HT 2 — Untersuchungen zu Schwingungen und Wellen am Beispiel des Luftkissengleiters und der Ausbreitung von Schall in Luft

Erkläre, warum der Luftkissengleiter (siehe Material 1) vor dem Einschalten der Luftkissenbahn nicht schwingen wird, und warum die Schwingung nach dem Einschalten näherungsweise als ungedämpft betrachtet werden kann.

Alle Wertepaare der Tabelle 1 sind als Punkte in Abbildung 2 eingezeichnet worden, bis auf eine Ausnahme (siehe Material 1).

Zeichne den fehlenden Punkt in das Diagramm und skizziere den zu erwartenden Verlauf des Zeit-Elongation-Graphen für das Zeitintervall $Formula: 0 \leq t \leq 0,5\;\mathrm{s}.$ $Formula: 0 \leq t \leq 0,5\;\mathrm{s}.$

Begründe, dass der Wert $Formula: T = 1,0\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 1,0\;\mathrm{s}$ als Abschätzung der Schwingungsdauer gerechtfertigt ist.

7 BE

Bestimme die Federkonstante (mithilfe der Formel in Material 2) und weise nach, dass das Ergebnis in der Größeneinheit $Formula: \tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2}$ $Formula: \tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2}$ wie auch in der Größeneinheit $Formula: \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ $Formula: \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ angegeben werden kann.

Beschreibe qualitativ, wie sich bei gleichbleibender Federkonstante Formula: D eine Erhöhung der schwingenden Masse Formula: m auf die Schwingungsdauer Formula: T auswirkt.

Begründe diesen Zusammenhang unter Verwendung physikalischer Begriffe.

Entscheide begründet, welcher der Graphen A bis F (in Material 2) qualitativ dem Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm, dem Zeit-Bewegungsenergie-Diagramm bzw. dem Zeit-Spannenergie-Diagramm des Gleiters entspricht. (Drei Graphen bleiben also ohne Zuordnung.)

11 BE

In Material 3 wird ein Versuch zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit beschrieben.

Erkläre, wieso in regelmäßigen Abständen Orte minimaler Lautstärke vorzufinden sind und wieso der Abstand zwischen zwei benachbarten Orten minimaler Lautstärke mit der Wellenlänge der von den Kopfhörern ausgesandten Schallwelle übereinstimmt.

Beurteile, inwiefern das in Teilaufgabe a) beschriebene Phänomen (Minima bezüglich der Lautstärke) technisch nutzbar gemacht werden kann.

Bestimme mithilfe von Abbildung 5 (in Material 3) die Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ der Schallwelle und den daraus resultierenden Wert der Schallgeschwindigkeit Formula: c.

Angenommen, anstelle eines Sinustons mit konstanter Frequenz wäre Musik (mit vielfältigen Klängen und Geräuschen) innerhalb des Papprohrs zum Einsatz gekommen:

Begründe, warum die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit unter diesen Umständen erschwert wäre.

12 BE

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Material 1

Ein Gleiter der Masse $Formula: m = 0,408\;\mathrm{kg}$ $Formula: m = 0,408\;\mathrm{kg}$ befindet sich zwischen zwei gleichartigen Stahlfedern auf einer waagerecht verlaufenden Luftkissenbahn, siehe Abbildung 1.

Abbildung 1: Gleiter auf einer Luftkissenbahn

Nach dem Einschalten des Luftkissens wird der Gleiter händisch zu einer Seite ausgelenkt und dann losgelassen. Die anschließende Schwingung wird mit einer Bildrate von 30 fps (Bilder pro Sekunde) in einem Video aufgezeichnet. Für ausgewählte Einzelbilder wird mithilfe einer Videoanalysesoftware die Auslenkung Formula: x aus der in Abbildung 1 erkennbaren Ruhelage (Pfeil am Gleiter) bestimmt. Dabei stehen positive $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Werte für Auslenkungen („Elongationen“) nach rechts, negative $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Werte für Auslenkungen nach links.

Tabelle 1 stellt den Einzelbildern dieser Aufzeichnung die zugehörigen Zeiten Formula: t und die abgelesenen Elongationen Formula: x gegenüber.

Tabelle 1: Messdaten und Bildaufnahmen zur Gleiterschwingung auf der Luftkissenbahn

$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$	Einzelbild

Abbildung 2 zeigt ein Zeit-Elongation-Diagramm der Gleiterschwingung, in das bereits sieben der acht Wertepaare aus Tabelle 1 eingetragen sind.

Streudiagramm mit fallenden Messpunkten zu x in cm und t in s.

Abbildung 2: Zeit-Elongation-Diagramm zum Gleiter

Material 2

Für die Schwingungsdauer Formula: T eines Federpendels mit schwingender Masse Formula: m und Federkonstante („Richtgröße“) Formula: D gilt:

$Formula: T = 2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{D}}$ $Formula: T = 2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{D}}$

Abbildung 3 zeigt sechs Graphen, von denen jeweils einer geeignet ist, die Abhängigkeit …

der Geschwindigkeit des Gleiters,
der Bewegungsenergie des Gleiters bzw.
der Spannenergie der Federn

von der Zeit qualitativ während der Schwingung darzustellen.

A	D
B	E
C	F

Abbildung 3: Sechs Graphen zur Bewegung des Gleiters

Material 3

Abbildung 4 zeigt auf der linken Seite das Foto eines Versuchsaufbaus zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft und auf der rechten Seite eine beschriftete Skizze wesentlicher Teile der Versuchsanordnung.

Laboraufbau mit Stativ und Papierrolle, daneben liegen Kopfhörer und ein Smartphone.

Foto des Versuchsaufbaus
(mit angehobenem Papprohr)

Diagramm mit Holzstab, Papprohr und Bluetooth-Kopfhörern.

Skizze der Versuchsanordnung

Abbildung 4: Foto und Skizze wesentlicher Teile der Versuchsanordnung

Auf einem Tisch liegt ein In-Ear-Bluetooth-Kopfhörer mit der Schallauslassöffnung nach oben. Über diesen wird ein an beiden Seiten offenes Papprohr gestellt. Ein baugleicher Kopfhörer wird, ebenfalls mit der Schallauslassöffnung nach oben, mithilfe eines Gummirings am unteren Ende eines langen Holzstabes befestigt. Dieser Stab wird in das Papprohr gestellt und die Kopfhörer werden über ein Smartphone angesteuert und als Schallquelle genutzt. Der emittierte Sinuston besitzt eine Frequenz von $Formula: f = 2.100\;\mathrm{Hz}.$ $Formula: f = 2.100\;\mathrm{Hz}.$

Die experimentierende Person hält ein Ohr an die obere Öffnung des Papprohrs und zieht den Stab langsam aus dem Papprohr heraus. Dabei stellt sie fest, dass die Lautstärke des Sinustons in regelmäßigen Abständen minimal wird. Die Person bringt mit bereitgehaltenen Gummiringen Markierungen am Holzstab genau in den Momenten an, in denen die Lautstärke minimal wird, und der Stab mit den Markierungen wird nach dem Versuch neben einen Maßstab gelegt, siehe Abbildung 5. (Die feingliedrige Skala des Maßstabs besitzt die Einheit „Zentimeter“. „0 cm“ heißt nicht, dass der Abstand der Lautsprecher $Formula: 0 \; \mathrm{cm}$ $Formula: 0 \; \mathrm{cm}$ beträgt!)

Messstab mit Markierungen und Pfeilen auf einer Skala

Abbildung 5: Holzstab mit Markierungen neben Maßstab (nicht maßstabsgetreu)

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Vor dem Einschalten der Luftkissenbahn liegt der Gleiter direkt auf der Bahn auf. Zwischen Gleiter und Bahn wirkt eine große Reibungskraft. Diese verhindert eine freie Bewegung bzw. bringt den Gleiter nach einer Auslenkung sehr schnell wieder zum Stillstand. Daher entsteht keine erkennbare Schwingung.

Nach dem Einschalten strömt Luft aus der Bahn und bildet ein Luftpolster unter dem Gleiter. Der Gleiter berührt die Bahn dadurch nahezu nicht mehr, sodass die Reibung stark verringert wird. Der Energieverlust durch Reibung und Luftwiderstand ist während der betrachteten Zeit nur gering. Die Amplitude nimmt daher kaum ab und die Schwingung kann näherungsweise als ungedämpft betrachtet werden.

Diagramm eines fallenden Graphen mit x in cm über t in s.

Zu Beginn befindet sich der Gleiter bei seiner maximalen positiven Auslenkung. Nach etwa $Formula: 0,24\;\mathrm{s}$ $Formula: 0,24\;\mathrm{s}$ durchläuft er die Gleichgewichtslage. Bei einer harmonischen Schwingung entspricht der Weg vom Umkehrpunkt bis zur Ruhelage einem Viertel der Schwingungsdauer.

Daraus folgt:

$Formula: T = 4 \cdot 0,24\;\mathrm{s} = 0,96\;\mathrm{s} \approx 1,0\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 4 \cdot 0,24\;\mathrm{s} = 0,96\;\mathrm{s} \approx 1,0\;\mathrm{s}$

Der Wert $Formula: T = 1,0\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 1,0\;\mathrm{s}$ ist daher als Abschätzung gerechtfertigt.

Mit der in Material 2 angegebenen Formel gilt für die Federkonstante Formula: D des Federsystems:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\,(\;)^2 \\[5pt] T^2 & = & 4\pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{D}{T^2} \\[5pt] D & = & \dfrac{4\pi^2 \cdot m}{T^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\,(\;)^2 \\[5pt] T^2 & = & 4\pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{D}{T^2} \\[5pt] D & = & \dfrac{4\pi^2 \cdot m}{T^2} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} D & = & \dfrac{4\pi^2 \cdot 0,408\;\mathrm{kg}}{(1,0\;\mathrm{s})^2} \\[5pt] & \approx & 16,1\;\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2} \\[5pt] & = & 16,1\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} D & = & \dfrac{4\pi^2 \cdot 0,408\;\mathrm{kg}}{(1,0\;\mathrm{s})^2} \\[5pt] & \approx & 16,1\;\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2} \\[5pt] & = & 16,1\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \end{array}$

Die Gleichwertigkeit der Einheiten folgt aus $Formula: 1\;\mathrm{N} = 1\;\tfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.$ $Formula: 1\;\mathrm{N} = 1\;\tfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.$ Damit gilt:

$Formula: 1\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} = 1\;\dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2 \cdot \mathrm{m}} = 1\;\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2}$ $Formula: 1\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} = 1\;\dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2 \cdot \mathrm{m}} = 1\;\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2}$

Die Federkonstante des Federsystems beträgt somit etwa $Formula: D = 16,1\;\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}.$ $Formula: D = 16,1\;\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}.$

Aus $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\tfrac{m}{D}}$ folgt bei gleichbleibender Federkonstante Formula: D, dass die Periodendauer mit der Quadratwurzel der Masse zunimmt. Eine größere schwingende Masse führt somit zu einer längeren Periodendauer.

Bei gleicher Auslenkung üben die Federn aufgrund der unveränderten Federkonstante dieselbe rücktreibende Kraft aus. Eine größere Masse besitzt jedoch eine größere Trägheit. Nach $Formula: a = \tfrac{F}{m}$ $Formula: a = \tfrac{F}{m}$ ist ihre Beschleunigung bei gleicher Kraft somit kleiner. Der Gleiter ändert seine Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung daher langsamer und benötigt mehr Zeit für eine vollständige Schwingung.

Zum Zeitpunkt Formula: t = 0 befindet sich der Gleiter am positiven Umkehrpunkt. Seine Geschwindigkeit und damit seine Bewegungsenergie sind dort null. Die Spannenergie der Federn ist dagegen maximal.

Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm: Graph D

Der Gleiter bewegt sich zunächst nach links, weshalb seine Geschwindigkeit negativ wird. Beim ersten Durchgang durch die Ruhelage bei etwa Formula: T/4 ist der Betrag der Geschwindigkeit maximal. Am negativen Umkehrpunkt bei Formula: T/2 ist die Geschwindigkeit wieder null. Anschließend bewegt sich der Gleiter nach rechts und die Geschwindigkeit ist positiv. Dies entspricht Graph D.

Zeit-Bewegungsenergie-Diagramm: Graph C

Für die Bewegungsenergie gilt $Formula: E_{\mathrm{kin}} = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2.$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2.$ Sie ist an den Umkehrpunkten null und beim Durchgang durch die Ruhelage maximal. Da die Bewegungsenergie nicht negativ werden kann und innerhalb einer Schwingungsdauer zwei Maxima besitzt, entspricht sie Graph C.

Zeit-Spannenergie-Diagramm: Graph E

Für die Spannenergie gilt $Formula: E_{\mathrm{spann}} = \tfrac{1}{2} \cdot D \cdot x^2.$ $Formula: E_{\mathrm{spann}} = \tfrac{1}{2} \cdot D \cdot x^2.$ Sie ist an den Umkehrpunkten maximal und beim Durchgang durch die Ruhelage null. Dies entspricht Graph E.

Die beiden baugleichen Kopfhörer senden Schallwellen derselben Frequenz mit einer festen Phasenbeziehung aus. Am oberen Ende des Papprohrs überlagern sich die beiden Schallwellen. Abhängig vom Wegunterschied treffen dort Wellenberge und Wellentäler in unterschiedlichen Phasen aufeinander.

Beträgt der Wegunterschied $Formula: \Delta s = \left(k + \tfrac{1}{2}\right) \cdot \lambda,$ $Formula: \Delta s = \left(k + \tfrac{1}{2}\right) \cdot \lambda,$ so treffen ein Wellenberg und ein Wellental aufeinander. Die Schallwellen schwächen sich durch destruktive Interferenz ab und die wahrgenommene Lautstärke ist minimal.

Wird der bewegliche Kopfhörer weiter herausgezogen, nimmt der Wegunterschied um dieselbe Strecke zu. Zwei benachbarte Minima gehören zu aufeinanderfolgenden ganzzahligen Werten von Formula: k. Der Wegunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ wächst dabei genau um eine Wellenlänge. Deshalb entspricht der Abstand zwischen zwei benachbarten Orten minimaler Lautstärke der Wellenlänge $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$

Das Phänomen der destruktiven Interferenz wird bei der aktiven Geräuschunterdrückung genutzt. Ein Mikrofon erfasst eine störende Schallwelle. Ein Lautsprecher erzeugt dazu eine passende Gegenschallwelle, die möglichst die gleiche Amplitude, aber eine entgegengesetzte Phase besitzt. Störschallwelle und Gegenschallwelle überlagern sich und interferieren destruktiv, wodurch die wahrgenommene Lautstärke verringert wird.

Dieses Verfahren wird beispielsweise bei Kopfhörern mit Active Noise Cancelling, in Fahrzeugen oder in Lüftungsanlagen eingesetzt. Die Auslöschung funktioniert besonders gut für gleichmäßige, tieffrequente Geräusche und in dem räumlichen Bereich, für den der Gegenschall abgestimmt wurde.

Aus Abbildung 5 lassen sich für die erste und die vierte Markierung näherungsweise die Positionen $Formula: s_1 \approx 0,7\;\mathrm{cm}$ $Formula: s_1 \approx 0,7\;\mathrm{cm}$ und $Formula: s_4 \approx 48,9\;\mathrm{cm}$ $Formula: s_4 \approx 48,9\;\mathrm{cm}$ ablesen. Zwischen diesen Markierungen liegen drei Wellenlängen.

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{s_4 - s_1}{3} \\[5pt] & = & \dfrac{48,9\;\mathrm{cm} - 0,7\;\mathrm{cm}}{3} \\[5pt] & \approx & 16,1\;\mathrm{cm} \\[5pt] & = & 0,161\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{s_4 - s_1}{3} \\[5pt] & = & \dfrac{48,9\;\mathrm{cm} - 0,7\;\mathrm{cm}}{3} \\[5pt] & \approx & 16,1\;\mathrm{cm} \\[5pt] & = & 0,161\;\mathrm{m} \end{array}$

Mit $Formula: c = \lambda \cdot f$ $Formula: c = \lambda \cdot f$ folgt für die Schallgeschwindigkeit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} c & = & 0,161\;\mathrm{m} \cdot 2.100\;\mathrm{Hz} \\[5pt] & \approx & 338\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 3,4 \cdot 10^2\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} c & = & 0,161\;\mathrm{m} \cdot 2.100\;\mathrm{Hz} \\[5pt] & \approx & 338\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 3,4 \cdot 10^2\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}$

Der ermittelte Wert liegt in der Nähe des bekannten Werts der Schallgeschwindigkeit in Luft.

Musik enthält gleichzeitig viele verschiedene Frequenzen. Zu jeder Frequenz gehört nach $Formula: \lambda = \tfrac{c}{f}$ $Formula: \lambda = \tfrac{c}{f}$ eine andere Wellenlänge. Die einzelnen Frequenzanteile erzeugen ihre Lautstärkeminima daher an unterschiedlichen Positionen.

Bei der Überlagerung aller Töne und Geräusche entsteht keine eindeutige, regelmäßig angeordnete Folge gut erkennbarer Minima. Zusätzlich verändert sich das Frequenzgemisch der Musik fortlaufend. Der Abstand benachbarter Minima und eine dazugehörige einzelne Frequenz lassen sich deshalb nicht zuverlässig bestimmen. Die Berechnung der Schallgeschwindigkeit wäre erheblich erschwert.

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