Aufgabe 3
Aufgabe 3: Muster
Jan möchte ein Muster aus rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecken konstruieren. Er beginnt mit dem Dreieck 
(Abbildung 1).
Zeige mit einer Rechnung, dass die Länge der Hypotenuse von Dreieck ca. 
beträgt.
Jan setzt das Muster mit den beiden weiteren Dreiecken 
und 
fort (Abbildung 2).
Ergänze das Dreieck 
zeichnerisch in der Abbildung 2. Beschreibe, wie du vorgegangen bist.
(Abbildung 1).
a)
Abbildung 1: Dreieck
ca. beträgt.
und fort (Abbildung 2).
b)
Abbildung 2: Muster bis Dreieck zu Teilaufgabe b) - d)
zu Teilaufgabe b) - d)
zeichnerisch in der Abbildung 2. Beschreibe, wie du vorgegangen bist.
c)
Jan kann nur acht Dreiecke zeichnen, ohne dass die Dreiecke sich überschneiden.
Begründe dies mithilfe der Winkel.
Begründe dies mithilfe der Winkel.
d)
Zeige rechnerisch, dass der Flächeninhalt von Dreieck doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt von Dreieck .
Jan berechnet weitere Flächeninhalte der Dreiecke in seinem Muster (Abbildung 3) und hält die Ergebnisse in einer Tabelle fest.
doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt von Dreieck .
| Dreieck | |
 |
 |
 |
 |
 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Flächen- inhalt (in cm²) |
 |
 |
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Abbildung 3: Muster bis Dreieck 
e)
Begründe, dass kein Dreieck in dem Muster einen Flächeninhalt von genau 
hat.
hat.
f)
Jan möchte das Muster aus Papier herstellen. Dazu schneidet er die einzelnen Dreiecke aus DIN-A4-Blättern 
x 
aus.
Jan behauptet: „Auch das Dreieck
kann ich aus einem einzigen DIN-A4-Blatt ausschneiden.“
Entscheide begründet, ob Jans Behauptung zutrifft.
x aus.
Jan behauptet: „Auch das Dreieck
kann ich aus einem einzigen DIN-A4-Blatt ausschneiden.“
Entscheide begründet, ob Jans Behauptung zutrifft.
a)
Satz des Pythagoras:
![\(\begin{array}[t]{rll}
c^2&=&a^2+b^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt]
c&=&\sqrt{a^2+b^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(3\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{18\,\text{cm}^2}\\[5pt]
&\approx & 4,243\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9d839ebd24ffb901d95be39c9bfd18238b488695cebd028e62b7f75357b5472e_light.svg)
b)
- Gerade mit rechtem Winkel zur Hypothenuse von einzeichnen
- Kreis mit Radius der Hypothenuse von einzeichnen
- Schnittpunkt von Kreis mit Gerade mit gemeinsamem Eckpunkt aller Dreiecke verbinden
c)
Da alle Dreiecke rechtwinklig und gleichschenklig sind, sind ihre Basiswinkel 
groß.
Der Vollwinkel eines Kreises hat eine Größe von
Nach acht Dreicken ist der Kreis also geschlossen, sodass sich die Dreiecke bei einem neunten Dreieck überschneiden würden.
groß.
Der Vollwinkel eines Kreises hat eine Größe von
Nach acht Dreicken ist der Kreis also geschlossen, sodass sich die Dreiecke bei einem neunten Dreieck überschneiden würden.
d)
Für den Flächeninhalt von gilt:
![\(A_1 = \dfrac{1}{2}\cdot 3^2 = 4,5\,[\text{cm}^2]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/745550f44f83457df40895c93594f97465c0de40056d2bdcaaf753394ebc6899_light.svg)
Die Länge der Schenkel von entspricht der Länge der Hypotenuse von 
Für den Flächeninhalt von folgt damit:
![\(A_2 =\dfrac{1}{2}\cdot (3\cdot \sqrt{2})^2 = 9\,[\text{cm}^2]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/beb6d47d6b90efd1b907d30dfc4630d4e279e39fb9d401c8b1759568249a3dbd_light.svg)
Also gilt 
Der Flächeninhalt von Dreieck ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt von Dreieck
gilt:
Die Länge der Schenkel von entspricht der Länge der Hypotenuse von
Für den Flächeninhalt von folgt damit:
Also gilt Der Flächeninhalt von Dreieck ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt von Dreieck
e)
Der Flächeninhalt wird immer verdoppelt, es folgen auf 
die Zahlen 
und 
Somit wird der Flächeninhalt 
nicht erreicht.
die Zahlen und Somit wird der Flächeninhalt nicht erreicht.
f)
Das Blatt Papier müsste mindestens den doppelten Flächeninhalt besitzen wie das Dreieck.
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 
Der Flächeninhalt eines DIN A4-Blattes beträgt:
Das Blatt Papier besitzt also nicht den doppelten Flächeninhalt wie das Dreieck. kann also nicht aus einem einzigen DIN A4-Blatt ausgeschnitten werden.
beträgt Der Flächeninhalt eines DIN A4-Blattes beträgt:
Das Blatt Papier besitzt also nicht den doppelten Flächeninhalt wie das Dreieck. kann also nicht aus einem einzigen DIN A4-Blatt ausgeschnitten werden.