Teil A

Dargestellt ist der Graph einer Funktion $f.$
Zeichne je einen Punkt mit der folgenden Eigenschaft in die Darstellung ein:

Im Punkt $A$ ist der Funktionswert von $f$ negativ.
Im Punkt $B$ ist die erste Ableitung von $f$ negativ.
Im Punkt $C$ ist die erste Ableitung von $f$ null.
Im Punkt $D$ ist die erste Ableitung von $f$ am größten.
Im Punkt $E$ ist die zweite Ableitung von $f$ positiv.

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 1

(5 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2x$ $(x \in \mathbb{R}).$
Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$ , der bei $x=1$ den Wendepunkt $W$ hat.

Zeige, dass die Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ die Steigung 1 hat.

(2 BE)

Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung $m$ , die durch $W$ verlaufen.
Gib die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit $G_f$ in Abhängigkeit von $m$ an.

(3 BE)

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 2

Aus einem Tank fließt Wasser langsam ab. Die Abflussrate kann für eine bestimmte Zeit durch die Funktion $f$ mit $f(t)=-\dfrac{1}{10}t^2+2t+10$ beschrieben werden.

( $t$ : Zeit in Stunden, $f(t)$ : Abflussrate in $\frac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$ )

Gib eine Stammfunktion der Funktion $f$ an und erläutere deren Bedeutung für den gegebenen Sachverhalt.

(2 BE)

Der Mittelwert $m$ einer ganzrationalen Funktion im Intervall $a \leq x \leq b$ kann mit

$m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm dx$

berechnet werden.
Berechne die mittlere Abflussrate an diesem Tag in den ersten zehn Stunden.

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{4}{x^2}$ $(x\in\mathrm R$ , $x\neq0)$ .
$G_f$ ist symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.

Die Gerade, die parallel zur $x$ -Achse durch den Punkt $P(0\mid p)$ verläuft, schneidet $G_f$ in zwei Punkten. Der Abstand dieser beiden Punkte ist $1.$
Berechne den Wert von $p$ .

(2 BE)

Die Koordinatenachsen schließen mit der Tangente an $G_f$ in einem Punkt $Q(u\mid f(u))$ mit $u\gt 0$ ein gleichschenkliges Dreieck ein.
Berechne die Koordinaten von $Q$ .

(3 BE)

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 3

In den Abbildungen ist die Gerade $g$ mit $g:\vec{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \vec{a}$ ( $r \in \mathbb{R}$ ).

Veranschauliche die folgenden Punkte in den Abbildungen:

$(1) \quad 1\leq r\leq 2\,; \; r\in \mathbb{R}$

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 4 bis 6

$(2) \quad r\leq 0\,;\; r\in \mathbb{R}$

$(3) \quad r\in \mathbb{N}$

(3 BE)

Für $r=2$ erhält man den Ortsvektor des Punktes $B.$

Ein Punkt $P$ teilt die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis 1:3.
Gib den zu $P$ gehörenden Wert des Parameters $r$ an.

(1 BE)

$B‘$ ist das Bild von $B$ bei Spiegelung an $A$ .
Gib den zu $B‘$ gehörenden Wert des Parameters $r$ an.

(1 BE)

Der Punkt $P(0\mid1\mid5)$ ist Eckpunkt eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, verläuft die Gerade $g:\vec{x}=\pmatrix{5\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ mit $t\in\mathrm{R}$ .

Begründe, dass das Quadrat in der $yz$ -Ebene liegt.

(2 BE)

Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g$ , der Punkt $Q(0\mid8\mid4)$ in der $yz$ -Ebene.
Zeige, dass $Q$ einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt $P$ benachbart sind.

(3 BE)

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,8$ . Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 8

Abb. 1



thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 9

Abb. 2



thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 10

Abb. 3



Gib die beiden Abbildungen an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen. Begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n$ und $p$ .

Es gilt:

Der Erwartungswert von $Y$ ist $8.$
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ ist symmetrisch.

Ermittle den Wert von $n$ .

(2 BE)

Es sei $X$ eine normalverteilte Zufallsgröße mit $\sigma=3$ mit der dargestellten Dichtefunktion:

thüringen mathe abi 2018 teil a abbildung 11 dichtefunktion

Gib den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ an.

(1 BE)

Bestimme mit Hilfe der graphischen Darstellung die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

$P(X\leq2)$
$P(X\geq5)$
$P(X\geq-1)$
$P(2-\sigma\leq X\leq2+\sigma)$

(4 BE)

Die Tangente $t$ berührt den Graphen $G_f$ an der Stelle $x=1,$ ihre Steigung $m_t$ beträgt somit $\(m_t=f$ Ableiten von $f$ liefert:

$\(f$

Für die Steigung der Tangente ergibt sich somit:

$\(\begin{array}[t]{rll} m_t&=&f$

Die Tangente im Punkt $W$ besitzt Steigung $m=1$ und berührt den Graphen $G_f$ in diesem.

Die Skizze verdeutlicht, dass jede Gerade, die steiler verläuft, also eine Steigung $m\gt 1$ besitzt, den Graphen $G_f$ ebenfalls nur in einem Punkt schneidet, während jede Gerade die eine Steigung von $0\lt m\lt 1$ besitzt, den Graphen $G_f$ in drei Punkten schneidet.

$F(t)$ $= -\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac13t^3$ $+2\cdot\dfrac12t^2$ $+10t + C$ $= -\dfrac{1}{30}t^3+t^2+10t + C$

Eine Stammfunktion der Funktion $f$ ist somit z.B. gegeben durch $F(t)$ $=-\dfrac{1}{30}t^3$ $+t^2+10t.$ Da $f$ die Abflussrate in $\frac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$ zum Zeitpunkt $t$ beschreibt, gibt die Funktion $F$ die Menge des zum Zeitpunkt $t$ abgeflossenen Wassers in Litern an.

Einsetzen der Grenzen $a=0$ und $b=10$ ergibt:

Rechenweg anzeigen

$m \approx 16,67$

Im Schnitt fließen in den ersten 10 Stunden somit 16,67 Liter Wasser pro Stunde aus dem Tank.

Der Graph $G_f$ ist achsensymmetrisch, das heißt die Gerade $g,$ die parallel zur $x$ -Achse durch den Punkt $P(0\mid p)$ verläuft, schneidet den Graphen $G_f$ in den Punkten $P_1(-t \mid p)$ und $P_2(t \mid p)$ .
Damit der Abstand der beiden Punkte $1$ beträgt, muss $t-(-t)=1$ gelten, das heißt $2t=1$ und somit $t=0,5.$ Für den Wert von $p$ folgt nun:

$p=f(0,5)=\dfrac{4}{0,5^2}=16$

Das Dreieck ist gleichschenklig, wenn die Nullstelle der Tangente den gleichen Wert wie ihr $y$ -Achsenabschnitt besitzt:

Eine solche Gerade hat die Steigung $m=-1,$ das heißt der Graph $G_f$ besitzt im Berührpunkt $Q$ auch die Steigung $m=-1$ . Ableiten von $f(u)$ $=\frac{4}{x^2}$ $=4x^{-2}$ liefert:

$\(f$

Damit folgt für $u:$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit $f(2)=\dfrac{4}{2^2}=1$ ergeben sich die Koordinaten von $Q$ somit als $Q(2\mid 1)$ .

Die gesuchten Punkte sind jeweils in blauer Farbe verdeutlicht:

$(1) \quad 1\leq r\leq 2\,; \; r\in \mathbb{R}$

$(2) \quad r\leq 0\,;\; r\in \mathbb{R}$

$(3) \quad r\in \mathbb{N}$

Der Wert $r=0$ liefert den Punkt $A.$ Damit $P$ die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis 1:3 teilt, muss der zugehörige Wert von $r$ also $r$ $= 0+\frac{1}{4}\cdot(2-0)$ $= \frac{1}{4}\cdot2$ $= 0,5$ betragen.

Da zu $A$ der Wert $r=0$ gehört, ergibt sich für $\(B$ der Wert von $r$ als der negative Wert des Parameterwertes von $B.$ Somit folgt, dass der zu $\(B$ gehörende Wert des Parameters $r=-2$ beträgt.

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist ein Richtungsvektor der $x$ -Achse, d.h. die Gerade $g$ verläuft parallel zur $x$ -Achse und damit orthogonal zur $yz$ -Ebene. Somit liegt das Quadrat in der $yz$ -Ebene.

Die Diagonalen des Quadrats schneiden sich im rechten Winkel in einem Punkt $D.$ Der Punkt $Q$ ist dann ein dem Punkt $P$ benachbarter Eckpunkt des Quadrats, wenn die Punkte $P, Q$ und $D$ ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck bilden.

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ berechnen

Da das Quadrat nach Aufgabenteil a) in der $yz$ -Ebene liegt, ist $D$ der Punkt, in dem die Gerade $g$ die $yz$ -Ebene durchstößt. Gleichsetzen der $x$ -Koordinate eines allgemeinen Punktes auf $g$ mit Null liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 5+t\cdot 1&=&0& \quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] t&=&-5 \end{array}$

Einsetzen von $t=-5$ in in die Geradengleichung von $g$ ergibt für die Koordinaten des Schnittpunkts $D$ der Diagonalen $D(5-5\mid4\mid1) = D(0\mid4\mid1).$

2. Schritt: Eigenschaften von $\boldsymbol{Q}$ nachweisen

Rechenweg anzeigen

$\overline{PD} = 5$

Rechenweg anzeigen

$\overline{QD} = 5$

Da $\overline{PD}=\overline{QD}$ gilt, ist das Dreieck $PDQ$ gleichschenklig. Zudem folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{PD}\circ\overrightarrow{QD} = 0$

Somit stehen die beiden Schenkel des Dreiecks $PDQ$ orthogonal aufeinander, das heißt sie schließen einen rechten Winkel ein. Damit ist das Dreieck gleichschenklig und rechtwinklig, der Punkt $Q$ ist also einer der Eckpunkte des Quadrats, die dem Punkt $P$ benachbart sind.

Das Diagramm in Abbildung 8 kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen, da die Zufallsvariable keine Werte $k\gt10$ annimmt, und somit auch deren Wahrscheinlichkeit nicht größer als Null sein kann.
Das Diagramm in Abbildung 10 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ebenfalls nicht dar, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten genau $1$ ergeben muss, die Werte für $k=8$ und $k=9$ allerdings addiert schon größer als $1$ sind.

Die mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ ist symmetrisch, woraus direkt $p=0,5$ folgt. Einsetzen in die Formel $\mu = n\cdot p$ des Erwartungswerts liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 8&=&n\cdot 0,5&\quad \scriptsize \mid\; \cdot2\\[5pt] 16&=&n \end{array}$

Der Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße ist die Extremstelle seiner Dichtefunktion. Aus der Abbildung folgt somit $\mu = 2.$

$\boldsymbol{P(X\leq 2)}$ bestimmen

$\mu=2$ ist der Erwartungswert von $X,$ d.h. es gilt:

$P(X\leq 2) = P(X\leq \mu) = 0,5$

$\boldsymbol{P(X\geq 5)}$ bestimmen

Der Flächeninhalt $A$ der in der Abbildung grün eingefärbten Fläche $P(2\leq X \leq 5)$ beträgt $A=0,34.$ Somit folgt:

Rechenweg anzeigen

$P(X\geq5) = 0,16$

$\boldsymbol{P(X\geq -1)}$ bestimmen

Aufgrund der Symmetrie der Dichtefunktion einer Normalverteilung zum Erwartungswert gilt $P(X\leq \mu - k)$ $= P(X\geq \mu + k).$ Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq -1)&=&P(X\leq 2-3) \\[5pt] &=&P(X\geq 2+3) \\[5pt] &=&P(X\geq5) \\[5pt] &=&0,16 \end{array}$

Damit folgt weiter:

Rechenweg anzeigen

$P(X\geq-1) = 0,84$

$\boldsymbol{P(2-\sigma\leq X\leq 2+\sigma)}$ bestimmen

Da das Intervall $[2-\sigma;2+\sigma]$ symmetrisch um den Erwartungswert $\mu = 2$ von $X$ liegt, folgt durch Einsetzen der Standardabweichung $\sigma = 3$ von $X$ aus der Aufgabenstellung:

Rechenweg anzeigen

$P(2-\sigma\leq X\leq 2+\sigma)$ $= 0,68$