{rll} P(\,\text{entspricht Vorgaben})&=&0,98\cdot 0,99 \\[5pt] &\approx& 0,97 \end{array}$

$97\,\%$ der Rösti entsprechen den Vorgaben.

$(0,02+0,98 \cdot 0,01) \cdot 10000=298$

298 Rösti werden vermutlich aussortiert.

Lösung 2: Wassermelonen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \quad \scriptsize \text{mit}\,r=d:2\\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (12,5\,\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx& 8181,23\,\text{cm}^3 \approx 8200\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$

1. Schritt: Radius des Fruchtfleisches berechnen

$\begin{array}[t]{rll} d_{\,\text{F}}&=& 25\,\text{cm}-1,5\,\text{cm}-1,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 22\,\text{cm} \\[5pt] \Rightarrow r_F&=&22\,\text{cm}:2\\[5pt] &=&11\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Volumen des Fruchtfleisches berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{F}}&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r_F^3 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (11\,\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx& 5575 \,\text{cm}^3 \end{array}$

3.Schritt: Prozentualen Anteil berechnen

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$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Würfel}}&=& a^3 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] a&=& \sqrt[3]{V_{\text{Würfel}}} \\[5pt] a&=& \sqrt[3]{8200\,\text{cm}^3} \\[5pt] a&\approx& 20,2\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

1. Oberflächeninhalt der kugelförmigen Wassermelone berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{Kugel}}&=& 4\cdot \pi\cdot r^2 \\[5pt] &=& 4\cdot \pi\cdot (12,5\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 1963,50\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

2. Oberflächeninhalt der würfelförmigen Wassermelone berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{Würfel}}&=& 6\cdot a^2 \\[5pt] &=& 6\cdot (20,2\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 2448,24\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Die würfelförmige Wassermelone hat also einen größeren Oberflächeninhalt.

Beobachtungswoche	Gewicht in $g$
0	400
1	800
2	1600
3	3200
4	6400

Da sich das Gewicht der Wassermelone pro Woche verdoppelt, liegt das Gewicht nach 4 Wochen bei 6400 g.

Der abgebildete Graph stellt ein lineares Wachstum dar. Die Melonen verdoppeln ihr Gewicht pro Woche, damit ist das Wachstum nicht linear. Daher beschreibt der Graph nicht das Wachstum der Wassermelone.

Sinja hat also nicht recht.

Lösung 3: Parabel und Rechteck

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=&-0,5\cdot 3^2+5,5 \\[5pt] &=& -0,5\cdot 9+5,5 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Da die Parabel symmetrisch zur $y$ -Achse ist, unterscheiden sich gegenüberliegende Punkte immmer nur in ihrer $x$ -Koordinate. Spiegelt man also den Punkt $A_1(3\mid 1)$ , erhält man auf der Parabel den Punkt $B_1(-3\mid 1)$ .

Anhand des Schaubildes können die Längen der Strecken $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{B_1C_1}$ abgelesen werden:

$\overline{A_1B_1}=6\,\text{cm}$
$\overline{B_1C_1}=1\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} u&=&2\cdot\overline{A_1B_1}+2\cdot \overline{B_1C_1} \\[5pt] &=& 2\cdot 6\,\text{cm}+2\cdot 1\,\text{cm} \\[5pt] &=& 14\,\text{cm} \end{array}$

(1)

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(2)

Die $x$ -Koordinate des Punktes $A_2$ liegt bei $x_2=1.$

$\begin{array}[t]{rll} & 2\cdot 2\cdot 1+2\cdot (-0,5\cdot 1^2+5,5) \\[5pt] &= 4+2\cdot 5 \\[5pt] &= 14 \,\text{[cm]}\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} &2\cdot 2x+2\cdot (-0,5x^2+5,5) \\[5pt] &=4x+2\cdot (-0,5x^2)+2\cdot 5,5 \\[5pt] &=4x-1x^2 +11 \\[5pt] &=-x^2+4x +11 \end{array}$

(1)

Gleichung mithilfe der pq-Formel lösen:

$\begin{array}[t]{rll} -x^2+4x +11 &=& 14,75\quad \scriptsize \mid\;-14,75 \\[5pt] -x^2+4x-3,75&=&0\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] x^2-4x+3,75&=&0 \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3,75}\\[5pt] x_{1,2}&=&2\pm\sqrt{4-3,75}\\[5pt] x_{1,2}&=&2\pm\sqrt{0,25}\\[5pt] x_{1}&=&2+0,5=2,5\\[5pt] x_{2}&=&2-0,5=1,5 \end{array}$

(2)

Unter der Parabel $f$ gibt es zwei Rechtecke, deren Umfang bei $14,75 \,\text{cm}$ liegt. Bei einem hat der Punkt $A$ die $x$ -Koordiante $2,5$ und beim anderen $1,5.$

Zur Veranschaulichung (ist nicht Teil der Lösung):