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Aufgabe 3

Aufgaben
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Am Moreno-Gletscher in Argentinien gab es eine Brücke aus Eis. Sie entstand, weil Wasser den Gletscher unterhöhlt hat. Am 10.03.2016 ist die riesige Eis-Brücke eingestürzt.
Der Brückenbogen konnte annähernd mit einer Parabel beschrieben werden (Abbildung 1). Der Wasserspiegel wird dabei durch die $x$-Achse beschrieben.
#parabel
#funktionsgleichung
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Höhe über dem Wasserspiegel angeben
Da der Wasserspiegel der $x$-Achse entspricht, ist der höchste Punkt über dem Wasserspiegel der Scheitelpunkt der Parabel, der die Koordinaten $(0\mid 35)$ hat.
Die Höhe über dem Wasserspiegel beträgt also $h=35\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Spannweite angeben
Die Spannweite entspricht dem Abstand der beiden Punkte, in denen der Brückenbogen auf das Wasser trifft, also dem Abstand der beiden Nullstellen der Parabel. Diese sind $x_1= -50$ und $x_2=50.$
Die Spannweite des parabelförmigen Brückenbogens beträgt also $100\,\text{m}.$
#scheitelpunkt
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktionsgleichung soll die Form $f(x)= ax^2+c$ haben. $c$ gibt den $y$-Achsenabschnitt an, welchen du der Abbildung entnehmen kannst. Die Parabel schneidet die $y$-Achse bei $y=35.$ Es ist also $c=35.$
Zudem kannst du die beiden Nullstellen ablesen. Die Parabel verläuft also durch den Punkt $(50\mid 0).$ Diese Koordinaten kannst du gemeinsam mit $c$ in die Funktionsgleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax^2 +c \\[5pt] 0&=&a\cdot 50^2 +35 &\quad \scriptsize \mid\;-35 \\[5pt] -35&=& a\cdot 50^2 &\quad \scriptsize \mid\; :50^2 \\[5pt] -0,014&=& a \end{array}$
$ -0,014 = a $
Die Funktionsgleichung lautet $f(x)= -0,014x^2 +35.$
c)
$\blacktriangleright$  Einschätzung bewerten
Ricos eingezeichneten Hilfslinien für die untere Begrenzung des Eises liegen durchgängig unterhalb der Parabel, die den Brückenbogen beschreibt. Mit seiner Annäherung schätzt er die Menge des eingestürzten Eises also zu groß ein.
d)
$\blacktriangleright$  Eismenge nach Ricos Idee berechnen
Der von Rico skizzierte Körper kann als Quader mit den Kantenlängen $a= 100\,\text{m},$ $b=60\,\text{m}$ und $c=40\,\text{m}$ aufgefasst werden, aus dem ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche herausgetrennt wurde.
1. Schritt: Volumen des Quaders berechnen
Das Prisma ist $100\,\text{m}$ lang, $60\,\text{m}$ breit und $40\,\text{m}$ tief. Das Volumen ist also:
$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& 100\,\text{m}\cdot 60\,\text{m} \cdot 40\,\text{m} \\[5pt] &=& 240.000\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V_1= 240.000\,\text{m}^3$
2. Schritt: Volumen des dreieckigen Prismas berechnen
Das Prisma ist $h=40\,\text{m}$ tief beziehungsweise hoch. die Grundseite der dreieckigen Grundfläche ist $100\,\text{m}$ lang, die Höhe der Grundfläche beträgt $35\,\text{m}.$
Mithilfe der Formel für das Volumen eines Prismas ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_2&=& \frac{1}{2}\cdot 100\,\text{m}\cdot 35\,\text{m}\cdot 40\,\text{m} \\[5pt] &=& 70.000\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V_2=70.000\,\text{m}^3 $
3. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_1-V_2 \\[5pt] &=& 240.000\,\text{m}^3-70.000\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 170.000\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V=170.000\,\text{m}^3 $
Nach Ricos Methode beträgt die Menge des eingebrochenen Eises $170.000\,\text{m}^3.$
#prisma#quader
e)
$\blacktriangleright$  Möglichkeit zur Bestimmung der Fläche beschreiben
Um die Fläche besser annähern zu können, müssen die Begrenzungslinien möglichst nah am eigentlichen Verlauf der Parabel liegen. Fügt man weitere Punkte auf der Parabel hinzu, kann man die Fläche in beliebig kleine Dreiecke, Trapeze und Rechtecke aufteilen und so die Genauigkeit steigern, indem man deren Flächeninhalt einzeln berechnet.
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