Aufgabe 1
Aufgabe 1: Kaugummiautomat
Steffi hat zum Geburtstag einen Kaugummiautomaten und eine Tüte mit Kaugummikugeln bekommen.
a)
Eine Kaugummikugel hat einen Durchmesser von 14 mm. Bestätige durch eine Rechnung, dass das Volumen einer Kaugummikugel ca. 1,44 cm
beträgt.
beträgt.
b)
1 cm Kaugummimasse wiegt 0,82 g. Berechne, wie viele Kaugummikugeln in einer 300-Gramm-Packung sind.
Kaugummimasse wiegt 0,82 g. Berechne, wie viele Kaugummikugeln in einer 300-Gramm-Packung sind.
c)
Der Behälter für die Kaugummikugeln ist 16,5 cm breit, 16,5 cm tief und 42,5 cm hoch. Steffi möchte wissen, wie viele Kaugummikugeln in den Behälter passen und rechnet
(
Erkläre Steffis Rechnung und beurteile, ob Steffis Rechnung geeignet ist, die Anzahl der Kaugummikugeln in der Realität zu berechnen.
Steffi füllt eine Mischung aus 8 roten und 12 weißen Kaugummikugeln in den Automaten. Durch Drehen am Automaten erhält man zufällig eine rote oder eine weiße Kaugummikugel.
Erkläre Steffis Rechnung und beurteile, ob Steffis Rechnung geeignet ist, die Anzahl der Kaugummikugeln in der Realität zu berechnen.
d)
Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Drehen eine rote Kaugummikugel zu erhalten, 
beträgt.
beträgt.
e)
Das Baumdiagramm (Abbildung 1) zeigt die Wahrscheinlichkeiten, beim ersten und zweiten Drehen eine rote oder weiße Kaugummikugel zu erhalten. Ergänze die fehlenden Einträge im Baumdiagramm.
Abbildung 1: Baumdiagramm für zweimaliges Drehen
f)
Steffis Bruder behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kaugummikugeln zu erhalten, ist kleiner als 50 %.“ Hat er recht? Überprüfe mit einer Rechnung.
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
d &=& 14\,\text{mm} \\[5pt]
&=& 1,4\,\text{cm} \\[10pt]
r &=& \dfrac{d}{2} \\[5pt]
&=& 0,7\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7d295ace4c9fb229090e92537f4c1c902ac4faa018cef3aebb32298fdcc2424c_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V &=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt]
&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(0,7\,\text{cm}\right)^3 \\[5pt]
&\approx& 1,44\,\text{cm}^3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9563201dfd92163c683e067de8fd344d6a66ee4805afe98071de46910bd96d9a_light.svg)
b)
1. Schritt: Gewicht einer Kaugummikugel
2. Schritt: Anzahl Kaugummikugeln
Eine Kaugummikugel wiegt 
In eine Packung passen 300 g.
In einer Tüte befinden sich 
Kaugummikugeln.
2. Schritt: Anzahl Kaugummikugeln
Eine Kaugummikugel wiegt In eine Packung passen 300 g.
In einer Tüte befinden sich Kaugummikugeln.
c)
Steffi berechnet zuerst das Volumen des Behälters und teilt es dann durch das Volumen einer Kaugummikugel.
Dabei wird aber nicht berücksichtigt, dass zwischen den Kugeln Hohlräume entstehen. Es passen also vermutlich deutlich weniger Kugeln in den Behälter, als Steffi berechnet hat. Steffis Rechnung ist also nicht geeignet um die Anzahl der Kaugummikugeln in der Realität zu berechnen.
d)
Beim ersten Drehen sind 8 von insgesamt 
Kugeln rot. Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel beträgt also 
Kugeln rot. Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel beträgt also
e)
f)
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\text{zwei verschiedene})&=& \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{12}{19} + \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{8}{19} \\[5pt]
&=& \dfrac{48}{95} \\[5pt]
&\approx& 0,5053 \gt 0,5 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6eebe1b40c3252c2c78f7cd41c14bb2e6445a137ca7e6f06ca38e25a353f2ecb_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kaugummikugeln zu erhalten, ist also größer als 
Steffis Bruder hat also nicht recht.