HT 4 — Windenergieanlage

In Material 1 ist eine Variante einer Windenergieanlage (WEA) dargestellt.

Beschreibe die Umwandlung von mechanischer in elektrische Energie durch eine WEA.

Erläutere, warum das Spannungssignal hinter dem Generator und damit vor der Netzeinspeisung elektronisch angepasst werden muss.

5 BE

Das Generatorprinzip kann in einem Modellversuch untersucht werden (vgl. Material 2).

Beschreibe den Modellversuch gemäß Abbildung 2 und erkläre das Auftreten einer Induktionsspannung mit negativen und positiven Spannungswerten.

Leite aus dem Induktionsgesetz her, dass unter Berücksichtigung der effektiven Fläche $Formula: A_{\mathrm{eff}}$ $Formula: A_{\mathrm{eff}}$ (vgl. Abbildung 3) die Spannung wie folgt beschrieben wird:

$Formula: U(t) = U_{\mathrm{max}}\cdot \sin(\omega\cdot t)$ $Formula: U(t) = U_{\mathrm{max}}\cdot \sin(\omega\cdot t)$ mit $Formula: U_{\mathrm{max}} = A\cdot B\cdot \omega$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = A\cdot B\cdot \omega$

Ermittle anhand des $Formula: t\text{-}U\text{-}$ $Formula: t\text{-}U\text{-}$ Diagramms in Abbildung 4 die magnetische Flussdichte Formula: B.

Skizziere in Abbildung 4 einen möglichen Verlauf der Spannung, wenn die Leiterschleife konstant mit der halben Winkelgeschwindigkeit rotiert.

12 BE

Vergleiche die Funktionsweise des Generators im Modellversuch in Material 2 mit dem vereinfachten Generator einer WEA gemäß Material 3, indem du auf zwei Gemeinsamkeiten und zwei Unterschiede eingehst.

Beschreibe den Verlauf der Leistungskurve in Abbildung 6 in Material 4.

Begründe qualitativ den Verlauf der Leistungskurve in den Abschnitten $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{II}.$ $Formula: \text{II}.$

Stelle jeweils eine Hypothese für die Ursache des Verlaufs der Leistungskurve in den Abschnitten $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ und $Formula: \text{IV}$ $Formula: \text{IV}$ auf.

Um die Größenordnung der elektrischen Energieversorgung der in dieser Aufgabe betrachteten WEA einzuordnen, kann anhand von Material 4 eine vereinfachte rechnerische Abschätzung vorgenommen werden.

Schätze mit der durchschnittlichen Windgeschwindigkeit in Deutschland und der Leistungskurve ab, wie viele Haushalte theoretisch mit elektrischer Energie pro Jahr von einer WEA versorgt werden können (vgl. Material 4).

Eine reale Anzahl an Haushalten, die von dieser WEA pro Jahr versorgt werden könnte, wäre kleiner als der abgeschätzte Wert.

Gib dafür zwei Gründe an.

13 BE

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Material 1

Abbildung 1 stellt den prinzipiellen Aufbau einer Variante einer Windenergieanlage (WEA) dar. Die drehbare Rotorachse ist auf der einen Seite mit den Rotorblättern und auf der anderen Seite mit einem Zahnrad verbunden. Dieses Zahnrad sitzt auf einem kleineren Zahnrad der Generatorachse. Die von der Windstärke abhängige Rotationsgeschwindigkeit der Rotorblätter beeinflusst demnach die Rotation im Generator. Hinter dem Generator wird das Spannungssignal elektronisch angepasst, sodass über den Netzanschluss eine Einspeisung ins Stromnetz mit einer festen Frequenz von $Formula: f = 50\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = 50\;\mathrm{Hz}$ möglich ist.

Schematische Darstellung einer Windkraftanlage mit Rotorblatt, Generator, Gondel und Turm

Abbildung 1: Prinzipieller Aufbau einer WEA

Material 2

Die grundsätzliche Funktionsweise eines Generators wird in einem vereinfachten Modellversuch dargestellt (vgl. Abbildung 2): Eine Leiterschleife der Fläche Formula: A rotiert in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte Formula: B.

Schema einer elektrischen Handkurbel im Magnetfeld mit Nord- und Südpol

Abbildung 2: Modellversuch mit rotierender Leiterschleife

Um das Spannungssignal mathematisch zu beschreiben, wird in diesem Versuch die von den Magnetfeldlinien senkrecht durchsetzte, effektive Flächenkomponente $Formula: A_{\mathrm{eff}}$ $Formula: A_{\mathrm{eff}}$ betrachtet.

Gemäß Abbildung 3 gilt dabei: $Formula: A_{\mathrm{eff}} = A \cdot \cos(\varphi),$ $Formula: A_{\mathrm{eff}} = A \cdot \cos(\varphi),$ wobei der Drehwinkel $Formula: \varphi = \omega \cdot t$ $Formula: \varphi = \omega \cdot t$ ist und von einer konstanten Winkelgeschwindigkeit $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ zu jedem Zeitpunkt Formula: t ausgegangen wird.

Skizze einer Fläche im Magnetfeld mit Winkel φ und Beschriftungen A, B und Aeff.

Abbildung 3: Effektive Fläche

Abbildung 4 zeigt einen möglichen Spannungsverlauf einer rotierenden Leiterschleife mit einer Fläche von $Formula: A = 70\;\mathrm{cm}^2.$ $Formula: A = 70\;\mathrm{cm}^2.$

Sinusförmiger Spannungsverlauf über der Zeitdiagramm.

Abbildung 4: $Formula: t\text{-}U\text{-}$ $Formula: t\text{-}U\text{-}$ Diagramm

Material 3

In der WEA befindet sich ein vierpoliger Generator. Abbildung 5 zeigt eine stark vereinfachte Variante eines solchen Generators.

Bei diesem ist mit der rotierenden Antriebsachse des Generators ein drehbar gelagerter Anker aus Eisen verbunden. Dieser vierpolige Anker weist zwei magnetische Nord- und zwei magnetische Südpole auf, welche mithilfe von stromdurchflossenen Spulen am Anker erzeugt werden. Um den Anker befinden sich vier unbewegliche Induktionsspulen. Die vier Induktionsspulen sind so miteinander verbunden, dass sie während der Rotation des vierpoligen Ankers eine Wechselspannung liefern.

Schema eines Generators mit Spulen, Magnetfeldern und drehbarem Anker, beschriftet in Deutsch

Abbildung 5: Vereinfachte Variante eines vierpoligen Generators

Material 4

Beim Betrieb einer WEA müssen wirkende Reibungskräfte in der Anlage überwunden werden. Durch verschiedene Einstellmöglichkeiten der Rotorblätter relativ zum Wind kann die Größe der Kraftwirkung für die Rotation der Rotorblätter verändert werden. Zusätzlich wird für die stromdurchflossenen Spulen im Generator (vgl. Material 3) sowie die Steuerungselektronik elektrische Energie aus dem Stromnetz benötigt.

Die elektrische Leistung einer WEA ist von der Windgeschwindigkeit abhängig und wird in sogenannten Leistungskurven dargestellt. Abbildung 6 stellt eine typische Leistungskurve dar, wobei vier Abschnitte ( $Formula: \text{I},$ $Formula: \text{I},$ $Formula: \text{II},$ $Formula: \text{II},$ $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ und $Formula: \text{IV}$ $Formula: \text{IV}$ ) zu unterscheiden sind.

Diagramm der elektrischen Leistung einer Windkraftanlage in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit.

Abbildung 6: Leistungskurve einer WEA

Informationen:

In Deutschland betrug 2023 zu jedem Zeitpunkt im Jahr die durchschnittliche Windgeschwindigkeit in Höhe der Rotorblätter $Formula: 6,0\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$ $Formula: 6,0\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$
Ein Haushalt in Deutschland benötigt im Jahr durchschnittlich eine elektrische Energie von $Formula: 3.500\;\mathrm{kWh}.$ $Formula: 3.500\;\mathrm{kWh}.$

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Der Wind versetzt die Rotorblätter und damit die Rotorachse in Drehung. Die Bewegungsenergie des Windes wird dabei zunächst in mechanische Rotationsenergie des Rotors umgewandelt.

Die beiden Zahnräder übertragen die Drehbewegung auf die Generatorachse. Da das Zahnrad an der Generatorachse kleiner ist, dreht sich die Generatorachse schneller als die Rotorachse. Im Generator führt die Drehbewegung der Generatorachse, an der Magneten angebracht sind, zu einer fortlaufenden Änderung des magnetischen Flusses durch Spulen. Nach dem Induktionsgesetz wird dadurch eine elektrische Spannung induziert, bei der WEA entsteht dadurch eine Wechselspannung. Bei geschlossenem Stromkreis kann ein elektrischer Strom fließen. Der Generator wandelt somit mechanische Rotationsenergie in elektrische Energie um.

Die Drehzahl der Rotorachse und damit auch die Drehzahl des Generators hängen von der Windgeschwindigkeit ab. Deshalb verändern sich sowohl die Frequenz als auch die Amplitude der vom Generator erzeugten Wechselspannung.

Das Stromnetz arbeitet dagegen mit einer fest vorgegebenen Frequenz von $Formula: f = 50\;\mathrm{Hz}.$ $Formula: f = 50\;\mathrm{Hz}.$ Zusätzlich müssen unter anderem Spannungshöhe und Phasenlage zum Stromnetz passen. Eine nicht angepasste Generatorspannung könnte daher nicht störungsfrei in das Netz eingespeist werden.

Die Leistungselektronik wandelt das veränderliche Generatorsignal deshalb in eine netzkonforme Wechselspannung um.

Eine rechteckige Leiterschleife wird mithilfe einer Handkurbel mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem homogenen Magnetfeld gedreht. Die Leiterschleife befindet sich zwischen Nord- und Südpol des Magneten und ist über Schleifringe mit einem Spannungsmessgerät verbunden.

Während der Drehung ändert sich die von den Magnetfeldlinien senkrecht durchsetzte effektive Fläche der Leiterschleife. Dadurch ändert sich der magnetische Fluss durch die Schleife und es wird eine Spannung induziert.

Während einer halben Umdrehung nimmt der magnetische Fluss beispielsweise von einem maximal positiven Wert über null zu einem maximal negativen Wert ab. In der folgenden halben Umdrehung ändert er sich in umgekehrter Richtung. Nach dem Induktionsgesetz wechselt damit auch das Vorzeichen der Induktionsspannung. Bei der festgelegten Polung des Messgeräts werden abwechselnd positive und negative Spannungswerte angezeigt. Es entsteht eine Wechselspannung.

Für den Drehwinkel gilt $Formula: \varphi = \omega \cdot t.$ $Formula: \varphi = \omega \cdot t.$

Der magnetische Fluss durch die Leiterschleife ist das Produkt aus der magnetischen Flussdichte und der effektiven Fläche:

$Formula: \Phi(t) = B \cdot A_{\mathrm{eff}}(t) = A \cdot B \cdot \cos(\omega \cdot t)$ $Formula: \Phi(t) = B \cdot A_{\mathrm{eff}}(t) = A \cdot B \cdot \cos(\omega \cdot t)$

Nach dem Induktionsgesetz gilt:

$Formula: U(t) = -\dot{\Phi}(t)$ $Formula: U(t) = -\dot{\Phi}(t)$

Das Ableiten des magnetischen Flusses nach der Zeit ergibt:

$Formula: U(t) = A \cdot B \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: U(t) = A \cdot B \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$

Da Formula: A, Formula: B und $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ konstant sind, ist die Spannung Formula: U maximal, wenn der Sinus den Betrag Formula: 1 annimmt. Die maximale Spannung entspricht somit $Formula: U_{\mathrm{max}} = A \cdot B \cdot \omega.$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = A \cdot B \cdot \omega.$

Damit folgt die angegebene Gleichung:

$Formula: U(t) = U_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: U(t) = U_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$

Ermitteln der magnetischen Flussdichte

Aus Abbildung 4 lassen sich die maximale Spannung $Formula: U_{\mathrm{max}} = 6,0\;\mathrm{mV}$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = 6,0\;\mathrm{mV}$ und die Periodendauer $Formula: T = 0,20\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 0,20\;\mathrm{s}$ ablesen. Die Winkelgeschwindigkeit beträgt damit:

$Formula: \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{0,20\;\mathrm{s}} \approx 31,4\;\mathrm{s}^{-1}$ $Formula: \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{0,20\;\mathrm{s}} \approx 31,4\;\mathrm{s}^{-1}$

Die Fläche der Leiterschleife wird in Quadratmeter umgerechnet:

$Formula: A = 70\;\mathrm{cm}^2 = 70 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{m}^2 = 7,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^2$ $Formula: A = 70\;\mathrm{cm}^2 = 70 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{m}^2 = 7,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^2$

Aus $Formula: U_{\mathrm{max}} = A \cdot B \cdot \omega$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = A \cdot B \cdot \omega$ folgt für die magnetische Flussdichte:

$Formula: B = \dfrac{U_{\mathrm{max}}}{A \cdot \omega}$ $Formula: B = \dfrac{U_{\mathrm{max}}}{A \cdot \omega}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: B = \dfrac{6,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{V}}{7,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^2 \cdot 31,4\;\mathrm{s}^{-1}} \approx 2,7 \cdot 10^{-2}\;\mathrm{T}$ $Formula: B = \dfrac{6,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{V}}{7,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^2 \cdot 31,4\;\mathrm{s}^{-1}} \approx 2,7 \cdot 10^{-2}\;\mathrm{T}$

Die magnetische Flussdichte beträgt somit etwa $Formula: B = 0,027\;\mathrm{T} = 27\;\mathrm{mT}.$ $Formula: B = 0,027\;\mathrm{T} = 27\;\mathrm{mT}.$

Skizzieren eines Verlaufs der Spannung

Bei der halben Winkelgeschwindigkeit gilt $Formula: \omega' = \tfrac{1}{2} \cdot \omega.$ $Formula: \omega' = \tfrac{1}{2} \cdot \omega.$ Da $Formula: U_{\mathrm{max}} = A \cdot B \cdot \omega$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = A \cdot B \cdot \omega$ ist, halbiert sich auch die Amplitude:

$Formula: U'_{\mathrm{max}} = \dfrac{1}{2} \cdot U_{\mathrm{max}} = 3,0\;\mathrm{mV}$ $Formula: U'_{\mathrm{max}} = \dfrac{1}{2} \cdot U_{\mathrm{max}} = 3,0\;\mathrm{mV}$

Gleichzeitig verdoppelt sich die Periodendauer:

$Formula: T' = 2 \cdot T = 0,40\;\mathrm{s}$ $Formula: T' = 2 \cdot T = 0,40\;\mathrm{s}$

Daraus ergibt sich:

Zwei sinusförmige Kurven in einem Diagramm mit Spannung U in mV über Zeit t in s.

Gemeinsamkeiten:

Bei beiden Generatoren bewirkt eine mechanische Drehbewegung eine fortlaufende Änderung des magnetischen Flusses durch Leiterschleifen beziehungsweise Spulen. Dadurch wird nach dem Induktionsgesetz eine Wechselspannung erzeugt. In beiden Fällen wird somit mechanische Rotationsenergie in elektrische Energie umgewandelt.

Unterschiede:

Im Modellversuch rotiert eine Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld. Beim Generator der WEA rotiert dagegen der vierpolige Anker, während die vier Induktionsspulen feststehen.

Das Magnetfeld des Modellversuchs wird durch einen äußeren Magneten erzeugt. Beim Generator der WEA entstehen die Magnetpole durch stromdurchflossene Spulen. Außerdem besitzt der Anker vier Pole, während der Generator in Material 2 nur zwei Pole besitzt. Dadurch durchläuft eine feststehende Induktionsspule in Material 3 während einer Umdrehung mehrere Polwechsel.

Beschreiben des Verlaufs der Leistungskurve

Im Abschnitt $Formula: \mathrm{I}$ $Formula: \mathrm{I}$ bis zu einer Windgeschwindigkeit von etwa $Formula: 3\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 3\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ beträgt die elektrische Leistung null. Im Abschnitt $Formula: \mathrm{II}$ $Formula: \mathrm{II}$ steigt sie zunächst langsam und anschließend immer stärker an. Kurz vor der Nennleistung flacht die Kurve wieder ab. Bei etwa $Formula: 12\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 12\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ erreicht die Anlage eine Leistung von ungefähr $Formula: 3,2\;\mathrm{MW}.$ $Formula: 3,2\;\mathrm{MW}.$ Im Abschnitt $Formula: \mathrm{III}$ $Formula: \mathrm{III}$ bleibt diese Leistung bis etwa $Formula: 22\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 22\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ nahezu konstant. Zu Beginn des Abschnitts $Formula: \mathrm{IV}$ $Formula: \mathrm{IV}$ fällt sie sprunghaft auf null und bleibt dort.

Begründen des Verlaufs der Leistungskurve

Abschnitt $Formula: \mathrm{I}\text{:}$ $Formula: \mathrm{I}\text{:}$

Bei kleinen Windgeschwindigkeiten ist die vom Wind auf die Rotorblätter übertragene Leistung zu gering, um Reibung und weitere Widerstände der Anlage zu überwinden. Unterhalb der Einschaltgeschwindigkeit setzt deshalb keine nutzbare Rotation ein und die WEA liefert keine elektrische Leistung.

Abschnitt $Formula: \mathrm{II}\text{:}$ $Formula: \mathrm{II}\text{:}$

Die im Wind enthaltene Leistung ist proportional zur dritten Potenz der Windgeschwindigkeit. Qualitativ gilt $Formula: P_{\mathrm{Wind}} \sim v^3.$ $Formula: P_{\mathrm{Wind}} \sim v^3.$ Mit zunehmender Windgeschwindigkeit steht daher sehr schnell mehr Leistung zur Verfügung. Die Rotorblätter übertragen eine größere mechanische Leistung auf den Generator und die abgegebene elektrische Leistung steigt stark an.

Aufstellen jeweils einer Hypothese

Abschnitt $Formula: \mathrm{III}\text{:}$ $Formula: \mathrm{III}\text{:}$

Die Anlage hat ihre Nennleistung erreicht. Eine weitere Leistungssteigerung würde Generator und weitere Bauteile überlasten. Durch eine Änderung des Anstellwinkels der Rotorblätter oder durch eine andere Regelung wird die aufgenommene Windleistung deshalb begrenzt, sodass die elektrische Leistung annähernd konstant bleibt.

Abschnitt $Formula: \mathrm{IV}\text{:}$ $Formula: \mathrm{IV}\text{:}$

Bei sehr hohen Windgeschwindigkeiten wären die mechanischen Belastungen für Rotor, Turm und Generator zu groß. Die Anlage wird aus Sicherheitsgründen abgeschaltet und wahrscheinlich auch gebremst. Daher fällt die elektrische Leistung auf null.

Abschätzen der Anzahl der Haushalte

Bei der durchschnittlichen Windgeschwindigkeit von $Formula: v = 6,0\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 6,0\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ lässt sich aus Abbildung 6 eine elektrische Leistung von ungefähr $Formula: P = 500\;\mathrm{kW}$ $Formula: P = 500\;\mathrm{kW}$ ablesen.

Ein Jahr besitzt $Formula: t = 365 \cdot 24\;\mathrm{h} = 8.760\;\mathrm{h}.$ $Formula: t = 365 \cdot 24\;\mathrm{h} = 8.760\;\mathrm{h}.$

Unter der vereinfachenden Annahme einer konstanten Leistung ergibt sich für die in einem Jahr erzeugte elektrische Energie:

$Formula: E = P \cdot t = 500\;\mathrm{kW} \cdot 8.760\;\mathrm{h} = 4,38 \cdot 10^6\;\mathrm{kWh}$ $Formula: E = P \cdot t = 500\;\mathrm{kW} \cdot 8.760\;\mathrm{h} = 4,38 \cdot 10^6\;\mathrm{kWh}$

Damit könnten theoretisch folgende Haushalte versorgt werden:

$Formula: N = \dfrac{4,38 \cdot 10^6\;\mathrm{kWh}}{3,5 \cdot 10^3\;\mathrm{kWh}} \approx 1,25 \cdot 10^3$ $Formula: N = \dfrac{4,38 \cdot 10^6\;\mathrm{kWh}}{3,5 \cdot 10^3\;\mathrm{kWh}} \approx 1,25 \cdot 10^3$

Die WEA könnte nach dieser Abschätzung theoretisch etwa Formula: 1.250 Haushalte ein Jahr lang mit elektrischer Energie versorgen.

Angeben zweier Gründe

Die Windgeschwindigkeit ist nicht das ganze Jahr konstant. Da die Leistung nicht linear, sondern stark nichtlinear von der Windgeschwindigkeit abhängt, liefert die zur mittleren Windgeschwindigkeit abgelesene Leistung keine genaue mittlere Jahresleistung. Insbesondere bei sehr schwachem oder sehr starkem Wind erzeugt die Anlage keine elektrische Energie.
Die stromdurchflossenen Spulen und die Steuerungselektronik benötigen selbst Energie.
Wartungsarbeiten und technische Stillstandszeiten verringern die tatsächlich abgegebene Jahresenergie zusätzlich.
Außerdem treten mechanische und elektrische Verluste auf.

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