Aufgabe 1: Fruchtfliegen

Jasmin möchte für ein Biologieprojekt untersuchen, wie schnell sich Fruchtfliegen (Abbildung 1) vermehren. Sie kauft dazu zwei Zuchtboxen und bezeichnet diese mit Formula: A und Formula: B.

Seitenansicht einer kleinen Fliege mit deutlichen Facettenaugen und Flügeln.

Abbildung 1: Fruchtfliege (Drosophila)

Zuchtbox Formula: A enthält anfänglich zehn Fruchtfliegen. Jasmin bewahrt die Box in ihrem warmen Zimmer auf und protokolliert in den folgenden Tagen die Anzahl der Tiere in der Box (Abbildung 2).

Die Anzahl der Fruchtfliegen in Zuchtbox Formula: A wächst täglich um ca. $Formula: 30\,\%.$ $Formula: 30\,\%.$

Weise dies für den Übergang von Tag Formula: 0 auf Tag Formula: 1 nach.

Tag $Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$	Anzahl Fruchtfliegen

Abbildung 2: Tabelle

Jasmin stellt die Funktion Formula: f mit der Funktionsgleichung $Formula: f(x)=10 \cdot 1,3^{x}$ $Formula: f(x)=10 \cdot 1,3^{x}$ auf, um die Anzahl der Fruchtfliegen am Tag Formula: x zu berechnen.

Bestimme die voraussichtliche Anzahl an Fruchtfliegen nach Formula: 30 Tagen.

Bestimme, nach wie vielen Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen erstmals größer als $Formula: 100\; 000$ $Formula: 100\; 000$ sein müsste.

Zuchtbox Formula: B enthält anfänglich Formula: 20 Fruchtfliegen Formula: (x=0). Zur Berechnung der Anzahl der Fruchtfliegen in der Box an Tag Formula: x nutzt Jasmin daher die Funktion Formula: g mit $Formula: g(x)=20 \cdot q^x.$ $Formula: g(x)=20 \cdot q^x.$

Jasmin bewahrt die Zuchtbox Formula: B im kühleren Keller auf und stellt fest, dass sich die Fruchtfliegen dort langsamer vermehren als in ihrem warmen Zimmer. An Tag Formula: 11 sind es Formula: 77 Fliegen.

Weise rechnerisch nach, dass $Formula: q \approx 1,13$ $Formula: q \approx 1,13$ beträgt.

Jasmin vermutet: „Bei Zuchtbox Formula: B kommen in der zweiten Woche mehr als doppelt so viele Fruchtfliegen hinzu, als in der ersten Woche hinzugekommen sind.“

Überprüfe ihre Vermutung mit einer Rechnung.

In Abbildung 3 sind die Graphen Formula: A und Formula: B dargestellt.

Begründe, dass

die Funktion mit $Formula: f(x)=10 \cdot 1,3^x$ $Formula: f(x)=10 \cdot 1,3^x$ durch Graph dargestellt wird und
die Funktion mit $Formula: g(x)=20 \cdot 1,13^x$ $Formula: g(x)=20 \cdot 1,13^x$ durch Graph dargestellt wird.

Bestimme mithilfe von Abbildung 3 den Tag, an dem die Zuchtboxen Formula: A und Formula: B etwa gleich viele Fruchtfliegen enthalten und gib die Anzahl an.

Diagramm: Anzahl Fruchtfliegen vs. Tage, Gitter, zwei Kurven (eine gestrichelt), markierte Punkte A und B bei etwa 5 Tagen.

Abbildung 3: Graphen $Formula: \scriptsize{A}$ $Formula: \scriptsize{A}$ und $Formula: \scriptsize{B}$ $Formula: \scriptsize{B}$

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Für den Prozentwert gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P &=&13-10 \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P &=&13-10 \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Für den Prozentsatz Formula: p gilt gemäß der Formel für Prozentrechnung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{P \cdot 100}{G} \\[5pt]&=&\dfrac{3\cdot 100}{10} \\[5pt]&=&30 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{P \cdot 100}{G} \\[5pt]&=&\dfrac{3\cdot 100}{10} \\[5pt]&=&30 \end{array}$

Die Anzahl der Fruchtfliegen wächst von Tag Formula: 0 auf Tag Formula: 1 um $Formula: 30 \,\%.$ $Formula: 30 \,\%.$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f(30)&=&10 \cdot 1,3^{30} \\[5pt] &\approx&26\,200 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f(30)&=&10 \cdot 1,3^{30} \\[5pt] &\approx&26\,200 \end{array}$

Nach Formula: 30 Tagen sind es voraussichtlich ungefähr $Formula: 26\,200$ $Formula: 26\,200$ Fruchtfliegen.

$Formula: \begin{array}[t]{rll}f(x)&=&100\,000 \\[5pt] 10 \cdot 1,3^{x} &=&100\,000 &\quad\scriptsize\mid\; :10 \\[5pt] 1,3^{x} &=&10\,000 &\quad\scriptsize\mid\; \lg \\[5pt] x \cdot \lg (1,3) &=& \lg (10\,000) &\quad\scriptsize\mid\; :\lg (1,3) \\[5pt] x &=&\dfrac{\lg (10000)}{\lg (1,3)} \\[5pt] x &\approx& 35,11\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}f(x)&=&100\,000 \\[5pt] 10 \cdot 1,3^{x} &=&100\,000 &\quad\scriptsize\mid\; :10 \\[5pt] 1,3^{x} &=&10\,000 &\quad\scriptsize\mid\; \lg \\[5pt] x \cdot \lg (1,3) &=& \lg (10\,000) &\quad\scriptsize\mid\; :\lg (1,3) \\[5pt] x &=&\dfrac{\lg (10000)}{\lg (1,3)} \\[5pt] x &\approx& 35,11\end{array}$

Nach Formula: 36 Tagen sind voraussichtlich erstmals mehr als $Formula: 100\,000$ $Formula: 100\,000$ Fruchtfliegen vorhanden.

$Formula: \begin{array}[t]{rll} g(11)&=&77 \\[5pt] 20 \cdot q^{11} &=&77 &\quad\scriptsize\mid\; :20 \\[5pt] q^{11} &=&\dfrac{77}{20} &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt[11]{~}\\[5pt] q &=& \sqrt[11]{\dfrac{77}{20}}\\[5pt] q &\approx&1,13 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} g(11)&=&77 \\[5pt] 20 \cdot q^{11} &=&77 &\quad\scriptsize\mid\; :20 \\[5pt] q^{11} &=&\dfrac{77}{20} &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt[11]{~}\\[5pt] q &=& \sqrt[11]{\dfrac{77}{20}}\\[5pt] q &\approx&1,13 \end{array}$

Die Rechnung zeigt, dass der Wachstumsfaktor für die Fruchtfliegen hier bei ca. Formula: 1,13 liegt.

Für die Zunahme in der ersten und zweiten Woche ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} g(7)-g(0)&=&20 \cdot 1,13^7-20 \\[5pt] &\approx&27,05 \lt 28 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} g(7)-g(0)&=&20 \cdot 1,13^7-20 \\[5pt] &\approx&27,05 \lt 28 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} g(14)-g(7)&=&20 \cdot 1,13^{14}-20 \cdot 1,13^7 \\[5pt] &\approx&63,64 \gt 63 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} g(14)-g(7)&=&20 \cdot 1,13^{14}-20 \cdot 1,13^7 \\[5pt] &\approx&63,64 \gt 63 \end{array}$

Für das Verhältnis der Zunahmen gilt:

$Formula: \dfrac{63}{28}=2,25$ $Formula: \dfrac{63}{28}=2,25$

Da $Formula: 2,25 \gt 2$ $Formula: 2,25 \gt 2$ gilt, kommen in der zweiten Woche also mehr als doppelt so viele Fliegen hinzu wie in der ersten Woche. Jasmins Vermutung stimmt.

Die Funktion hat einen Anfangswert von — das entspricht Fruchtfliegen am Tag Dazu passend verläuft der Graph durch den Koordinatenpunkt $Formula: (0\mid10).$ $Formula: (0\mid10).$ Für z.B. den Tag kann der Wert vom Graphen abgelesen werden, der rechnerisch durch $Formula: f(3)=10 \cdot 1,3^3=21,97$ $Formula: f(3)=10 \cdot 1,3^3=21,97$ bestätigt wird.
Die Funktion hat einen Anfangswert von — das entspricht Fruchtfliegen am Tag Dazu passend verläuft der Graph durch den Koordinatenpunkt $Formula: (0 \mid 20).$ $Formula: (0 \mid 20).$ Für z.B. den Tag kann der Wert im Graphen abgelesen werden, der rechnerisch durch $Formula: g(3)=20 \cdot 1,13^3$ $Formula: g(3)=20 \cdot 1,13^3$ $Formula: \approx 28,86$ $Formula: \approx 28,86$ bestätigt wird.

Der Schnittpunkt der Graphen Formula: f(x) und Formula: g(x) gibt an, an welchem Tag gleich viele Fruchtfliegen in den beiden Boxen sind. Der Schnittpunkt liegt ungefähr bei $Formula: (5\mid 37),$ $Formula: (5\mid 37),$ das heißt, nach ca. Formula: 5 Tagen sind sowohl in der Box Formula: A als auch in der Box Formula: B ca. Formula: 37 Fruchtfliegen.

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