Aufgabe 1: Kugel
In der Stadt Detmold gibt es einen Kreisverkehr, in dessen Mitte eine „schwebende“ Kugel als Kunstwerk ausgestellt ist.
Die Kugel wird von vier Stützen an Stahlseilen gehalten (Abbildung 1).
Die Stützen der Kugel stehen etwas geneigt.
Abbildung 1: Kugel im Kreisverkehr
Berechne die Länge der Stütze 
Bestimme die Größe des Winkels 
Begründe mithilfe der Maße aus Abbildung 1, dass die Kugel einen Durchmesser von ca. 
hat.
Notiere deinen Lösungsweg.
Nimm im Folgenden an, dass der äußere Durchmesser der Kugel beträgt.
Zum zwanzigjährigen Jubiläum des Kunstwerks wurde die Kugel gereinigt und neu lackiert.
Berechne die Größe der zu lackierenden Oberfläche der Kugel.
Während eines Unwetters im Mai 2025 rissen zwei der Stahlseile, welche die Kugel hielten. In den Nachrichten hieß es über das Kunstwerk: „Tonnenschwere Kugel im Detmolder Kreisverkehr abgestürzt“.
Die Kugel besteht aus einem 
dicken Kunststoffmantel. Im Inneren ist die Kugel hohl (Abbildung 2).
Abbildung 2: Aufbau der Kugel
Weise nach, dass der Hohlraum im Inneren der Kugel ein Volumen von ca. 
besitzt.
des verwendeten Kunststoffs wiegt 
Beurteile mithilfe einer Rechnung, ob es sich bei der Kugel um ein „tonnenschweres“ Kunstwerk handelt.
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monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
![Formula: \begin{array}{rlll}
s^2&=&12,3^2+2,2^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
s&=&\sqrt{156,13} \\[5pt]
s&\approx&12,50\;[\text{m}]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ef4b719c2541a4fe31285b9b239d9860af47c1ccfbba37201b90877fe3bebb2e_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
s^2&=&12,3^2+2,2^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
s&=&\sqrt{156,13} \\[5pt]
s&\approx&12,50\;[\text{m}]
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![Formula: \begin{array}{rlll}
\tan(\alpha)&=&\dfrac{12,3}{2,2} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt]
\alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{12,3}{2,2}\right) \\[5pt]
\alpha&\approx&79,86^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/058f533b4c81367ea8ba6bb95d579f9aa09e62e3f799d69039c00753a49babc5_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\tan(\alpha)&=&\dfrac{12,3}{2,2} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt]
\alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{12,3}{2,2}\right) \\[5pt]
\alpha&\approx&79,86^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/058f533b4c81367ea8ba6bb95d579f9aa09e62e3f799d69039c00753a49babc5_dark.svg)
Die Abbildung zeigt, dass der Radius der Kugel leicht größer ist als die horizontale Strecke von 
Damit ist der Durchmesser leicht größer als 
also ungefähr 
Für den gesuchten Oberflächeninhalt der Kugel ergibt sich:![Formula: \begin{array}{rlll}
O&=&4\cdot\pi\cdot r^2 \\[5pt]
&=&4\cdot\pi\cdot 2,25^2 \\[5pt]
&\approx&63,62\;[\text{m}^2]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/899f66eba39145656888f9047861760b486674ee7450b8ea9461608215bf5feb_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
O&=&4\cdot\pi\cdot r^2 \\[5pt]
&=&4\cdot\pi\cdot 2,25^2 \\[5pt]
&\approx&63,62\;[\text{m}^2]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/899f66eba39145656888f9047861760b486674ee7450b8ea9461608215bf5feb_dark.svg)
Der innere Radius beträgt 
Damit ergibt sich für den Hohlraum:![Formula: \begin{array}{rlll}
V&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r_I^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 2,2^3 \\[5pt]
&\approx&44,6\;[\text{m}^3]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f70ba6428be106313f6be9ba73f0bee62b651a29ab71346522228e588c17d480_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
V&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r_I^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 2,2^3 \\[5pt]
&\approx&44,6\;[\text{m}^3]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f70ba6428be106313f6be9ba73f0bee62b651a29ab71346522228e588c17d480_dark.svg)
Mit dem Außenradius folgt für das Volumen der ganzen Kugel:
![Formula: \begin{array}{rlll}
V&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 2,25^3 \\[5pt]
&\approx&47,71\;[\text{m}^3]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a4562bde946855ffdbf89bf637e006cce9e260f26de2c6cb21bb565db1703b7e_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
V&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 2,25^3 \\[5pt]
&\approx&47,71\;[\text{m}^3]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a4562bde946855ffdbf89bf637e006cce9e260f26de2c6cb21bb565db1703b7e_dark.svg)
Mit der Differenz folgt dann für das Volumen des verwendeten Kunststoffs:
![Formula: \begin{array}{rlll}
V&=&47,71-44,6 \\[5pt]
&=&3,11\;[\text{m}^3]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/9b6e15bc42327a898ee501ea30e65c81316a2135b0a24377af676d03b8e6c86f_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
V&=&47,71-44,6 \\[5pt]
&=&3,11\;[\text{m}^3]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/9b6e15bc42327a898ee501ea30e65c81316a2135b0a24377af676d03b8e6c86f_dark.svg)
Für das Gewicht des Kunstwerks ergibt sich somit:
Die Kugel ist somit tatsächlich ein tonnenschweres Kunstwerk.