Teil 2

Aufgabe 1: Wurfparabel

Antje möchte einen Basketballkorb an der Hauswand aufhängen. In der Aufbauanleitung findet sie eine Skizze mit Maßen. Die obere Kante der Rückwand soll in einer Höhe von $3,95\,\text{m}$ angebracht werden.
In Sporthallen hängen die Korbringe üblicherweise in einer Höhe von $3\,\text{m}$ .

Abbildung 1: Basketballkorb mit Rückwand

Zeige, dass sich Antjes Korbring ebenfalls in $3\,\text{m}$ Höhe befindet.

Antje steht mindestens $4\,\text{m}$ von ihrem Basketballkorb entfernt und übt Korbwürfe. Sie hält ihre Würfe mit Videoaufnahmen fest. Die Flugbahn des abgebildeten Wurfes kann näherungsweise durch die Funktion $f(x)=-0,4x^2+1,7x+1,9$ beschrieben werden (Abbildung 2).

Abbildung 2: Videoanalyse am PC

Bestimme, aus welcher Höhe Antje den Ball abwirft.

Berechne, wie hoch der Ball maximal bei diesem Wurf liegt.

Abbildung 3: Veränderter Wurf zu Aufgabe d)

Antje verändert ihren Wurf und wirft dabei aus $2,25\,\text{m}$ Höhe ab. Die Flugbahn $g$ ist nur bis zum höchsten Punkt abgebildet (vgl. Abbildung 3)
Trifft Antjes Ball in den Korb? Begründe deine Entscheidung mithilfe des abgebildeten Graphen.

Antje hält ihren neuen Basketball auf $2$ m Höhe und lässt ihn auf den Boden fallen. Nach jeder Bodenberührung springt der Ball auf jeweils $70\,\%$ der Höhe des letzten Sprunges zurück.

Wie hoch springt der Ball nach zwei Bodenberührungen?

Der Hersteller wirbt damit, dass der Ball bei einem Fall aus $2\,\text{m}$ Höhe nach $10$ Bodenberührungen noch $10\,\text{cm}$ hochspringt. Überprüfe die Herstellerangabe.

Gib einen Term an, mit dem du die Rückprallhöhe eines Basketballs bei einem Fall aus $2\,\text{m}$ Höhe für eine beliebige Anzahl von Bodenberührungen berechnen kannst.

Aufgabe 2: Freizeitpark

Die Mitglieder eines Sportvereins unternehmen einen Ausflug in einen großen Freizeitpark.
$82$ Jugendliche sowie $10$ Betreuerinnen und Betreuer nehmen als Gruppe an dem Ausflug teil.
An der Kasse des Parkeingangs hängen die Preisinformationen aus (vgl. Tablle.)

Eintrittspreise Freizeitpark
Preise pro Person	$26,00$ €
Preis pro Person in einer Gruppe*	$23,00$ €
*Pro 10 Personen erhält eine Person freien Eintritt.

Tabelle: Einzelpreise im Überblick

Berechne den Eintrittspreis, den die Gruppe zahlen muss.

In dem Freizeitpark ist die größte Achterbahn eine der Hauptattraktionen. Abbildung 4 zeigt die höchste und steilste Abfahrt dieser Achterbahn. Der Verlauf der Abfahrt wird durch die beiden eingezeichneten Strecken $\overline{EC}$ und $\overline{CZ}$ angenähert.

Abbildung 4

Vor der Achterbahn steht die Information:
„Höchste Abfahrt aus mehr als $48$ Metern Höhe.“
Überprüfe rechnerisch, ob diese Angabe richtig ist.

Bestätige mit einer geeigneten Rechnung, dass der eingezeichnete Winkel von $37,2^{\circ}$ korrekt angegeben ist.

Paul behauptet: „Das Gefälle vom Punkt $C$ bis zum Punkt $Z$ ist kleiner als $100\%$ .“
( $1\%$ Gefälle bedeutet einen Abfall der Höhe von $1\,\text{m}$ auf eine Länge von $100\,\text{m}$ .)
Hat Paul recht? Begründe deine Entscheidung!

Eine weitere Attraktion im Freizeitpark ist ein sehr hohes Kettenkarussell. Mit zunehmender Geschwindigkeit vergrößert sich der Winkel $\alpha$ und damit der Abstand der Fahrgäste von der Karussellmitte.

Abbildung 5: Skizze zur Auslenkung des Kettenkarussells

Im Betrieb bewegen sich die Fahrgäste mit einer Geschwindigkeit von ca. $19,4\frac{m}{s}$ auf einer Kreisbahn und benötigen für eine Umdrehung $4,2\,\text{s}$ .
Ermittle den Umfang der Kreisbahn, auf der sich die Fahrgäste bewegen.

Wenn sich das Karussell dreht, überquert es eine kreisförmige Fläche auf dem Boden. Diese Fläche wird bei der maximalen Geschwindigkeit des Karussells am größten. Dabei ist der Winkel $\alpha$ etwa $58^{\circ}$ groß. Die größte Fläche wird mit einem Zaun abgesperrt.
Erstelle einen Lösungsplan, wie du die erforderliche Länge des Zauns bestimmen kannst.
Die Rechnung musst du nicht ausführen.

Aufgabe 3: Eiszeit

In der Innenstadt hat eine neue Eisdiele aufgemacht. Jede Kugel kostet $1\,€$ .
Diese wirbt mit einem ungewöhnlichen Angebot: „Drehe an dem Glücksrad und du kannst den Preis deiner Kugeln halbieren oder sogar eine Kugel gratis bekommen.“
Die Freunde Nils, Leo und Paul möchten sich dort ein Eis kaufen und spielen mit.

Abbildung 6

Nils dreht einmal an dem Glücksrad.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er beim ersten Drehen direkt eine Kugel gratis bekommt.

Leo dreht zweimal hintereinander auf das Feld ‚erneut drehen‘.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis.

Nils behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ‚Jede Kugel $0,50\,€$ ‘ ist insgesamt größer als $20\%$ , da die Möglichkeit besteht, erneut zu drehen.“
Hat Nils recht? Begründe deine Entscheidung.

Die Eiskugeln für $1\,€$ haben einen Durchmesser von $3\,\text{cm}$ . Die Eisdiele bietet auch Riesenkugeln mit $35\,\text{ml}$ Eis an. Eine Riesenkugel kostet $2\,\text{€}$ .

Paul behauptet: „Beim Kauf einer Riesenkugel bekomme ich im Vergleich zu zwei normal großen Kugeln mehr Eis.“
Hat Paul recht? Begründe durch eine Rechnung.

Die Freunde entdecken in der Eisdiele die Informationen zu Speiseeis.

Abbildung 7

Berechne das Volumen an Softeis in Litern, das im Jahr 2014 pro Kopf in Deutschland hergestellt wurde.

Berechne die Einwohnerzahl Deutschlands, die dieser Grafik zugrunde liegt.

In der Abbildung werden die verschiedenen Marktanteile am Gesamtverkauf dargestellt.
Begründe, warum die Grafik zur Verdeutlichung der prozentualen Anteile irreführend ist.

Bildnachweise [nach oben]

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Aufgabe 1

$3,95\,\text{m}-1,05\,\text{m}+0,10\,\text{m}=3,00\,\text{m}$

Der Korbring hängt also in einer Höhe von $3,00\,\text{m}$ .

Die Höhe, aus der Antje den Ball abwirft, ist ein Schnittpunkt mit der $y$ -Achse des Koordinatensystems.

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,4x^2+1,7x+1,9 \quad \scriptsize \mid\;x=0 \\[5pt] y&=&-0,4\cdot0^2+1,7\cdot0+1,9\\[5pt] y&=&1,9\\[5pt] \end{array}$

Die Abwurfhöhe des Balls beträgt $1,9\,\text{m}$ .

Die maximale Höhe des Balls während des Wurfs entspricht dem Scheitelpunkt der Funktion. Um diesen zu ermitteln, wird die Funktion in Scheitelpunktform gebracht.

Rechenweg anzeigen

$f(x)\approx -0,4\cdot (x-2,125)^2+3,71$

Aus dieser Darstellung der Funktion kann direkt der Scheitelpunkt $(2,125 \mid 3,71)$ abgelesen werden. Die maximale Höhe des Balls beträgt also ca. $3,7\,\text{m}$ .

Die Flugbahn des Balls kann als eine Parabel betrachtet werden. Eine Parabel ist achsensymmetrisch zu einer vertikalen Symmetrieachse, die durch ihren Scheitelpunkt verläuft. In der Abbildung ist die Parabel also achsensymmetrisch zu einer vertikalen Achse durch die aktuelle Position des Balls. Der weitere Verlauf der Flugbahn des Balls entspricht also dem bisherigen Verlauf, an dieser Achse gespiegelt.

Wenn der Punkt bei $x=2,25$ an der Symmetrieachse gespiegelt wird, dann liegt der gespiegelte Punkt auf dem Korb. Antje trifft demnach mit ihrem Wurf den Korb.

$2,00\,\text{m}\cdot0,7\cdot0,7=0,98\,\text{m}$

Der Ball springt nach zwei Bodenberührungen nur noch $0,98\,\text{m}$ hoch.

$2\,\text{m}\cdot0,7^{10}=2\,\text{m}\cdot0,028\approx0,056\,\text{m}$

Nach $10$ Bodenberührungen springt der Ball nur noch ca. $5,6\,\text{cm}$ hoch. Die Aussage des Herstellers stimmt also nicht.

Die Rückprallhöhe des Basketballs nach $n$ Bodenberührungen und einer Fallhöhe von $2\,\text{m}$ lautet:

$\text{Rückprallhöhe}=2\,\text{m}\cdot0,7^n$

Aufgabe 2

Da die Gruppe größer als $10$ Personen ist, zahlt sie den Gruppeneintrittspreis von $23,00\,€$ pro Person. Bei $82$ Jugendlichen und $10$ Betreuern wird der Betrag insgesamt $92$ mal fällig. Die Gruppe spart für jeden $10.$ den Eintrittspreis. Bei $92$ Personen ergibt das $9$ freie Eintritte. Insgesamt zahlen also nur $92-9=83$ Personen den Eintrittspreis. Dieser berechnet sich wie folgt:

$83\cdot23,00\,€=1.909\,€$

Die Gruppe zahlt insgesamt $1.909\,€$

Mit $b=8,6\,\text{m}$ und $c=10,8\,\text{m}$ gilt mit dem Satz des Pythagoras:

Rechenweg anzeigen

$a=6,53\,\text{m}$

Damit folgt für die Höhe der Abfahrt:

$41,8\,\text{m}+6,53\,\text{m}=48,33\,\text{m}$

Die höchste Abfahrt ist also aus $48,33\,\text{m}$ Höhe. Die Aussage ist demnach richtig.

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{8,6\,\text{m}}{10,8\,\text{m}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&0,7963 \quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}() \\[5pt] \alpha&\approx&37,2^{\circ} \end{array}$

Die Angabe des eingezeichneten Winkels ist also korrekt.

Der Abbildung kann entnommen werden, dass die komplette Abfahrt von Punkt $C$ nach Punkt $Z$ über eine Strecke von $24\,\text{m}$ verläuft. Dabei fällt die Achterbahn um $41,8\,\text{m}$ ab. Mit dem Dreistz folgt:

$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:24\;\mid&41,8\,\text{m}_{\text{vertikal}}&\widehat{=}&24\,\text{m}_{\text{horizontal}}&\scriptsize\mid\;:24\\[3pt] \scriptsize\cdot100\;\mid&1,742\,\text{m}_{\text{vertikal}}&\widehat{=}&1\,\text{m}_{\text{horizontal}}&\scriptsize\mid\;\cdot100\\[3pt] &174,2\,\text{m}_{\text{vertikal}}&\widehat{=}&100\,\text{m}_{\text{horizontal}}& \end{array}$

Die Abfahrt entspricht also einem Gefälle von $174,2\,\%$ . Das ist größer als ein Gefälle von $100\,\%$ , womit Pauls Behauptung nicht stimmt.

$19,4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot4,2\,\text{s}=81,48\text{m}$

Die Fahrgäste bewegen sich also auf einer Kreisbahn mit dem Umfang $81,48\text{m}$ .

Um die größte Fläche, die das Karussell überquert, zu umzäunen, wird ein kreisförmiger Zaun benötigt. Der Umfang dieses Kreises wird mit $U=2\cdot\pi\cdot r$ berechnet.

Dabei ist $r$ der Radius. Dieser berechnet sich aus der Spannweite des Karussells, die $7\,\text{m}$ entspricht und einem weiteren Teil $x$ , der von den hängenden Gondeln bestimmt wird. Demnach ergibt sich folgender Lösungsplan für die Aufgabe.

1. Schritt: Länge des Abschnitts $x$ berechnen

Dazu wird das rechtwinklige Dreieck mit dem Winkel $\alpha$ benötigt. Die Länge des Abschnitts $x$ entspricht der Gegenkathete des Winkels $\alpha$ und die Länge der Aufhängung der Gondeln der Hypothenuse mit einer Länge von $8,95\,\text{m}$ . Über den Sinus kann die Länge von $x$ berechnet werden.

2. Schritt: Radius $\boldsymbol{r}$ berechnen

Addiere das Ergebnis aus Schritt $1$ zu der Spannweite des Karussells, die $7\,\text{m}$ entspricht.

3. Schritt: Länge des Zauns berechnen

Berechne mit der oben angegebenen Formel die Länge des Zauns. Dabei ist $r$ der Radius, der in Schritt $2$ berechnet wurde.

Aufgabe 3

Das Glücksrad besitzt $6$ gleich große Felder. In einem Feld steht „ $1$ Kugel gratis“. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nils beim ersten Drehen direkt eine Kugel gratis bekommt, $\dfrac{1}{6}$ .

In zwei Feldern steht „erneut drehen“. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Leo beim Drehen erneut drehen darf, liegt demnach bei $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ . Die Wahrscheinlichkeit für zweimal hintereinander erneut drehen berechnet sich demnach wie folgt:

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Leo zweimal hintereinander „erneut drehen“ erhält, liegt bei $\dfrac{1}{9}$ .

Die Wahrscheinlichkeit für das Feld „Jede Kugel $0,50\,€$ “ beträgt $\dfrac{1}{6}$ bzw. als Prozentzahl $16,7\,\%$ . Die Wahrscheinlichkeit für eines der „erneut drehen“ Felder liegt bei $\dfrac{1}{3}$ bzw. $33,3\,\%$ . Die Wahrscheinlichkeit dafür, nach einem „erneut drehen“ das Feld „Jede Kugel $0,50\,€$ “ zu treffen, beträgt demnach:

$\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18}\mathrel{\widehat{=}}5,6\,\%$

In der Summe mit den $16,7\,\%$ ergibt das bereits über $20\,\%$ . Darüber hinaus gibt es außerdem noch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zuerst mehrfach erneut gedreht wird.

Die Wahrscheinlichkeit, im Endeffekt nur $0,50\,€$ für jede Kugel zu bezahlen, ist also noch größer. Nils Aussage stimmt demnach.

Berechne das Volumen einer normalen Kugel und vergleiche dieses mit dem Volumen einer Riesenkugel.

Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet $V_K=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3.$

Dabei ist $r$ der Radius der Kugel. In der Aufgabe hat die normale Eiskugel einen Durchmesser von $3\,\text{cm}$ . Demnach entspricht ihr Radius also $r=1,5\,\text{cm}$ . Das Volumen der Kugel berechnet sich also wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V_K&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 \quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] V_K&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot (1,5\,\text{cm})^3\\[5pt] V_K&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 3,375\,\text{cm}^3\\[5pt] V_K&=&14,14\,\text{cm}^3\\[5pt] \end{array}$

Das Volumen einer normalen Eiskugel entspricht $14,14\,\text{cm}^3$ bzw. $14,14\,\text{ml}$ . Eine Riesenkugel hat den Preis von zwei normalen Kugeln. Zwei normale Kugeln haben ein Volumen von $2\cdot14,14\,\text{ml}=28,28\,\text{ml}$ . Das Volumen einer Riesenkugel ist mit $35\,\text{ml}$ größer. Paul hat also recht.

Der Abbildung kann entnommen werden, dass $2,5\,\%$ des jährlich hergestellten Eis in Deutschland Softeis war. Die komplette Menge von hergestelltem Eis pro Kopf liegt bei $7,6\,\text{l}$ .

$7,6\,\text{l}\cdot0,025=0,19\,\text{l}=190\,\text{ml}$

Pro Kopf wurde $2014$ in Deutschland $190\,\text{ml}$ Softeis hergestellt.

In der Grafik wird angegeben, dass pro Kopf in Deutschland im Jahr $2014$ $7,6\,\ell$ Eis hergestellt wurden. Insgesamt waren das $617\,000\,000\,\ell$ .

$\dfrac{617\,000\,000\,\ell}{7,6\,\frac{\ell}{\text{Person}}}\approx81\,184\,210\,\text{Personen}$

Der Grafik liegt also eine Einwohnerzahl in Deutschland von $81\,184\,210$ Personen zugrunde.

In der Abbildung werden die prozentualen Marktanteile verschiedener Eissorten als Teile einer Eiskugel dargestellt. Die Größe der dargestellten Marktanteile entspricht dabei nicht den wahren Marktanteilen. Der Kugelteil von „Markeneis“ entspricht $81,6\,\%$ . In der Abbildung jedoch nimmt der Abschnitt nur etwas mehr als der Hälfte der Kugel ein. Die anderen beiden Kugelteile sind für ihren Marktanteil zu groß. Deshalb ist die Grafik zur Verdeutlichung der prozentualen Anteile irreführend.