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Teil 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginn mit der kleinsten Zahl.
$-\dfrac{1}{3}$;      $0,4$;      $\dfrac{6}{10}$;      $-\dfrac{1}{4}$

Aufgabe 2

a)
Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.
b)
Teil 1
Teil 1

Aufgabe 3

Familie Zappa möchte sich eine neue Küche kaufen und hat von ihrer Bank ein Angebot zur Finanzierung bekommen. Mit einer Tabellenkalkulation stellt Frau Zappa einen Finanzierungsplan auf.
ABCD
1Finanzierungsplan für eine Küche
2 Kreditsumme €$3.000,00$
3jährliche Rate in €$555,00$
4Zinssatz pro Jahr in %$3,62$
5
61. Jahr2. Jahr3. Jahr
7Schulden zu
Jahresbeginn
$3.000,00$$2.553,60$
8Zinsene pro Jahr$108,60$$92,44$
9Rate pro Jahr$555,00$$555,00$
10Restschuld am
Jahresende
$2.553,60$$2.091,04$
Alle Werte in Euro (€)
a)
Gib eine geeignete Formel für die Zelle C8 an.

b)
Berechne die Restschuld am Ende des dritten Jahres.

Aufgabe 4

Bestimme den Wert der Unbekannten $x$. Notiere deine Rechnung.
$\begin{array}[t]{rll} 12x-5&=&3x+13 &\quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 5

Eine Tüte mit $125$g Plätzchen kostet bisher $1,49$€. Ein Supermarkt wirbt mit dem folgenden Plakat:
Sonderangebot
$125$g + $20$% mehr Inhalt
für nur $1,89$€
a)
Berechne, wie viel Gramm Plätzchen im Sonderangebot verkauft werden.
b)
Ist das Sonderangebot im Vergleich zu vorher günstiger? Begründe deine Entscheidung.

Aufgabe 6

Wie viele Kugeln passen näherungsweise in das zylindrische Glas, wenn diese ganz gefüllt wäre?
Beschreibe, wie du dies abschätzt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Zahlen der Größe nach ordnen
Bringe die Zahlen in Dezimalschreibweise, um sie zu vergleichen.
Beachte dabei auch das Vorzeichen.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Oberfläche des Kegels berechnen
Die Formel zur Berechnung der Größe einer Kegeloberfläche lautet:
$O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$
$O $$= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$
Setze nun die gegebenen Werte $r=6\, \text{cm}$ und $s=15,2 \,\text{cm}$ in die Formel ein.
b)
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Behauptung falsch ist
Das Volumen eines Kegels berechnet sich nach folgender Formel:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h$
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h$
Sebastian würde den „Radius verdoppeln“ und erwartet dann ein doppelt so großes Volumen.
Um die Richtigkeit seiner Aussage zu belegen oder zu widerlegen, berechnest du das Volumen mit dem einfachen Radius und das Volumen mit dem zweifachen Radius.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Formel angeben
In Zelle $C 8$ werden die Zinsen im zweiten Jahr berechnet. Diese betragen $92,44 \,€$.
Die „Zinsen pro Jahr“ berechnest du, indem du die „Schulden zu Jahresbeginn“ mit dem „Zinssatz pro Jahr in $\%$“ multiplizierst.
b)
$\blacktriangleright$  Restschuld berechnen
Die Schuld zu Beginn des dritten Jahres entspricht der Restschuld des zweiten Jahres und beträgt $2.091,04 \,€.$
Die Zinsen berechnest du wie in Aufgabe a) mit dem Wert aus dem $3.$ Jahr.
Die „Rate pro Jahr“ beträgt jedes Jahr $555 \,€$.
$\text{Restschuld} $$= \text{Schulden zu Jahresbeginn} $+$ \text{Zinsen pro Jahr} $-$ \text{Rate pro Jahr}$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Wert der Unbekannten berechnen
Um die Variable $x$ berechnen zu können, bringst du zuerst alle Variablen auf eine Seite und fasst zusammen.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Berechnung der Sonderangebotsmenge
Im Sonderangebot werden $125 \,\text{g}$ mehr Inhalt verkauft.
Das heißt, du nimmst die ursprünglichen $125 \,\text{g}$ und addierst einen Anteil von $20\,\%$ dazu.
b)
$\blacktriangleright$  Vergleich des Sonderangebots mit dem vorherigen
Die Menge der Plätzchen nimmt um $20\,\%$ zu. Berechne um wie viel Prozent der Preis des Sonderangebots höher ist als der Preis der regulären Packung.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Anzahl der Kugeln schätzen und begründen
In der Tasse kannst du verschiedene Schichten an Kugeln sehen. Zähle die Anzahl der Schichten und die Anzahl der Kugeln in der obersten Schicht.
So kannst du die Anzahl der Kugeln in der gesamten Tasse abschätzen.
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Zahlen der Größe nach ordnen
Bringe die Zahlen in Dezimalschreibweise, um sie zu vergleichen.
Beachte dabei auch das Vorzeichen.
$\begin{array}[t]{rcl} - \frac{1}{3}&=& - 0,\overline{3} \\[5pt] \frac{6}{10} &=& 0,6 \\[5pt] - \frac{1}{4}&=& - 0,25 \\[5pt] \end{array}$
Die Zahl $0,4$ musst du nicht ausrechnen, um sie zu vergleichen.
Aufgrund des Vorzeichens weißt du, dass $- 0,3$ und $- 0,25$ kleiner sind als $0,6$ und $0,4$.
$- 0,3 $$<$$ - 0,25$ und $0,4$$<$$0,6$
Ordne von klein nach groß: $- 0,3 $$<$$ - 0,25$ $<$ $0,4$$<$$0,6$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Oberfläche des Kegels berechnen
Die Formel zur Berechnung der Größe einer Kegeloberfläche lautet:
$O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$
$O $$= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$
Setze nun die gegebenen Werte $r=6\, \text{cm}$ und $s=15,2 \,\text{cm}$ in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} O&=& \pi \cdot (6 \,\text{cm})^2 + \pi \cdot 6\,\text{cm} \cdot 15,2\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 113,10\,\text{cm}^2 + 286,51\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 399,61\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 399,25\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Die Oberfläche dieses Kegels ist ca. $399,61\,\text{cm}^2$ groß.
b)
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass die Behauptung falsch ist
Das Volumen eines Kegels berechnet sich nach folgender Formel:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h$
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h$
Sebastian würde den „Radius verdoppeln“ und erwartet dann ein doppelt so großes Volumen.
Um die Richtigkeit seiner Aussage zu belegen oder zu widerlegen, berechnest du einmal das Volumen mit dem einfachen Radius:
$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \,\text{cm}^2 \cdot 14\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 527,79\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
und mit dem zweifachen Radius:
$\begin{array}[t]{rll} V_2&=& \frac{1}{3} \pi \cdot (2 \cdot 6)^2 \,\text{cm}^2 \cdot 14\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 2.111,15\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
Da das doppelte Volumen $V_1$ $1.055,58\,\text{cm}^3$ ergibt, ist Sebastians Aussage falsch.
(Verdoppelt sich der Radius, vervierfacht sich das Volumen eines Kegels.)

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Formel angeben
In Zelle $C 8$ werden die Zinsen im zweiten Jahr berechnet. Diese betragen $92,44 \,€$.
Die „Zinsen pro Jahr“ berechnest du, indem du die „Schulden zu Jahresbeginn“ mit dem „Zinssatz pro Jahr in $\%$“ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} C\,8&=& C \,7 \cdot \frac{B \,4}{100} \\[5pt] &=&2.553,60 \cdot \frac{3,62}{100} \end{array}$
Diese Rechnung ergibt für das zweite Jahr einen Betrag von $92,44 \,€$ Zinsen.
b)
$\blacktriangleright$  Restschuld berechnen
Die Schuld zu Beginn des dritten Jahres entspricht der Restschuld des zweiten Jahres und beträgt $2.091,04 \,€.$
Die Zinsen berechnest du wie in Aufgabe a) mit dem Wert aus dem $3.$ Jahr:
$2.091,04 \cdot 3,62 \,\%$$=75,70 \,€ $
Die „Rate pro Jahr“ beträgt jedes Jahr $555 \,€$.
Am Ende des dritten Jahres beträgt die Restschuld:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Restschuld}&=& \text{Schulden zu Jahresbeginn} + \text{Zinsen pro Jahr} - \text{Rate pro Jahr} \\[5pt] &=& 2.091,04 \,€ + 75,70 \,€ - 555 \,€ \\[5pt] &=& 1.611,74 \,€ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Restschuld}&=& 1.611,74 \,€ \end{array}$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Wert der Unbekannten berechnen
Um die Variable $x$ berechnen zu können, bringst du zuerst alle Variablen auf eine Seite und fasst zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 12 \, x - 5&=& 3\, x + 13 &\quad \scriptsize \mid\; - 3\,x \, \mid\;+ 5 \\[5pt] 12 \, x - 3 \, x&=& 13 + 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{zusammenfassen} \\[5pt] 9 \, x&=& 18 &\quad \scriptsize \mid\; : 9 \\[5pt] x&=& 2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 2\\[5pt] \end{array}$
Der Wert der unbekannten Variablen $x$ beträgt $2$.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Berechnung der Sonderangebotsmenge
Im Sonderangebot werden $125 \,\text{g}$ mehr Inhalt verkauft.
Das heißt, du nimmst die ursprünglichen $125 \,\text{g}$ und addierst einen Anteil von $20\,\%$ dazu.
$125 \,\text{g} + 125 \,\text{g} \cdot 0,2 $$= 150 \,\text{g}$
Es werden $150 \,\text{g}$ Plätzchen im Sonderangebot verkauft.
b)
$\blacktriangleright$  Vergleich des Sonderangebots mit dem vorherigen
Das Sonderangebot ist teurer als vorher.
Die Menge der Plätzchen nimmt um $20\,\%$ zu. Wenn sich der Preis um $20\,\%$ erhöht, kostet das Sonderangebot $1,79 €$. Die $150 \,\text{g}$ Plätzchen kosten allerdings $1,89 €$. Der Preis erhöht sich also um $26,8\,\%$.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Anzahl der Kugeln schätzen und begründen
In der Abbildung kannst du in der obersten Schicht $36$ Kugeln zählen und du siehst vier Kugelschichten in der Tasse.
Die Anzahl der Kugeln in der Tasse beträgt demnach schätzungsweise $36 \cdot 4$$=144$.
Da die Tasse zu etwa einem Drittel gefüllt ist, würden sich in einer vollgefüllten Tasse $3 \cdot 144 $$= 432 \,\text{Kugeln}$ befinden.
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