Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NRW, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
Zentrale Klausur zum Ende...
Zentrale Klausur zum Ende...
Zentrale Prüfung 10 E-Kur...
Zentrale Prüfung 10 G-Kur...
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur LK (WTR) bis 2016
Abitur GK (WTR) bis 2016
ZK zum Ende der EF (WTR) ...
Zentrale Prüfu...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (CAS)
Zentrale Klausur zum Ende der EF (GTR)
Zentrale Klausur zum Ende der EF (CAS)
Zentrale Prüfung 10 E-Kurs
Zentrale Prüfung 10 G-Kurs
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Abitur LK (WTR) bis 2016
Abitur GK (WTR) bis 2016
ZK zum Ende der EF (WTR) bis 2014
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Teil 2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe 1: Wurfparabel

Antje möchte einen Basketballkorb an der Hauswand aufhängen. In der Aufbauanleitung findet sie eine Skizze mit Maßen. Die obere Kante der Rückwand soll in einer Höhe von $3,95\,\text{m}$ angebracht werden.
In Sporthallen hängen die Korbringe üblicherweise in einer Höhe von $3\,\text{m}$.
Abb. 1: Basketballkorb mit Rückwand
Abb. 1: Basketballkorb mit Rückwand
a)
Zeige, dass sich Antjes Korbring ebenfalls in $3\,\text{m}$ Höhe befindet.
Antje steht mindestens $4\,\text{m}$ von ihrem Basketballkorb entfernt und übt Korbwürfe. Sie hält ihre Würfe mit Videoaufnahmen fest. Die Flugbahn des abgebildeten Wurfes kann näherungsweise durch die Funktion $f(x)=-0,4x^2+1,7x+1,9$ beschrieben werden (Abbildung 2).
Abb. 2: Videoanalyse am PC
Abb. Zahl: Videoanalyse am PC
b)
Bestimme, aus welcher Höhe Antje den Ball abwirft.

c)
Berechne, wie hoch der Ball maximal bei diesem Wurf liegt.
Abb. 3: Veränderter Wurf zu Aufgabe d)
Abb. 3: Veränderter Wurf zu Aufgabe d)
d)
Antje verändert ihren Wurf und wirft dabei aus $2,25\,\text{m}$ Höhe ab. Die Flugbahn $g$ ist nur bis zum höchsten Punkt abgebildet (vgl. Abbildung 3)
Trifft Antjes Ball in den Korb? Begründe deine Entscheidung mithilfe des abgebildeten Graphen.
Antje hält ihren neuen Basketball auf $2$ m Höhe und lässt ihn auf den Boden fallen. Nach jeder Bodenberührung springt der Ball auf jeweils $70\,\%$ der Höhe des letzten Sprunges zurück.
e)
Wie hoch springt der Ball nach zwei Bodenberührungen?

f)
Der Hersteller wirbt damit, dass der Ball bei einem Fall aus $2\,\text{m}$ Höhe nach $10$ Bodenberührungen noch $10\,\text{cm}$ hochspringt. Überprüfe die Herstellerangabe.
g)
Gib einen Term an, mit dem du die Rückprallhöhe eines Basketballs bei einem Fall aus $2\,\text{m}$ Höhe für eine beliebige Anzahl von Bodenberührungen berechnen kannst.

Aufgabe 2: Freizeitpark

Die Mitglieder eines Sportvereins unternehmen einen Ausflug in einen großen Freizeitpark.
$82$ Jugendliche sowie $10$ Betreuerinnen und Betreuer nehmen als Gruppe an dem Ausflug teil.
An der Kasse des Parkeingangs hängen die Preisinformationen aus (vgl. Tablle.)
Eintrittspreise Freizeitpark
Preise pro Person$26,00$ €
Preis pro Person in einer Gruppe*$23,00$ €
*Pro 10 Personen erhält eine Person freien Eintritt.
Tabelle: Einzelpreise im Überblick
a)
Berechne den Eintrittspreis, den die Gruppe zahlen muss.
In dem Freizeitpark ist die größte Achterbahn eine der Hauptattraktionen. Abbildung 4 zeigt die höchste und steilste Abfahrt dieser Achterbahn. Der Verlauf der Abfahrt wird durch die beiden eingezeichneten Strecken $\overline{EC}$ und $\overline{CZ}$ angenähert.
Abb. 5: Skizze zur Auslenkung des Kettenkarussells
Abb. 5: Skizze zur Auslenkung des Kettenkarussells

Aufgabe 3: Eiszeit

a)
Nils dreht einmal an dem Glücksrad.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er beim ersten Drehen direkt eine Kugel gratis bekommt.

b)
Leo dreht zweimal hintereinander auf das Feld ‚erneut drehen‘.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis.

c)
Nils behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ‚Jede Kugel $0,50\,€$‘ ist insgesamt größer als $20\%$, da die Möglichkeit besteht, erneut zu drehen.“
Hat Nils recht? Begründe deine Entscheidung.
Die Eiskugeln für $1\,€$ haben einen Durchmesser von $3\,\text{cm}$. Die Eisdiele bietet auch Riesenkugeln mit $35\,\text{ml}$ Eis an. Eine Riesenkugel kostet $2\,\text{€}$.
d)
Paul behauptet: „Beim Kauf einer Riesenkugel bekomme ich im Vergleich zu zwei normal großen Kugeln mehr Eis.“
Hat Paul recht? Begründe durch eine Rechnung.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
Public Domain bearbeitet von © 2016 – SchulLV.
[5]
© – SchulLV.
[6]
© – SchulLV.
[7]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Höhe von Antjes Korb berechnen
In der Abbildung siehst du eine Skizze des aufgebauten Korbs. In der Aufgabenstellung steht, dass die obere Kante der Rückwand in $3,95\,\text{m}$ Höhe hängt. Überlege dir, wie du die Höhe des Korbrings mit den angegebenen Höhen berechnen kannst.
b)
$\blacktriangleright$  Abwurfhöhe des Balls berechnen
In der Abbildung siehst du, dass die Höhe, aus der Antje den Ball abwirft, ein Schnittpunkt mit der $y$-Achse des Koordinatensystems ist. Berechne die Abwurfhöhe, indem du den Schnittpunkt der Funktion mit der $y$-Achse berechnest. Das tust du, indem du $x=0$ einsetzt.
c)
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe des Balls berechnen
Die maximale Höhe des Balls während des Wurfs entspricht dem Scheitelpunkt der Funktion. Den Scheitelpunkt der Funktion kannst du über quadratische Ergänzung berechnen. Forme die Formel so um, dass du einen Teil des Ausdrucks zu einer binomischen Formel zusammenfassen kannst. Den $x$-Wert des Scheitelpunkts kannst du dann anschließend aus der binomischen Formel ablesen und in die Funktion einsetzen.
d)
$\blacktriangleright$  Begründen ob Antje den Korb trifft
Betrachte die Flugbahn des Balls als eine Parabel. Überlege dir, wie du mithilfe der Eigenschaften einer Parabel Aussagen über ihren weiteren Verlauf treffen kannst. Überprüfe dann, ob der Ball deinen Voraussagen entsprechend in den Korb treffen würde.
e)
$\blacktriangleright$  Sprunghöhe des Balls nach zwei Bodenberührungen berechnen
Nach jeder Bodenberührung springt der Ball nur noch auf $70\,\%$ der Höhe des letzten Sprungs zurück. Nach zwei Bodenberührungen springt er also nur noch auf $70\,\%$ des vorherigen Sprungs, der $70\,\%$ des ursprünglichen Sprungs entspricht. Du kannst die Höhe des Sprungs nach zwei Bodenberührungen berechnen, indem du die urprüngliche Höhe, aus der Antje den Ball fallengelassen hat, zweimal mit $70\,\%$ multiplizierst.
f)
$\blacktriangleright$  Angabe des Herstellers überprüfen
Überprüfe die Aussage des Herstellers, indem du die Höhe von $2\,\text{m}$ zehnmal mit $70\,\%$ multiplizierst. Du kannst den Rechenschritt mit dem zehnmal multiplizieren auch platzsparend als Potenz ausdrücken.
g)
$\blacktriangleright$  Term angeben
Überlege dir, wie du die Höhe des Balls bei einer Fallhöhe von $2\,\text{m}$ und einer variablen Anzahl von Bodenberührungen berechnen kannst. Nach jeder Bodenberührung springt der Ball nur noch auf $70\,\%$ der vorherigen Höhe. Für z.B. $3$ Bodenberührungen müsstest du $2\,\text{m}$ dreimal mit $0,7$ multiplizieren. Wie kannst du diesen Rechenschritt einfach darstellen und was wäre, wenn die Fallhöhe nicht dreimal sondern $x$-mal mit $0,7$ multipliziert wird?

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Eintrittspreis der Gruppe berechnen
Entscheide zuerst, welchen der beiden in der Tabelle angegebenen Preise die Gruppe pro Person bezahlen muss. Wenn du dich für den unteren Preis entscheidest, dann berücksichtige, dass jede $10.$ Person freie Eintritte hat. Berechne dann, wie viele freien Eintritte die Gruppe erhalten würde und ziehe diesen Betrag vom Eintrittspreis ab.
b)
$\blacktriangleright$  Höchste Abfahrt berechnen
In der Abbildung siehst du, dass die Höhe der Achterbahn $41,8\,\text{m}$ und einem weiteren Stück entspricht. Dieses Stück ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks, genauer die Gegenkathete des $37,2°$-Winkels. Dieses Stück kannst du mit dem Sinus oder dem Satz des Pythagoras berechnen.
c)
$\blacktriangleright$  Winkelangabe überprüfen
In der Abbildung siehst du, dass die Seite, die zur Ankathete des $37,2°$-Winkels parallel ist, $8,6\,\text{m}$ lang ist. Demnach ist auch die Ankathete genauso lang. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kannst du den Winkel mithilfe des Cosinus berechnen. Die Definition des Cosinus lautet:
$cos(\alpha)=\dfrac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Hypothenuse}}$
$Cos(\alpha)=\dfrac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Hypothenuse}}$
d)
$\blacktriangleright$  Pauls Behauptung überprüfen
In der Abbildung siehst du, dass die komplette Abfahrt von Punkt $C$ nach Punkt $Z$ über eine Strecke von $24\,\text{m}$ verläuft. Dabei fällt die Achterbahn um $41,8\,\text{m}$ ab. In der Aufgabenstellung siehst du die Definition von Gefälle. $1\,\text{m}$ Abfall in der Höhe über eine Länge von $100\,\text{m}$ entspricht $1\,\%$ Gefälle. Mit einem Dreisatz kannst du nun die horizontale Länge der Abfahrt auf $100\,\text{m}$ erweitern.
e)
$\blacktriangleright$  Umfang der Kreisbahn berechnen
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Fahrgäste $4,2\,\text{s}$ bei einer Geschwindgkeit von $19,4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ für eine Umdrehung brauchen. Berechne damit den Umfang der Kreisbahn.
f)
$\blacktriangleright$  Lösungsplan erstellen
Um die größte Fläche, die das Karussell überquert, zu umzäunen, wird ein kreisförmiger Zaun benötigt. Der Umfang dieses Kreises wird mit folgender Formel berechnet:
$A_K=2\cdot\pi\cdot r$
$A_K=2\cdot\pi\cdot r$
Dabei ist $r$ der Radius. Dieser berechnet sich aus der Spannweite des Karussells, die $7\,\text{m}$ entspricht und einem weiteren Teil $x$, der von den hängenden Gondeln bestimmt wird. Überlege dir, wie du diesen Abschnitt berechnen kannst und setze das Ergebnis anschließend in die Formel für den Umfang eines Kreises ein.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine gratis Kugel berechnen
Das Glücksrad besitzt $6$ gleich große Felder. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, indem du die Anzahl an Feldern, die das gewünschte Ergebnis enthalten, durch die gesamte Anzahl an Feldern auf dem Glücksrad teilst.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für zweimal erneut drehen berechnen
Berechne die Wahrscheinichkeit für ein Ereignis genauso, wie in Aufgabenteil a). Die Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse hintereinander berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die Teilereignisse miteinander multiplizierst.
c)
$\blacktriangleright$  Überprüfen ob Nils recht hat
Berechne die Wahrscheinlichkeit für $0,50\,€$ pro Kugel und wandle sie in eine Prozentzahl um. Dazu rechnest du noch die Wahrscheinlichkeit für die Preissenkung, wenn vorher noch ein „erneut drehen“ erzielt wird. Vergleiche diese Wahrscheinlichkeit mit der Aussage von Nils.
d)
$\blacktriangleright$  Pauls Aussage überprüfen
Berechne das Volumen einer normalen Kugel und vergleiche dieses mit dem Volumen einer Riesenkugel, um zu überprüfen ob Pauls Aussage stimmt.
e)
$\blacktriangleright$  Volumen von Softeis berechnen
In der Abbildung siehst du, dass $2,5\,\%$ des jährlich hergestellten Eis in Deutschland Softeis war. Die komplette Menge von hergestelltem Eis pro Kopf liegt bei $7,6\,\text{l}$. Berechne das Volumen an hergestelltem Softeins, indem du die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umrechnest und anschließend mit der hergestellten Menge Eis pro Kopf multiplizierst. Indem du eine Prozentzahl durch $100$ teilst und das $\%$-Zeichen weglässt, wandelst du sie in eine Dezimalzahl um.
f)
$\blacktriangleright$  Einwohnerzahl in Deutschland berechnen
In der Grafik wird angegeben, dass pro Kopf in Deutschland im Jahr $2014$ $7,6\,\text{l}$ Eis hergestellt wurden. Insgesamt waren das $617.000.000\,\text{l}$. Berechne die Einwohnerzahl in Deutschland, die dieser Grafik zugrunde liegt, indem du die Gesamtmenge durch die Menge an Eis pro Person teilst.
g)
$\blacktriangleright$  Irreführende Darstellung in der Grafik begründen
Wirf einen Blick in die Abbildung und überlege dir, ob die angegebenen Anteile mit den Anteilen am Diagramm übereinstimmen oder ob es andere Aspekte des Diagramms gibt, die irreführend sein können.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Höhe von Antjes Korb berechnen
In der Abbildung siehst du eine Skizze des aufgebauten Korbs. In der Aufgabenstellung steht, dass die obere Kante der Rückwand in $3,95\,\text{m}$ Höhe hängt. Überlege dir, wie du die Höhe des Korbrings mit den angegebenen Höhen berechnen kannst.
Die gesamte Höhe der Rückwand beträgt $1,05\,\text{m}$. Der Korbring hängt $10\,\text{cm}$ über dem unteren Rand der Rückwand. Um die Höhe des Korbrings zu berechnen, musst du die Höhe der Rückwand von der Höhe der oberen Kante der Rückwand abziehen und anschließend die Höhe des Korbrings dazu rechnen.
$3,95\,\text{m}-1,05\,\text{m}+0,10\,\text{m}=3,00\,\text{m}$
Der Korbring hängt also in einer Höhe von $3,00\,\text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$  Abwurfhöhe des Balls berechnen
In der Abbildung siehst du, dass die Höhe, aus der Antje den Ball abwirft, ein Schnittpunkt mit der $y$-Achse des Koordinatensystems ist. Berechne die Abwurfhöhe, indem du den Schnittpunkt der Funktion mit der $y$-Achse berechnest. Das tust du, indem du $x=0$ einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,4x^2+1,7x+1,9 &\quad \scriptsize \mid\;x=0 \\[5pt] y&=&-0,4\cdot0^2+1,7\cdot0+1,9\\[5pt] y&=&1,9\\[5pt] \end{array}$
$y=1,9$
Die Abwurfhöhe des Balls beträgt $1,9\,\text{m}$.
c)
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe des Balls berechnen
Die maximale Höhe des Balls während des Wurfs entspricht dem Scheitelpunkt der Funktion. Den Scheitelpunkt der Funktion kannst du über quadratische Ergänzung berechnen. Forme die Formel so um, dass du einen Teil des Ausdrucks zu einer binomischen Formel zusammenfassen kannst. Den $x$-Wert des Scheitelpunkts kannst du dann anschließend aus der binomischen Formel ablesen.
Klammere zuerst $-0,4$ bei den Ausdrücken mit $x^2$ und $x$ aus.
$f(x)=-0,4x^2+1,7x+1,9=-0,4(x^2-4,25x)+1,9$
$f(x)=-0,4(x^2-4,25x)+1,9$
Der Ausdruck $-4,25x$ entspricht in einer binomischen Formel dem Ausdruck $2ab$, wobei $a=x$ ist. Setze die beiden Ausdrücke gleich und berechne $b$.
$\begin{array}[t]{rll} 2ab&=& -4,25x &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 2xb&=& -4,25x &\quad \scriptsize \mid\;:2x\\[5pt] b&=&-2,125 \end{array}$
Von der zweiten binomischen Formel haben wir bereits die Ausdrücke $a^2$ und $2ab$. Es fehlt noch $b^2$. Addiere deshalb $+b^2$ und $-b^2$ zu der Formel und fasse zur binomischen Formel zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,4(x^2-4,25x+(2,125)^2-(2,125)^2)+1,9 &\quad \scriptsize \mid\;2.\,\text{binomische Formel} \\[5pt] f(x)&=& -0,4((x-2,125)^2-4,52)+1,9\\[5pt] f(x)&=& -0,4(x-2,125)^2-(-0,4)\cdot4,52+1,9\\[5pt] f(x)&=& -0,4(x-2,125)^2+3,706\\[5pt] \end{array}$
$f(x)=-0,4(x-2,125)^2+3,706$
Bei $x=2,125$ hat die Parabel ihren Scheitelpunkt. Setze diesen Wert in die Funktion ein und berechne die Höhe des Balls.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&-0,4(x-2,125)^2+3,706 &\quad \scriptsize \mid\;x=2,125 \\[5pt] f(2,125)&=&-0,4(2,125-2,125)^2+3,706\\[5pt] f(2,125)&=&-0,4(0)^2+3,706\\[5pt] f(2,125)&=&3,706\\[5pt] \end{array}$
$f(2,125)=3,706$
Die maximale Höhe des Balls beträgt ca. $3,7\,\text{m}$.
d)
$\blacktriangleright$  Begründen ob Antje den Korb trifft
Betrachte die Flugbahn des Balls als eine Parabel. Überlege dir, wie du mithilfe der Eigenschaften einer Parabel Aussagen über ihren weiteren Verlauf treffen kannst. Überprüfe dann, ob der Ball deinen Voraussagen entsprechend in den Korb treffen würde.
Eine Parabel ist achsensymmetrisch zu einer vertikalen Symmetrieachse, die durch ihren Scheitelpunkt verläuft. In der Abbildung ist die Parabel also achsensymmetrisch zu einer vertikalen Achse durch die aktuelle Position des Balls. Der weitere Verlauf der Flugbahn des Balls entspricht also dem bisherigen Verlauf, an dieser Achse gespiegelt. Zeichne dir am besten die Symmetrieachse ein und spiegle einen Punkt auf der Höhe des Korbs. Wenn der gespiegelte Punkt auf dem Korb liegt, dann lässt sich vorhersagen, dass der Ball im Korb landet.
Wenn der Punkt bei $x=0,5$ an der Symmetrieachse gespiegelt wird, dann liegt der gespiegelte Punkt auf dem Korb. Antje trifft demnach mit ihrem Wurf den Korb.
e)
$\blacktriangleright$  Sprunghöhe des Balls nach zwei Bodenberührungen berechnen
Nach jeder Bodenberührung springt der Ball nur noch auf $70\,\%$ der Höhe des letzten Sprungs zurück. Nach zwei Bodenberührungen springt er also nur noch auf $70\,\%$ des vorherigen Sprungs, der $70\,\%$ des ursprünglichen Sprungs entspricht. Du kannst die Höhe des Sprungs nach zwei Bodenberührungen berechnen, indem du die urprüngliche Höhe, aus der Antje den Ball fallengelassen hat, zweimal mit $70\,\%$ multiplizierst.
$2,00\,\text{m}\cdot0,7\cdot0,7=0,98\,\text{m}$
Der Ball springt nach zwei Bodenberührungen nur noch $0,98\,\text{m}$ hoch.
f)
$\blacktriangleright$  Angabe des Herstellers überprüfen
Überprüfe die Aussage des Herstellers, indem du die Höhe von $2\,\text{m}$ zehnmal mit $70\,\%$ multiplizierst. Du kannst den Rechenschritt mit dem zehnmal multiplizieren auch platzsparend als Potenz ausdrücken.
$2\,\text{m}\cdot0,7^{10}=2\,\text{m}\cdot0,028\approx0,056\,\text{m}$
Nach $10$ Bodenberührungen springt der Ball nur noch ca. $5,6\,\text{cm}$ hoch. Die Aussage des Herstellers stimmt also nicht.
g)
$\blacktriangleright$  Term angeben
Überlege dir, wie du die Höhe des Balls bei einer Fallhöhe von $2\,\text{m}$ und einer variablen Anzahl von Bodenberührungen berechnen kannst. Nach jeder Bodenberührung springt der Ball nur noch auf $70\,\%$ der vorherigen Höhe. Für z.B. $3$ Bodenberührungen müsstest du $2\,\text{m}$ dreimal mit $0,7$ multiplizieren. Wie kannst du diesen Rechenschritt einfach darstellen und was wäre, wenn die Fallhöhe nicht dreimal sondern $x$-mal mit $0,7$ multipliziert wird?
Die Rückprallhöhe des Basketballs nach $x$ Bodenberührungen und einer Fallhöhe von $2\,\text{m}$ lautet:
$\text{Rückprallhöhe}=2\,\text{m}\cdot0,7^x$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Eintrittspreis der Gruppe berechnen
Entscheide zuerst, welchen der beiden in der Tabelle angegebenen Preise die Gruppe pro Person bezahlen muss. Wenn du dich für den unteren Preis entscheidest, dann berücksichtige, dass jede $10.$ Person freie Eintritte hat. Berechne dann, wie viele freien Eintritte die Gruppe erhalten würde und ziehe diesen Betrag vom Eintrittspreis ab.
Da die Gruppe größer als $8$ Personen ist, zahlt sie den Gruppeneintrittspreis von $23,00\,€$ pro Person. Bei $82$ Jugendlichen und $10$ Betreuern wird der Betrag insgesamt $92$ mal fällig. Die Gruppe spart für jeden $10.$ den Eintrittspreis. Bei $92$ Personen ergibt das $9$ freie Eintritte. Insgesamt zahlen also nur $92-9=83$ Personen den Eintrittspreis. Dieser berechnet sich wie folgt:
$83\cdot23,00\,€=1.909\,€$
Die Gruppe zahlt insgesamt $1.909\,€$
b)
$\blacktriangleright$  Höchste Abfahrt berechnen
In der Abbildung siehst du, dass die Höhe der Achterbahn $41,8\,\text{m}$ und einem weiteren Stück entspricht. Dieses Stück ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks, genauer die Gegenkathete des $37,2°$-Winkels. Dieses Stück kannst du mit dem Sinus oder dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Sinus
Die Definition des Sinus lautet:
$sin(\alpha)=\dfrac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Hypothenuse}}$
$sin(\alpha)=\dfrac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Hypothenuse}}$
Dabei ist die Gegenkathete die Kathete des Dreiecks, die dem Winkel gegenüber liegt und die Hypothenuse $H$ die Grundseite. Mit den Angaben in der Abbildung kannst du die Länge der Gegenkathete $G_\alpha$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} sin(\alpha)&=&\dfrac{G_\alpha}{H} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] sin(37,2°)&=&\dfrac{G_\alpha}{10,8\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 10,8\,\text{m}\\[5pt] sin(37,2°)\cdot 10,8\,\text{m}&=&G_\alpha\\[5pt] 6,53\,\text{m}&=&G_\alpha \end{array}$
$G_\alpha=6,53\,\text{m}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras lautet:
$c^2=a^2+b^2$
$c^2=a^2+b^2$
Dabei ist $c$ die Grundseite des Dreiecks, die $10,8\,\text{m}$ entspricht. $a$ und $b$ sind die Katheten des Dreiecks. Der $8,6\,\text{m}$ große Abschnitt der horitontalen Länge der Abfahrt ist parallel zur Kathete $b$ und hat deshalb die gleiche Länge. Du kannst die Kathete $a$ also mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] (10,8\,\text{m})^2&=&a^2+(8,6\,\text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\;-(8,6\,\text{m})^2 \\[5pt] (10,8\,\text{m})^2-(8,6\,\text{m})^2&=&a^2 \\[5pt] 116,64\,\text{m}^2-73,96\,\text{m}^2\,\text{m})^2&=&a^2 \\[5pt] 42,68\,\text{m}^2\,\text{m})^2&=&a^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 6,53\,\text{m}&=&a \\[5pt] \end{array}$
$a=6,53\,\text{m}$
Addiere dein Ergebnis zu den angegebenen $41,8\,\text{m}$.
$41,8\,\text{m}+6,53\,\text{m}=48,33\,\text{m}$
Die höchste Abfahrt ist also aus $48,33\,\text{m}$ Höhe. Die Aussage ist demnach richtig.
c)
$\blacktriangleright$  Winkelangabe überprüfen
In der Abbildung siehst du, dass die Seite, die zur Ankathete des $37,2°$-Winkels parallel ist, $8,6\,\text{m}$ lang ist. Demnach ist auch die Ankathete genauso lang. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kannst du den Winkel mithilfe des Cosinus berechnen. Die Definition des Cosinus lautet:
$cos(\alpha)=\dfrac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Hypothenuse}}$
$Cos(\alpha)=\dfrac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Hypothenuse}}$
Dabei ist die Ankathete $A_\alpha$ die Kathete des Dreiecks, die an dem Winkel liegt, und die Hypothenuse $H$ die Grundseite. Mit den Angaben in der Abbildung kannst du nun den Winkel $\alpha$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} cos(\alpha)&=&\dfrac{A_\alpha}{H} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] cos(\alpha)&=&\dfrac{8,6\,\text{m}}{10,8\,\text{m}}\\[5pt] cos(\alpha)&=&0,7963&\quad \scriptsize \mid\;cos^{-1}() \\[5pt] \alpha&\approx&37,2° \end{array}$
Die Angabe des eingezeichneten Winkels ist also korrekt.
d)
$\blacktriangleright$  Pauls Behauptung überprüfen
In der Abbildung siehst du, dass die komplette Abfahrt von Punkt $C$ nach Punkt $Z$ über eine Strecke von $24\,\text{m}$ verläuft. Dabei fällt die Achterbahn um $41,8\,\text{m}$ ab. In der Aufgabenstellung siehst du die Definition von Gefälle. $1\,\text{m}$ Abfall in der Höhe über eine Länge von $100\,\text{m}$ entspricht $1\,\%$ Gefälle. Mit einem Dreisatz kannst du nun die horizontale Länge der Abfahrt auf $100\,\text{m}$ erweitern.
$:24$
$\begin{array}{rrcll} &41,8\,\text{m}_{\text{vertikal}}&\mathrel{\widehat{=}}&24\,\text{m}_{\text{horizontal}}\\[5pt] &1,742\,\text{m}_{\text{vertikal}}&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\text{m}_{\text{horizontal}}\\[5pt] &174,2\,\text{m}_{\text{vertikal}}&\mathrel{\widehat{=}}&100\,\text{m}_{\text{horizontal}}& \end{array}$
$:24$
$\cdot 100$
$\cdot 100$
$174,2\,\text{m}_{\text{vertikal}}\mathrel{\widehat{=}}100\,\text{m}_{\text{horizontal}}$
Die Abfahrt entspricht also einem Gefälle von $174,2\,\%$. Das ist größer als ein Gefälle von $100\,\%$, womit Pauls Behauptung nicht stimmt.
e)
$\blacktriangleright$  Umfang der Kreisbahn berechnen
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Fahrgäste $4,2\,\text{s}$ bei einer Geschwindgkeit von $19,4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ für eine Umdrehung brauchen. Berechne damit den Umfang der Kreisbahn.
$19,4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot4,2\,\text{s}=81,48\text{m}$
Die Fahrgäste bewegen sich also auf einer Kreisbahn mit dem Umfang $81,48\text{m}$.
f)
$\blacktriangleright$  Lösungsplan erstellen
Um die größte Fläche, die das Karussell überquert, zu umzäunen, wird ein kreisförmiger Zaun benötigt. Der Umfang dieses Kreises wird mit folgender Formel berechnet:
$A_K=2\cdot\pi\cdot r$
$A_K=2\cdot\pi\cdot r$
Dabei ist $r$ der Radius. Dieser berechnet sich aus der Spannweite des Karussells, die $7\,\text{m}$ entspricht und einem weiteren Teil $x$, der von den hängenden Gondeln bestimmt wird. Demnach ergibt sich folgender Lösungsplan für die Aufgabe.
1. Schritt: Länge des Abschnitts $x$ berechnen
Dazu wird das rechtwinklige Dreieck mit dem Winkel $\alpha$ benötigt. Die Länge des Abschnitts $x$ entspricht der Gegenkathete des Winkels $\alpha$ und die Länge der Aufhängung der Gondeln der Hypothenuse mit einer Länge von $8,95\,\text{m}$. Über den Sinus kann die Länge von $x$ berechnet werden.
2. Schritt: Radius $\boldsymbol{r}$ berechnen
Addiere das Ergebnis aus Schritt $1$ zu der Spannweite des Karussells, die $7\,\text{m}$ entspricht.
3. Schritt: Länge des Zauns berechnen
Berechne mit der oben angegebenen Formel die Länge des Zauns. Dabei ist $r$ der Radius den du in Schritt $2$ berechnet hast.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine gratis Kugel berechnen
Das Glücksrad besitzt $6$ gleich große Felder. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, indem du die Anzahl an Feldern, die das gewünschte Ergebnis enthalten, durch die gesamte Anzahl an Feldern auf dem Glücksrad teilst.
In einem Feld steht „$1$ Kugel gratis“. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nils beim ersten Drehen direkt eine Kugel gratis bekommt, $\frac{1}{6}$.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für zweimal erneut drehen berechnen
Berechne die Wahrscheinichkeit für ein Ereignis genauso, wie in Aufgabenteil a). Die Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse hintereinander berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die Teilereignisse miteinander multiplizierst.
In zwei Feldern steht „erneut drehen“. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Leo beim Drehen erneut drehen darf liegt bei $\frac{2}{6}\mathrel{\widehat{=}}\frac{1}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit für zweimal hintereinander erneut drehen berechnet sich demnach wie folgt:
$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Leo zweimal hintereinander „erneut drehen“ erhält liegt bei $\frac{1}{9}$.
c)
$\blacktriangleright$  Überprüfen ob Nils recht hat
Die Wahrscheinlichkeit für das Feld „Jede Kugel $0,50\,€$“ beträgt $\frac{1}{6}$ bzw. als Prozentzahl $16,7\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit für eines der „erneut drehen“ Felder liegt bei $\frac{1}{3}$ bzw. $33,3\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit dafür nach einem „erneut drehen“ das Feld „Jede Kugel $0,50\,€$ beträgt demnach:
$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{18}\mathrel{\widehat{=}}5,6\,\%$
In der Summe ergibt das bereits über $20\,\%$. Darüber hinaus gibt es außerdem noch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zuerst zwei mal erneut gedreht wird. Die Wahrscheinlichkeit im Endeffekt nur $0,50\,€$ für jede Kugel zu bezahlen ist also noch größer. Nils Aussage stimmt demnach.
d)
$\blacktriangleright$  Pauls Aussage überprüfen
Berechne das Volumen einer normalen Kugel und vergleiche dieses mit dem Volumen einer Riesenkugel, um zu überprüfen ob Pauls Aussage stimmt.
Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet:
$V_K=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$
$V_K=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$
Dabei ist $r$ der Radius der Kugel. In der Aufgabe hat die normale Eiskugel einen Durchmesser von $3\,\text{cm}$. Demnach entspricht ihr Radius also $r=1,5\,\text{cm}$. Das Volumen der Kugel berechnet sich also so:
$\begin{array}[t]{rll} V_K&=&\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] V_K&=&\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot (1,5\,\text{cm})^3\\[5pt] V_K&=&\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot 3,375\,\text{cm}^3\\[5pt] V_K&=&14,14\,\text{cm}^3\\[5pt] \end{array}$
Das Volumen einer normalen Eiskugel entspricht $14,14\,\text{cm}^3$ bzw. $14,14\,\text{ml}$. Eine Riesenkugel hat den Preis von zwei normalen Kugeln. Zwei normale Kugeln haben ein Volumen von $2\cdot14,14\,\text{ml}=28,28\,\text{ml}$. Das Volumen einer Riesenkugel ist mit $35\,\text{ml}$ größer. Paul hat also recht.
e)
$\blacktriangleright$  Volumen von Softeis berechnen
In der Abbildung siehst du, dass $2,5\,\%$ des jährlich hergestellten Eis in Deutschland Softeis war. Die komplette Menge von hergestelltem Eis pro Kopf liegt bei $7,6\,\text{l}$. Berechne das Volumen an hergestelltem Softeins, indem du die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umrechnest und anschließend mit der hergestellten Menge Eis pro Kopf multiplizierst. Indem du eine Prozentzahl durch $100$ teilst und das $\%$-Zeichen weglässt, wandelst du sie in eine Dezimalzahl um. Demnach ergibt sich:
$\dfrac{2,5}{100}=0,025$
$7.6\,\text{l}\cdot0,025=0,19\,\text{l}=190\,\text{ml}$
Pro Kopf wurde $2014$ in Deutschland $190\,\text{ml}$ Softeis hergestellt.
f)
$\blacktriangleright$  Einwohnerzahl in Deutschland berechnen
In der Grafik wird angegeben, dass pro Kopf in Deutschland im Jahr $2014$ $7,6\,\text{l}$ Eis hergestellt wurden. Insgesamt waren das $617.000.000\,\text{l}$. Berechne die Einwohnerzahl in Deutschland, die dieser Grafik zugrunde liegt, indem du die Gesamtmenge durch die Menge an Eis pro Person teilst.
$\dfrac{617.000.000\,\text{l}}{7,6\,\frac{\text{l}}{\text{Person}}}\approx81,184,210\,\text{Personen}$
Der Grafik liegt also eine Einwohnerzahl in Deutschland von $81.184.210$ Personen zugrunde.
g)
$\blacktriangleright$  Irreführende Darstellung in der Grafik begründen
In der Abbildung werden die prozentualen Marktanteile verschiedener Eissorten als Teile einer Eiskugel dargestellt. Die Größe der einzelnen Teile der Marktanteile entspricht dabei nicht den Marktanteilen. Der Kugelteil von „Markeneis“ entspricht $81,6\,\%$. In der Abbildung jedoch nimmt der Abschnitt nur etwas mehr als der Hälfte der Kugel ein. Die anderen beiden Kugelteile sind für ihren Marktanteil zu groß. Deshalb ist die Grafik zur Verdeutlichung der prozentualen Anteile irreführend.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App