Aufgabe 3

Am Moreno-Gletscher in Argentinien gab es eine Brücke aus Eis. Sie entstand, weil Wasser den Gletscher unterhöhlt hat. Am 10.03.2016 ist die riesige Eis-Brücke eingestürzt.
Der Brückenbogen konnte annähernd mit einer Parabel beschrieben werden (Abbildung 1). Der Wasserspiegel wird dabei durch die $x$ -Achse beschrieben.

Entnimm der Abbildung 1 die Höhe über dem Wasserspiegel und die Spannweite des parabelförmigen Brückenbogens.

Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel, die den Brückenbogen beschreibt, in der Form: $f(x)=ax^2+c$ .

Abbildung 1

Rico möchte schätzen, wie viele Kubikmeter Eis bei dem Einsturz der Brücke ins Wasser fielen. Er kann aber Flächen, die durch eine Parabel begrenzt werden, nicht berechnen. Deshalb zeichnet er Hilfslinien ein (Abbildung 2) und fertigt eine Skizze an (Abbildung 3).

Wird mit Ricos Idee die eingestürzte Eismenge zu groß oder zu klein geschätzt? Begründe deine Entscheidung.

Abbildung 2

Berechne die eingestürzte Eismenge nach Ricos Idee.

Rico möchte die eingestürzte Eismenge besser abschätzen. Dazu möchte er die Fläche, die durch die Parabel begrenzt wird, genauer bestimmen. Beschreibe eine Möglichkeit, wie du diese Fläche genauer bestimmen kannst. Du brauchst keine Rechnung durchführen.

Abbildung 3

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Höhe über dem Wasserspiegel angeben

Da der Wasserspiegel der $x$ -Achse entspricht, ist der höchste Punkt über dem Wasserspiegel der Scheitelpunkt der Parabel, der die Koordinaten $(0\mid 35)$ hat.
Die Höhe über dem Wasserspiegel beträgt also $h=35\,\text{m}.$

Spannweite angeben

Die Spannweite entspricht dem Abstand der beiden Punkte, in denen der Brückenbogen auf das Wasser trifft, also dem Abstand der beiden Nullstellen der Parabel. Diese sind $x_1= -50$ und $x_2=50.$
Die Spannweite des parabelförmigen Brückenbogens beträgt also $100\,\text{m}.$

Die Funktionsgleichung soll die Form $f(x)= ax^2+c$ haben. $c$ gibt den $y$ -Achsenabschnitt an, welcher der Abbildung entnommen werden kann. Die Parabel schneidet die $y$ -Achse bei $y=35.$ Es ist also $c=35.$

Zudem können die beiden Nullstellen abgelesen werden. Die Parabel verläuft also durch den Punkt $(50\mid 0).$ Diese Koordinaten können gemeinsam mit $c$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax^2 +c \\[5pt] 0&=&a\cdot 50^2 +35 \quad \scriptsize \mid\;-35 \\[5pt] -35&=& a\cdot 50^2 \quad \scriptsize \mid\; :50^2 \\[5pt] -0,014&=& a \end{array}$

Die Funktionsgleichung lautet $f(x)= -0,014x^2 +35.$

Ricos eingezeichneten Hilfslinien für die untere Begrenzung des Eises liegen durchgängig unterhalb der Parabel, die den Brückenbogen beschreibt. Mit seiner Annäherung schätzt er die Menge des eingestürzten Eises also zu groß ein.

Der von Rico skizzierte Körper kann als Quader mit den Kantenlängen $a= 100\,\text{m},$ $b=60\,\text{m}$ und $c=40\,\text{m}$ aufgefasst werden, aus dem ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche herausgetrennt wurde.

1. Schritt: Volumen des Quaders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& 100\,\text{m}\cdot 60\,\text{m} \cdot 40\,\text{m} \\[5pt] &=& 240\,000\,\text{m}^3 \end{array}$

2. Schritt: Volumen des dreieckigen Prismas berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_2&=& \dfrac{1}{2}\cdot 100\,\text{m}\cdot 35\,\text{m}\cdot 40\,\text{m} \\[5pt] &=& 70\,000\,\text{m}^3 \end{array}$

3. Schritt: Volumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_1-V_2 \\[5pt] &=& 240\,000\,\text{m}^3-70\,000\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 170\,000\,\text{m}^3 \end{array}$

Nach Ricos Methode beträgt die Menge des eingebrochenen Eises $170\,000\,\text{m}^3.$

Um die Fläche besser annähern zu können, müssen die Begrenzungslinien möglichst nah am eigentlichen Verlauf der Parabel liegen. Fügt man weitere Punkte auf der Parabel hinzu, kann man die Fläche in beliebig kleine Dreiecke, Trapeze und Rechtecke aufteilen und so die Genauigkeit steigern, indem man deren Flächeninhalt einzeln berechnet.