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Aufgabe A

Aufgaben
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1.
(5 BE)
#graphischesableiten#extrempunkt#ableitung
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2x$ $(x \in \mathrm{R})$.
Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$, der bei $x=1$ den Wendepunkt $W$ hat.
#tangente#schnittpunkt#zentraleraufgabenpool#geradengleichung
3.
Aus einem Tank fließt Wasser langsam ab. Die Abflussrate kann für eine bestimmte Zeit durch die Funktion $f$ mit $f(t)=-\dfrac{1}{10}t^2+2t+10$ beschrieben werden.
($t$: Zeit in Stunden, $f(t)$: Abflussrate in $\frac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$)
a)
Gib eine Stammfunktion der Funktion $f$ an und erläutere deren Bedeutung für den gegebenen Sachverhalt.
(2 BE)
b)
Der Mittelwert $m$ einer ganzrationalen Funktion im Intervall $a \leq x \leq b$ kann mit
$m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm dx$
berechnet werden.
Berechne die mittlere Abflussrate an diesem Tag in den ersten zehn Stunden
(3 BE)
#mittelwert#änderungsrate#stammfunktion
4.
#gebrochenrationalefunktion#zentraleraufgabenpool#abstand#tangente
5.
In den Abbildungen ist die Gerade $g$ mit $g:\vec{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \vec{a}$ ($r \in \mathrm{R}$).
a)
Veranschauliche die folgenden Punkte in den Abbildungen:
(2) $r\leq 0$; $r\in \mathrm{R}$
(3 BE)
Für $r=2$ erhält man den Ortsvektor des Punktes $B$.
b)
Ein Punkt $P$ teilt die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis 1:3.
Gib den zu $T$ gehörenden Wert des Parameters $r$ an.
(1 BE)
c)
$B'$ ist das Bild von $B$ bei Spiegelung an $A$.
Gib den zu $B'$ gehörenden Wert des Parameters $r$ an.
(1 BE)
#gerade#vektoren#spiegelung
6.
Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$.
a)
Begründe, dass das Quadrat in der $yz$-Ebene liegt.
(2 BE)
b)
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$, der Punkt $Q(0\mid8\mid4)$ in der $yz$-Ebene.
Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#vektoren#ebenengleichung#gerade
7
a)
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Gib die beiden Abbildungen an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen. Begründe deine Entscheidung.
(3 BE)
b)
Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n$ und $p$.
Es gilt:
  • Der Erwartungswert von $Y$ ist 8
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ ist symmetrisch
Ermittle den Wert von $n$.
#erwartungswert#binomialverteilung#zentraleraufgabenpool#wahrscheinlichkeit
8.
Es sei $X$ eine normalverteilte Zufallsgröße mit $\sigma=3$ mit der dargestellten Dichtefunktion:
a)
Gib den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ an.
(1 BE)
b)
Bestimme mit Hilfe der graphischen Darstellung die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
  • $P(X\leq2)=$
  • $P(X\geq5)=$
  • $P(X\geq-1)=$
  • $P(2-\sigma\leq X\leq2+\sigma)=$
(4 BE)
#normalverteilung#wahrscheinlichkeit
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$  Punkte einzeichnen
2.
a)
$\blacktriangleright$  Steigung der Tangente nachweisen
Die Tangente $t$ berührt den Graphen $G_f$ an der Stelle $x=1$. Für ihre Steigung $m_t$ gilt also: $m_t=f'(1)$.
Bestimme zunächst die erste Ableitung $f'(x)$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&-3x^2+3\cdot2x-2 &\quad \scriptsize\\[5pt] &=&-3x^2 +6x-2 \end{array}$
Für die Steigung $m_t$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=&f'(1)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-3\cdot 1+6\cdot1-2\\[5pt] &=&1 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte in Abhängigkeit von $\boldsymbol{m}$ angeben
Betrachte den Verlauf der Tangente im Punkt $W$: Sie hat die Steigung $m=1$ und berührt den Graphen $G_f$ nur im Punkt $W$.
Jede Gerade, die steiler verläuft, hat eine Steigung $m>1$ und schneidet den Graphen $G_f$ ebenfalls nur im Punkt $W$.
Jede Gerade, die flacher verläuft, hat eine Steigung $0<m<1$ und schneidet den Graphen $G_f$ in drei Punkten.
Zusammengefasst:
  • Für $0<m<1$hat die Gerade drei Schnittpunkte mit $G_f$
  • Für $m>1$ hat die Gerade einen Schnittpunkt mit $G_f$
3.
a)
$\blacktriangleright$  Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ angeben und erläutern
$\begin{array}[t]{rll} F(t)&=&-\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac13t^3+2\cdot\dfrac12t^2+10t + C&\quad \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{30}t^3+t^2+10t + C \end{array}$
$ F(t)=-\dfrac{1}{30}t^3+t^2+10t + C $
Gefragt ist nach einer Stammfunktion, du kannst also z.B. $C=0$ setzen und erhältst
$F(t)=-\dfrac{1}{30}t^3+t^2+10t$
$f$ beschreibt die Abflussrate in $\frac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$ zum Zeitpunkt $t$. Die Funktion $F$ beschreibt dann die Menge des zum Zeitpunkt $t$ abgeflossenen Wassers in Liter.
b)
$\blacktriangleright$  Mittlere Abflussrate berechnen
Gefragt ist nach der mittleren Abflussrate $m$ in den ersten 10 Stunden, also im Zeitraum zwischen $t=0$ und $t=10$. Einsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{1}{10-0}\cdot\displaystyle\int_0^{10}f(x)\mathrm dx&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{10}\cdot\left[F(x)\right]_0^{10}&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{10}\cdot\left(F(10)-F(0)\right)&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{10}\cdot\left(-\dfrac{1}{30}\cdot10^3+10^2+10\cdot10-0\right)&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{10}\cdot\left(-\dfrac{1000}{30}+100+100\right)&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{10}\cdot\left(-\dfrac{1000}{30}+200\right)&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{10}\cdot\left(\dfrac{-1000+6000}{30}\right)&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{50}{3}\approx16,67 \end{array}$
$ m=\dfrac{50}{3}\approx16,67 $
Im Schnitt fließen in den ersten 10 Stunden 16,67 Liter Wasser pro Stunde aus dem Tank.
4.
a)
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{b}$ berechnen
Der Graph $G_f$ ist achsensymmetrisch. Die Gerade $g$, die parallel zur $x$-Achse durch den Punkt $P(0\mid p)$ verläuft, schneidet den Graphen $G_f$ deshalb in den Punkten $P_1(-t \mid p)$ und $P_2(t \mid p)$.
Der Abstand $d$ der beiden Punkte ist die Differenz ihrer $x$-Koordinaten. Der Abstand soll $d=1$ betragen, also müssen die Punkte die $x$-Koordinate $x_1=0,5$ und $x_2=-0,5$ haben.
Gesucht ist der Wert $p$, er ist der Funktionswert von $f$ für $x=5$ bzw. $x=-0,5$:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&f(0,5)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{4}{0,5^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&16 \end{array}$
Es ergibt sich der Wert $p=16$.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten von $\boldsymbol{Q}$ berechnen
Das Dreieck ist gleichschenklig, wenn die Tangente die $x$- und die $y$-Achse so schneidet, dass die jeweiligen Abschnitte gleich lang sind:
Eine solche Gerade hat die Steigung $m=-1$. Also hat der Graph $G_f$ im Berührpunkt $Q$ auch die Steigung $m=-1$.
Die Steigung wird gegeben durch die erste Ableitung, d.h.: $f'(u)=-1$.
Bilde zunächst die Ableitung $f'(u)$:
$\begin{array}[t]{rll} f(u)&=&\dfrac{4}{x^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] f(u)&=&4x^{-2}&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(u)&=&4\cdot(-2)x^{-3}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\dfrac{8}{x^3} \end{array}$
Einsetzen von $f'(u)=-1$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} -1&=&-\dfrac{8}{u^3}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot u^3\\[5pt] -u^3&=&-8&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] u^3&=&8&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] u&=&2 \end{array}$
Mit $f(2)=\dfrac{4}{2^2}=1$ ergibt sich der Punkt $Q(2\mid 1)$.
5.
In den Abbildungen ist die Gerade $g$ mit $g:\vec{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \vec{a}$ ($r \in \mathrm{R}$).
a)
$\blacktriangleright$  Punkte veranschaulichen
(2) $r\leq 0$; $r\in \mathrm{R}$
b)
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol{r}$ angeben
Punkt $A$ gehört zum Parameterwert $r=0$, Punkt $B$ zum Parameterwert $r=2$. Damit $P$ die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis 1:3 teilt, muss gelten: Wird die Strecke $\overline{AB}$ in vier gleichgroße Abschnitte geteilt, dann liegt 1 Abschnitt davon zwischen $A$ und $P$ und 3 Abschnitte davon zwischen $P$ und $B$.
Dies ist für $r=\frac14\cdot2=0,5$ der Fall.
c)
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol{r}$ angeben
$B$ gehört zum Wert $r=2$ und $A$ zum Wert $r=0$.
Bei Spiegelung von $B$ an $A$ entsteht daher ein Punkt, der zum Parameterwert $r=-2$ gehört.
6.
a)
$\blacktriangleright$  Lage des Quadrats begründen
Das Quadrat liegt in einer Ebene, die orthogonal zur Geraden $g$ verläuft. Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Richtungsvektor der $x$-Achse, d.h. die Gerade $g$ ist eine Parallele zur $x$-Achse.
Die $x$-Achse wiederum liegt orthogonal zur $yz$-Ebene. Also liegt das Quadrat in der $yz$-Ebene.
b)
$\blacktriangleright$  Eigenschaften von Punkt $\boldsymbol{Q}$ nachweisen
Die Aufgabenstellung nennt zwei neue Punkte
  • Den Diagonalenschnittpunkts $D$ des Quadrats, der auf der Geraden $g$ liegt. Da das Quadrat in der $yz$-Ebene liegt, ist der Punkt also der Durchstoßpunkt der Geraden $g$ und der $yz$-Ebene.
  • Den Punkt $Q(0\mid8\mid4)$, der in der $yz$-Ebene liegt
Im Quadrat schneiden sich die Diagonalen im rechten Winkel. Der Punkt $Q$ ist dann ein dem Punkt $P$ benachbarter Eckpunkt des Quadrats, wenn die Punkte $P$, $Q$, $D$ ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck bilden.
1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen
$D$ ist der Punkt, in dem die Gerade $g$ die $yz$-Ebene durchstößt. Alle Punkte in der $yz$-Ebene haben die $x$-Koordinate $x=0$.
Betrachte deshalb die erste Zeile der Geradengleichung von $g$:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&5+t&\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -5&=&t \end{array}$
Für $t=-5$ ergibt sich der Punkt $D(0\mid4\mid1)$.
2. Schritt: Eigenschaften von $\boldsymbol{Q}$ nachweisen
$Q$ ist der dem Punkt $P$ benachbarte Eckpunkt des Quadrats, wenn gilt:
  • Das Dreieck $PDQ$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $\overline{PD}$ und $\overline{QD}$
  • Das Dreieck $PDQ$ ist rechtwinklig im Punkt $D$.
Betrachte zunächst die beiden Schenkel:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{PD}&=&\left|\overrightarrow{PD}\right|&\quad \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0&-&0\\4&-&1\\1&-&5}\right|&\quad \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0\\3\\-4}\right|&\quad \\[5pt] &=&\sqrt{(0^2+3^2+(-4)^2)}&\quad \\[5pt] &=&\sqrt{9+16}&\quad \\[5pt] &=&5 \end{array}$
$ \overline{PD}=5 $
$\begin{array}[t]{rll} \overline{QD}&=&\left|\overrightarrow{QD}\right|&\quad \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0&-&0\\4&-&8\\1&-&4}\right|&\quad \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0\\-4\\-3}\right|&\quad \\[5pt] &=&\sqrt{(0^2+(-4)^2+(-3)^2)}&\quad \\[5pt] &=&\sqrt{16+9}&\quad \\[5pt] &=&5 \end{array}$
$ \overline{QD}=5 $
Da $\overline{PD}=\overline{QD}$, ist das Dreieck gleichschenklig.
Das Dreieck $PDQ$ ist außerdem rechtwinklig, wenn die Schenkel orthogonal zueinander stehen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PD}\circ\overrightarrow{QD}&=&\pmatrix{0\\3\\-4}\circ\pmatrix{0\\-4\\-3}&\quad \\[5pt] &=&0\cdot0+3\cdot(-4)+(-4)\cdot(-3)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0-12+12&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0 \end{array}$
$ \overrightarrow{PD}\circ\overrightarrow{QD}=0 $
Damit ist gezeigt, dass das Dreieck $PDQ$ gleichschenklig und rechtwinklig ist. Da ist nachgewiesen, dass der Punkt $Q$ ein Eckpunkt des Quadrats ist, der dem Punkt $P$ benachbart ist.
7.
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ identifizieren
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$. Folgende Diagramme stellen nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar:
  • Diagramm 1 (Abbildung 8): Wegen $n=10$ kann die Wahrscheinlichkeit $P(X> 10)$ nicht größer als null sein.
  • Diagramm 3 (Abbildung 10): Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten genau $1$ ergeben. Die hier dargestellten Wahrscheinlichkeiten für $k=8$ und $k=9$ sind in Summe bereits größer als 1, deshalb ist hier keine Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt.
b)
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol{n}$ berechnen
Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt, wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ symmetrisch ist. Damit folgt bereits der Parameter $p=0,5$.
Außerdem ist bekannt, dass der Erwartungswert von $Y$ 8 ist. Für den Erwartungswert $E[Y]=n\cdot p$. Einsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&n\cdot 0,5&\quad \scriptsize \mid\; \cdot2\\[5pt] 16&=&n \end{array}$
$Y$ ist binomialverteilt mit $n=16$ und $p=0,5$.
8.
a)
$\blacktriangleright$  Erwartungswert angeben
Der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße ist immer der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Lies also das Maximum aus dem Graphen der Dichtefunktion ab:
$\mu=2$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
1. Schritt: $\boldsymbol{P(X\leq 2)}$
$\mu=2$ ist der Erwartungswert von $X$, d.h. gilt: $P(X\leq \mu) = P(X\leq 2) = 0,5$.
2. Schritt: $\boldsymbol{P(X\geq 5)}$
Aus dem Schaubild geht hervor: $P(2\leq X \leq 5)=0,34$. Außerdem ist bekannt: $P(X\leq2)=0,5$. Also gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq5)&=&1-P(X\leq5)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-(P(X\leq2) + P(2\leq X \leq 5))&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-(0,5 + 0,34)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1-(0,84)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,16 \end{array}$
$ P(X\geq5)=0,16 $
3. Schritt: $\boldsymbol{P(X\geq -1)}$
Aufgrund der Symmetrie der Dichtefunktion der Normalverteilung zum Erwartungswert gilt:
$P(X\geq \mu + k) = P(X\leq \mu - k)$.
Deshalb gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq5)&=&P(X\geq 2+3) \\[5pt] &=&P(X\leq 2-3) \\[5pt] &=&P(X\leq -1) \\[5pt] &=&0,16 \end{array}$
Damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq-1)&=&1-P(X\leq -1) \\[5pt] &=&1-0,16 \\[5pt] &=&0,84 \end{array}$
4. Schritt: $\boldsymbol{P(2-\sigma\leq X\leq 2+\sigma)}$
Aus den $\sigma$-Regeln weißt du:
$P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma)\approx0,68$.
Da $\mu=2$, gilt:
$P(2-\sigma\leq X\leq 2+\sigma)\approx0,68$
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